Τριγωνικοί, τετραγωνικοί και εξαγωνικοί αριθμοί!

 

Στην αρχαιότητα, οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν πως τα πάντα στο σύμπαν μπορούσαν να εξηγηθούν με τη βοήθεια των αριθμών. Γι’ αυτό έφτιαχναν διάφορες ακολουθίες αριθμών με βάση γεωμετρικά σχήματα. Οι βασικότεροι είναι οι τριγωνικοί, οι τετραγωνικοί και οι εξαγωνικοί αριθμοί.

  

Τριγωνικός λέγεται κάθε αριθμός, ο οποίος, αν συμβολιστεί με σημεία –τόσα σημεία όσα υποδηλώνει ο αριθμός– σχηματίζεται τρίγωνο. Για να βρούμε τους τριγωνικούς αριθμούς, αρχίζουμε από το 1. Κάθε φορά προσθέτουμε και τον επόμενο φυσικό αριθμό. Δηλαδή:

1

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

1+2+3+4+5+6=21

…

Το άθροισμα που προκύπτει κάθε φορά (σημειωμένο με έντονο) είναι και ένας τριγωνικός αριθμός.

 

Μπορούμε να αναπαραστήσουμε τους τριγωνικούς αριθμούς με ισόπλευρα τρίγωνα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

 

Ο n-οστός τριγωνικός αριθμός είναι το άθροισμα των n πρώτων θετικών ακεραίων. Συμβολίζεται με \(T_n\) και ισούται με

\(T_n=1+2+…+n=\frac{n(n+1)}{2}\)

π.χ. \(T_4=\frac{4 \cdot 5)}{2}=10\)

 

Για την ακολουθία των τριγωνικών αριθμών ισχύει και ο αναδρομικός τύπος:

\(T_1=1\)

\(T_n=T_{n-1}+n, n>1\)

Τετραγωνικός αριθμός, ή αλλιώς τέλειο τετράγωνο, λέγεται ένας θετικός ακέραιος αριθμός που είναι το τετράγωνο ενός άλλου ακέραιου αριθμού, δηλαδή ισούται με το γινόμενο του αριθμού εκείνου με τον εαυτό του.

Ένας τετραγωνικός αριθμός \(n\) αντιπροσωπεύεται από \(n\) σημεία (κουκκίδες), τα οποία σχηματίζουν τετράγωνο, με την κάθε πλευρά του να έχει \(\sqrt{n}\) σημεία.

Ο αριθμός \(n\) είναι τετραγωνικός, αν και μόνο αν μπορούμε να συνθέσουμε ένα τετράγωνο από \(n\) ίσα μεταξύ τους τετράγωνα.

π.χ. 

\(n=1=1^2\)

\(n=4=2^2\)

\(n=9=3^2\)

\(n=16=4^2\)

\(n=25=5^2\)

Οι πρώτοι τετραγωνικοί αριθμοί (τέλεια τετράγωνα) είναι:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...

 

Για έναν θετικό ακέραιο \(n\), ο n-οστός τετραγωνικός αριθμός είναι ο \(n^2\).

Κάποιοι τύποι που χρησιμεύουν για τον υπολογισμό ενός τετραγωνικού αριθμού όταν είναι γνωστός ο προηγούμενός του (αναδρομικοί τύποι), είναι:

\(n^2=(n-1)^2+(n-1)+n=(n-1)^2+(2n-1)\)

Το άθροισμα δύο διαδοχικών τριγωνικών αριθμών είναι τετραγωνικός αριθμός.

π.χ. \(T_3+T_4=6+10=16\), που είναι τετραγωνικός αριθμός.

Εξαγωνικός αριθμός λέγεται ένας πολυγωνικός αριθμός που παριστάνεται με ένα εξάγωνο.

 

Ο n-οστός εξαγωνικός αριθμός \(h_n\) είναι το πλήθος των κουκκίδων που «δημιουργούν» το εξαγωνικό σχήμα του. Στο μοτίβο αυτό, τα εξάγωνα δεν περιέχονται το ένα στο εσωτερικό του άλλου, αλλά έχουν όλα μία κοινή «κορυφή».

 

Οι πρώτοι εξαγωνικοί αριθμοί είναι:

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, …

Ο τύπος που δίνει τον n-οστό εξαγωνικό αριθμό είναι:

\(h_n=2n^2-n=n(2n-1)=\frac{2n(2n-1)}{2} \)

 

Κάθε εξαγωνικός αριθμός είναι και τριγωνικός αριθμός.

Κάθε τριγωνικός αριθμός με περιττό πλήθος «πλευρών» (δηλαδή ο \(T_n\) με n περιττό) είναι εξαγωνικός αριθμός.

Κάθε άρτιος τέλειος αριθμός είναι εξαγωνικός. Καθώς δεν είναι γνωστός κανένας τέλειος αριθμός που να είναι περιττός, όλοι οι γνωστοί τέλειοι αριθμοί είναι εξαγωνικοί.

Για να ελέγξουμε αν ένας θετικός ακέραιος \(x\) είναι εξαγωνικός, μπορούμε να υπολογίσουμε τον αριθμό

\(n=\frac{\sqrt{8x+1}+1}{4}\).

Αν ο \(n\) είναι ακέραιος, τότε ο \(x\) είναι ο n-οστός εξαγωνικός αριθμός. Αλλιώς ο \(x\) δεν είναι εξαγωνικός.

👉Ανακαλύψτε περισσότερα στην "Online Εγκυκλοπαίδεια Ακολουθιών Ακέραιων Αριθμών" (OEIS).