"Η Συμμετρία και το Θηρίο"

 

Τα μαθηματικά εξελίσσονται αναζητώντας τη λύση σε μερικά σπουδαία προβλήματα, όπως είναι το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά ή η Εικασία του Πουανκαρέ. Ένα τέτοιο σπουδαίο πρόβλημα υπήρξε και η αναζήτηση του Θηρίου της συμμετρίας –μιας γιγάντιας χιονονιφάδας σε 196.884 διαστάσεις!

Μέσα από μια συναρπαστικά γοργή αφήγηση που εκτείνεται σε δύο αιώνες, ο Μαρκ Ρόναν εξιστορεί πώς μπόρεσαν οι επιστήμονες να κατανοήσουν τη συμμετρία. Αυτή η περιπέτεια ουσιαστικά ξεκίνησε τον 19^ο αιώνα από τον ιδιοφυή νεαρό Εβαρίστ Γκαλουά, ο οποίος έχασε τη ζωή του σε μονομαχία μόλις 21 ετών. Τη νύχτα πριν πεθάνει, κατέγραψε πυρετωδώς τις ανέκδοτες ανακαλύψεις του. Ο Γκαλουά χρησιμοποίησε τη συμμετρία για να κατανοήσει τις αλγεβρικές εξισώσεις και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι υπάρχουν θεμελιώδεις «δομικοί λίθοι» ή «άτομα συμμετρίας». Οι περισσότεροι από τους λίθους αυτούς εντάσσονται σε έναν πίνακα, παρόμοιο με τον περιοδικό πίνακα των χημικών στοιχείων. Οι μαθηματικοί, ωστόσο, έχουν εντοπίσει 26 εξαιρέσεις. Η μεγαλύτερη εξαίρεση ονομάστηκε «Θηρίο» ή «Τέρας». 

Ο Μαρκ Ρόναν, ο οποίος γνώρισε προσωπικά τους επιστήμονες που δούλεψαν πάνω σ’ αυτό το πρόβλημα, αποκαλύπτει ότι στην αρχή το Θηρίο διαφαινόταν μόνον αμυδρά. Αλλά όσο περισσότεροι μαθηματικοί ασχολούνταν μαζί του, τόσο σαφέστερη γινόταν η εικόνα του. Τελικά αποδείχθηκε πως ήταν κάτι υπέροχο, κάτι που παρέπεμπε σε βαθύτερες συνδέσεις ανάμεσα στη συμμετρία, τις ομάδες Lie, τη θεωρία χορδών, αλλά και τον ίδιο τον ιστό και τη δομή του σύμπαντος. 

Στην ίδια αναζήτηση των βαθύτερων συμμετριών ανήκει και η περίφημη ομάδα Lie E8, μια εξαιρετικά πολύπλοκη μαθηματική δομή με διάσταση 248. Το 2007, μια διεθνής ομάδα μαθηματικών ολοκλήρωσε την πλήρη περιγραφή της έπειτα από χρόνια εργασίας και εκτεταμένους υπολογισμούς, σε ένα επίτευγμα που θεωρήθηκε ορόσημο για τη σύγχρονη Άλγεβρα.

"Παράλληλοι Κόσμοι"

Οι «Παράλληλοι Κόσμοι» είναι ένα διαστημικό ταξίδι στα πέρατα της φαντασίας, στις μαύρες τρύπες, στις χρονομηχανές, στα εναλλακτικά σύμπαντα και τον πολυδιάστατο χώρο. Είναι ένα εκθαμβωτικό πορτρέτο της θυελλώδους επανάστασης που σαρώνει το τοπίο της σημερινής κοσμολογίας. Το Σύμπαν μας μοιάζει με κοσμική φυσαλίδα που αναδεύεται αιώνια μέσα σε έναν ωκεανό από σύμπαντα-φυσαλίδες. Ποια είναι η μοίρα της; Μήπως η εξαφάνισή της σημάνει το τέλος του δικού μας Σύμπαντος; Γύρω της - σε απόσταση χιλιοστών - γίνονται συνεχώς Μεγάλες Εκρήξεις, μέσα από τις οποίες γεννιούνται νέα, παράλληλα (με το δικό μας) σύμπαντα. Άραγε, μετά από δισεκατομμύρια χρόνια - εκείνη τη μακάβρια εποχή - λίγο πριν το Σύμπαν μας καταλήξει, ψυχρό και σκοτεινό, στο παντοτινό τέλος του, θα μπορούσε η ανθρωπότητα να διαιωνίσει την ύπαρξή της μετοικώντας σε ένα άλλο, γειτονικό σύμπαν; Η ιδέα των παράλληλων Κόσμων και η θεωρία χορδών που ερμηνεύει την ύπαρξή τους αντιμετωπίζονταν κάποτε με καχυποψία, ενώ οι επιστήμονες που την υπερασπίζονταν θεωρούνταν μυστικιστές, τρελοί ή τσαρλατάνοι. Σήμερα, οι φυσικοί την υποστηρίζουν με πάθος και μάλιστα υιοθετούν την πρόσφατη εκδοχή της, τη θεωρία-Μ, ως τη μόνη σωστή θεωρία, την πιο κομψή και απλή απάντηση στο ύψιστο ερώτημα: «Τι υπήρχε πριν από το Big Bang;»

Μαθηματικά στην τηλεόραση: "The Big Bang Theory"

📺Στην προσπάθεια να συγκεντρώσουμε τις καλύτερες τηλεοπτικές σειρές με μαθηματικό περιεχόμενο, η σειρά που έχει σήμερα την τιμητική της είναι η πολυαγαπημένη “The Big Bang Theory”…

 

🎞️Πρώτη κυκλοφορία: 2007

🎥Σεζόν: 12

📜Υπόθεση:

Ο Leonard και ο Sheldon, δύο λαμπροί, εκκεντρικοί φυσικοί που εργάζονται στο Cal Τech της Καλιφόρνια, είναι, εκτός από συνάδελφοι, συγκάτοικοι και κολλητοί φίλοι. Οι δύο άλλοι φίλοι τους και συνάδελφοι από το Cal Τech, Howard και Raj, συμπληρώνουν την εκκεντρική, nerdy τετράδα. Καθώς όλοι τους είναι «βυθισμένοι» στην επιστημονική τους έρευνα, αλλά και σε βιντεοπαιχνίδια, κόμικς και ταινίες επιστημονικής φαντασίας, δεν φαίνεται να έχουν μεγάλη τύχη όσον αφορά το αντίθετο φύλο. Όλα αλλάζουν όταν απέναντι από το διαμέρισμα των Leonard και Sheldon μετακομίζει η πανέμορφη σερβιτόρα και επίδοξη ηθοποιός Penny…

Σε μια σειρά με πρωταγωνιστές τέσσερις φυσικούς, τα μαθηματικά αναπόφευκτα κάνουν την εμφάνισή τους. Η σειρά έχει εμπνεύσει ακόμη και μια μαθηματική απόδειξη! Σε ένα επεισόδιο, ο Sheldon είπε ότι ο αγαπημένος του αριθμός ήταν το 73. Γιατί; Το 73 είναι ο 21^ος πρώτος αριθμός. Τώρα, αναστρέφοντας το 21 παίρνουμε τον αριθμό 12. Ποιος είναι ο 12^ος πρώτος αριθμός; Το 37, που είναι, φυσικά, το 73 ανεστραμμένο. Ενώ το 21 από την άλλη ισούται με 3 επί 7. Ανάλογες ιδιότητες έχει και στο δυαδικό σύστημα! 

 

Ο καθηγητής του Κολλεγίου Dartmouth και φαν της εκπομπής, Carl Pomerance, ήταν περίεργος για το αν αυτή ήταν η μόνη περίπτωση στην οποία αυτό ήταν δυνατό ή όχι και έγραψε μια απόδειξη για το θέμα, που έχει ονομαστεί ανεπίσημα «Η εικασία του Sheldon». Ένα τμήμα της απόδειξης εμφανίστηκε ακόμη και στο παρασκήνιο του επεισοδίου με τίτλο “The Inspiration Deprivation”. Την απόδειξη μπορείτε να διαβάσετε εδώ. 

Ο Sheldon χρησιμοποιεί το Θεώρημα του Bayes

💡Ιδέα που πρεσβεύει: “Smart is the new sexy”.

💬Γράψτε στα σχόλια, όσοι έχετε δει τη σειρά, τη γνώμη σας. Ποιες άλλες σειρές με μαθηματικό περιεχόμενο έχετε να προτείνετε;

🎬Τσεκάρετε εδώ τη λίστα με τις μαθηματικές ταινίες που έχουμε συγκεντρώσει.

Ο χαρταετός!

 

Γράφει ο Αθ. Δ. Γκίκας, Μαθηματικός

Δημήτρης Μυταράς (1934-2017) - "Χαρταετοί"

 

Κάποιες ατέλειωτες νύχτες φέρνω πίσω από τα πέλαγα του χρόνου τα βιώματά μου τα παλιά και ακούραστα. Τα βιώματά μου είναι η μαγιά για το κείμενο που ακολουθεί. Λες πάντα καλύτερα την ιστορία που έχεις κατακτήσει. Αν δεν έχεις τα βιώματα δεν έχεις τίποτα. Τα αληθινότερα κείμενα είναι εκείνα που έχουν αφετηρία τον εαυτό μας. Θα επιχειρήσω να εξισορροπήσω την αλήθεια με την αναγνωσιμότητα.
Έθιμο της Καθαράς Δευτέρας είναι το πέταγμα του χαρταετού. Η οικογένεια αφού επιβιβαστεί στο αυτοκίνητό της, πάρει και τα απαραίτητα φαγώσιμα, θα σταματήσει στο κοντινό περίπτερο ν’ αγοράσει το χαρταετό, έτσι για να διατηρηθεί το έθιμο. Ποιο χαρταετό θα μου πείτε; Αυτόν με τις φιγούρες από σύγχρονα κόμικς στην επιφάνειά του ή με σήμα κάποιας ποδοσφαιρικής ομάδας. Και αφού πάνε στην εξοχή θ’ αρχίσει η διαδικασία το πετάγματος πλην ματαίως, τις περισσότερες φορές.

Η σκηνή σαν και τούτη:

-  Ο μικρός θα γκρινιάζει γιατί ο δικός του δεν «σηκώθηκε».
- Ο πατέρας μπλεγμένος μες στους σπάγγους και το ξερόχορτο θα ρίχνει τις ευθύνες στη μητέρα γιατί δεν του έκανε καλό «κεφάλι».
-     Όταν ξεμπλέξει με το λιγοστό σπάγγο που θα του έχει απομείνει θα τρέχει σαν τρελλός στα χωράφια για να πάρει λίγο ύψος ο αετός. Ύστερα περήφανος θα εξομολογείται:  Τον «σήκωσα» και φέτος !

Σπύρος Βασιλείου (1903-1985) - "Τα σαρακοστιανά" (1950)

Η ημέρα θα κυλίσει με άριστες επιδόσεις στην κατανάλωση λαγάνας, ταραμοσαλάτας, καλαμαριών καβουριών και άλλων «σαρακοστιανών» και περιχαρείς θα επιστρέψουν στο σπίτι. Περιχαρείς; Όλο και κάποιοι θα νοιώθουν εκείνο το κενό μέσα τους, το ονομαζόμενο «μεθεόρτιο σύνδρομο» από τους ψυχολόγους, που προέρχεται από τις πολλές ελπίδες που είχαν στηρίξει στην Καθαροδευτεριάτικη έξοδο και δεν επαληθεύτηκαν.
Και πώς να μην γίνει έτσι. Πόσο κοπίασαν για τον αετό; Τί ξέρουν για το σκελετό του με τα «ψυχοκάλαμα» ; Πόσο κοπίασαν για τα ζύγια του; Ας είναι καλά οι πήχες από το ξυλουργείο κι η βιοτεχνία που φτιάχνει αετούς χωρίς «ψυχή»; Πώς ν’ ασχοληθείς με το πέταγμα, αφού δεν καταπιάστηκες ποτέ με την κατασκευή του και μέσα από αυτή, διδάσκοντας την στα παιδιά σου, να δίνεις και να παίρνεις και συ χαρά; Χωρίς περιστροφές θα πω ότι τα πράγματα στις ημέρες μου ήταν καλύτερα. Τούτο όχι από συνήθεια που έχουμε οι παλιότεροι να ωραιοποιούμε καταστάσεις που ζήσαμε… και τότε δεν ήταν όλα ωραία. Άλλα πράγματα ήταν χειρότερα από σήμερα.
Όμως επειδή ο λόγος πρέπει να είναι «ορθός αποδεικτικός», όπως στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, θα επιχειρήσω τη σύγκριση κι ας βγάλει ο αναγνώστης τα συμπεράσματά του.

Πρώτα πρώτα για μας το πέταγμα του αετού δεν ήταν σαν το «στιγμιαίο αδίκημα» δηλ. αγοράζω την Κ. Δευτέρα το πρωί, κάνω προσπάθεια για πέταγμα και τελείωσα. Ήταν ολόκληρη ιεροτελεστία που άρχιζε μια δυο εβδομάδες πριν. Όταν είσαι νέος έχεις το χρόνο στο πλευρό σου ανεξάντλητο κα όλα είναι συναρπαστικά.

- Πρώτα τα καλάμια για το σκελετό. Ας ήταν καλά τα μαντριά προβάτων. Και σήμερα αν θέλει κάποιος μπορεί να βρει δίπλα σε  αυλάκια.
- Μετά τη φροντίδα για τις κόλλες, το ζυμάρι που θα τις κολλούσε.
- Ο σπάγγος ο κερωμένος για να κρατάει καλύτερα.
- Κουρέλια ή φύλλα από το κιντρινόχρωμο πρόχειρο σχολικό τετράδιο, για την ουρά. Βλέπεις δεν έφτανε η «δραχμή» ν’ αγοράσεις και δεύτερη κόλλα για τις φούντες της ουράς.

Τα δύσκολα άρχιζαν στην συναρμολόγηση. Πώς θα κατορθώσεις να φτιάξεις το κανονικό εξάγωνο. Το μυστικό πήγαινε από τα μεγαλύτερα παιδιά της παρέας στα μικρότερα έτσι εμπειρικά. Εγώ το διδάχτηκα από τον ξαδελφό μου Κ. Γκίκα γεωπόνο, που με τα μακριά και επιδέξια δάκτυλά του έκανε τους καλύτερους χαρταετούς. Θαύμαζα τους αετούς του. Σήμερα δε θαυμάζουμε αλλά θαμπωνόμαστε από ένα συμβάν επιτυχίας. Παλαιά υπήρχαν πρότυπα σε γειτονιές, στο σχολείο, στα αθλήματα, σε εργασιακούς χώρους, όπου μια δεξιότητα μας κέντριζε σε άμιλλα. Θαυμασμός εσωτερικός . ήταν αναμέτρηση με τους εαυτούς μας. Γιατί ο Κώστας φτιάχνει αετό και να μη μπορώ και γω! Έτσι όχι μόνο μαθαίναμε, αλλά συγχρόνως γινόμασταν καράβι που μετέφερε τη γνώση στο επόμενο λιμάνι της αρχέγονης αλυσίδας ζωής. Αν το φορτίο το παραδώσαμε σωστά, τότε η ζωή μας έχει νόημα.

Στην παρουσίαση της κατασκευής θα ακολουθήσω την αρχή της εποπτικότητας, με σκοπό διδακτικό, αισθητικό και κύρια τεκμηριωτικό. Αφού και τα τρία καλάμια ΑΔ, ΓΖ, ΒΕ κεντραριζόντουσαν στο μέσο Ο με καρφίτσα αρχικά για να μπορεί να περιστρέφονται, με την αρχή του σπάγγου στο σημείο Α μετρούσαμε μέχρι το Ο και δέναμε στο Β. Πάλι από το Β μετρούσαμε μέχρι το Ο και δέναμε στο Γ κ.λ.π. Έτσι το εξάγωνο ήταν έτοιμο. Έπρεπε να γίνω Μαθηματικός για να δώσω τη θεωρητική εξήγηση στην κατασκευή του κανονικού εξαγώνου μ’ αυτόν τον τρόπο που περιέγραψα.

 

 

Σχήμα του Αθ.Δ. Γκίκα με τα μαθηματικά του χαρταετού

 

Η εμπειρική κατασκευή στηρίζεται στην Μαθηματική αλήθεια ότι:
Η πλευρά του κανονικού εξαγώνου ΑΒ = ΑΟ = R = ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου.

Από την κατασκευή του αετού ξεκινούσα στη Β΄ Λυκείου την διδασκαλία του κανονικού εξαγώνου, έτσι όπως απαιτεί η διδακτική των Μαθηματικών από την εμπειρία στο θεωρητικό μοντέλο και αντίστροφα.

 

Στα πρώτα χρόνια υπήρχαν μαθητές, που βοηθούσαν στο πέρασμα από την εμπειρία στη θεωρία. Σιγά σιγά, όλο και λιγόστευαν, αφού κανένας γονιός δεν δίδαξε το παιδί του πώς να φτιάχνει αετό. Αν το είχε κάμει θα του είχε μάθει χωρίς καλά καλά να το καταλαβαίνει ο ίδιος και τις ιδιότητες του κανονικού εξαγώνου – θα φανεί παρακάτω του λόγου το ασφαλές. Ας έλθουμε στα ζύγια που πετάγματος ΚΑ, ΚΒ, ΚΟ και της ουράς ΛΕ, ΛΔ.

Σχεδόν πάντοτε όλα είχαν το ίδιο μήκος με την πλευρά (ακτίνα). Όμως, αν ήθελε κάποιος να παίρνει ύψος ο αετός του, κρατούσε το μεσιανό, το ΚΟ μικρότερο, όχι όσο αυτός ήθελε. Τα Μαθηματικά έχουν και πάλι το λόγο, όσο δηλ. το απόστημα ΟΘ του κανονικού εξαγώνου. Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΟΓΘ θα βρείτε:

 \(ΟΘ=\frac{R \sqrt{3}}{2} \simeq 0,86R\)

 

Και επειδή η πλευρά του κανονικού εξαγώνου είναι όσο και η ακτίνα, το μεσαίο ζύγι είναι τα 0,86 πλευράς. Κατ’ αυτό τον τρόπο, ο αετός υψωνόταν σχεδόν κατακόρυφα, ο σπάγγος του δεν έκανε «κοιλιά», που δεν ήταν τίποτα άλλο από την αλυσοειδή καμπύλη της Θεωρητικής Μηχανικής.

Περιέγραψα την κατασκευή για να είναι η σύγκριση ευχερής. Εμάς μας γέμιζε πριν απ’ όλα η προετοιμασία. Το πέταγμα ήταν η κορύφωση. Νοιώθαμε έρωτα γι’ αυτόν. Τον μαθαίναμε και τον χορταίναμε κατασκευάζοντάς τον. Και όταν τον βλέπαμε να σηκώνεται στα ύψη νοιώθαμε περισσότερο ελεύθεροι. Νικούσαμε την βαρύτητα της Γής που μας κρατά καθηλωμένους χιλιάδες χρόνια πάνω της. Λίκνο του ανθρώπινου γένους και του πολιτισμού του η γη, αλλά και τα δεσμά του. Σαν τον υψώναμε ψηλά και η καλούμπα είχε φτάσει στο τέλος, του στέλναμε και ένα «μήνυμα» του αετού ! Τι ήταν το μήνυμα; Ένα στρογγυλό χαρτί με μια τρύπα στη μέση, συνήθως από το πακέτο τσιγάρων των θεριακλήδων της παρέας, που το περνούσαμε στο σπάγγο και ο αέρας το προχωρούσε μέχρι τον αετό! Έτσι με το πέταγμα το αετού περνούσαμε τις ελεύθερες ώρες σχεδόν όλο το σαρανταήμερο. Όσο κρατούσε το ανοιξιάτικο βοριαδάκι και μας το επέτρεπε. Μετά τον κρεμούσαμε στο υπόγειο, εφόσον δεν είχε καρφωθεί σε κανένα δένδρο. Σύρματα της Δ.Ε.Η. δεν υπήρχαν για εμπόδια και ηλεκτροπληξίες. Έφτιαξα αετούς για τα παιδιά μου, τα ανίψια μου και τον εγγονό μου.
Θα πει κάποιος: Αφού δίδαξες τα παιδιά σου, συ κατασκευάζεις και για το εγγόνι;
-  Ε! λοιπόν, ναι. Τα παιδιά δεν τα είδα αποφασισμένα να γονατίσουν στο πάτωμα και ν’ ανακατευτούν με κόλλες, ψαλίδια και σπάγγους. Τα είδα να κατευθύνονται στο γειτονικό περίπτερο!! Εγώ πάντως κάτι κερδίζω. Γίνομαι πάλι παιδί. Μόνο δυο φορές στη ζωή μας γινόμαστε παιδιά. Όταν είμαστε πραγματικά παιδιά και όντας μεγάλοι, να μπορούμε να κατακτήσουμε πάλι όσα μας έκαναν εντύπωση ως παιδιά. Η παιδική μνήμη είναι παντοδύναμη. Παραμένουμε ζωντανοί χάρη στην αυταξία ορισμένων στιγμών, που επιλέγουμε, δημιουργώντας μια δεύτερη ροή παράλληλη με τις ρυτίδες μας. 

 

Πηγή: Λαμιακός Τύπος

Αλέκος Φασιανός (1935-2022) - "Χαρταετός"

 

🌐Ένα αναλυτικό tutorial για την κατασκευή χαρταετού, καθώς και τη Φυσική που χρησιμεύει για το πέταγμα του χαρταετού, θα βρείτε στο ιστολόγιο Πειράματα Φυσικής με Απλά Υλικά.

 

Τα κρυμμένα μαθηματικά στην "Έναστρη Νύχτα" του van Gogh

 

Η «Έναστρη Νύχτα» του Vincent van Gogh είναι μια ελαιογραφία σε καμβά η οποία απεικονίζει μια θέα λίγο πριν την ανατολή του ηλίου από το ανατολικό παράθυρο του δωματίου του ασύλου όπου διέμενε ο καλλιτέχνης στο Saint-Rémy-de-Provence στη νότια Γαλλία. Ο βαν Γκογκ είχε  αυτοβούλως ζητήσει τον εγκλεισμό του στο άσυλο μετά τον αυτο-ακρωτηριασμό του αριστερού του αυτιού, τον Δεκέμβριο του 1888.

Εκτιθέμενη από το 1941 στο Μουσείο Μοντέρνας Τέχνης της Νέας Υόρκης, η «Έναστρη Νύχτα» είναι ένα εξαιρετικά δημοφιλές έργο τέχνης.

 

Το αστραφτερό φως των αστεριών και τα στροβιλιζόμενα σύννεφα στον πίνακα αυτό, πιστευόταν παλιότερα ότι αντανακλούν την ταραχώδη ψυχική κατάσταση του καλλιτέχνη όταν ζωγράφιζε το έργο την άνοιξη του 1889. Πλέον, μελέτες από φυσικούς επιστήμονες έχουν δείξει ότι ο καλλιτέχνης είχε μια βαθιά, διαισθητική κατανόηση της μαθηματικής δομής της τυρβώδους ροής.

 

Τι είναι η τυρβώδης ροή;

Η τυρβώδης ροή είναι ένα συγκεκριμένο είδος ροής των ρευστών που μέσα της σχηματίζονται στρόβιλοι. Ως συνηθισμένο φυσικό φαινόμενο που παρατηρείται στα ρευστά –κινούμενο νερό, ωκεάνια ρεύματα, ροή αίματος, ατμοσφαιρικό οριακό στρώμα, διογκούμενα σύννεφα καταιγίδας,  νέφη καπνού και καπνός από τσιγάρο– η τυρβώδης ροή είναι χαοτική, καθώς σχηματίζονται μικρότεροι στρόβιλοι μέσα σε μεγαλύτερους. Είναι κάτι που αποτελεί καθημερινή μας εμπειρία και πρόκληση αξεπέραστη για τους μαθηματικούς φυσικούς.

Μπορεί να φαίνεται τυχαίο στον περιστασιακό παρατηρητή, ωστόσο οι «αναταράξεις» ακολουθούν ένα διαδοχικό μοτίβο που μπορεί να μελετηθεί και, τουλάχιστον εν μέρει, να εξηγηθεί χρησιμοποιώντας μαθηματικές εξισώσεις.

Τα αστέρια του πίνακα, ο πλανήτης Αφροδίτη και το άστρο V838 Mon

«Μέσα από το παράθυρο με τα σιδερένια κάγκελα» γράφει ο Βαν Γκογκ στον αδελφό του Τεό, τον Μάιο του 1889, «μπορώ να διακρίνω ένα τετράγωνο κομμάτι γης με σιτάρι… πάνω από το οποίο, το πρωί, βλέπω τον ήλιο να ανατέλλει σε όλο του το μεγαλείο».

H «Έναστρη Νύχτα» είναι το μόνο νυχτερινό έργο στη σειρά πινάκων με τη θέα από το παράθυρο του υπνοδωματίου του. Στις αρχές Ιουνίου, έγραψε στον Τεό: «Σήμερα το πρωί είδα το τοπίο από το παράθυρό μου για μεγάλο χρονικό διάστημα πριν από την ανατολή με τίποτα άλλο εκτός από το πρωινό άστρο, το οποίο φάνταζε πολύ μεγάλο».

Οι ερευνητές έχουν καταλήξει στο συμπέρασμα ότι η Αφροδίτη ήταν πράγματι ορατή την αυγή, στην Προβηγκία, την άνοιξη του 1889 και την εποχή εκείνη ήταν κοντά στο φωτεινότερο δυνατό της. Έτσι, το πιο λαμπρό «αστέρι» στον πίνακα, δεξιά από το κυπαρίσσι, είναι στην πραγματικότητα η Αφροδίτη.

Μια φωτογραφία από το διαστημικό τηλεσκόπιο Hubble που δημοσιεύθηκε το 2004 έδειχνε ένα μακρινό άστρο, το V838 Mon στον αστερισμό Μονόκερως, να μοιάζει με τα άστρα της «Έναστρης Νύχτας» όπου ο Βαν Γκογκ φαντάζεται το φως τους να στροβιλίζεται. Στο άστρο V838 Mon, που βρίσκεται 20.000 έτη φωτός μακριά από τη Γη, οι φωτεινοί στροβιλισμοί οφείλονται στην σκόνη και στην τυρβώδη ροή των αερίων γύρω από αυτό.

Το 2006, οι ερευνητές J.L. Aragón, Gerardo G. Naumis, M. Bai, M. Torres και P.K. Maini, μετά την δημοσίευση της φωτογραφίας του Hubble, εξέτασαν την μαθηματική συσχέτιση των μοτίβων της τυρβώδους ροής των ρευστών, με τους στροβιλισμούς που απεικόνιζε στους πίνακές του ο Βαν Γκογκ. Σε άρθρο τους με τίτλο «Turbulent luminance in impassioned van Gogh paintings», έδειξαν ότι η συνάρτηση κατανομής της πιθανότητας των στροβιλισμών του φωτός σε ορισμένους πίνακες του μεταϊμπρεσιονιστή ζωγράφου, μοιάζει με την αντίστοιχη κατανομή των μεταβολών της ταχύτητας κατά την τυρβώδη ροή ρευστού, όπως προβλέπει η στατιστική θεωρία του Kolmogorov (που περιγράφει έστω και εν μέρει τη δυναμική των ρευστών). Τη δεκαετία του 1940, ο Σοβιετικός μαθηματικός Αντρέι Κολμογκόροφ περιέγραψε μια μαθηματική σχέση μεταξύ των διακυμάνσεων της ταχύτητας μιας ροής και του ρυθμού με τον οποίο διαχέεται η ενέργειά της, αναπτύσσοντας τη θεωρία της τύρβης του Kolmogorov. 

Το καλλιτεχνικό ενδιαφέρον εδώ είναι ότι η στατιστική υπογραφή της δυναμικής των ρευστών ανιχνεύεται μόνο στους πίνακες που συνέθεσε ο βαν Γκογκ στην ψυχολογικά διαταραγμένη περίοδο της ζωής του και όχι όταν η ζωή του κυλούσε ήρεμα.

Ο van Gogh και οι στροβιλισμοί του πάλι στο προσκήνιο

Φέτος, μια νέα ανάλυση του πίνακα από επιστήμονες από την Κίνα και τη Γαλλία «αποκαλύπτει» τα κρυμμένα μαθηματικά στην «Έναστρη Νύχτα».

«Φανταστείτε ότι στέκεστε σε μια γέφυρα και παρακολουθείτε το ποτάμι να κυλάει. Θα δείτε στροβιλισμούς στην επιφάνεια, και αυτοί οι στροβιλισμοί δεν είναι τυχαίοι. Εντάσσονται σε συγκεκριμένα μοτίβα και αυτά τα είδη μοτίβων μπορούν να προβλεφθούν από φυσικούς νόμους», δήλωσε ο Γιονγκ Τσιάνγκ Χουάνγκ,  επικεφαλής συγγραφέας της μελέτης η οποία δημοσιεύθηκε στο επιστημονικό περιοδικό Physics of Fluids. Ο Huang είναι ερευνητής στο State Key Laboratory of Marine Environmental Science & College of Ocean and Earth Sciences στο Πανεπιστήμιο Xiamen στη νοτιοανατολική Κίνα.

Με τη χρήση ενός ψηφιακού αντιγράφου του πίνακα, ο Χουάνγκ και οι συνάδελφοί του εξέτασαν την κλίμακα των 14 βασικών περιδινούμενων σχηματισμών για να κατανοήσουν αν συμμορφώνονταν με θεωρίες της φυσικής που περιγράφουν τη μεταφορά ενέργειας από μεγάλης σε μικρής κλίμακας περιδινήσεων καθώς συγκρούονται και αλληλεπιδρούν μεταξύ τους.

Ο ουρανός του πίνακα, καθώς είναι φιλοτεχνημένος και δεν κινείται πραγματικά, δεν μπορεί να μετρηθεί άμεσα, οπότε ο Χουάνγκ και οι συνάδελφοί του υπολόγισαν με ακρίβεια τις πινελιές, συγκρίνοντας το μέγεθός τους με μαθηματικές κλίμακες της τυρβώδους ροής.

Για να μετρήσουν τη φυσική κίνηση, χρησιμοποίησαν τη φωτεινότητα των διαφορετικών χρωμάτων που χρησιμοποίησε ο καλλιτέχνης.

Έτσι, ανακάλυψαν πως τα μεγέθη των 14 στροβίλων στην «Έναστρη Νύχτα» και η σχετική απόσταση και έντασή τους ακολουθούν τη θεωρία της τύρβης του Kolmogorov. 

Σύμφωνα με τον Χουάνγκ και την επιστημονική ομάδα του, ο πίνακας, σε μικρότερη κλίμακα, αναμειγνύεται με κάποιες δίνες και στροβιλισμούς υποβάθρου με τρόπο που προβλέπεται από τη θεωρία της τύρβης, ακολουθώντας ένα στατιστικό μοτίβο γνωστό ως κλίμακα του Batchelor (Batchelor’s scaling), που καθορίστηκε από τον George Batchelor και περιγράφει μαθηματικά τον τρόπο με τον οποίο τα μικρά σωματίδια, όπως τα παρασυρόμενα φύκια στον ωκεανό ή τα κομμάτια σκόνης στον άνεμο, αναμειγνύονται παθητικά από την τυρβώδη ροή. 

 

 

Άγνοια των μοντέλων – Μελέτη της φύσης

«Φυσικά», είπε ο Χουάνγκ, «ο βαν Γκογκ δεν θα γνώριζε τέτοιες θεωρίες ή εξισώσεις, αλλά πιθανότατα πέρασε πολύ χρόνο παρατηρώντας την τύρβη στη φύση… Νομίζω ότι αυτή η φυσική σχέση πρέπει να είναι ενσωματωμένη στο μυαλό του, γι’ αυτό όταν έκανε αυτόν τον διάσημο πίνακα "Έναστρη Νύχτα", μιμείται την πραγματική τυρβώδη ροή».

Φράση του καλλιτέχνη... Φωτογραφία αρχείου από την έκθεση "Van Gogh Alive" τον Μάρτιο του 2018 στην Αθήνα

Ο Χουάνγκ είπε ότι οι επιστήμονες προσπαθούν εδώ και πολύ καιρό να περιγράψουν την τυρβώδη ροή στη δυναμική των ρευστών με τρόπο που θα τους επιτρέπει να προβλέψουν το φαινόμενο. Μια διεξοδική κατανόηση της τυρβώδους ροής θα βοηθούσε στην πρόγνωση του καιρού, στις αναταράξεις των πτήσεων και σε πολλές άλλες διαδικασίες, ενώ μια πλήρης εξήγηση παραμένει ένα κυρίαρχο μυστήριο της φυσικής.

Πηγές - Παραπομπές

CNN: Turbulentskies of Vincent Van Gogh’s ‘The Starry Night’ align with a scientific theory,study finds

Phys.uoa.gr|Τύρβη

Physics4u

Physicsgg.me

ScienceDirect

TED-Ed|The unexpected math behind van Gogh's "Starry Night"

Turbulent Luminance in Impassioned van Gogh Paintings

University of Thessaly|Εισαγωγή σε Περιβαλλοντικές Ροές-Υπολογιστική Ρευστομηχανική και Τύρβη

Wikipedia.org

Μια νέα εξίσωση που περιγράφει κάθε... αβγό!

Πώς ένα από τα πιο συνηθισμένα αντικείμενα της φύσης οδήγησε σε ένα απρόσμενα δύσκολο πρόβλημα γεωμετρίας

Όταν παίρνουμε ένα αβγό από το ψυγείο, μάλλον σκεφτόμαστε το γεύμα μας και όχι τα Μαθηματικά… Εκτός ίσως από κάποιους επιστήμονες! Γιατί το σχήμα του αβγού αποτελεί ένα ενδιαφέρον μαθηματικό πρόβλημα εδώ και δεκαετίες: Πώς μπορούμε να περιγράψουμε με έναν μαθηματικό τύπο το περίγραμμα ενός αβγού; Και ακόμη:

Μπορούμε να βρούμε έναν ενιαίο τύπο που να περιγράφει τα αβγά όλων των πτηνών;

Το 2021 οι Narushin, Romanov και Griffin πρότειναν μια νέα μαθηματική λύση στο πρόβλημα, σε εργασία τους με τίτλο “Egg and math: introducing a universal formula for egg shape”, που δημοσιεύθηκε στο Annals of the New York Academy of Sciences.

Για να φτάσουμε, όμως, στην καθολική εξίσωση, πρέπει πρώτα να ακολουθήσουμε μια μικρή μαθηματική διαδρομή…

Τέσσερα διαφορετικά είδη αβγών

Παρόλο που στο μυαλό μας το «σχήμα αβγού» είναι συνήθως ένα συγκεκριμένο ωοειδές σχήμα, στη φύση υπάρχει μεγάλη ποικιλία. Οι ερευνητές, ακολουθώντας την ταξινόμηση του Nishiyama, διακρίνουν τέσσερις βασικές μορφές:

• κυκλική, που αντιστοιχεί σε σχεδόν σφαιρικό αβγό
• ελλειπτική, που αντιστοιχεί σε ελλειψοειδές
• ωοειδής
• απιοειδής ή αχλαδόμορφη

Τα τρία πρώτα σχήματα μπορούν να περιγραφούν σχετικά φυσικά με γνωστές γεωμετρικές καμπύλες. Το πρόβλημα αρχίζει με το τέταρτο.

Ένα απιοειδές αβγό είναι πολύ πιο φαρδύ προς τη μία πλευρά και καταλήγει σε έντονα «μυτερό» άκρο. Δεν είναι απλώς μια έλλειψη που έχει «τραβηχτεί» λίγο προς τη μία πλευρά. Και ακριβώς αυτά τα αβγά ήταν ο λόγος που οι παλαιότερες μαθηματικές περιγραφές δεν μπορούσαν να θεωρηθούν πραγματικά καθολικές.

Από τον κύκλο στο αβγό

Για να καταλάβουμε την ιδέα των ερευνητών, ας ξεκινήσουμε από κάτι πολύ πιο απλό.

Ο κύκλος περιγράφεται από την εξίσωση:

\(x^2+y^2=r^2\)

Αν θέλουμε να κάνουμε τον κύκλο «μακρύτερο» προς μία κατεύθυνση, μπορούμε να αντικαταστήσουμε την κοινή ακτίνα με δύο διαφορετικούς ημιάξονες. Παίρνουμε έτσι την εξίσωση της έλλειψης:

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

Έχουμε λοιπόν την πρώτη μετάβαση: κύκλος → έλλειψη

Αλλά ξέρουμε ότι το αβγό δεν είναι απλώς μια έλλειψη. Η μία πλευρά του είναι συνήθως πιο «στρογγυλεμένη» και η άλλη πιο «μυτερή». Χρειαζόμαστε λοιπόν έναν τρόπο να μετακινήσουμε την κατακόρυφη διεύθυνση του σχήματος, ώστε να δημιουργήσουμε ασυμμετρία. Εδώ εμφανίζεται το μοντέλο του Γερμανού μηχανικού Hügelschäffer.

Η εξίσωση του Hügelschäffer

Οι Narushin και οι συνεργάτες του χρησιμοποιούν ως αφετηρία το μοντέλο του Hügelschäffer, το οποίο μπορεί να περιγράψει τα κυκλικά, ελλειπτικά και ωοειδή αβγά, όπως το συνηθισμένο αβγό της κότας.

Η εξίσωση γράφεται:

όπου:

• L είναι το μήκος του αβγού
• B είναι το μέγιστο πλάτος
• x είναι η οριζόντια θέση
• y είναι η απόσταση από τον οριζόντιο άξονα μέχρι το περίγραμμα
• w είναι μια παράμετρος που περιγράφει τη μετατόπιση του κατακόρυφου άξονα που περνά από το σημείο μέγιστου πλάτους σε σχέση με το μέσο του αβγού.

Το \(\plusminus\) υπάρχει επειδή για κάθε θέση x έχουμε δύο σημεία του περιγράμματος: ένα πάνω από τον άξονα των x και ένα κάτω από αυτόν.

Και εδώ συμβαίνει κάτι πολύ όμορφο: Αν \(L=B\), το σχήμα γίνεται κύκλος. Αν \(w=0\), το σχήμα γίνεται έλλειψη.

Με κατάλληλες τιμές του w, μπορούμε να πάρουμε διάφορα ωοειδή σχήματα. Έτσι έχουμε μια δεύτερη σειρά μεταβάσεων: κύκλος → έλλειψη →  ωοειδές

Το αβγό που δεν χωρά στην εξίσωση

Ας προσπαθήσουμε να κάνουμε το w όλο και μικρότερο. Το ωοειδές σχήμα γίνεται ολοένα και πιο μυτερό. Θα μπορούσαμε να σκεφτούμε ότι, αν συνεχίσουμε αρκετά, θα φτάσουμε και στα απιοειδή (αχλαδόμορφα) αβγά. Αλλά δεν συμβαίνει αυτό!

Το μοντέλο του Hügelschäffer έχει έναν περιορισμό: η παράμετρος w δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Οι ερευνητές δείχνουν ότι, αν προσπαθήσουμε να ξεπεράσουμε αυτό το όριο, η καμπύλη που προκύπτει παύει να μοιάζει με πραγματικό αβγό. Έτσι, τα απιοειδή αβγά παραμένουν έξω από το μοντέλο.

Και εδώ βρίσκεται το πραγματικό μαθηματικό πρόβλημα της εργασίας…

Πώς περιγράφουμε το σχήμα του απιοειδούς αβγού;

Οι ερευνητές δεν εγκαταλείπουν το μοντέλο του Hügelschäffer. Αντίθετα, προσπαθούν να κατασκευάσουν ένα δεύτερο μοντέλο, ειδικά για τα απιοειδή αβγά. Μετά από μαθηματικούς υπολογισμούς καταλήγουν στην εξίσωση:

Αυτή η εξίσωση μπορεί να δώσει το χαρακτηριστικό πιο «κωνικό», αχλαδόμορφο περίγραμμα.

Έχουμε λοιπόν πλέον δύο καμπύλες: την καμπύλη του Hügelschäffer, που περιγράφει το κλασικό ωοειδές σχήμα και την καινούργια καμπύλη, που περιγράφει το απιοειδές.

Αλλά τώρα εμφανίζεται ένα ακόμη πιο ενδιαφέρον ερώτημα: Και τι γίνεται με τα αβγά που βρίσκονται ανάμεσα;

Φανταστείτε ότι σχεδιάζουμε τις δύο καμπύλες στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Θα υπάρχει μια περιοχή ανάμεσα στις δύο. Τι γίνεται, λοιπόν, με ένα πραγματικό αβγό που βρίσκεται κάπου ανάμεσα στο κανονικό ωοειδές και στο καθαρά απιοειδές σχήμα;

Οι ερευνητές ορίζουν τότε τη διαφορά: \(y=y_H-y_c\), όπου \( y_H \) είναι η τιμή από το μοντέλο του Hügelschäffer και \( y_c\) η αντίστοιχη τιμή από το απιοειδές μοντέλο. Αυτή η διαφορά αποτελεί ουσιαστικά ένα μέτρο του πόσο «μυτερό» είναι το αβγό. Όταν η διαφορά είναι μηδέν, έχουμε το κλασικό ωοειδές. Όταν παίρνει τη μέγιστη δυνατή τιμή, προσεγγίζουμε το κλασικό απιοειδές σχήμα.

Και τώρα οι ερευνητές κάνουν το αποφασιστικό βήμα: κατασκευάζουν μια συνάρτηση που συμπληρώνει όλη την περιοχή ανάμεσα στα δύο μοντέλα. Αυτό τους οδηγεί στην τελική καθολική εξίσωση.

Η «καθολική εξίσωση» του αβγού

Η τελική σχέση που ανακάλυψαν οι ερευνητές είναι η εξής:

 

Πρόκειται δηλαδή για ένα παραμετρικό μοντέλο που περιλαμβάνει το τμήμα του μοντέλου του Hügelschäffer και χρησιμοποιεί τέσσερα γεωμετρικά χαρακτηριστικά:

• L: το συνολικό μήκος του αβγού,
• B: το μέγιστο πλάτος,
• w: η μετατόπιση του άξονα του μέγιστου πλάτους,
• \(D_{L/4}\): η διάμετρος του αβγού σε σημείο που βρίσκεται σε απόσταση \(\frac{L}{4}\) από το μυτερό άκρο.

Μετρώντας λοιπόν αυτά τα χαρακτηριστικά σε ένα πραγματικό αβγό, μπορούμε να προσδιορίσουμε το αντίστοιχο μαθηματικό μοντέλο και να ανακατασκευάσουμε το περίγραμμά του.

Αυτό είναι ίσως το πιο εντυπωσιακό σημείο της όλης ιστορίας. Έχουμε ένα πραγματικό αντικείμενο, με ένα περίπλοκο και ακανόνιστο περίγραμμα. Τοποθετούμε νοητά ένα σύστημα συντεταγμένων πάνω του. Μετράμε τα L, B, w και \(D_{L/4}\) και στη συνέχεια τα Μαθηματικά κάνουν την υπόλοιπη δουλειά!

Η παραπάνω συνάρτηση μάς δίνει, για κάθε x, την αντίστοιχη τιμή του y. Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία για όλες τις θέσεις, παίρνουμε μια καμπύλη. Η καμπύλη αυτή είναι το μαθηματικό περίγραμμα του αβγού. Το σημαντικό είναι ότι η ίδια γενική εξίσωση μπορεί θεωρητικά να κινηθεί σε ολόκληρο το φάσμα: σφαιρικό, ελλειπτικό, ωοειδές, απιοειδές.

Οι συγγραφείς δοκίμασαν το μοντέλο και σε απιοειδή αβγά διαφορετικών σχημάτων, όπως είναι αυτά του βασιλικού πιγκουίνου ή πολλών παρυδάτιων πτηνών, πετυχαίνοντας άλλη μία συνάντηση των Μαθηματικών με τη Βιολογία. Οι συγγραφείς βέβαια δεν ισχυρίζονται ότι η εξίσωση αναπαριστά κάθε σημείο του περιγράμματος κάθε πραγματικού αβγού με απόλυτη ακρίβεια. Αναγνωρίζουν ότι τα φυσικά αντικείμενα είναι πολύ πιο ποικίλα από τα ιδανικά μαθηματικά σχήματα.

Φυσικά, ο στόχος της μαθηματικής μοντελοποίησης δεν είναι πάντα να αντιγράψει κάθε μικροσκοπική ατέλεια της πραγματικότητας. Συχνά είναι να βρει ένα απλό και χρήσιμο μαθηματικό αντικείμενο που συλλαμβάνει τη βασική δομή ενός πραγματικού φαινομένου μέσα από την τεράστια ποικιλία της φύσης. Οι συγγραφείς της έρευνας θεωρούν ότι ένα τέτοιο μαθηματικό πλαίσιο μπορεί να αποτελέσει βάση για περαιτέρω έρευνα στη Βιολογία, στη Μηχανική και στα Μαθηματικά...

 

Πηγή

Narushin, V. G., Romanov, M. N. & Griffin, D. K. (2021). Egg and math: introducing a universal formula for egg shape. Annals of the New York Academy of Sciences, 1505, 169–177. DOI: 10.1111/nyas.14680.