Κυριακή 11 Νοεμβρίου 2018
Τρίτη 6 Νοεμβρίου 2018
Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Πολύεδρα - Κύβος
Στην παρούσα και στις επόμενες αναρτήσεις του project "Μαθηματικά και Τέχνη" θα γνωρίσουμε τη γεωμετρία του χώρου και τα θεμελιώδη γεωμετρικά στερεά σχήματα.
Ο γεωμετρικός χώρος έχει 3 διαστάσεις: μήκος, πλάτος και ύψος και εκτείνεται απεριόριστα σε κάθε κατεύθυνση. Μέσα στον γεωμετρικό χώρο "ζουν" όλα τα στερεά σχήματα. Υπάρχουν δύο "οικογένειες" στερεών σχημάτων: τα πολύεδρα και τα στερεά εκ περιστροφής.
ΠΟΛΥΕΔΡΑ
Τα βιβλία γράφουν...
Το πιο γνωστό πολύεδρο είναι ο κύβος, που αποτελείται από 6 τετράγωνα (έδρες του κύβου).
ΚΥΒΟΣ
Sol LeWitt (1928 - 2007) - "Cubic Rectangle" (Τοιχογραφία του 1989)
|
Όπυ Ζούνη (1941-2008) - "Κόκκινος κύβος στο χώρο" (2007) |
Όπυ Ζούνη (1941-2008) - "Κύβοι" |
Susie Callahan (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Cool cubes" |
Joseph Hawa (Σύγχρονος ζωγράφος) - "The Cube" (2012) |
Chris Bancroft (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Painting of things on my desk: Rubik's" |
John Picking (γεν. 1939) - "Ambiguity I" (2011) |
John Picking (γεν. 1939) - "Causeway" (2011) |
John Picking (γεν. 1939) - "Triad I" (2011) |
John Picking (γεν. 1939) - "Triad II" (2011) |
John Picking (γεν. 1939) - "Cube Vertigo" (2008) |
John Picking (γεν. 1939) - "Four-Cube" (2011) |
John Picking (γεν. 1939) - "Five-Cube" (2011) |
John Picking (γεν. 1939) - "Six-Cube" (2011) |
John Picking (γεν. 1939) - "Study for Clouds in a Four-Dimensional Sky" (2011) |
Για να δούμε καλύτερα το σχήμα του κύβου μέσα στο χώρο, ας γνωρίσουμε τον κύβο μέσα από όμορφα γλυπτά.
Anila Quayyum Agha (Σύγχρονη γλύπτρια) - "Intersections" (Γλυπτό με την τεχνική της 3D-εκτύπωσης, εγκατεστημένο στο Μουσείο Peabody Essex, Σάλεμ, Μασαχουσέτη) |
Rasheed Araeen (γεν. 1935) - "One Summer Afternoon" (1968) |
Rasheed Araeen (γεν. 1935) - "One Summer Afternoon" (1968) |
Jake Weigel (Σύγχρονος γλύπτης) - Γλυπτό από γυαλί και ξύλο (2014) |
"Atomium Illustration" (Copyright 2006, Art Creation (ASBL); Artists Rights Society (ARS), New York; SABAM, Belgium) |
Τα βιβλία γράφουν...
Ο χώρος μπορεί να καλυφθεί, δηλαδή να "γεμίσει" χωρίς κενά ή επικαλύψεις, μόνο με κύβους.
Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972) - "Κυβική Διαίρεση Χώρου"
(Συνεχίζεται με περισσότερα γεωμετρικά στερεά...)
|
"Το ενδιαφέρον μου για τον κύβο, περισσότερο από τον Κυβισμό, αφορά αυτό το συγκεκριμένο γεωμετρικό στερεό. Προσφέρει τόσες πολλές δυνατότητες. Σε αντίθεση με τον Albers που είχε επιλέξει το τετράγωνο για την αδυναμία του, επέλεξα τον κύβο σαν ένα δυνατό στερεό που ξεπερνά τα όρια ενός επίπεδου καμβά".
John Picking (Homage to the Cube)
.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.
Πηγές:
- Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
- E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
- H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
- John Picking, Homage to the Cube, 2011
- Wolfram Math World: Cube
- wikipedia.org
Παρασκευή 12 Οκτωβρίου 2018
"Αριθμητική με το νου"
Ο Nikolay Bogdanov-Belsky (1868 - 1945) ήταν Ρώσος ζωγράφος που ακολουθούσε τα ρεύματα του Ρεαλισμού και του Ιμπρεσιονισμού. Πολλά από τα έργα του έχουν ηθογραφικό χαρακτήρα και αποτελούνται από πορτρέτα, ιμπρεσιονιστικά τοπία και απεικονίσεις της καθημερινής ζωής, με κύριο στοιχείο τα παιδιά και την εκπαίδευση τους.
To 1895, o Nikolay Bogdanov-Belsky ζωγράφισε τον
πίνακα «Αριθμητική με το νου. Στο δημόσιο σχολείο του S. Rachinsky», ή κατ' άλλους, «Ένα δυσνόητο πρόβλημα». Ο δάσκαλος που απεικονίζεται είναι ο S. Rachinsky, καθηγητής φυσικής, ο οποίος εγκατέλειψε το πανεπιστήμιο για να υπηρετήσει ως απλός δάσκαλος σε κάποιο χωριό.
Οι περισσότεροι, όμως, όταν θαυμάζουν το έργο τέχνης, παραβλέπουν το πρόβλημα που είναι γραμμένο στον πίνακα της τάξης... Το πρόβλημα ζητάει τον
υπολογισμό της αριθμητικής παράστασης:
(10²+11²+12²+13²+14²)/365
Μπορείτε να κάνετε τον υπολογισμό με το μυαλό σας;
Πηγές:
Yakov Perelman, Διασκεδαστικά Μαθηματικά, Εκδόσεις Κάτοπτρο, 2001
https://twitter.com/fermatslibrary
Δευτέρα 8 Οκτωβρίου 2018
Περί του χρυσού αριθμού «φ»... (Μέρος 3º - Ο αγαπημένος αριθμός του σύμπαντος)
«Η Γεωμετρία έχει δύο μεγάλους θησαυρούς...
Ο ένας είναι το Πυθαγόρειο Θεώρημα,
ο άλλος η διαίρεση μιας γραμμής σε άκρο και μέσο λόγο.
Τον πρώτο μπορούμε να τον συγκρίνουμε με μια ποσότητα χρυσού.
Τον δεύτερο μπορούμε να τον θεωρήσουμε ως ένα πολύτιμο κόσμημα».
Johannes Kepler (1571 - 1630)
Ο ΑΡΙΘΜΟΣ φ ΣΤΟ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ ΣΩΜΑ
Στοv «άνθρωπο του Βιτρούβιου», το διάσημο σχέδιο του
Da Vinci, βλέπουμε, μετά από μια "σύγχρονη" παρέμβαση, τις χρυσές
αναλογίες στο ανθρώπινο σώμα. Ήταν ο ίδιος ο Da Vinci που ονόμασε τον
φ «χρυσό αριθμό», ενώ ο συνεργάτης του, μαθηματικός και μοναχός, Luca
Pacioli, έγραψε το βιβλίο «Περί της Θείας Αναλογίας», αναφερόμενος στο
λόγο της χρυσής τομής. Το θέμα του βιβλίου είναι η αναλογία στα μαθηματικά και
την τέχνη, ιδίως η θεωρία της χρυσής τομής και η εφαρμογή της στην
αρχιτεκτονική.
O αριθμός φ εμφανίζεται σε πολλές από τις αναλογίες του ανθρώπινου
σώματος. Για παράδειγμα, ο αφαλός «τέμνει» το σώμα μας, από την κορυφή του
κεφαλιού μέχρι τα δάκτυλα των ποδιών, σε λόγο χρυσής τομής. Αν μετρήσετε το ύψος
σας (την απόσταση από την κορυφή του κεφαλιού σας μέχρι το πάτωμα) και τη
διαιρέσετε με την απόσταση από τον αφαλό μέχρι το πάτωμα, προσεγγίζεται πάντα ο
αριθμός φ. Αν μετρήσετε την απόσταση από τον αφαλό μέχρι το πάτωμα και τη
διαιρέσετε με την απόσταση από την κορυφή του κεφαλιού σας μέχρι τον αφαλό, προσεγγίζεται
πάντα ο αριθμός φ.
Ακόμα, το χέρι μας, από τον ώμο μέχρι τις άκρες των δακτύλων μας,
διαιρείται σε λόγο χρυσής τομής ακριβώς στον αγκώνα μας. Αν μετρήσετε την απόσταση από τον ώμο
σας μέχρι τις άκρες των δακτύλων και τη διαιρέσετε με την απόσταση από τον
αγκώνα μέχρι τις άκρες των δακτύλων, προσεγγίζεται πάντα ο αριθμός φ. Αν μετρήσετε την απόσταση
από τον αγκώνα μέχρι τις άκρες των δακτύλων και τη διαιρέσετε με την απόσταση
από τον ώμο σας μέχρι τον αγκώνα, προσεγγίζεται
πάντα ο αριθμός φ.
Αντίστοιχα,
ο καρπός «τέμνει» το χέρι μας, από τον αγκώνα μέχρι τις άκρες των δακτύλων, σε
χρυσή τομή.
Όμοια, η
χρυσή τομή και η ακολουθία Fibonacci μπορούν να βρεθούν και στα δάκτυλά μας.
Η αναλογία μεταξύ του μήκους και του φάρδους του
προσώπου και η αναλογία του μήκους του στόματος προς το φάρδος της μύτης
είναι μερικά ακόμα παραδείγματα της εφαρμογής των αριθμών αυτών στο
ανθρώπινο σώμα.
Ακόμα και
σε πολλές άλλες λεπτομέρειες συναντάμε τον αριθμό φ, όπως στις αναλογίες των
δοντιών μας ή του αυτιού μας. Φυσικά, δεν έχουμε όλοι ίδια δόντια, ίδια μύτη ή
ίδια αυτιά. Απλώς, όσο περισσότερο πλησιάζουν οι αναλογίες κάποιου
χαρακτηριστικού στον αριθμό φ, τόσο πιο «όμορφο» φαίνεται αυτό.
Δεν είναι
τυχαίο ότι πολλές «ανατολίτικες θρησκείες» και κινήματα στα πλαίσια της
διδασκαλίας τους για διαλογισμό και την αυτοσυγκέντρωση και στο λεγόμενο
«γιόγκα» η στάση του ανθρώπινου σώματος γίνεται κατά αυτό τον τρόπο έτσι, ώστε
τα «κεντρικά - κομβικά» σημεία του σώματος να βρίσκονται σε αναλογίες φ.
Επιπλέον, έχει ανακαλυφθεί η ύπαρξη του φ στην δομή του DNA. Το DNA αποτελείται από δύο έλικες οι οποίες συστρέφονται μεταξύ τους. Οι αποστάσεις μεταξύ τους (grooves) «κρύβουν» τον αριθμό φ, όπως βλέπουμε παρακάτω:
Ο ΑΡΙΘΜΟΣ φ ΣΤΗΝ ΙΑΤΡΙΚΗ
Ένα καρδιογράφημα σε κατάσταση ηρεμίας μοιάζει με το παρακάτω. Θεωρείται υγιές όταν το διάστημα μεταξύ δύο οξέων επαρμάτων QRS διαιρείται σε λόγο χρυσής τομής από ένα έπαρμα Τ (το κόκκινο βέλος στο διάγραμμα).Ο ΑΡΙΘΜΟΣ φ ΣΤΗ ΜΕΤΕΩΡΟΛΟΓΙΑ
Ο αριθμός φ και η χρυσή έλικα εμφανίζονται επίσης στο σχήμα των κυκλώνων, όπως αποτυπώνεται χαρακτηριστικά
στις φωτογραφίες των μετεωρολογικών δορυφόρων.
Ο ΑΡΙΘΜΟΣ φ
ΣΤΟ ΗΛΙΑΚΟ ΜΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑ
Οι
διαστάσεις της Γης και της Σελήνης σχετίζονται με τον αριθμό φ, σχηματίζοντας
ένα ορθογώνιο τρίγωνο βασισμένο στη χρυσή αναλογία.
H
κίνηση ορισμένων πλανητών γίνεται βάσει του αριθμού φ, καθώς ο χρόνος περιφοράς τους γύρω από τον Ήλιο προσεγγίζεται από κάποια δύναμη του φ.
- Ερμής: φ-3 = 0,24 έτη
- Αφροδίτη: φ-1 = 0,62 έτη
- Γη: φ0 = 1 έτος
- Δίας: φ5 = 11,9 έτη
- Κρόνος: φ7 = 29 έτη
Ειδικότερα,
ο Κρόνος έχει «αποκαλύψει» την αναλογία της χρυσής τομής στις διαστάσεις αυτού
και των δακτυλίων του.
ΓΑΛΑΞΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ
Τα
περισσότερα αντικείμενα θερμαίνονται καθώς προσλαμβάνουν ενέργεια. Αλλά ενίοτε
οι μαύρες τρύπες ενδέχεται να χάνουν ενέργεια ενώ θερμαίνονται. Σ’ αυτή την
περίπτωση, λέμε ότι έχουν αρνητική ειδική θερμοχωρητικότητα.
Για μια
περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα, τα πράγματα περιπλέκονται περισσότερο. Όταν
περιστρέφεται αρκετά γρήγορα, η ειδική θερμοχωρητικότητά της γίνεται θετική, όπως
δηλαδή συμβαίνει με ένα συνηθισμένο αντικείμενο. Τη χρονική στιγμή που η ειδική
θερμοχωρητικότητα της μαύρης τρύπας γίνεται από αρνητική θετική, η στροφορμή της
J και η μάζα της
M ικανοποιούν
τη σχέση:
Συμμετέχει, δηλαδή, στην εξίσωση και ο αριθμός φ!
Τέλος, ο
αριθμός φ και η χρυσή έλικα εμφανίζονται και στη μορφή των σπειροειδών γαλαξιών.
ΤΟ ΚΑΛΥΤΕΡΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ
Ποιος είναι
άραγε ο βαθύτερος λόγος που κάνει έναν αριθμό, κατασκευασμένο με βάση μια
αφηρημένη μαθηματική ιδιότητα, να έχει τόσο σημαντικές εφαρμογές στη φύση, και
μάλιστα σε τόσο διαφορετικά συστήματα; Οι σπόροι, τα όστρακα, οι κυκλώνες και οι γαλαξίες δεν έχουν καμία κοινή
ιδιότητα και διέπονται από εντελώς διαφορετικούς φυσικούς νόμους. (Βάρβογλης,
2003). Όμως όλα τους εμπεριέχουν το χρυσό αριθμό.
Τα φύλλα,
τα πέταλα και οι σπόροι οργανώνονται στα φυτά ακολουθώντας ένα συγκεκριμένο
μοτίβο γιατί έτσι, καθώς αναπτύσσονται, αξιοποιούν με τον καλύτερο δυνατό τρόπο
το διαθέσιμο χώρο. Αν κατανείμουμε τα φύλλα στο μίσχο σύμφωνα με το χρυσό
αριθμό, όλα θα επωφελούνται στο μέγιστο βαθμό από το φως του ήλιου, χωρίς να
κρύβει το ένα το άλλο. Τα λουλούδια, χάρη στο χρυσό αριθμό, προσελκύουν όσο το
δυνατόν καλύτερα τα έντομα που μεταφέρουν τη γύρη.
Η ανάπτυξη
των οστράκων επηρεάζεται από τον διαθέσιμο χώρο. Η δημιουργία των κυκλώνων
οφείλεται στη ροή του υγρού αέρα από περιοχές υψηλής πίεσης σε περιοχές
χαμηλής.
Λόγω της
περιστροφής της Γης, τα ρεύματα του αέρα αποκλίνουν από την ευθεία, έτσι ώστε
στο βόρειο ημισφαίριο όλοι οι κυκλώνες να περιστρέφονται αντίθετα από τη φορά
των δεικτών του ρολογιού, ενώ στο νότιο ημισφαίριο, αντίστροφα.
Τέλος οι σπείρες είναι
περιοχές ενός γαλαξία όπου υπάρχει συγκέντρωση αστέρων, σκόνης και αερίων, οι
οποίες δημιουργούνται όταν κάποιος άλλος γαλαξίας περάσει σε κοντινή
απόσταση.
Φαίνεται, λοιπόν, ότι ο
χρυσός αριθμός έχει «παγκόσμιες» ιδιότητες και είναι ο αγαπημένος αριθμός του
Σύμπαντος. Κι αν έχει επιλέξει η Φύση να «δουλεύει» χρησιμοποιώντας τη χρυσή
αναλογία, τότε γιατί όχι και ο άνθρωπος;
Στα επόμενα
θα δούμε πώς οι άνθρωποι εφαρμόζουν τη Χρυσή Τομή από την αρχαιότητα μέχρι
σήμερα…
Πηγές:
Περιοδικό Focus
goldennumber.net
wikipedia.org
https://johncarlosbaez.wordpress.com/2013/02/28/black-holes-and-the-golden-ratio/
Δευτέρα 1 Οκτωβρίου 2018
Σάββατο 22 Σεπτεμβρίου 2018
Δευτέρα 17 Σεπτεμβρίου 2018
Τρίτη 11 Σεπτεμβρίου 2018
Μαθηματικά και παιχνίδι: Τα σπιτάκια των αριθμών
Καλή σχολική χρονιά σε μικρούς και μεγάλους και επισήμως!
Για τους δασκάλους στο Δημοτικό, αλλά και για τους γονείς που έχουν μικρά παιδιά, αποφάσισα να εγκαινιάσω σ' αυτό το ιστολόγιο μια νέα κατηγορία με θέμα "Μαθηματικά και Παιχνίδι". Ως εκπαιδευτικός και γονέας η ίδια, καταλαβαίνω κάθε δυσκολία που μπορεί να αντιμετωπίζουν τα μικρά παιδιά όσον αφορά τα Μαθηματικά. Σύμφωνα με ακαδημαϊκές έρευνες, όταν ένας γονέας
δείχνει ενδιαφέρον και μεράκι (και όχι φόβο-απέχθεια) για τα Μαθηματικά, το παιδί
δεν θα δυσκολευτεί να τα κατανοήσει και ίσως αποκτήσει το ίδιο ενδιαφέρον και
αυτό.
Είναι πολύ σημαντικό για τα παιδιά να πάρουν τα Μαθηματικά "με καλό
μάτι" από την αρχή και σ' αυτό μπορείτε να τα βοηθήσετε παίζοντας μαζί
τους παιχνίδια με αριθμούς. Όταν η κόρη μου ήταν στο στάδιο της πρόσθεσης με τα
δάχτυλα (αρχές Α΄ Δημοτικού), είχαμε κάνει μαζί μια διασκεδαστική χειροτεχνία
που βοήθησε την μικρή μου μαθήτρια να εμπεδώσει τα αθροίσματα που δεν ξεπερνούν το 10.
Ήταν τα "σπιτάκια των αριθμών"...
"Τα σπιτάκια των αριθμών" |
Κάθε σπιτάκι είχε στη στέγη του έναν αριθμό από το 1 ως το 10. Έτσι, τα
ονομάσαμε ως "το σπιτάκι του 1", "το σπιτάκι του 2", κ.ο.κ.
Έπειτα κολλήσαμε μαζί, πάνω σε κάθε σπιτάκι, όλα τα αθροίσματα που έδιναν τον
αριθμό της σκεπής.
Κάθε φορά που κολλούσαμε ένα άθροισμα, λέγαμε φωναχτά την προσθεσούλα για να την
εμπεδώσουμε.
Ειδικά, το "σπιτάκι του 10" που
περιέχει τα αθροίσματα στο 10 είναι πολύ σημαντικό να το μάθουν τα πιτσιρίκια.
Θα μας βοηθήσει αργότερα στην πρόσθεση μεγαλύτερων αριθμών που γίνεται με το
"πάτημα στη δεκάδα". Π.χ. για το 8+6, θα "πατήσουμε" στο 10
και θα πούμε: (8+2)+4=10+4=14.
Είναι, λοιπόν, κατά τη γνώμη μου, ένας πολύ
διασκεδαστικός τρόπος για τα παιδιά να εμπεδώσουν την πρόσθεση και, σαν
χειροτεχνία δεν είναι δύσκολη!
Μπορείτε να την εφαρμόσετε κι εσείς με τα παιδιά σας ή τους μαθητές σας! Η δραστηριότητα αυτή είναι κατάλληλη ακόμη και στην περίπτωση που κάποιο παιδί αντιμετωπίζει ειδικές μαθησιακές δυσκολίες.
• Για την προετοιμασία έχετε να γράψετε σε
αρχείο word όλα τα αθροίσματα που δεν ξεπερνούν το 10, καθώς και τους αριθμούς
από το 1 ως το 10 σε κάπως μεγαλύτερη γραμματοσειρά. Εναλλακτικά, ζητήστε μου
να σας στείλω το δικό μου αρχείο με e-mail!
• Τυπώστε τους αριθμούς σε απλό ή χρωματιστό
χαρτί εκτύπωσης.
Για τη χειροτεχνία θα χρειστείτε:
-Χαρτόνια κάνσον
-Μολύβι
-Χάρακα
-Ψαλίδι
-Κόλλα στικ
Σχεδιάζετε στα χαρτόνια και κόβετε 10
ορθογώνια και 10 τρίγωνα σχήματα για τα σπιτάκια. Κόβετε και τους αριθμούς και
τα αθροίσματα που έχετε εκτυπώσει. Έπειτα τα κολλάτε στα σπιτάκια παίζοντας και
επαναλαμβάνοντας τις προσθεσούλες!
Να πω καλό διάβασμα? Θα πω καλό παιχνίδι!!!
~*~*~*~*~
Σημείωση: Η παραπάνω ανάρτηση αποτελεί αναδημοσίευση από το παλιό μου ιστολόγιο. Μπορείτε να διαβάσετε την πρωτότυπη ανάρτηση εδώ...
~*~*~*~*~
"Αν οι αριθμοί δεν είναι όμορφοι, δεν ξέρω τι είναι όμορφο".
Paul Erdos (1913 - 1996)
Ετικέτες
μαθηματικά για την ειδική αγωγή και εκπαίδευση,
μαθηματικά και παιχνίδι,
μαθησιακές δυσκολίες
Εγγραφή σε:
Αναρτήσεις (Atom)