Σάββατο 23 Μαΐου 2020
Πέμπτη 21 Μαΐου 2020
'Εκθεση Μαθηματικής Τέχνης 2020
Πολλοί κατανοούν τα μαθηματικά μέσω της τέχνης, αλλά και πολλοί άλλοι βλέπουν την τέχνη που υπάρχει σε μια μαθηματική έννοια... Μαθηματικοί και καλλιτέχνες συνεχίζουν να δημιουργούν δυνατά, εντυπωσιακά έργα με ποικίλα μέσα και τεχνικές, εξερευνώντας την οπτικοποίηση των μαθηματικών.
Πραγματοποιήθηκε η φετινή Έκθεση Μαθηματικής Τέχνης στο Denver των Η.Π.Α., με αξιόλογα έργα τέχνης εμπνευσμένα από την επιστήμη των μαθηματικών: Όμορφα γλυπτά, κεραμικά, υφαντά, οριγκάμι, ψηφιακά τυπωμένα έργα, τρισδιάστατες εκτυπώσεις, πίνακες ζωγραφικής και άλλα εικαστικά έργα που δημιουργήθηκαν από καλλιτέχνες αλλά και μαθηματικούς...
Lisa Shier |
David Bachman |
Ellie Baker |
Dick A. Termes |
Απολαύστε περισσότερα έργα μαθηματικής τέχνης από την εν λόγω έκθεση πατώντας εδώ...
Δευτέρα 18 Μαΐου 2020
Σάββατο 16 Μαΐου 2020
Ξενοδοχείο "Το Άπειρον"
Το 1924, ο David Hilbert εισήγαγε ένα νοητικό πείραμα που αναδεικνύει τις παράδοξες ιδιότητες του απείρου, καθιστώντας φανερό το πόσο δύσκολο είναι για το... πεπερασμένων δυνατοτήτων μυαλό των ανθρώπων να συλλάβει την έννοια του απείρου.
Φανταστείτε ότι είστε ρεσεψιονίστας στο ξενοδοχείο "Το Άπειρον", ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια. Ένα βράδυ, και ενώ όλα τα δωμάτια είναι κατειλημμένα, ένας πελάτης μπαίνει στο ξενοδοχείο. Μπορείτε να του βρείτε δωμάτιο;
Σύμφωνα με τον Hilbert, ο ρεσεψιονίστας μπορεί να βρει δωμάτιο στον νέο πελάτη! Πώς;
Θα ζητήσει από αυτόν που μένει στο δωμάτιο 1 να μεταφερθεί στο δωμάτιο 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 2 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 3.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 3 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 4 κ.ο.κ.
...
Αυτός που μένει στο δωμάτιο ν θα μεταφερθεί στο δωμάτιο ν+1.
Έτσι όλοι οι πελάτες έχουν βολευτεί και το δωμάτιο 1 είναι ελεύθερο για τον νέο πελάτη.
Το επόμενο βράδυ, και ενώ όλα τα δωμάτια είναι ακόμη κατειλημμένα, φτάνει στο ξενοδοχείο "Το Άπειρον" ένα λεωφορείο με 50 επιβάτες, που θέλουν να διανυκτερεύσουν στο ξενοδοχείο. Τι θα κάνει ο ρεσεψιονίστας;
Θα ζητήσει από αυτόν που μένει στο δωμάτιο 1 να μεταφερθεί στο δωμάτιο 51.
Θα ζητήσει από αυτόν που μένει στο δωμάτιο 1 να μεταφερθεί στο δωμάτιο 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 2 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 3.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 3 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 4 κ.ο.κ.
...
Αυτός που μένει στο δωμάτιο ν θα μεταφερθεί στο δωμάτιο ν+1.
Έτσι όλοι οι πελάτες έχουν βολευτεί και το δωμάτιο 1 είναι ελεύθερο για τον νέο πελάτη.
Θα ζητήσει από αυτόν που μένει στο δωμάτιο 1 να μεταφερθεί στο δωμάτιο 51.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 2 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 52 κ.ο.κ.
...
Αυτός που μένει στο δωμάτιο ν θα μεταφερθεί στο δωμάτιο ν+50.
Έτσι θα μείνουν ελεύθερα τα 50 πρώτα δωμάτια.
Αφού υπάρχουν άπειρα δωμάτια, υπάρχουν πάντα δωμάτια για νέους φιλοξενούμενους. Αλλά το επόμενο βράδυ, και ενώ όλα τα δωμάτια είναι ακόμη κατειλημμένα, φτάνει στο ξενοδοχείο "Το Άπειρο" ένα λεωφορείο με άπειρους επιβάτες, που θέλουν να διανυκτερεύσουν στο ξενοδοχείο. Ο ρεσεψιονίστας τα χάνει.
Ο Hilbert προτείνει τώρα το εξής:
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 1 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 2 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 4.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 3 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 6 κ.ο.κ.
...
...
Αυτός που μένει στο δωμάτιο ν θα μεταφερθεί στο δωμάτιο ν+50.
Έτσι θα μείνουν ελεύθερα τα 50 πρώτα δωμάτια.
Αφού υπάρχουν άπειρα δωμάτια, υπάρχουν πάντα δωμάτια για νέους φιλοξενούμενους. Αλλά το επόμενο βράδυ, και ενώ όλα τα δωμάτια είναι ακόμη κατειλημμένα, φτάνει στο ξενοδοχείο "Το Άπειρο" ένα λεωφορείο με άπειρους επιβάτες, που θέλουν να διανυκτερεύσουν στο ξενοδοχείο. Ο ρεσεψιονίστας τα χάνει.
Ο Hilbert προτείνει τώρα το εξής:
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 1 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 2 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 4.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 3 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 6 κ.ο.κ.
...
Αυτός που μένει στο δωμάτιο ν θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 2ν.
Έτσι, οι άπειροι ένοικοι του ξενοδοχείου γεμίζουν μόνο τα δωμάτια με άρτιο αριθμό (που είναι άπειρα σε πλήθος), ενώ τα δωμάτια με περιττό αριθμό (επίσης άπειρα) μένουν ελεύθερα για τους νέους, άπειρους πελάτες.
Έτσι, οι άπειροι ένοικοι του ξενοδοχείου γεμίζουν μόνο τα δωμάτια με άρτιο αριθμό (που είναι άπειρα σε πλήθος), ενώ τα δωμάτια με περιττό αριθμό (επίσης άπειρα) μένουν ελεύθερα για τους νέους, άπειρους πελάτες.
Ένα βράδυ, ενώ τα δωμάτια του ξενοδοχείου είναι ακόμη όλα κατειλημμένα, φτάνει στην είσοδο μια άπειρη ουρά με απείρως μεγάλα τουριστικά λεωφορεία, με άπειρους επιβάτες στο καθένα. Ο ρεσεψιονίστας προς στιγμήν απελπίζεται.
Ευτυχώς, ο Ευκλείδης γύρω στο 300 π.Χ. είχε αποδείξει πως υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Οι πρώτοι αριθμοί είναι: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... και είναι άπειροι σε πλήθος. Έτσι, χρησιμοποιώντας τους πρώτους αριθμούς, ο ρεσεψιονίστας μπορεί πάλι να βρει δωμάτιο στους νέους πελάτες:
Ξεκινάμε με τις δυνάμεις του μικρότερου πρώτου αριθμού, του 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 1 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 21 = 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 2 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 22 = 4.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 3 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 23 = 8 κ.ο.κ.
...
Αυτός που μένει στο δωμάτιο ν θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 2ν.
Έπειτα ο ρεσεψιονίστας φωνάζει τους επιβάτες του πρώτου λεωφορείου και τους τοποθετεί στα δωμάτια που είναι δυνάμεις του επόμενου πρώτου αριθμού, του 3.
Αυτός που καθόταν στη θέση 1 του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 31 = 3.
Αυτός που καθόταν στη θέση 2 του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 32 = 9 κ.ο.κ.
..
Αυτός που καθόταν στη θέση ν του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 3ν.
Ξεκινάμε με τις δυνάμεις του μικρότερου πρώτου αριθμού, του 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 1 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 21 = 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 2 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 22 = 4.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 3 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 23 = 8 κ.ο.κ.
...
Αυτός που μένει στο δωμάτιο ν θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 2ν.
Έπειτα ο ρεσεψιονίστας φωνάζει τους επιβάτες του πρώτου λεωφορείου και τους τοποθετεί στα δωμάτια που είναι δυνάμεις του επόμενου πρώτου αριθμού, του 3.
Αυτός που καθόταν στη θέση 1 του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 31 = 3.
Αυτός που καθόταν στη θέση 2 του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 32 = 9 κ.ο.κ.
..
Αυτός που καθόταν στη θέση ν του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 3ν.
Για τους επιβάτες του δεύτερου λεωφορείου, θα χρησιμοποιήσουμε τις δυνάμεις του 5.
Αυτός που καθόταν στη θέση 1 του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 51 = 5.
Αυτός που καθόταν στη θέση 2 του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 52 = 25 κ.ο.κ.
..
Αυτός που καθόταν στη θέση ν του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 5ν.
Αυτός που καθόταν στη θέση 2 του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 52 = 25 κ.ο.κ.
..
Αυτός που καθόταν στη θέση ν του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 5ν.
Όμοια, οι επιβάτες του τρίτου λεωφορείου θα διαμείνουν στα δωμάτια που είναι δυνάμεις του 7.
Οι επιβάτες του επόμενου λεωφορείου θα διαμείνουν στα δωμάτια που είναι δυνάμεις του 11.
Συνεχίζουμε με τις δυνάμεις του 13, τις δυνάμεις του 17 κ.ο.κ.
Οι επιβάτες του επόμενου λεωφορείου θα διαμείνουν στα δωμάτια που είναι δυνάμεις του 11.
Συνεχίζουμε με τις δυνάμεις του 13, τις δυνάμεις του 17 κ.ο.κ.
Αφού καθένας από τους προηγούμενους αριθμούς είναι δύναμη με βάση έναν πρώτο αριθμό και εκθέτη έναν φυσικό αριθμό, είναι όλοι διαφορετικοί μεταξύ τους. Επομένως, δεν θα βρεθούν δύο διαφορετικοί ένοικοι στο ίδιο δωμάτιο. (Αν και πολλά δωμάτια, όπως το 1, το 6 ή το 10 θα μείνουν άδεια έτσι!!!)
Αυτό που χρειάζεται να κατανοήσουμε εδώ, είναι πως οι φυσικοί αριθμοί είναι άπειροι σε πλήθος, όπως άπειροι σε πλήθος είναι και οι πρώτοι αριθμοί, παρόλο που αποτελούν γνήσιο υποσύνολο των φυσικών. Όμως τα σύνολα των φυσικών, των πρώτων, αλλά και των αρτίων και των περιττών αριθμών, αν και άπειρα, είναι αριθμήσιμα. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να γίνει κάποιου είδους "καταμέτρηση" των φυσικών αριθμών. Αυτό είναι το πιο "απλό" άπειρο. Έτσι ο ρεσεψιονίστας μπορεί να διαχειριστεί τα άπειρα δωμάτια.
Αν κάποτε μείνετε στο ξενοδοχείο "Το Άπειρον", θα μπορέσετε να βγάλετε άκρη με το παράδοξο αυτό. Αλλά ίσως σας ξυπνήσει ο ρεσεψιονίστας τα ξημερώματα για να σας αλλάξει δωμάτιο...
Πηγές:
- Πανεπιστημιακές σημειώσεις "Θεωρίας Συνόλων" καθηγητή Θ.Βιδάλη, 2011
- TED Ed: The Infinite Hotel Paradox by Jeff Dekofsky
- Wikipedia: Hilbert's paradox of the Grand Hotel
Τετάρτη 13 Μαΐου 2020
Τρίτη 12 Μαΐου 2020
Γρίφος: Αριθμοί σε κύκλους
Τα διακεκομμένα κόκκινα βέλη υποδηλώνουν πρόσθεση. Τα έντονα μπλε βέλη υποδηλώνουν πολλαπλασιασμό. Ποιος αριθμός πρέπει να μπει στη θέση του ερωτηματικού;
(Πηγή) |
Δευτέρα 11 Μαΐου 2020
Στο μεταξύ, στην Ελλάδα του κορωνοϊού...
Προχωρά με επιτυχία η βιντεοσκόπηση των μαθημάτων στις σχολικές αίθουσες.
Μετά τη διευθέτηση του -κατά τα άλλα παράλογου- ζητήματος περί προστασίας προσωπικών δεδομένων, νέα, πιο ουσιώδη ερωτήματα βασανίζουν την εκπαιδευτική κοινότητα: Θα υπάρχει διαθέσιμη πούδρα για όλους τους εκπαιδευτικούς, ή θα γυαλίζει το μέτωπό μας στα βίντεο; Χορηγοί θα υπάρξουν; Πώς θα εμφανιζόμαστε κάθε μέρα με το ίδιο συνολάκι! Τέλος, θα διεξάγεται και ψηφοφορία τύπου Big Brother; Δηλαδή, όποιος κάνει βαρετό μάθημα, θα αποχωρεί;;;
Μέχρι να λυθούν και τα ανωτέρω ζητήματα, παρακολουθήστε ζωντανά το μάθημα των Μαθηματικών της Β' Γυμνασίου.
ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ!
Προβλήματα με τον ήχο κατά τη βιντεοσκόπηση των μαθημάτων σου; Τώρα, σου έχουμε τη λύση:
Ο νέος μαρκαδόρος-μικρόφωνο!
Γράφεις με τον μαρκαδόρο στον πίνακα, ενώ ταυτόχρονα μιλάς με το ενσωματωμένο ασύρματο* μικρόφωνο.
Ο νέος μαρκαδόρος-μικρόφωνο!
Γράφεις με τον μαρκαδόρο στον πίνακα, ενώ ταυτόχρονα μιλάς με το ενσωματωμένο ασύρματο* μικρόφωνο.
Μαρκαδόρος-μικρόφωνο! Το gadget που θα λατρέψει κάθε εκπαιδευτικός!
*Ο δέκτης πωλείται ξεχωριστά.
Πέμπτη 7 Μαΐου 2020
Αυτό που δεν πέτυχε ο μαρξισμός, το πέτυχε η Άλγεβρα!
Σάββατο 2 Μαΐου 2020
Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Τόρος και τοροειδή πολύεδρα
ΤΟΡΟΣ
Τα βιβλία γράφουν...
Τόρος είναι η επιφάνεια που παράγεται από την περιστροφή ενός κύκλου γύρω από έναν άξονα συνεπίπεδο με τον κύκλο.
Αντίστοιχα, στερεός τόρος είναι το στερεό που παράγεται από την περιστροφή ενός κυκλικού δίσκου γύρω από έναν άξονα συνεπίπεδο με τον κυκλικό δίσκο.
π.χ. Ένα φουσκωτό σωσίβιο είναι τόρος, ενώ ένα ντόνατ είναι στερεός τόρος.
Δεν ήταν λίγοι οι καλλιτέχνες που εμπνεύστηκαν και από τον τόρο...
Σελίδα από το βιβλίο του Johannes Lencker "Perspectiva Literaria" ("Λογοτεχνική Προοπτική", Νυρεμβέργη, 1567) |
Wayne Ferrebee (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Donut Universe with Centaur and Mummy" (2010) |
Wayne Ferrebee (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Torus with Spearman, Bagpipes and Barnacle" (2011) |
Marta Banaszak (γεν. 1975) - "Kamasutra Torus Black" (2014) |
Marta Banaszak (γεν. 1975) - "Kamasutra Torus Black" (2014) |
Amer Kobaslija (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Lowe's Tubes, Ichetucknee" (2018) |
Terry Romero Paul (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Penny Lane" |
Ο τόρος εισάγει μια νέα κατηγορία επιφανειών, αυτών που έχουν "τρύπα". Το πλήθος των τρυπών της επιφάνειας ονομάζεται γένος της επιφάνειας. Από τοπολογική άποψη, οι επιφάνειες του ίδιου γένους θεωρούνται ομοιομορφικοί, δηλαδή "ίδιοι".
ΤΟΡΟΕΙΔΗ ΠΟΛΥΕΔΡΑ
Τα βιβλία γράφουν...
Τα πολύεδρα με τοπολογικό τύπο τόρου λέγονται τοροειδή πολύεδρα και έχουν χαρακτηριστική Euler χ = Κ - Α + Ε = 0.
Εκτός από τα πλατωνικά στερεά, ένα άλλο αγαπημένο γεωμετρικό στερεό των Αναγεννησιακών ζωγράφων ήταν ένα τοροειδές πολύεδρο, το οποίο αποκαλούσαν Μαζζόκιο (Mazzocchio). Το συγκεκριμένο στερεό αντιπροσώπευε το υψηλότερο επίπεδο δεξιοτεχνίας στην εξάσκηση της προοπτικής για γεωμετρικά στερεά.
Τα βιβλία γράφουν...
Τα πολύεδρα με τοπολογικό τύπο τόρου λέγονται τοροειδή πολύεδρα και έχουν χαρακτηριστική Euler χ = Κ - Α + Ε = 0.
Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - Σχέδιο του Mazzocchio (αρχές
16ου αιώνα) |
Paolo Uccello (1397 - 1475) - Σχέδιο του Mazzocchio (μέσα 15ου αιώνα) |
Paolo Uccello (1397 - 1475) - Σχέδιο του Mazzocchio (μέσα 15ου αιώνα) |
Εκτός από τα πλατωνικά στερεά, ένα άλλο αγαπημένο γεωμετρικό στερεό των Αναγεννησιακών ζωγράφων ήταν ένα τοροειδές πολύεδρο, το οποίο αποκαλούσαν Μαζζόκιο (Mazzocchio). Το συγκεκριμένο στερεό αντιπροσώπευε το υψηλότερο επίπεδο δεξιοτεχνίας στην εξάσκηση της προοπτικής για γεωμετρικά στερεά.
Wentzel Jamnitzer (1508 - 1585) - Σχέδιο του Mazzocchio (μέσα 16ου αιώνα) |
|
Αναγεννησιακό ξυλόγλυπτο (Intarsia), έργο του Fra Giovanni da Verona (1457 - 1525). Μοναστήρι του Monte Olivetto, κοντά στη Siena (περ. 1503 - 1506). Απεικονίζει μια 72-εδρη σφαίρα (σφαίρα του Κάμπανου) και ένα τοροειδές πολύεδρο (Mazzocchio) |
Πηγές:
- E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
- Πανεπιστημιακές σημειώσεις "Ολικής Διαφορικής Γεωμετρίας" καθηγητή Θ. Χασάνη, 2010
- Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
- David Wade: Renaissance Geometricism
- George Adams Gallery: Amer Kobaslija
- Pixels: Don Barrett art
- Il Mazzocchio di Leonardo
- Marta Banaszak
- Terry Romero Paul
- Tessellations.org
- Wayne Ferebee
- Wolfram Math World: Torus
- wikipedia.org
Ετικέτες
αλγεβρική τοπολογία,
αναλυτική γεωμετρία,
γεωμετρία,
μαθηματικά και τέχνη,
πολύεδρα,
στερεά εκ περιστροφής
Τετάρτη 29 Απριλίου 2020
Γρίφος: Οι μυστηριώδεις πράξεις
Στην Άλγεβρα, μπορούμε με ένα οποιοδήποτε σύμβολο να συμβολίσουμε μια πράξη ή μια σειρά πράξεων που ορίσαμε μεταξύ δύο αριθμών. Αρκεί η πράξη αυτή να είναι καλά ορισμένη, δηλαδή το αποτέλεσμα της πράξης μεταξύ των δύο αριθμών να ορίζεται μονοσήμαντα και να ανήκει στο ίδιο σύνολο αριθμών με τους δύο αρχικούς.
Εγγραφή σε:
Αναρτήσεις (Atom)