Εξισώσεις Navier–Stokes: Πώς η ΤΝ έφτασε στη λύση ενός από τα Προβλήματα της Χιλιετίας

 

Στις 8 Σεπτεμβρίου 2026, η OpenAI ανακοίνωσε μια λύση στο περίφημο πρόβλημα ύπαρξης και ομαλότητας των εξισώσεων Navier–Stokes, ένα από τα επτά Προβλήματα της Χιλιετίας του Clay Mathematics Institute.

Πηγή εικόνας: Wikimedia Commons, C. Fukushima and J. Westerweel, Technical University of Delft, The Netherlands

Για τις εξισώσεις Navier–Stokes και τη σημασία τους έχουμε μιλήσει αναλυτικά εδώ. Το πρόβλημα, σε πολύ συμπυκνωμένη μορφή, ήταν αν μια ομαλή τρισδιάστατη ροή μπορεί να χάσει την ομαλότητά της σε πεπερασμένο χρόνο. Η OpenAI κατασκεύασε μια λύση που αναπτύσσει singularity σε πεπερασμένο χρόνο.

Υπάρχει εδώ μια σημαντική λεπτομέρεια. Η κατασκευή αφορά τις forced Navier–Stokes, δηλαδή επιτρέπεται η παρουσία μιας εξωτερικής δύναμης \(f\). Για κάθε \(\nu >0\) κατασκευάζεται μια δύναμη \(f \in C_c^{\infty} \) λεία και με συμπαγή φορέα στο χώρο και στο χρόνο, καθώς και μια λύση που ξεκινά από ακινησία, \(u(x,0)=0 \), έχει πεπερασμένη κινητική ενέργεια, \( \sup_{0 \leq t <1} \| u(t)\|_{L^2} < \infty\), αλλά ταυτόχρονα \( \limsup_{t \to 1^{-}} \|u(t)\|_{L^{\infty}}=\infty \).

Με άλλα λόγια, η μέγιστη ταχύτητα γίνεται απεριόριστη σε πεπερασμένο χρόνο, ενώ η συνολική ενέργεια παραμένει πεπερασμένη. Η περίπτωση αυτή περιλαμβάνεται στην επίσημη διατύπωση του Προβλήματος της Χιλιετίας.

 

Μια δίνη που καταρρέει σε όλο και μικρότερες κλίμακες

Η βασική κατασκευή είναι μια δίνη συμμετρική ως προς έναν άξονα και η οποία, όσο πλησιάζει ο χρόνος της ανωμαλίας, γίνεται ολοένα στενότερη και περιστρέφεται ολοένα ταχύτερα.

Αν θέσουμε \(\tau = 1-t \), δηλαδή τον χρόνο που απομένει μέχρι το blow-up, τότε στον πυρήνα της δίνης εμφανίζονται διαφορετικές χωρικές κλίμακες:

\( \ell_r \sim \tau^{1/2}, \qquad \ell_z \sim \tau^{1/2-h}\), 

ενώ η χαρακτηριστική ταχύτητα αυξάνεται ως \(U \sim \tau^{-1/2-h}\).

Καθώς λοιπόν ο χρόνος \(\tau\) τείνει στο 0, η ταχύτητα τείνει στο άπειρο. Ταυτόχρονα, όμως, η περιοχή όπου συμβαίνει αυτό συρρικνώνεται τόσο γρήγορα, ώστε η ενέργειά της παραμένει πεπερασμένη και μάλιστα, για κατάλληλα μικρό \(h\), τείνει στο μηδέν.

Έτσι προκύπτει το φαινομενικά παράδοξο: Η μέγιστη ταχύτητα τείνει στο άπειρο, ενώ η ενέργεια του πυρήνα τείνει στο μηδέν. Δεν «εκρήγνυται» λοιπόν η ενέργεια. Αυτό που καταρρέει είναι η ομαλότητα της λύσης, καθώς η κίνηση συγκεντρώνεται σε όλο και μικρότερη περιοχή.

 

Γιατί η εξωτερική δύναμη είναι το δύσκολο σημείο

Θα μπορούσε κάποιος να αναρωτηθεί: αφού επιτρέπεται μια εξωτερική δύναμη \(f\), γιατί να μην επιλέξουμε απλώς μια ταχύτητα \(u\) που γίνεται άπειρη και κατόπιν να ορίσουμε την \(f\) ώστε να ικανοποιείται η εξίσωση;

Το πρόβλημα είναι ότι, αν η επιλεγμένη \(u\) γίνεται singular, συνήθως singular γίνεται και η απαιτούμενη δύναμη. Τότε ουσιαστικά θα είχαμε «κρύψει» την ανωμαλία μέσα στην ίδια την εξωτερική δύναμη.

Εδώ βρίσκεται ένα από τα βασικά τεχνικά επιτεύγματα της απόδειξης: η ταχύτητα απειρίζεται, αλλά η εξωτερική δύναμη παραμένει απολύτως λεία. Για να επιτευχθεί αυτό, η κατασκευή χρησιμοποιεί, μεταξύ άλλων, μικρούς ταλαντωτικούς παλμούς υψηλής συχνότητας. Η ιδέα τους μπορεί να φανεί σε ένα απλό παράδειγμα. Αν \(u_r = a sin (kx) \) και \(u_{\theta}=b sin (kx)\), τότε οι δύο ταλαντώσεις έχουν μηδενικό μέσο όρο, \(\langle u_r \rangle = \langle u_{\theta}\rangle =0\), αλλά το εσωτερικό γινόμενό τους όχι:\(\langle u_r , u_{\theta}\rangle = \frac{ab}{2}\).

Έτσι, μια ταλάντωση μπορεί να έχει μηδενική μέση ταχύτητα και παρ' όλα αυτά να παράγει μη μηδενική μέση ροή ορμής. Η κατασκευή εκμεταλλεύεται αυτή την ιδιότητα για να διορθώνει τους όρους που διαφορετικά θα έκαναν την εξωτερική δύναμη singular.

 

Τι ακριβώς έκανε η Τεχνητή Νοημοσύνη;

Εξίσου ενδιαφέρον με το αποτέλεσμα είναι ο τρόπος με τον οποίο βρέθηκε. Η OpenAI δημιούργησε ένα σύστημα με περίπου 10.000 AI agents, οι οποίοι εργάζονταν παράλληλα πάνω σε διαφορετικές μαθηματικές προσεγγίσεις, αντάλλασσαν ενδιάμεσα αποτελέσματα και αξιοποιούσαν τις πιο υποσχόμενες ιδέες άλλων ομάδων. Προηγήθηκε μάλιστα εργασία σε ένα συγγενικό πρόβλημα για τις εξισώσεις Euler. Ιδέες που προέκυψαν εκεί μεταφέρθηκαν στη συνέχεια στις Navier–Stokes.

Σύμφωνα με την OpenAI, η λύση προέκυψε έπειτα από περίπου 88 ώρες. Στο διάστημα αυτό οι agents αντάλλαξαν περίπου 2,7 εκατομμύρια μηνύματα και παρήγαγαν περίπου 130 δισεκατομμύρια tokens. Ακολούθησε διαδικασία τυπικής επαλήθευσης με το Lean. Το τελικό αποτέλεσμα είναι μια μαθηματική εργασία 166 σελίδων.

Έχει λυθεί οριστικά το πρόβλημα;

Μια απόδειξη τέτοιου μεγέθους και σημασίας δεν γίνεται, φυσικά, αποδεκτή απλώς και μόνο επειδή ανακοινώθηκε από μια μεγάλη εταιρεία. Χρειάζεται να μελετηθεί προσεκτικά, να ελεγχθεί ανεξάρτητα και τελικά να γίνει αποδεκτή από τη μαθηματική κοινότητα.

Η διαδικασία αυτή βρίσκεται ήδη σε εξέλιξη και οι πρώτες αντιδράσεις είναι ιδιαίτερα θετικές. Το Clay Mathematics Institute δεν έχει ακόμη ολοκληρώσει την επίσημη διαδικασία αναγνώρισης της λύσης ούτε έχει απονείμει το προβλεπόμενο έπαθλο του 1 εκατομμυρίου δολαρίων —το οποίο, άλλωστε, η OpenAI έχει δηλώσει ότι δεν προτίθεται να διεκδικήσει. Στις 11 Σεπτεμβρίου, ωστόσο, το Ινστιτούτο ανέφερε ότι το πρόβλημα «φαίνεται ότι έχει επιλυθεί», επισημαίνοντας παράλληλα ότι η αξιολόγηση και η απόδοση της επιστημονικής αναγνώρισης θα γίνουν χωρίς βιασύνη.

Για την ώρα, λοιπόν, βρισκόμαστε μπροστά σε μια πολύ ισχυρή υποψήφια λύση ενός Προβλήματος της Χιλιετίας, η οποία έχει ήδη περάσει σημαντικούς ελέγχους, αλλά αναμένει ακόμη την οριστική αποδοχή της μαθηματικής κοινότητας. Αν αυτή έρθει, οι Navier–Stokes θα γίνουν το δεύτερο από τα επτά Προβλήματα της Χιλιετίας που βρίσκει τη λύση του —και το πρώτο στο οποίο η ΤΝ είχε πρωταγωνιστικό ρόλο.

Mary Tsingou Menzel: Η Ελληνίδα μαθηματικός πίσω από ένα από τα πρώτα πειράματα της Ιστορίας των Υπολογιστών

 

Στις 27 Αυγούστου 2026 έφυγε από τη ζωή, σε ηλικία 97 ετών, η Mary Tsingou Menzel, μια μαθηματικός ελληνικής καταγωγής που συνέδεσε το όνομά της με ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα της σύγχρονης μη γραμμικής δυναμικής.

Για πολλές δεκαετίες, όμως, το όνομά της έλειπε από την ίδια την ονομασία του προβλήματος. Ήταν το περίφημο “Fermi–Pasta–Ulam problem”, γνωστό ως “FPU”. Σήμερα όλο και συχνότερα αναφέρεται ως “Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou problem” (FPUT), αποκαθιστώντας έτσι μια μαθηματικό που, ενώ στην αρχική δημοσίευση περιορίστηκε σε μια ευχαριστία, είχε στην  πραγματικότητα ουσιαστικό ρόλο στο ιστορικό υπολογιστικό πείραμα.

Η ιστορία της έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, γιατί μας μεταφέρει σε μια εποχή κατά την οποία οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές άρχιζαν για πρώτη φορά να χρησιμοποιούνται ως εργαλεία μαθηματικού πειραματισμού.

Από τα μαθηματικά στους πρώτους υπολογιστές

Η Mary Tsingou γεννήθηκε το 1928 στο Milwaukee των Ηνωμένων Πολιτειών από Έλληνες γονείς, οι οποίοι μετανάστευσαν στις ΗΠΑ από τη Βουλγαρία. Σπούδασε Μαθηματικά στο University of Wisconsin με αρχικό στόχο να γίνει εκπαιδευτικός. Στις αρχές της δεκαετίας του 1950 άρχισε να εργάζεται στο Los Alamos Scientific Laboratory. Αργότερα παντρεύτηκε τον Joseph Menzel και εξειδικεύτηκε στη FORTRAN, αναπτύσσοντας αλγορίθμους που χρησιμοποιήθηκαν σε προσομοιώσεις των επιπτώσεων των πυρηνικών όπλων, εκρήξεων και ρευστομηχανικής.

Εκείνη την εποχή οι γυναίκες προσλαμβάνονταν ως «ανθρώπινοι υπολογιστές» για να εκτελούν περίπλοκους υπολογισμούς με το χέρι. Πληρώνονταν λιγότερο από τους άνδρες και συνήθως περιορίζονταν στις πιο μονότονες εργασίες. «Ως γυναίκες περίμεναν από εμάς να είμαστε δεύτερης κατηγορίας», είχε πει. «Οι άνδρες έπαιρναν πάντοτε τα πιο ενδιαφέροντα προβλήματα και οι γυναίκες αναλαμβάναμε τις καθημερινές δουλειές, όπως να κρατάμε το μηχάνημα σε λειτουργία».

Ήταν μια εντελώς διαφορετική εποχή για την πληροφορική. Οι υπολογιστές δεν βρίσκονταν φυσικά πάνω σε ένα γραφείο και ο προγραμματισμός δεν είχε σχεδόν καμία σχέση με ό,τι εννοούμε σήμερα με τη λέξη. Οι ερευνητές έπρεπε να μετατρέπουν βήμα προς βήμα τα μαθηματικά ενός προβλήματος σε εντολές που μπορούσε να εκτελέσει η μηχανή.

Στο Los Alamos η Tsingou εργάστηκε με τον MANIAC I (Mathematical Analyzer Numerical Integrator and Automatic Computer), έναν από τους πρώτους ηλεκτρονικούς υπολογιστές που χρησιμοποιήθηκαν συστηματικά για επιστημονικούς υπολογισμούς.

Και εκεί γεννήθηκε ένα ερώτημα που φαινόταν σχετικά απλό: Τι θα συμβεί αν αφήσουμε έναν υπολογιστή να παρακολουθήσει την κίνηση ενός συστήματος που αποτελείται από πολλά σώματα συνδεδεμένα μεταξύ τους;

Η απάντηση αποδείχθηκε πολύ πιο παράξενη από όσο περίμεναν…

Μια σειρά από μάζες και ελατήρια

Ας φανταστούμε μια σειρά από μικρές ίσες μάζες:

●━●━●━●━●━●━●━●

Κάθε μάζα συνδέεται με τις διπλανές της μέσω ενός ελατηρίου. Αν μετακινήσουμε κάποια από τις μάζες από τη θέση ισορροπίας της και την αφήσουμε ελεύθερη, αρχίζει να ταλαντώνεται. Επειδή όμως είναι συνδεδεμένη με τις υπόλοιπες, η κίνησή της επηρεάζει και τις γειτονικές μάζες.

Το αποτέλεσμα είναι ένα σύστημα πολλών συζευγμένων ταλαντωτών. Στην απλούστερη περίπτωση τα ελατήρια ακολουθούν τον νόμο του Hooke:
\(F=-kx\), όπου F είναι η δύναμη και x είναι η μετατόπιση από τη θέση ισορροπίας.

Πρόκειται για μια γραμμική σχέση: αν διπλασιάσουμε τη μετατόπιση, διπλασιάζεται και η δύναμη. Οι Fermi, Pasta και Ulam θέλησαν όμως να μελετήσουν κάτι πιο ενδιαφέρον. Τι θα συνέβαινε αν η δύναμη δεν ήταν απολύτως γραμμική;

Πρόσθεσαν λοιπόν έναν μικρό μη γραμμικό όρο. Σε μία από τις εκδοχές του πειράματος η δύναμη είχε ουσιαστικά τη μορφή: \(F=-kx-\alpha x^2\).

Η αλλαγή μπορεί να φαίνεται μικρή, αλλά στην πραγματικότητα έχει μεγάλες συνέπειες.

Τι περίμεναν να συμβεί;

Ένα σύστημα πολλών ταλαντωτών μπορεί να πάλλεται με διαφορετικούς τρόπους, τους λεγόμενους κανονικούς τρόπους ταλάντωσης. Μπορούμε να φανταστούμε αυτούς τους τρόπους σαν διαφορετικά «μοτίβα» με τα οποία κινείται ολόκληρη η αλυσίδα.

Οι ερευνητές έδωσαν αρχικά σχεδόν όλη την ενέργεια σε έναν μόνο τρόπο ταλάντωσης. Επειδή όμως το σύστημα ήταν μη γραμμικό, περίμεναν ότι η ενέργεια θα άρχιζε σταδιακά να μεταφέρεται στους υπόλοιπους τρόπους.

Μετά από αρκετό χρόνο, σύμφωνα με τη φυσική διαίσθηση της εποχής, η ενέργεια θα έπρεπε να έχει περίπου κατανεμηθεί σε πολλούς διαφορετικούς τρόπους ταλάντωσης. Κάπως σαν να ρίχνουμε μια σταγόνα μελάνι μέσα σε ένα ποτήρι νερό. Στην αρχή το μελάνι βρίσκεται συγκεντρωμένο σε ένα σημείο, ύστερα όμως διαχέεται και τελικά απλώνεται παντού.

Αυτό περίπου περίμεναν να δουν και με την ενέργεια. Ο MANIAC όμως είχε άλλη γνώμη.

Η έκπληξη στην οθόνη του υπολογιστή

Στην αρχή όλα έμοιαζαν να εξελίσσονται όπως αναμενόταν. Η ενέργεια άρχισε πράγματι να εγκαταλείπει τον αρχικό τρόπο ταλάντωσης και να περνά σε άλλους. Ύστερα όμως συνέβη κάτι απροσδόκητο. Αντί να συνεχίσει να διασκορπίζεται μέχρι να κατανεμηθεί περίπου ομοιόμορφα, άρχισε να επιστρέφει. Έπειτα από κάποιο χρονικό διάστημα, μεγάλο μέρος της ενέργειας είχε συγκεντρωθεί ξανά στον αρχικό τρόπο ταλάντωσης. Το σύστημα φαινόταν να θυμάται από πού είχε ξεκινήσει. Και το φαινόμενο επαναλαμβανόταν.

Αυτή η εντυπωσιακή συμπεριφορά ονομάστηκε αργότερα “FPU recurrence”, ενώ πλέον σήμερα συχνότερα “FPUT recurrence”. Σύγχρονες εργασίες εξακολουθούν να μελετούν ακριβώς αυτή την απροσδόκητη επανεμφάνιση καταστάσεων σε μη γραμμικά συστήματα.

Γιατί ήταν τόσο παράξενο;

Η μεγάλη έκπληξη βρισκόταν σε μια φαινομενικά λογική υπόθεση:

"μη γραμμικότητα ⟶ ανάμειξη των κινήσεων ⟶ κατανομή της ενέργειας".

Το πείραμα έδειξε ότι τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά. Η ύπαρξη μη γραμμικότητας από μόνη της δεν αρκεί για να οδηγήσει γρήγορα ένα σύστημα στην αναμενόμενη ισοκατανομή της ενέργειας. Το σύστημα μπορεί να εμφανίζει εξαιρετικά οργανωμένη και σχεδόν περιοδική συμπεριφορά για μεγάλο χρονικό διάστημα.

Αυτό που ξεκίνησε ως ένα αριθμητικό πείραμα σε έναν πρωτόγονο, με τα σημερινά δεδομένα, υπολογιστή άνοιξε έναν ολόκληρο κόσμο ερωτημάτων: Πότε ένα δυναμικό σύστημα γίνεται χαοτικό; Πότε η ενέργεια κατανέμεται στους διαφορετικούς τρόπους κίνησης; Πώς μπορεί ένα μη γραμμικό σύστημα να παρουσιάζει τόσο οργανωμένη συμπεριφορά; Και πόσο καλά μπορούμε τελικά να προβλέψουμε την εξέλιξη ενός πολύπλοκου συστήματος;

Το FPUT έγινε έτσι ένα από τα κλασικά προβλήματα της μη γραμμικής δυναμικής, της στατιστικής μηχανικής και της υπολογιστικής φυσικής. Ακόμη και εβδομήντα χρόνια αργότερα εξακολουθεί να αποτελεί αντικείμενο ερευνητικών εργασιών.

Το διάγραμμα ροής για τον αλγόριθμο της Mary Tsingou. Παρατηρήστε την ημερομηνία της αναφοράς πάνω δεξιά: 20 Μαΐου 1955.

Πού ήταν όμως η Mary Tsingou;

Εδώ βρίσκεται ίσως το πιο ανθρώπινο μέρος της ιστορίας. Το 1955 τα αποτελέσματα παρουσιάστηκαν στην περίφημη αναφορά του Los Alamos: E. Fermi, J. Pasta & S. Ulam, Studies of Nonlinear Problems I, LA-1940. Στην πρώτη σελίδα υπήρχε μια σύντομη αναφορά στη Mary Tsingou, η οποία είχε πραγματοποιήσει τους υπολογισμούς στον MANIAC. Το όνομά της όμως δεν εμφανίστηκε μεταξύ των συγγραφέων.

Έτσι το πρόβλημα πέρασε στην ιστορία ως “Fermi–Pasta–Ulam problem” και για δεκαετίες χιλιάδες επιστημονικές εργασίες αναφέρονταν απλώς στο “FPU problem”. Η Tsingou είχε μείνει, σχεδόν κυριολεκτικά, σε μια υποσημείωση της ιστορίας.

Το 2008 ο Γάλλος φυσικός Thierry Dauxois δημοσίευσε στο Physics Today το άρθρο “Fermi, Pasta, Ulam, and a Mysterious Lady”, αναδεικνύοντας τον ουσιαστικό ρόλο της. Όπως τόνιζε, η Mary Tsingou δεν ήταν απλώς κάποια που πάτησε ένα κουμπί για να «τρέξει» έναν έτοιμο υπολογισμό. Σε μια εποχή όπου ο επιστημονικός προγραμματισμός βρισκόταν ακόμη στα πρώτα του βήματα, ήταν εκείνη που μετέτρεψε το μαθηματικό πρόβλημα σε πρόγραμμα που μπορούσε να εκτελέσει ο MANIAC.

Σταδιακά άρχισε να χρησιμοποιείται όλο και περισσότερο η ονομασία “Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou (FPUT) problem”. Σήμερα η ίδια ονομασία εμφανίζεται κανονικά στη σύγχρονη επιστημονική βιβλιογραφία, ακόμη και σε περιοδικά της AmericanPhysical Society.

Όταν ο υπολογιστής γίνεται εργαστήριο μαθηματικών

Οι Fermi, Pasta, Ulam και Tsingou δεν χρησιμοποίησαν τον υπολογιστή απλώς για να κάνουν γρηγορότερα έναν μεγάλο αριθμό πράξεων. Τον χρησιμοποίησαν για να πειραματιστούν. Έθεσαν ένα μαθηματικό μοντέλο, επέλεξαν αρχικές συνθήκες, άφησαν τη μηχανή να εξελίξει αριθμητικά το σύστημα και παρατήρησαν τι συνέβη.

Και ο υπολογιστής αποκάλυψε κάτι που δεν περίμεναν. Αυτή είναι μια ιδέα που σήμερα θεωρούμε σχεδόν αυτονόητη: ο υπολογιστής μπορεί να λειτουργήσει ως ένα είδος πειραματικού εργαστηρίου για τα μαθηματικά. Μπορούμε να αλλάζουμε παραμέτρους, να εξετάζουμε χιλιάδες περιπτώσεις, να σχεδιάζουμε γραφικές παραστάσεις, να παρακολουθούμε δυναμικά συστήματα και να αναζητούμε μοτίβα που ίσως δεν είχαμε προβλέψει θεωρητικά.

Το πείραμα FPUT βρίσκεται στις απαρχές αυτής της νέας σχέσης ανάμεσα στα μαθηματικά και τον υπολογισμό. Για τον λόγο αυτό θεωρείται ορόσημο στην ιστορία της υπολογιστικής και μη γραμμικής επιστήμης.

Ένα από τα πιο γνωστά προβλήματα της μη γραμμικής επιστήμης μάς δίδαξε ότι ένα σύστημα μπορεί, ύστερα από μια μακρά και πολύπλοκη διαδρομή, να επιστρέψει εκεί από όπου ξεκίνησε. Χρειάστηκε να περάσουν περισσότερα από πενήντα χρόνια για να επιστρέψει εκεί όπου ίσως θα έπρεπε να βρίσκεται εξαρχής: δίπλα στα ονόματα των Fermi, Pasta και Ulam. Και έτσι το γράμμα T στο σημερινό “FPUT problem” αποτέλεσε μια μικρή αποκατάσταση της ιστορίας…

Πηγές:

Athens Voice: Πέθανε στα  97 η Μαίρη Τσίγκου Μένζελ, η ξεχασμένη πρωτοπόρος του Λος Άλαμος

Physics Today: Fermi, Pasta, Ulam and a mysterious lady

Wikipedia|Mary Tsingou

"Η Συμμετρία και το Θηρίο"

 

Τα μαθηματικά εξελίσσονται αναζητώντας τη λύση σε μερικά σπουδαία προβλήματα, όπως είναι το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά ή η Εικασία του Πουανκαρέ. Ένα τέτοιο σπουδαίο πρόβλημα υπήρξε και η αναζήτηση του Θηρίου της συμμετρίας –μιας γιγάντιας χιονονιφάδας σε 196.884 διαστάσεις!

Μέσα από μια συναρπαστικά γοργή αφήγηση που εκτείνεται σε δύο αιώνες, ο Μαρκ Ρόναν εξιστορεί πώς μπόρεσαν οι επιστήμονες να κατανοήσουν τη συμμετρία. Αυτή η περιπέτεια ουσιαστικά ξεκίνησε τον 19^ο αιώνα από τον ιδιοφυή νεαρό Εβαρίστ Γκαλουά, ο οποίος έχασε τη ζωή του σε μονομαχία μόλις 21 ετών. Τη νύχτα πριν πεθάνει, κατέγραψε πυρετωδώς τις ανέκδοτες ανακαλύψεις του. Ο Γκαλουά χρησιμοποίησε τη συμμετρία για να κατανοήσει τις αλγεβρικές εξισώσεις και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι υπάρχουν θεμελιώδεις «δομικοί λίθοι» ή «άτομα συμμετρίας». Οι περισσότεροι από τους λίθους αυτούς εντάσσονται σε έναν πίνακα, παρόμοιο με τον περιοδικό πίνακα των χημικών στοιχείων. Οι μαθηματικοί, ωστόσο, έχουν εντοπίσει 26 εξαιρέσεις. Η μεγαλύτερη εξαίρεση ονομάστηκε «Θηρίο» ή «Τέρας». 

Ο Μαρκ Ρόναν, ο οποίος γνώρισε προσωπικά τους επιστήμονες που δούλεψαν πάνω σ’ αυτό το πρόβλημα, αποκαλύπτει ότι στην αρχή το Θηρίο διαφαινόταν μόνον αμυδρά. Αλλά όσο περισσότεροι μαθηματικοί ασχολούνταν μαζί του, τόσο σαφέστερη γινόταν η εικόνα του. Τελικά αποδείχθηκε πως ήταν κάτι υπέροχο, κάτι που παρέπεμπε σε βαθύτερες συνδέσεις ανάμεσα στη συμμετρία, τις ομάδες Lie, τη θεωρία χορδών, αλλά και τον ίδιο τον ιστό και τη δομή του σύμπαντος. 

Στην ίδια αναζήτηση των βαθύτερων συμμετριών ανήκει και η περίφημη ομάδα Lie E8, μια εξαιρετικά πολύπλοκη μαθηματική δομή με διάσταση 248. Το 2007, μια διεθνής ομάδα μαθηματικών ολοκλήρωσε την πλήρη περιγραφή της έπειτα από χρόνια εργασίας και εκτεταμένους υπολογισμούς, σε ένα επίτευγμα που θεωρήθηκε ορόσημο για τη σύγχρονη Άλγεβρα.

"Παράλληλοι Κόσμοι"

Οι «Παράλληλοι Κόσμοι» είναι ένα διαστημικό ταξίδι στα πέρατα της φαντασίας, στις μαύρες τρύπες, στις χρονομηχανές, στα εναλλακτικά σύμπαντα και τον πολυδιάστατο χώρο. Είναι ένα εκθαμβωτικό πορτρέτο της θυελλώδους επανάστασης που σαρώνει το τοπίο της σημερινής κοσμολογίας. Το Σύμπαν μας μοιάζει με κοσμική φυσαλίδα που αναδεύεται αιώνια μέσα σε έναν ωκεανό από σύμπαντα-φυσαλίδες. Ποια είναι η μοίρα της; Μήπως η εξαφάνισή της σημάνει το τέλος του δικού μας Σύμπαντος; Γύρω της - σε απόσταση χιλιοστών - γίνονται συνεχώς Μεγάλες Εκρήξεις, μέσα από τις οποίες γεννιούνται νέα, παράλληλα (με το δικό μας) σύμπαντα. Άραγε, μετά από δισεκατομμύρια χρόνια - εκείνη τη μακάβρια εποχή - λίγο πριν το Σύμπαν μας καταλήξει, ψυχρό και σκοτεινό, στο παντοτινό τέλος του, θα μπορούσε η ανθρωπότητα να διαιωνίσει την ύπαρξή της μετοικώντας σε ένα άλλο, γειτονικό σύμπαν; Η ιδέα των παράλληλων Κόσμων και η θεωρία χορδών που ερμηνεύει την ύπαρξή τους αντιμετωπίζονταν κάποτε με καχυποψία, ενώ οι επιστήμονες που την υπερασπίζονταν θεωρούνταν μυστικιστές, τρελοί ή τσαρλατάνοι. Σήμερα, οι φυσικοί την υποστηρίζουν με πάθος και μάλιστα υιοθετούν την πρόσφατη εκδοχή της, τη θεωρία-Μ, ως τη μόνη σωστή θεωρία, την πιο κομψή και απλή απάντηση στο ύψιστο ερώτημα: «Τι υπήρχε πριν από το Big Bang;»

Μαθηματικά στην τηλεόραση: "The Big Bang Theory"

📺Στην προσπάθεια να συγκεντρώσουμε τις καλύτερες τηλεοπτικές σειρές με μαθηματικό περιεχόμενο, η σειρά που έχει σήμερα την τιμητική της είναι η πολυαγαπημένη “The Big Bang Theory”…

 

🎞️Πρώτη κυκλοφορία: 2007

🎥Σεζόν: 12

📜Υπόθεση:

Ο Leonard και ο Sheldon, δύο λαμπροί, εκκεντρικοί φυσικοί που εργάζονται στο Cal Τech της Καλιφόρνια, είναι, εκτός από συνάδελφοι, συγκάτοικοι και κολλητοί φίλοι. Οι δύο άλλοι φίλοι τους και συνάδελφοι από το Cal Τech, Howard και Raj, συμπληρώνουν την εκκεντρική, nerdy τετράδα. Καθώς όλοι τους είναι «βυθισμένοι» στην επιστημονική τους έρευνα, αλλά και σε βιντεοπαιχνίδια, κόμικς και ταινίες επιστημονικής φαντασίας, δεν φαίνεται να έχουν μεγάλη τύχη όσον αφορά το αντίθετο φύλο. Όλα αλλάζουν όταν απέναντι από το διαμέρισμα των Leonard και Sheldon μετακομίζει η πανέμορφη σερβιτόρα και επίδοξη ηθοποιός Penny…

Σε μια σειρά με πρωταγωνιστές τέσσερις φυσικούς, τα μαθηματικά αναπόφευκτα κάνουν την εμφάνισή τους. Η σειρά έχει εμπνεύσει ακόμη και μια μαθηματική απόδειξη! Σε ένα επεισόδιο, ο Sheldon είπε ότι ο αγαπημένος του αριθμός ήταν το 73. Γιατί; Το 73 είναι ο 21^ος πρώτος αριθμός. Τώρα, αναστρέφοντας το 21 παίρνουμε τον αριθμό 12. Ποιος είναι ο 12^ος πρώτος αριθμός; Το 37, που είναι, φυσικά, το 73 ανεστραμμένο. Ενώ το 21 από την άλλη ισούται με 3 επί 7. Ανάλογες ιδιότητες έχει και στο δυαδικό σύστημα! 

 

Ο καθηγητής του Κολλεγίου Dartmouth και φαν της εκπομπής, Carl Pomerance, ήταν περίεργος για το αν αυτή ήταν η μόνη περίπτωση στην οποία αυτό ήταν δυνατό ή όχι και έγραψε μια απόδειξη για το θέμα, που έχει ονομαστεί ανεπίσημα «Η εικασία του Sheldon». Ένα τμήμα της απόδειξης εμφανίστηκε ακόμη και στο παρασκήνιο του επεισοδίου με τίτλο “The Inspiration Deprivation”. Την απόδειξη μπορείτε να διαβάσετε εδώ. 

Ο Sheldon χρησιμοποιεί το Θεώρημα του Bayes

💡Ιδέα που πρεσβεύει: “Smart is the new sexy”.

💬Γράψτε στα σχόλια, όσοι έχετε δει τη σειρά, τη γνώμη σας. Ποιες άλλες σειρές με μαθηματικό περιεχόμενο έχετε να προτείνετε;

🎬Τσεκάρετε εδώ τη λίστα με τις μαθηματικές ταινίες που έχουμε συγκεντρώσει.

Ο χαρταετός!

 

Γράφει ο Αθ. Δ. Γκίκας, Μαθηματικός

Δημήτρης Μυταράς (1934-2017) - "Χαρταετοί"

 

Κάποιες ατέλειωτες νύχτες φέρνω πίσω από τα πέλαγα του χρόνου τα βιώματά μου τα παλιά και ακούραστα. Τα βιώματά μου είναι η μαγιά για το κείμενο που ακολουθεί. Λες πάντα καλύτερα την ιστορία που έχεις κατακτήσει. Αν δεν έχεις τα βιώματα δεν έχεις τίποτα. Τα αληθινότερα κείμενα είναι εκείνα που έχουν αφετηρία τον εαυτό μας. Θα επιχειρήσω να εξισορροπήσω την αλήθεια με την αναγνωσιμότητα.
Έθιμο της Καθαράς Δευτέρας είναι το πέταγμα του χαρταετού. Η οικογένεια αφού επιβιβαστεί στο αυτοκίνητό της, πάρει και τα απαραίτητα φαγώσιμα, θα σταματήσει στο κοντινό περίπτερο ν’ αγοράσει το χαρταετό, έτσι για να διατηρηθεί το έθιμο. Ποιο χαρταετό θα μου πείτε; Αυτόν με τις φιγούρες από σύγχρονα κόμικς στην επιφάνειά του ή με σήμα κάποιας ποδοσφαιρικής ομάδας. Και αφού πάνε στην εξοχή θ’ αρχίσει η διαδικασία το πετάγματος πλην ματαίως, τις περισσότερες φορές.

Η σκηνή σαν και τούτη:

-  Ο μικρός θα γκρινιάζει γιατί ο δικός του δεν «σηκώθηκε».
- Ο πατέρας μπλεγμένος μες στους σπάγγους και το ξερόχορτο θα ρίχνει τις ευθύνες στη μητέρα γιατί δεν του έκανε καλό «κεφάλι».
-     Όταν ξεμπλέξει με το λιγοστό σπάγγο που θα του έχει απομείνει θα τρέχει σαν τρελλός στα χωράφια για να πάρει λίγο ύψος ο αετός. Ύστερα περήφανος θα εξομολογείται:  Τον «σήκωσα» και φέτος !

Σπύρος Βασιλείου (1903-1985) - "Τα σαρακοστιανά" (1950)

Η ημέρα θα κυλίσει με άριστες επιδόσεις στην κατανάλωση λαγάνας, ταραμοσαλάτας, καλαμαριών καβουριών και άλλων «σαρακοστιανών» και περιχαρείς θα επιστρέψουν στο σπίτι. Περιχαρείς; Όλο και κάποιοι θα νοιώθουν εκείνο το κενό μέσα τους, το ονομαζόμενο «μεθεόρτιο σύνδρομο» από τους ψυχολόγους, που προέρχεται από τις πολλές ελπίδες που είχαν στηρίξει στην Καθαροδευτεριάτικη έξοδο και δεν επαληθεύτηκαν.
Και πώς να μην γίνει έτσι. Πόσο κοπίασαν για τον αετό; Τί ξέρουν για το σκελετό του με τα «ψυχοκάλαμα» ; Πόσο κοπίασαν για τα ζύγια του; Ας είναι καλά οι πήχες από το ξυλουργείο κι η βιοτεχνία που φτιάχνει αετούς χωρίς «ψυχή»; Πώς ν’ ασχοληθείς με το πέταγμα, αφού δεν καταπιάστηκες ποτέ με την κατασκευή του και μέσα από αυτή, διδάσκοντας την στα παιδιά σου, να δίνεις και να παίρνεις και συ χαρά; Χωρίς περιστροφές θα πω ότι τα πράγματα στις ημέρες μου ήταν καλύτερα. Τούτο όχι από συνήθεια που έχουμε οι παλιότεροι να ωραιοποιούμε καταστάσεις που ζήσαμε… και τότε δεν ήταν όλα ωραία. Άλλα πράγματα ήταν χειρότερα από σήμερα.
Όμως επειδή ο λόγος πρέπει να είναι «ορθός αποδεικτικός», όπως στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, θα επιχειρήσω τη σύγκριση κι ας βγάλει ο αναγνώστης τα συμπεράσματά του.

Πρώτα πρώτα για μας το πέταγμα του αετού δεν ήταν σαν το «στιγμιαίο αδίκημα» δηλ. αγοράζω την Κ. Δευτέρα το πρωί, κάνω προσπάθεια για πέταγμα και τελείωσα. Ήταν ολόκληρη ιεροτελεστία που άρχιζε μια δυο εβδομάδες πριν. Όταν είσαι νέος έχεις το χρόνο στο πλευρό σου ανεξάντλητο κα όλα είναι συναρπαστικά.

- Πρώτα τα καλάμια για το σκελετό. Ας ήταν καλά τα μαντριά προβάτων. Και σήμερα αν θέλει κάποιος μπορεί να βρει δίπλα σε  αυλάκια.
- Μετά τη φροντίδα για τις κόλλες, το ζυμάρι που θα τις κολλούσε.
- Ο σπάγγος ο κερωμένος για να κρατάει καλύτερα.
- Κουρέλια ή φύλλα από το κιντρινόχρωμο πρόχειρο σχολικό τετράδιο, για την ουρά. Βλέπεις δεν έφτανε η «δραχμή» ν’ αγοράσεις και δεύτερη κόλλα για τις φούντες της ουράς.

Τα δύσκολα άρχιζαν στην συναρμολόγηση. Πώς θα κατορθώσεις να φτιάξεις το κανονικό εξάγωνο. Το μυστικό πήγαινε από τα μεγαλύτερα παιδιά της παρέας στα μικρότερα έτσι εμπειρικά. Εγώ το διδάχτηκα από τον ξαδελφό μου Κ. Γκίκα γεωπόνο, που με τα μακριά και επιδέξια δάκτυλά του έκανε τους καλύτερους χαρταετούς. Θαύμαζα τους αετούς του. Σήμερα δε θαυμάζουμε αλλά θαμπωνόμαστε από ένα συμβάν επιτυχίας. Παλαιά υπήρχαν πρότυπα σε γειτονιές, στο σχολείο, στα αθλήματα, σε εργασιακούς χώρους, όπου μια δεξιότητα μας κέντριζε σε άμιλλα. Θαυμασμός εσωτερικός . ήταν αναμέτρηση με τους εαυτούς μας. Γιατί ο Κώστας φτιάχνει αετό και να μη μπορώ και γω! Έτσι όχι μόνο μαθαίναμε, αλλά συγχρόνως γινόμασταν καράβι που μετέφερε τη γνώση στο επόμενο λιμάνι της αρχέγονης αλυσίδας ζωής. Αν το φορτίο το παραδώσαμε σωστά, τότε η ζωή μας έχει νόημα.

Στην παρουσίαση της κατασκευής θα ακολουθήσω την αρχή της εποπτικότητας, με σκοπό διδακτικό, αισθητικό και κύρια τεκμηριωτικό. Αφού και τα τρία καλάμια ΑΔ, ΓΖ, ΒΕ κεντραριζόντουσαν στο μέσο Ο με καρφίτσα αρχικά για να μπορεί να περιστρέφονται, με την αρχή του σπάγγου στο σημείο Α μετρούσαμε μέχρι το Ο και δέναμε στο Β. Πάλι από το Β μετρούσαμε μέχρι το Ο και δέναμε στο Γ κ.λ.π. Έτσι το εξάγωνο ήταν έτοιμο. Έπρεπε να γίνω Μαθηματικός για να δώσω τη θεωρητική εξήγηση στην κατασκευή του κανονικού εξαγώνου μ’ αυτόν τον τρόπο που περιέγραψα.

 

 

Σχήμα του Αθ.Δ. Γκίκα με τα μαθηματικά του χαρταετού

 

Η εμπειρική κατασκευή στηρίζεται στην Μαθηματική αλήθεια ότι:
Η πλευρά του κανονικού εξαγώνου ΑΒ = ΑΟ = R = ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου.

Από την κατασκευή του αετού ξεκινούσα στη Β΄ Λυκείου την διδασκαλία του κανονικού εξαγώνου, έτσι όπως απαιτεί η διδακτική των Μαθηματικών από την εμπειρία στο θεωρητικό μοντέλο και αντίστροφα.

 

Στα πρώτα χρόνια υπήρχαν μαθητές, που βοηθούσαν στο πέρασμα από την εμπειρία στη θεωρία. Σιγά σιγά, όλο και λιγόστευαν, αφού κανένας γονιός δεν δίδαξε το παιδί του πώς να φτιάχνει αετό. Αν το είχε κάμει θα του είχε μάθει χωρίς καλά καλά να το καταλαβαίνει ο ίδιος και τις ιδιότητες του κανονικού εξαγώνου – θα φανεί παρακάτω του λόγου το ασφαλές. Ας έλθουμε στα ζύγια που πετάγματος ΚΑ, ΚΒ, ΚΟ και της ουράς ΛΕ, ΛΔ.

Σχεδόν πάντοτε όλα είχαν το ίδιο μήκος με την πλευρά (ακτίνα). Όμως, αν ήθελε κάποιος να παίρνει ύψος ο αετός του, κρατούσε το μεσιανό, το ΚΟ μικρότερο, όχι όσο αυτός ήθελε. Τα Μαθηματικά έχουν και πάλι το λόγο, όσο δηλ. το απόστημα ΟΘ του κανονικού εξαγώνου. Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΟΓΘ θα βρείτε:

 \(ΟΘ=\frac{R \sqrt{3}}{2} \simeq 0,86R\)

 

Και επειδή η πλευρά του κανονικού εξαγώνου είναι όσο και η ακτίνα, το μεσαίο ζύγι είναι τα 0,86 πλευράς. Κατ’ αυτό τον τρόπο, ο αετός υψωνόταν σχεδόν κατακόρυφα, ο σπάγγος του δεν έκανε «κοιλιά», που δεν ήταν τίποτα άλλο από την αλυσοειδή καμπύλη της Θεωρητικής Μηχανικής.

Περιέγραψα την κατασκευή για να είναι η σύγκριση ευχερής. Εμάς μας γέμιζε πριν απ’ όλα η προετοιμασία. Το πέταγμα ήταν η κορύφωση. Νοιώθαμε έρωτα γι’ αυτόν. Τον μαθαίναμε και τον χορταίναμε κατασκευάζοντάς τον. Και όταν τον βλέπαμε να σηκώνεται στα ύψη νοιώθαμε περισσότερο ελεύθεροι. Νικούσαμε την βαρύτητα της Γής που μας κρατά καθηλωμένους χιλιάδες χρόνια πάνω της. Λίκνο του ανθρώπινου γένους και του πολιτισμού του η γη, αλλά και τα δεσμά του. Σαν τον υψώναμε ψηλά και η καλούμπα είχε φτάσει στο τέλος, του στέλναμε και ένα «μήνυμα» του αετού ! Τι ήταν το μήνυμα; Ένα στρογγυλό χαρτί με μια τρύπα στη μέση, συνήθως από το πακέτο τσιγάρων των θεριακλήδων της παρέας, που το περνούσαμε στο σπάγγο και ο αέρας το προχωρούσε μέχρι τον αετό! Έτσι με το πέταγμα το αετού περνούσαμε τις ελεύθερες ώρες σχεδόν όλο το σαρανταήμερο. Όσο κρατούσε το ανοιξιάτικο βοριαδάκι και μας το επέτρεπε. Μετά τον κρεμούσαμε στο υπόγειο, εφόσον δεν είχε καρφωθεί σε κανένα δένδρο. Σύρματα της Δ.Ε.Η. δεν υπήρχαν για εμπόδια και ηλεκτροπληξίες. Έφτιαξα αετούς για τα παιδιά μου, τα ανίψια μου και τον εγγονό μου.
Θα πει κάποιος: Αφού δίδαξες τα παιδιά σου, συ κατασκευάζεις και για το εγγόνι;
-  Ε! λοιπόν, ναι. Τα παιδιά δεν τα είδα αποφασισμένα να γονατίσουν στο πάτωμα και ν’ ανακατευτούν με κόλλες, ψαλίδια και σπάγγους. Τα είδα να κατευθύνονται στο γειτονικό περίπτερο!! Εγώ πάντως κάτι κερδίζω. Γίνομαι πάλι παιδί. Μόνο δυο φορές στη ζωή μας γινόμαστε παιδιά. Όταν είμαστε πραγματικά παιδιά και όντας μεγάλοι, να μπορούμε να κατακτήσουμε πάλι όσα μας έκαναν εντύπωση ως παιδιά. Η παιδική μνήμη είναι παντοδύναμη. Παραμένουμε ζωντανοί χάρη στην αυταξία ορισμένων στιγμών, που επιλέγουμε, δημιουργώντας μια δεύτερη ροή παράλληλη με τις ρυτίδες μας. 

 

Πηγή: Λαμιακός Τύπος

Αλέκος Φασιανός (1935-2022) - "Χαρταετός"

 

🌐Ένα αναλυτικό tutorial για την κατασκευή χαρταετού, καθώς και τη Φυσική που χρησιμεύει για το πέταγμα του χαρταετού, θα βρείτε στο ιστολόγιο Πειράματα Φυσικής με Απλά Υλικά.