5 Οκτωβρίου: Παγκόσμια Ημέρα Εκπαιδευτικών!

 

GIVEAWAY! Κερδίστε ένα σχολικό βοήθημα Άλγεβρας Β΄ Λυκείου!

Το blog "εις το άπειρον", σε συνεργασία με τις Εκδόσεις Ζήτη και τον μαθηματικό, συγγραφέα και YouTuber Φώτη Καραμπουτάκη, κληρώνει ένα σχολικό βοήθημα Άλγεβρας Β΄ Λυκείου!

📚Ένα σύγχρονο βιβλίο που ξεπερνά το κλασικό μοντέλο του βιβλίου και που απευθύνεται στον μαθητή του σήμερα –με περιεχόμενο, μέθοδο και τεχνολογική υποστήριξη! Με αυτό το βιβλίο, ο μαθητής έχει στη διάθεσή του όλα τα απαραίτητα εργαλεία για να κατανοήσει και να κατακτήσει την ύλη της χρονιάς, να θέσει τις βάσεις και να προετοιμαστεί κατάλληλα για την ύλη της Γ’ Λυκείου, καθώς το βοήθημα περιέχει:

• Aναλυτική παρουσίαση της θεωρίας του σχολικού βιβλίου
• Πλήρη μεθοδολογία για την αντιμετώπιση ενός μεγάλου φάσματος προβλημάτων
• Μια μεγάλη γκάμα άλυτων προβλημάτων (οι απαντήσεις τους παρέχονται σε ψηφιακό αρχείο)

Η καινοτομία του βιβλίου, όμως, βρίσκεται στους δεκάδες QR κωδικούς που ενσωματώνονται στις σελίδες του και περιέχουν:

❓Διαδραστικά quiz για άμεση αυτοαξιολόγηση.

📽️Επεξηγηματικά βίντεο με μεθοδική παρουσίαση βασικών τεχνικών επίλυσης.

🎬Βίντεο εκλαΐκευσης που απαντούν σε ερωτήματα όπως: Πώς προέκυψε ο αριθμός e;

Ένα σχολικό βοήθημα που κάνει τη μελέτη της Άλγεβρας μια πραγματικά ζωντανή εμπειρία! Μπορείτε να το προμηθευτείτε από εδώ...

🎁Ένας τυχερός/τυχερή μπορεί τώρα να κερδίσει ένα αντίτυπο του βιβλίου «Άλβεβρα Β΄ Λυκείου» του Φώτη Καραμπουτάκη, προσφορά των Εκδόσεων Ζήτη, μέσα από το 5^ο giveaway του blog μας.

Για να πάρετε μέρος στην κλήρωση, πρέπει και αρκεί:

1. Να είστε ακόλουθοι του blog "εις το άπειρον" (η εγγραφή γίνεται με χρήση gmail πατώντας πάνω στο μπλε κουμπάκι)

2. Μπορείτε να διπλασιάσετε την πιθανότητα επιτυχίας κάνοντας like στη σελίδα «Εκδόσεις Ζήτη» στο facebook.

3. Να αφήσετε ένα σχόλιο σ’ αυτή την ανάρτηση αναγράφοντας το e-mail σας ώστε να ειδοποιηθείτε σε περίπτωση που κερδίσετε.

4. Αν διεκδικείτε έξτρα συμμετοχή μέσω facebook, μην ξεχάσετε επίσης να γράψετε το όνομα που χρησιμοποιείτε στο facebook.

5. Προσοχή: Αν στο σχόλιο φαίνεστε ως ανώνυμοι, φροντίστε να γράψετε το όνομά σας (δυστυχώς ανώνυμα σχόλια δεν μπορούν να ληφθούν υπόψη).

🎲Ο διαγωνισμός λήγει το Σάββατο 11 Οκτωβρίου 2025 στις 23:59. Την Κυριακή 12 Οκτωβρίου 2025 θα ανακοινωθεί στην παρούσα ανάρτηση ο νικητής/νικήτρια που θα αναδείξει η κλήρωση μέσω του Online Random Picker από το Simpliers και θα ειδοποιηθεί και μέσω e-mail (στο e-mail που θα έχει δηλώσει)! Το δώρο θα αποσταλεί στο νικητή/νικήτρια από τις Εκδόσεις Ζήτη, μόλις έχουμε τη διεύθυνσή του/της.  Αν ο νικητής/νικήτρια δεν επικοινωνήσει εντός μιας εβδομάδας, θα ξαναγίνει κλήρωση για να αναδειχθεί ο τυχερός/τυχερή που θα τον αντικαταστήσει.

Καλή επιτυχία σε όλους!!!

Το Παράδοξο του Επιμενίδη μέσα από τον «Δον Κιχώτη»

Ένα παλιότερο σχόλιο αναγνώστη του μπλογκ ήταν η αφορμή για τη σημερινή ανάρτηση…

Στο μνημειώδες έργο του Μιγκέλ ντε Θερβάντες  «Δον Κιχώτης», στο κεφάλαιο με τίτλο «Σχετικά με την πρόοδο της κυβέρνησης του Σάντσο Πάντσα καθώς και με άλλα παρόμοια γεγονότα» ο Θερβάντες παρουσιάζει ένα από τα πιο ενδιαφέροντα φιλοσοφικά και λογικά παράδοξα, ντυμένο με τη χιουμοριστική και δηκτική του πένα.

Στο εν λόγω κεφάλαιο, ο πιστός ακόλουθος του ηρωικού ιππότη από την Μάντσα,  Σάντσο Πάντσα, αφού έχει διοριστεί κυβερνήτης του νησιού Μπαρατάρια, καλείται να λύσει μια σειρά από δίκες και ηθικά διλήμματα. Προηγουμένως στο έργο, ο Δον Κιχώτης εξηγούσε ότι μια απαραίτητη ικανότητα/επιστήμη για έναν περιπλανώμενο ιππότη ήταν τα Μαθηματικά, γιατί  «…σε κάθε περίπτωση, θα τα χρειαζόταν»! 

Ο Σάντσο, λοιπόν, βρέθηκε αντιμέτωπος με το εξής πρόβλημα: Υπήρχε ένα κτήμα το οποίο διέσχιζε ένα ποτάμι. Ο ιδιοκτήτης του κτήματος είχε την κάπως περίεργη συνήθεια να αναγκάζει τους διερχόμενους που ήθελαν να περάσουν από το ποτάμι στο κτήμα του να του λένε, ορκιζόμενοι στην τιμή τους, πού ήθελαν να πάνε τελικά. Αν έλεγαν την αλήθεια, τούς άφηνε να περάσουν, αλλά αν έλεγαν ψέματα τούς κρεμούσε επιτόπου!

Εφαρμοζόταν για καιρό αυτός ο «νόμος» και οι δικαστές άφηναν σχεδόν όλο τον κόσμο να περνάει, ώσπου μια μέρα εμφανίστηκε ένας άνδρας που είπε πως θα τον κρεμούσαν ακριβώς εκεί!

Οι δικαστές τότε είπαν: «Αν αφήσουμε αυτόν τον άντρα να περάσει ελεύθερα, σημαίνει πως είπε ψέματα αθετώντας τον όρκο τιμής του και άρα πρέπει, σύμφωνα με τον νόμο, να πεθάνει. Αλλά, αν τον κρεμάσουμε, μιας και ορκίστηκε ότι θα πέθαινε στην αγχόνη και σύμφωνα με τον ίδιο νόμο, πρέπει να αφεθεί ελεύθερος!»

Μας τα ξανάπε πριν τον Θερβάντες ο Επιμενίδης! Το παράδοξο του Επιμενίδη εντάσσεται σε μια ευρύτερη κατηγορία λογικών προβλημάτων, γνωστών ως αυτοαναφορικά παράδοξα ή παράδοξα ψεύδους. Η χρήση του παραδόξου από τον Θερβάντες δεν είναι τυχαία. Ο συγγραφέας του Δον Κιχώτη, έργου που θεωρείται το πρώτο σύγχρονο μυθιστόρημα, διακρίνεται για τη μεταμυθοπλασία, τον σαρκασμό και το παιχνίδι με τα όρια της αλήθειας και της φαντασίας. Το δίλημμα για τον Σάντσο Πάντσα είναι προφανές, όμως τελικά ο Σάντσο συμβουλεύει να αφεθεί ο άντρας ελεύθερος, επειδή «είναι πάντα καλύτερο να κάνεις το καλό, παρά το κακό...»

 

👉Διαβάστε επίσης στο «εις το άπειρον»:

Το παράδοξο του ψεύτη... Από τον Επιμενίδη στο Star Trek και ο γρίφος του γελωτοποιού 

Το ChatGPT προσπάθησε να λύσει μαθηματικό πρόβλημα που είχε καταγράψει ο Πλάτωνας – Αυτά ήταν τα αποτελέσματα

 

Το πρόβλημα του διπλασιασμού του τετραγώνου παρουσιάζεται στον «Μένωνα» του Πλάτωνα γύρω στο 385 π.Χ., ως μέρος της φιλοσοφικής συζήτησης για την προέλευση της γνώσης. Εδώ και πάνω από 2.400 χρόνια, το πρόβλημα αυτό χρησιμοποιείται ως παράδειγμα στη διδασκαλία των μαθηματικών και συνεχίζει να πυροδοτεί φιλοσοφικές συζητήσεις για το αν η γνώση είναι έμφυτη ή αποκτάται με εμπειρία.

 

Στον διάλογο «Μένων», ο Πλάτωνας περιγράφει για το πώς ο Σωκράτης προσκαλεί έναν από τους δούλους που τον συνοδεύουν, ο οποίος γνωρίζει ελληνικά αλλά όχι μαθηματικά, να εξετάσει μαζί του το εξής γεωμετρικό πρόβλημα: Με ποιον τρόπο μπορεί να διπλασιαστεί ένα τετράγωνο; Δηλαδή να βρούμε την πλευρά τετραγώνου το οποίο να έχει διπλάσιο εμβαδόν από το αρχικό. Το αγόρι στην αρχή έκανε λάθος λέγοντας ότι διπλασιάζοντας το μήκος των πλευρών, διπλασιάζεται και το εμβαδόν του. Ωστόσο, μέσω μιας σειράς ερωτήσεων, ο Σωκράτης το καθοδήγησε ώστε να βρει τη σωστή λύση: οι πλευρές του νέου τετραγώνου πρέπει να έχουν ίδιο μήκος με τη διαγώνιο του αρχικού τετραγώνου.

Η αλγεβρική λύση και η... άποψη του ChatGPT

Οι ερευνητές Δρ. Nadav Marco και Καθηγητής Ανδρέας Στυλιανίδης έθεσαν το ίδιο πρόβλημα στο ChatGPT-4. Εξέτασαν την ικανότητα του chatbot να βρίσκει λύσεις, θέτοντας μια σειρά ερωτήσεων στην ίδια λογική με αυτή του Σωκράτη. Το κεντρικό ζητούμενο ήταν κατά πόσο το chatbot θα κατόρθωνε να λύσει το πρόβλημα, είτε αντλώντας πληροφορίες από την τεράστια βάση δεδομένων με την οποία εκπαιδεύεται, είτε αναπτύσσοντας λύσεις. «Όταν ερχόμαστε αντιμέτωποι με ένα νέο πρόβλημα, το ένστικτό μας συχνά είναι να δοκιμάζουμε πράγματα βασισμένα σε προηγούμενη εμπειρία μας. Στο πείραμά μας, το ChatGPT φάνηκε να κάνει κάτι παρόμοιο», δήλωσε ο Δρ. Marco. 

Συγκεκριμένα, οι ερευνητές ζήτησαν από το ChatGPT-4 να βρει την πλευρά του τετραγώνου που θα έχει διπλάσιο εμβαδόν από το τετράγωνο πλευράς 2. Το chatbot, έπειτα από αλγεβρικούς υπολογισμούς, έδωσε την απάντηση \(\sqrt{8}\). Όταν οι ερευνητές προσπάθησαν να το «παγιδεύσουν» να κάνει το ίδιο λάθος με το αγόρι από το «Μένωνα», ρωτώντας το μήπως πρέπει να διπλασιαστεί η πλευρά του αρχικού τετραγώνου, αυτό δεν έκανε λάθος. Εκεί, όμως, που φάνηκε να δυσκολεύεται ήταν η γεωμετρική λύση του προβλήματος. Καθώς ο άρρητος \(\sqrt{8}\) δεν είναι ακριβώς ίσος ούτε με 2,82 ούτε με 2,83, αν σχεδιάζαμε ένα τετράγωνο με πλευρά 2,82 ή 2,83, το νέο τετράγωνο δεν θα είχε ακριβώς το διπλάσιο εμβαδόν, αλλά λίγο μικρότερο ή λίγο μεγαλύτερο από 8. Το ChatGPT όμως επέμενε ότι πρακτικά θα ήταν αποδεκτή μια στρογγυλοποίηση  όπως το 2,8 ή εναλλακτικά πρότεινε τη μέτρηση με χρήση οργάνων ακριβείας! 

 

Η γεωμετρία δεν είναι το δυνατό σημείο των LLM

Το ChatGPT σε γενικές γραμμές δυσκολεύεται να αποδώσει καλά σε γεωμετρικούς συλλογισμούς, δεδομένου ότι πρόκειται για μεγάλο γλωσσικό μοντέλο (LLM) που εκπαιδεύεται σε κείμενα και η πρόσβαση σε γεωμετρικές αναπαραστάσεις χρειάζεται υποβοήθηση. Παρ’ όλα αυτά, οι ερευνητές ανέμεναν ότι θα κατόρθωνε να αναγνωρίσει ένα ευρέως γνωστό πρόβλημα και θα αναπαρήγαγε την κλασική γεωμετρική λύση του Σωκράτη.

«Αν απλώς ανακαλούσε από μνήμης, θα ήταν σχεδόν βέβαιο ότι θα ανέφερε κατευθείαν την κλασική λύση της δημιουργίας του νέου τετραγώνου από τη διαγώνιο του αρχικού», εξηγεί ο Καθηγητής Στυλιανίδης. «Αντιθέτως, φαίνεται ότι η συμπεριφορά του LLM εξαρτάται από τα συμφραζόμενα». 

Παραδόξως, το chatbot αρχικά επέλεξε την αλγεβρική μέθοδο επίλυσης εξίσωσης δευτέρου βαθμού, που ήταν άγνωστη στην εποχή του Πλάτωνα, και δεν προσέφερε αυθόρμητα τη γεωμετρική λύση. Μόνο όταν οι ερευνητές εξέφρασαν την «απογοήτευσή» τους, το chatbot έδωσε την γεωμετρική λύση της διαγωνίου.

Οι ερευνητές στη συνέχεια του έθεσαν δύο νέες προκλήσεις: τον διπλασιασμό του εμβαδού ενός ορθογώνιου παραλληλόγραμμου και ενός τριγώνου, διατηρώντας τις αρχικές αναλογίες. Και στις δύο περιπτώσεις, το ChatGPT επέλεξε ξανά την αλγεβρική λύση, αγνοώντας την προτίμηση των ερευνητών για τη γεωμετρική.

Όταν, δε, ρωτήθηκε για το πρόβλημα του ορθογώνιου, υποστήριξε λανθασμένα ότι η διαγώνιος προσφέρει άμεση γεωμετρική λύση. Οι ερευνητές πιστεύουν ότι το λάθος δεν προερχόταν από τη βάση δεδομένων του, αλλά ότι ήταν μία εικασία βασισμένη στην προηγούμενη συζήτησή τους για τη διαγώνιο του τετραγώνου. Δηλαδή το ChatGPT παρήγαγε ένα λάθος, όχι επειδή «θυμόταν» λάθος, αλλά επειδή κατασκεύασε μια νέα, λανθασμένη λύση (το λεγόμενο genetic error). Ωστόσο, ύστερα από περαιτέρω καθοδήγηση, βρήκε εντέλει τη σωστή γεωμετρική λύση.

Οι ερευνητές συμπέραναν ότι, από την οπτική του χρήστη, η συμπεριφορά του ChatGPT ανακατεύει ανάκληση δεδομένων με συλλογιστική… της στιγμής. Την συνέκριναν με τη «ζώνη επικείμενης ανάπτυξης», την απόσταση δηλαδή ανάμεσα σε αυτά που γνωρίζει ήδη κάποιος και σε αυτά που θα μπορούσε να μάθει με καθοδήγηση.

Όμως αυτοί οι περιορισμοί της ΤΝ, σύμφωνα με την ερευνητική ομάδα, θα μπορούσαν να αποδειχθούν ευκαιρία μάθησης για τους σπουδαστές, τους οποίους συμβουλεύουν να δίνουν στο chatbot εντολές που ενθαρρύνουν τη συνεργατική επίλυση προβλημάτων αντί απλώς να ζητούν την απάντηση. Με αυτόν τον τρόπο, θα εξασκήσουν τη δική τους κριτική σκέψη και συλλογιστική ικανότητα.

Η έρευνα δημοσιεύθηκε στο ακαδημαϊκό περιοδικό International Journal of Mathematical Education in Science and Technology.

"Σκέφτομαι, άρα υπάρχω"

Το blog "eis to apeiron" εύχεται σε μαθητές, γονείς και εκπαιδευτικούς Καλή σχολική χρονιά! 

Έχει πολύ ενδιαφέρον να διαβάσουμε τα λόγια του Καρτέσιου (Ρενέ Ντεκάρτ) για τη σχολική του εκπαίδευση και πώς αυτή τον οδήγησε να εισαγάγει διαδικασίες για την μάθηση, οι οποίες άλλαξαν την εκπαιδευτική προσέγγιση σε όλον τον κόσμο...

"Είχα τη διαβεβαίωση ότι στο σχολείο μπορούσα να αποκτήσω μια ξεκάθαρη γνώση για όλα όσα είναι χρήσιμα στη ζωή. Είχα μεγάλη επιθυμία να τα μάθω. Αλλά μόλις ολοκλήρωσα την σχολική μου εκπαίδευση, άλλαξα εντελώς γνώμη. Και αυτό γιατί βρέθηκα γεμάτος από τόσες αμφιβολίες, που νόμιζα ότι δεν είχα κερδίσει τίποτα άλλο από το να προσπαθώ να διδάξω τον εαυτό μου, παρά να ανακαλύπτω όλο και περισσότερο την άγνοιά μου. 

Είχα διαβάσει κάθε βιβλίο που μπορούσα να έχω στα χέρια μου, κάτι που με έκανε να σκεφτώ ότι δεν υπήρχε στον κόσμο τέτοια μάθηση στην οποία θα μπορούσα να ελπίζω. Πάνω απ' όλα χάρηκα τα Μαθηματικά, λόγω της βεβαιότητας και της απολυτότητας των λόγων τους, αλλά δεν είχα ανακαλύψει ακόμα την πραγματική τους χρήση, θεωρώντας ότι χρησίμευσαν μόνο για τις μηχανικές τέχνες. Έμεινα όμως έκπληκτος καθώς κανένα φιλοσοφικό ερώτημα δεν είχε χτιστεί πάνω τους, παρότι τα θεμέλια τους ήταν τόσο γερά και στέρεα. 

Σχετικά με τη φιλοσοφία δεν θα πω τίποτα, εκτός από το ότι είχε καλλιεργηθεί από τα πιο ισχυρά μυαλά που είχαν ζήσει για πολλούς αιώνες. Ωστόσο δεν υπήρχε ακόμη σε αυτήν απολύτως τίποτα που να μην αμφισβητείται και επομένως τα πάντα ήταν ανοιχτά".

Ο Καρτέσιος, λοιπόν, αναζήτησε την αλήθεια, η οποία δεν του προσφέρθηκε, ωθούμενος από την αμφιβολία και ακολουθώντας συγκεκριμένα βήματα στη σκέψη του. Αν και η βεβαιότητα ήταν η κεντρική του ιδέα, ο δρόμος προς τη βεβαιότητα ξεκίνησε από την αμφιβολία. Το σημαντικότερο όμως είναι πως δεν έμεινε στην αμφιβολία, αλλά την χρησιμοποίησε ως την ώθηση που θα τον οδηγούσε στη βεβαιότητα... 

Πορτρέτο του Καρτέσιου, που έδωσε το όνομά του στο "καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων" και γνωστού για τη ρήση "Cogito ergo sum" ("Σκέφτομαι, άρα υπάρχω").

Σκέφτομαι, άρα υπάρχω!

Το απόλυτο μήνυμα όλων των εποχών...

Γρίφος: Φιλήσυχοι ιθαγενείς και ψεύτες ανθρωποφάγοι

 

Ένας εξερευνητής έχει βρεθεί σε μία ζούγκλα που κατοικείται από δύο φυλές ιθαγενών. Η πρώτη φυλή αποτελείται από φιλήσυχους ιθαγενείς οι οποίοι λένε πάντα την αλήθεια. Η δεύτερη φυλή αποτελείται από ανθρωποφάγους που λένε πάντοτε ψέματα. Κατά τα άλλα, οι ιθαγενείς είναι απολύτως όμοιοι. Τρέχοντας ο εξερευνητής μας για να ξεφύγει από ένα λιοντάρι που τον κυνηγά, βρίσκεται μπροστά σε ένα σταυροδρόμι, στο οποίο, όπως γνωρίζει, ο ένας δρόμος οδηγεί στο χωριό των φιλήσυχων και ο άλλος στο χωριό των ανθρωποφάγων. Δεν μπορεί όμως να θυμηθεί ποιος δρόμος οδηγεί πού! Μπροστά στο σταυροδρόμι κάθεται ένας ιθαγενής μιας εκ των δύο φυλών. Ο εξερευνητής έχει χρόνο να του κάνει μόνο μία ερώτηση. 

Τι θα τον ρωτήσει για να οδηγηθεί στο χωριό των φιλήσυχων ιθαγενών;

"Η τελευταία εξίσωση του Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή"

 

«Μετρώ, γράφω, αλλά δεν γοητεύω το είναι μου. Μπορεί να αντιμετωπίζω με δέος το να μετρήσω μια πυραμίδα, αλλά δεν μπορώ να ονειρευτώ. Μοιάζω με κουρδισμένο ανθρωπάκι που εκτελεί προγραμματισμένες κινήσεις σε μια προγραμματισμένη εργασία. Πού είναι το πνεύμα, η σκέψη μου; Πώς θα μπορέσω να λύσω την απορία μου χωρίς να σκεφτώ τη μαθηματική σχέση;»

Ο παραπάνω μονόλογος, όπως τον διαβάζουμε στο βιβλίο του Ελπιδοφόρου Ιντζέμπελη «Η τελευταία εξίσωση του Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή» (Εκδ. Στοχαστής) μάς μεταφέρει στα χρόνια που ο κορυφαίος Έλληνας μαθηματικός, Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή (1873-1950), βρισκόταν στην Αίγυπτο. Το 1898 προσελήφθη, με την ειδικότητα του μηχανικού, ως βοηθός στην κατασκευή του φράγματος του Ασουάν. Εκείνη την εποχή πήρε την απόφαση να εγκαταλείψει το επάγγελμα του μηχανικού και να αφοσιωθεί στα μαθηματικά.

Το βιβλίο «Η τελευταία εξίσωση του Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή», μια μυθιστορηματική βιογραφία με ήρωα τον κορυφαίο εκπρόσωπο της μαθηματικής επιστήμης και της θεωρητικής φυσικής, παρουσιάζει συνοπτικά την πορεία και την προσωπικότητα του Έλληνα μαθηματικού, ο οποίος πέρασε τα περισσότερα χρόνια της ζωής του στη Γερμανία όπου και διακρίθηκε. Έμεινε στην ιστορία ως ένας από τους σπουδαιότερους μαθηματικούς του 20ού αιώνα, με ένα έργο τεράστιας επιστημονικής σημασίας.

Η αφήγηση ξεκινά όταν ο Μιχάλης, ένας Έλληνας φοιτητής, θα βρεθεί στο Μόναχο για να κάνει μεταπτυχιακές σπουδές στη Φυσική στο Πανεπιστήμιο της πόλης. Η γνωριμία και η σχέση που θα ξεκινήσει με την Μαρκέλλα, μια νεαρή κοπέλα με μητέρα Γερμανίδα και πατέρα Έλληνα, αποκτά νέα σημασία όταν ανακαλύπτει ότι μοιράζονται το ίδιο πάθος για τη Μαθηματική Λογοτεχνία.  Επιπλέον, το γεγονός ότι ο Κωνσταντίνος Καραθεoδωρή έζησε στο Μόναχο εμπνέει τους δύο νέους, οι οποίοι αποφασίζουν να ξεδιπλώσουν τις σελίδες της ζωής του πρωτοπόρου επιστήμονα.

Ολόκληρη αφήγηση, η ανάμειξη ντοκουμέντων και φανταστικών στοιχείων, έχει ως στόχο την ανάδειξη της προσωπικότητας του κεντρικού ήρωα. Ο αναγνώστης έχει τη δυνατότητα να ακολουθήσει τον Καραθεοδωρή στα χρόνια των σπουδών του στο Βερολίνο, όταν συνδέθηκε με ορισμένους από τους κορυφαίους μαθηματικούς της εποχής του, όπως τον Λάζαρο Φουξ, τον Χέρμαν Σβαρτς, και τον ΓκέοργκΦρομπένιους. Τότε έκανε ένα ακόμα βήμα που ενίσχυσε την επιστημονική του εξέλιξη: Εγκαταστάθηκε στο Γκέτινγκεν, την καλύτερη μαθηματική σχολή της Γερμανίας. Εκεί, ορισμένοι διαπρεπείς καθηγητές, όπως ο Ντάβιντ Χίλμπερτ και ο Χέρμαν Μινκόφσκι θα διακρίνουν την ποιότητα του μυαλού του και θα τον ωθήσουν να γίνει πανεπιστημιακός δάσκαλος. Η διατριβή του με θέμα «Περί των ασυνεχών λύσεων στο λογισμό μεταβολών», θα τους δικαιώσει.

Δεν θα μπορούσε να μη γίνει ιδιαίτερη αναφορά στη φιλική σχέση του Καραθεοδωρή με τον Αϊνστάιν, στην ουσιαστική στήριξη που παρείχε στον διάσημο νομπελίστα, όταν εκείνος διατύπωσε την «Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας». Είναι γνωστό ότι σε αυτό το εγχείρημα ο Αϊνστάιν είχε τη συμπαράσταση ελάχιστων συναδέλφων του. Ένας από αυτούς ήταν και ο Κ. Καραθεοδωρή.

Ορισμένες από τις πιο δυσάρεστες εμπειρίες της ζωής του συνδέθηκαν, πάντως, με την Ελλάδα, τη χώρα που υπεραγαπούσε και προσπαθούσε να βοηθήσει με κάθε τρόπο. Αναφερόμαστε στην ημιτελή προσπάθειά του, λόγω της Mικρασιατικής Kαταστροφής, να οργανώσει το Ιώνιο Πανεπιστήμιο της Σμύρνης και την έλλειψη υποστήριξης από φοιτητές και καθηγητές, όταν θέλησε να διδάξει στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Η επιστροφή του στη Γερμανία ήταν αναπόφευκτη. Εκεί είχε την τύχη να αποχωρίσει από τη θέση του καθηγητή το 1938, καταξιωμένος και με τις τιμές που του άξιζαν.

Το 1ο Συνέδριο Μαθηματικών και Εκλαϊκευμένης Επιστήμης στη Δεσκάτη

 

Η εκλαϊκευμένη επιστήμη αποτελεί έναν θεμελιώδη κρίκο ανάμεσα στην ακαδημαϊκή γνώση και την κοινωνία. Μέσα από την προσβάσιμη, κατανοητή και συχνά δημιουργική παρουσίαση επιστημονικών εννοιών, επιτυγχάνεται η εξοικείωση του ευρύτερου κοινού με τη σύγχρονη επιστημονική σκέψη, ενισχύεται ο κριτικός αναστοχασμός και καλλιεργείται η εμπιστοσύνη στην επιστημονική μεθοδολογία. Ειδικά στα μαθηματικά, που συχνά θεωρούνται "δύσκολα" ή "απόμακρα", η εκλαΐκευση βοηθά να αναδειχθεί η ομορφιά, η λογική και η χρηστικότητά τους στην καθημερινότητα. Η μετάδοση της επιστημονικής γνώσης πέρα από τα στενά όρια της πανεπιστημιακής κοινότητας δεν είναι απλώς επιθυμητή, είναι αναγκαία.

 

Σε μια εποχή όπου η παραπληροφόρηση διαδίδεται ραγδαία, ένα συνέδριο εκλαϊκευμένης επιστήμης, είναι μια γιορτή της γνώσης. Στη Δεσκάτη Γρεβενών –τόπο καταγωγής μου– διοργανώθηκε στις 20-22/08/2025 το 1^ο Συνέδριο Μαθηματικών και Εκλαϊκευμένης Επιστήμης, όπου εκτός από τις διαλέξεις πάνω στη Μαθηματική Ανάλυση, υπήρξαν ομιλίες εκλαϊκευμένης επιστήμης, ενισχύοντας το διάλογο μεταξύ επιστήμης και τοπικής κοινωνίας.

Γρηγόριος Φουρνόδαυλος, Πανεπιστήμιο Κρήτης
"Ο θαυμαστός κόσμος του δρ Αϊνστάιν"
Είναι οι μαύρες τρύπες τα μόνα αντικείμενα που μπορούν να προκύψουν από την κατάρρευση της ύλης; Τι γίνεται, άραγε, αν πέσει κάποιος μέσα στη μαύρη τρύπα; 
Κάναμε μια ιστορική αναδρομή στις ανακαλύψεις που απορρέουν από τη θεωρία της σχετικότητας και συζητήσαμε τις συνέπειές της στον πραγματικό κόσμο. 

Νικόλαος Αθανασίου, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
"Πώς μπορούν οι μαθηματικοί να φτιάξουν μια μαύρη τρύπα;"
Ομολογουμένως, λίγες έννοιες της Μαθηματικής Φυσικής κατορθώνουν να διεγείρουν τη φαντασία όσο αυτή μιας μαύρης τρύπας! Από ένα γράμμα προς τον Albert Einstein τον Δεκέμβριο του 1915 σταλμένο από το μέτωπο του Α΄ Παγκοσμίου Πολέμου, έως και σήμερα, η έννοια των μελανών οπών συνοδεύει τη Θεωρία της Γενικής Σχετικότητας. Κάναμε μια ιστορική αναδρομή αυτής της ενδιαφέρουσας έννοιας, δώσαμε μια εικόνα του τι μπορούν να πουν τα Μαθηματικά γι' αυτήν και, τέλος, προσπαθήσαμε να δώσουμε μια απάντηση στο ερώτημα: "Πώς μπορούν οι μαθηματικοί να φτιάξουν μια μαύρη τρύπα;"

Μυρτώ Μανωλάκη, University College Dublin
"Μη μου τις ελλείψεις τάραττε"
Οι πρωταγωνίστριες της ομιλίας αυτής ήταν οι ελλείψεις, οι οποίες απαντώνται σε ένα ευρύ φάσμα προβλημάτων των Μαθηματικών και της Φυσικής. Είδαμε ορισμένες ιδιότητές τους και εστιάσαμε στο Θεώρημα του Poncelet, το οποίο μας επιτρέπει να εξετάσουμε το παιχνίδι του μπιλιάρδου σε κατάλληλα ελλειπτικά τραπέζια.

Μαρίνα Ηλιοπούλου, Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
"Σύνολα ακεραίων αποστάσεων"
Ονομάζουμε σύνολο ακεραίων αποστάσεων ένα σύνολο σημείων στο επίπεδο, όταν όλες οι μεταξύ τους αποστάσεις είναι ακέραιοι αριθμοί. Εξηγήσαμε ότι κάθε τέτοιο σύνολο ζει πάνω σε μία γραμμή ή έναν κύκλο, με εξαίρεση ίσως μόνο λίγων σημείων του και είδαμε πώς αυτό οδηγεί σε πρόοδο σε κάποια κλασικά ερωτήματα του Erdos και στην εικασία του Lang.

Οδυσσέας Μπάκας, Πανεπιστήμιο Πατρών 
"Λάθη στα Μαθηματικά" 
Συζητήσαμε πτυχές της έννοιας του λάθους και της διαχείρισής του στα Μαθηματικά. Είδαμε ορισμένα λάθη που έγιναν στα Μαθηματικά, από την αρχαιότητα μέχρι τη σύγχρονη εποχή και πού οδήγησε τελικά η ανακάλυψή τους. 

Μαριάννα Χατζάκου, Πανεπιστήμιο της Γάνδης
"Γιατί δεν μπορούμε να ανακατέψουμε στ' αλήθεια  μια κούπα καφέ;"
Αποδείξαμε ότι, όταν ανακατεύουμε μια κούπα καφέ, υπάρχει πάντα ένα "σημείο" ή, αν προτιμάτε, μια εξαιρετικά μικρή ποσότητα καφέ που δεν μετακινείται. Ο λόγος είναι αυτό που οι μαθηματικοί γνωρίζουν ως το "Θεώρημα Σταθερού Σημείου του Brouwer". 

Τα 5 πιο περίεργα μαθηματικά μοντέλα

 

Γράφει ο Θανάσης Κοπάδης, Μαθηματικός – Συγγραφέας

 

 

Τα μαθηματικά χρησιμοποιούνται εδώ και χιλιάδες χρόνια για τη μελέτη, την περιγραφή και την αξιοποίηση φαινομένων του φυσικού κόσμου που μας περιβάλλει.

Η μεγάλη χρησιμότητα των μαθηματικών προκύπτει από τη δυνατότητα, μέσω της χρήσης τους, να κάνουμε προβλέψεις για τα παραπάνω φαινόμενα, με άλλα λόγια να δημιουργούμε μοντέλα που να αναπαριστούν τα υπό μελέτη φαινόμενα. Η πρόβλεψη/προσομοίωση συμπεριφορών και ιδιοτήτων πολύπλοκων συστημάτων είναι κυρίως ο βασικός στόχος της μαθηματικής μοντελοποίησης.  

 Τα μαθηματικά μοντέλα χρησιμοποιούνται σε πολλές επιστήμες όπως στη φυσική, στις οικονομικές επιστήμες, αλλά και στη βιολογία. Στην τελευταία ανήκουν και τα μοντέλα επιδημιών  που εύκολα αντιλαμβάνεται κανείς την σημαντικότητά τους, αφού ο στόχος τους είναι η πρόβλεψη της χρονικής εξέλιξης ασθενειών-επιδημιών. Σήμερα, περισσότερο από ποτέ, βλέπουμε πόσο σπουδαίο εργαλείο αποτελούν αυτά τα μοντέλα αφού ουσιαστικά κατευθύνουν την πολιτεία για τις απαραίτητες ενέργειες που πρέπει να πάρει προκειμένου να έχουμε μείωση στη μετάδοση του κορωνοϊού.

 Μαθηματικά μοντέλα παρόμοια με εκείνα που χρησιμοποιούνται για την παρακολούθηση μεταδοτικών ασθενειών και επιδημιών όμως δείχνουν και τι συμβαίνει όταν τα κοινωνικά δίκτυα και το ίντερνετ  βομβαρδίζονται από πάρα πολλές πληροφορίες. Ουσιαστικά τα μαθηματικά μοντέλα για να εξερευνήσουν τον τρόπο με τον οποίο τα fake news διαδίδονται στα κοινωνικά δίκτυα χρησιμοποιούν κατά βάση μοντέλα που μελετούν τον τρόπο διάδοσης των ασθενειών και των επιδημιών γενικότερα. 

Αν και η μαθηματική μοντελοποίηση έγινε περισσότερο γνωστή σήμερα, ως κλάδος των εφαρμοσμένων μαθηματικών υφίσταται πολλά χρόνια. Ας προσπαθήσουμε λοιπόν να φτιάξουμε ένα top5 "περίεργων" μαθηματικών μοντέλων.

1️⃣ Μαθηματικό μοντέλο για τα mosh pits

Δύο καθηγητές σε πανεπιστήμιο της Νέας Υόρκης κατάφεραν να φτιάξουν το μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει τις κινήσεις των ανθρώπων σε ένα mosh pit.

Πριν λίγα χρόνια ο ένας από αυτούς πήγε σε μια συναυλία με την κοπέλα του. «Υπό άλλες συνθήκες θα πηδούσα μέσα στο mosh pit. Αλλά εκείνη τη φορά ήθελα να την έχω σε ασφαλές σημείο οπότε κάτσαμε στην άκρη και παρακολουθούσαμε τα πράγματα από εκεί». Καθώς παρατηρούσε τα άτομα συνειδητοποίησε ότι η κίνησή τους έμοιαζε με αυτή των μορίων ενός αερίου.

Ο δύο επιστήμονες πήγαν σε συναυλίες και παρακολούθησαν πολλά βίντεο στο youtube στα πλαίσια της έρευνας τους. Χρησιμοποιώντας μερικές μεταβλητές, όπως την ταχύτητα κίνησης των ατόμων ή την πυκνότητα του πλήθους κατάφεραν να διατυπώσουν το μαθηματικό μοντέλο.

Η εν λόγω έρευνα μπορεί να βοηθήσει και για άλλους λόγους, καθώς δίνει πληροφορίες και για την κίνηση ανθρώπων σε περίπτωση έκτακτης ανάγκης και πανικού, οπότε μπορεί να συντελέσει στη βελτίωση συγκεκριμένων μέτρων ασφαλείας.

Δείτε την προσομοίωση του παραπάνω μοντέλου:

http://mattbierbaum.github.io/moshpits.js/ 

2️⃣ Μαθηματικό μοντέλο για το top10

Πρόκειται για ένα μαθηματικό μοντέλο που έχει να κάνει με την δημιουργία ενός αλγορίθμου που φτιάχνει μουσικά "σουξέ".

Συγκεκριμένα Βρετανοί ερευνητές υποστήριξαν ότι αλγόριθμοι μηχανικής μάθησης, οι οποίοι λαμβάνουν υπόψη παραμέτρους όπως η ένταση του ήχου, η διάρκεια του τραγουδιού και το πόσο χορευτικό είναι, μπορούν να προβλέπουν χονδρικά ποια κομμάτια θα γίνουν επιτυχίες.

Το ποσοστό επιτυχίας των αλγόριθμων αυξομειώνεται ανάλογα με την εποχή. Όταν όμως πρόκειται για μουσική από τέλη της δεκαετίας του 1990 έως σήμερα, οι αλγόριθμοι προβλέπουν με ακρίβεια 60% το εάν ένα τραγούδι θα καταφέρει να μπει στο Top5.

Όπως εξήγησαν οι ερευνητές σε Διεθνές Συνέδριο Μηχανικής Μάθησης και Μουσικής οι αλγόριθμοι εξέτασαν τα στοιχεία του επίσημου βρετανικού Top40 των singles για τα τελευταία 50 χρόνια.

Οι αλγόριθμοι συνέκριναν τα πέντε πιο πετυχημένα τραγούδια κάθε κατάταξης με τα λιγότερο πετυχημένα τραγούδια, εξετάζοντας παραμέτρους όπως το τέμπο, η διάρκεια, η αρμονική απλότητα και η μη αρμονικότητα, δηλαδή ο θόρυβος.

Τα μοντέλα δίνουν ένα «δυναμικό επιτυχίας», ενδεικτικό της προοπτικής να γίνει ένα τραγούδι σουξέ.

«Τα μουσικά γούστα εξελίσσονται, οπότε η εξίσωση δυναμικού επιτυχίας που δημιουργήσαμε πρέπει κι αυτή να εξελίσσεται. Διαπιστώσαμε ότι το δυναμικό επιτυχίας κάθε τραγουδιού εξαρτάται από την εποχή» σχολίασαν οι δημιουργοί.

3️⃣ Μαθηματικό μοντέλο είχε προβλέψει την κρυψώνα του Mπιν Λάντεν

Έρευνα που δημοσιεύτηκε το 2009 προέβλεπε με ακρίβεια 80,9% ότι ο Οσάμα Μπιν Λάντεν κρυβόταν σε έπαυλη της πόλης Αμποταμπάντ του Πακιστάν. Η μελέτη, βασισμένη σε ένα μοντέλο πιθανοτήτων που χρησιμοποιείται στην οικολογία των απειλούμενων ειδών, είχε τραβήξει τότε την προσοχή αμερικανικών ΜΜΕ, όχι όμως και των μυστικών υπηρεσιών.

Όπως αναφέρει ο δικτυακός τόπος του περιοδικού Science, οι ερευνητές του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνια στο Λος Άντζελες τροφοδότησαν το μαθηματικό μοντέλο με δορυφορικά δεδομένα και με πληροφορίες για τις φημολογούμενες μετακινήσεις του Μπιν Λάντεν τα τελευταία χρόνια.

Η ερευνητική προσπάθεια ξεκίνησε σχεδόν ως αστείο σε μια ομάδα προπτυχιακών φοιτητών. Υπεύθυνοι της ομάδας ήταν δύο γεωγράφοι οικοσυστημάτων.

Η ειδικότητα των δύο ερευνητών είναι η μελέτη απειλούμενων οικοσυστημάτων με τη χρήση δεδομένων τηλεπισκόπησης από δορυφόρους και άλλα συστήματα. Η πρόβλεψη για τη θέση του τρομοκράτη βασίστηκε στη θεωρία της «βιογεωγραφίας νήσων». Στη βάση της, η θεωρία προβλέπει ότι, έπειτα από μια μεγάλη φυσική καταστροφή, τα είδη που ζουν σε μικρά νησιά είναι πιθανότερο να εξαφανιστούν, σε σχέση με τα είδη που ζουν σε μεγάλα νησιά.

«Η θεωρία ήταν ότι, αν κανείς προσπαθούσε να επιβιώσει, θα κατέφευγε σε μια περιοχή με χαμηλό ρυθμό εξαφάνισης (ειδών)»

«Κανονικά δεν είναι δουλειά μου να ασχολούμαι με τέτοια πράγματα. Κι όμως, οι ίδιες θεωρίες που χρησιμοποιούμε για τη μελέτη απειλούμενων ειδών μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για αυτό» σχολίασε ένας από τους ερευνητές.

Το γεγονός ότι ο καταζητούμενος δεν κρυβόταν σε κάποια απομονωμένη τοποθεσία, αλλά σε μια σχετικά μεγάλη πόλη, δεν είναι καθόλου περίεργο: "Υποθέσαμε ότι (ο Μπιν Λάντεν) δεν θα βρισκόταν σε μια μικρή κωμόπολη, όπου οι κάτοικοι θα ανέφεραν ότι τον είδαν".

Αναμενόμενο για τον ερευνητή ήταν και το γεγονός ότι ο Μπιν Λάντεν δεν κρυβόταν σε κάποια σπηλιά, όπως πολλοί πίστευαν: "Οι σπηλιές είναι κρύες, και δεν μπορείς να διακρίνεις τον κόσμο που μπαίνει μέσα" εξηγεί.

Τελικά, η ερευνητική ομάδα κατέληξε ότι η πιθανότερη τοποθεσία ήταν το Αμποταμπάντ, το οποίο μεταξύ άλλων προσφέρει εύκολη πρόσβαση σε νοσοκομεία (η υγεία του Μπιν Λάντεν είναι γνωστό ότι ήταν εύθραυστη).

Μάλιστα το μαθηματικό μοντέλο προέβλεψε με επιτυχία και το συγκεκριμένο κτίριο όπου μπορεί να κρυβόταν ο Μπιν Λάντεν. Αυτό βασίστηκε βέβαια σε υποθέσεις, όπως το ότι ο τρομοκράτης ήταν ψηλός και θα χρειαζόταν ένα ψηλοτάβανο χρήστη, όπως επίσης θα χρειαζόταν φράκτη και ασφάλεια.

Η έρευνα δημοσιεύτηκε το 2009 σε μια σχετικά μικρή επιθεώρηση, το MIT International Review. Τράβηξε τότε την προσοχή διαφόρων αμερικανικών μέσων, μεταξύ άλλων της μεγάλης εφημερίδας USA Today.

Περιέργως, οι αμερικανικές Αρχές είτε δεν έμαθαν για την έρευνα είτε δεν την θεώρησαν αρκετά αξιόπιστη.

4️⃣ Μαθηματικό μοντέλο για την εκλογή βουλευτών

Ιταλοί ερευνητές έχουν αναπτύξει ένα μαθηματικό μοντέλο που επιτρέπει την πρόβλεψη της αποτελεσματικότητας του βουλευτικού σώματος με βάση τα ποσοστά βουλευτών που προέρχονται από κόμματα και ανεξάρτητων κληρωτών βουλευτών. Το μοντέλο προβλέπει ότι η εισαγωγή τυχαίου βουλευτικού σώματος θα αύξανε κατακόρυφα την αποτελεσματικότητα του κοινοβουλευτικού έργου. 

 Τι εννοούν με τον όρο «αποτελεσματικότητα»; Ότι οι αποφάσεις θα ήταν προς το καλό του κοινωνικού συνόλου (κατ' αντιδιαστολή με το προσωπικό όφελος των εκλεγμένων αντιπροσώπων μας).

 Οι Ιταλοί ερευνητές δημοσίευσαν τη μελέτη τους στον διαδικτυακό τόπο του Πανεπιστημίου τους. Tο άρθρο τους αρχίζει θυμίζοντας μας ότι «Στην αρχαία Ελλάδα, στο λίκνο της δημοκρατίας, κυβερνητικά σώματα επιλέγονταν εν πολλοίς με κλήρωση».

Για τη μοντελοποίηση της ιδέας τους οι Ιταλοί επιστήμονες εμπνεύστηκαν από τον ιστορικό της Οικονομίας στο Πανεπιστήμιο του Μπέρκλεϊ και συμπατριώτη τους Carlo Maria Cipolla (1922-2000). Στη διάσημη χιουμοριστική μονογραφία του «The basic laws of human stupidity» (οι βασικοί νόμοι της ανθρώπινης ηλιθιότητας) ο Cipolla χωρίζει τους ανθρώπους σε τέσσερις κατηγορίες οι οποίες προκύπτουν από τη θέση (διασπορά) τους σε έναν καρτεσιανό άξονα συντεταγμένων.

Πηγή εικόνας: Μαθηματικές ιστορίες για όλους

Έτσι, με τον άξονα των χ να αντιπροσωπεύει το προσωπικό όφελος και τον άξονα των ψ το κοινό όφελος, τα άτομα που εμπίπτουν στο πάνω δεξιά τεταρτημόριο (δικό τους όφελος και κοινό όφελος) είναι τα έξυπνα άτομα, τα άτομα που εμπίπτουν στο πάνω αριστερά τεταρτημόριο (δικό τους κακό, κοινή ωφέλεια) είναι τα αφελή άτομα, τα άτομα που εμπίπτουν στο κάτω δεξιά τεταρτημόριο (δικό τους καλό, κοινό κακό) είναι οι ληστές και, τέλος, εκείνα που εμπίπτουν στο κάτω αριστερό τεταρτημόριο είναι οι ηλίθιοι (κακό δικό τους και του κοινού).

Βάσει αυτής της κατηγοριοποίησης ο Cipolla δίνει τον ορισμό του ηλιθίου: «ένα άτομο είναι ηλίθιο αν μπορεί να προκαλέσει βλάβη σε ένα άλλο άτομο ή ομάδα ατόμων χωρίς να έχει κανένα προσωπικό όφελος ή ακόμη χειρότερα, να προκαλέσει και δική του βλάβη κατά τη διαδικασία».

Πόσο τυχαίοι όμως θα ήταν οι κληρωτοί βουλευτές; «Στην κληρωτίδα θα έμπαινε όποιος εξεδήλωνε την επιθυμία και με εξαίρεση το καθαρό ποινικό μητρώο δεν νομίζω ότι θα έπρεπε να υπάρχει άλλη προϋπόθεση» είπε ο ερευνητής και προσέθεσε: «Στην πράξη θα συνέβαινε ό,τι συμβαίνει με την κλήρωση ενόρκων. Οι κληρωτοί βουλευτές θα μπορούσαν να είναι κάθε ηλικίας, φύλου, οικονομικού και μορφωτικού επιπέδου. Να είναι πραγματικά ένα αντιπροσωπευτικό δείγμα της κοινωνίας».

5️⃣ Μαθηματικό μοντέλο για το Αλτσχάιμερ

Την κατανόηση των αιτίων του Αλτσχάιμερ και άλλων εκφυλιστικών ασθενειών του εγκεφάλου πέτυχαν φοιτητές του Ιονίου Πανεπιστημίου, μέσω μαθηματικών μοντέλων, τα οποία με τη σειρά τους μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να φτιαχτούν καλύτερα φάρμακα.

Το ερευνητικό έργο της ομάδας ξεκίνησε πριν από 10 χρόνια και κατάφερε να μοντελοποιήσει τις λειτουργίες ενός αρχικού κυττάρου του εγκεφάλου - μιτοχονδρίου - και να τις προσομοιώσει στον υπολογιστή.

Αντίθετα με τις μέχρι σήμερα εργαστηριακές μελέτες, που οδηγούσαν στην εξάντληση των συμπτωμάτων της «ασθένειας» των μιτοχονδρίων, η ερευνητική ομάδα προσπάθησε να εξηγήσει τους λόγους που προκαλούν τις δυσλειτουργίες τους.

Όπως χαρακτηριστικά ανέφερε ο επίκουρος καθηγητής του τμήματος Πληροφορικής του Ιόνιου Πανεπιστημίου Παναγιώτης Βλάμος, η «ηλεκτρική θρόμβωση» αποτελεί τη βασική αιτιολόγηση των δυσλειτουργιών των μιτοχονδρίων, καθώς απ' αυτήν προκαλούνται ηλεκτρικά σύμπλοκα και δυσμορφίες στο εσωτερικό της μεμβράνης τους.

Για την ικανοποίηση των αναγκών του κυττάρου σε ενέργεια, ο αριθμός των μιτοχονδρίων μεταβάλλεται και προσαρμόζεται, μέσω τεσσάρων σημαντικών λειτουργιών: τη συγχώνευση, το διαχωρισμό, την κινητικότητα και την μιτοφάγωση, που δίνουν τη δυνατότητα στα σωματίδια αυτά να ανανεώνουν το υλικό τους, απομονώνοντας τυχόν κατεστραμμένα συστατικά και βοηθώντας στη διαδικασία της ίσης κατανομής τους κατά τη διαίρεση του κυττάρου.

«Όταν η διαδικασία της συγχώνευσης και της διάσπασης γίνονται με λανθασμένο τρόπο, επέρχεται ηλεκτρική θρόμβωση, που οδηγεί στα ηλεκτρικά σύμπλοκα στην εσωτερική μεμβράνη του μιτοχονδρίου. Μ' αυτό τον τρόπο, η ‘υπεραγωγιμότητα’ της μεμβράνης διακόπτεται, οδηγώντας με τη σειρά της στη μείωση της παραγωγής ενέργειας», εξήγησε.

Η ερευνητική ομάδα, στην οποία συμμετέχουν επίσης ο υποψήφιος διδάκτορας Βιοπληροφορικής Αθανάσιος Αλεξίου και ο ερευνητής φυσικών επιστημών Ιωάννης Ρέκκας, στοχεύει να αποκωδικοποιήσει και να καταγράψει πλήρως τις συνθήκες που επικρατούν στην εσωτερική μιτοχονδριακή μεμβράνη, έτσι ώστε να δημιουργηθούν μοντέλα κατάλληλα για το σχεδιασμό νέων φαρμάκων.
«Ουσιαστικά, τα μαθηματικά μας επέτρεψαν να κατανοήσουμε το μηχανισμό λειτουργίας αυτών των κυτταρικών οργανιδίων, κάτι που δεν μπορούσε να επιτευχθεί στις εργαστηριακές μελέτες», κατέληξε ο κ. Βλάμος.

 

 

Πηγή: Alfavita

«Τα μαθηματικά έχουν ένα σύστημα λογικής, το ΑΙ όχι»

Ο ερευνητής στο πανεπιστήμιο της Βαρσοβίας, Βαγγέλης Πρωτόπαπας, με κύριο αντικείμενο τα θεωρητικά μαθηματικά, εξηγεί και... απομυθοποιεί τα συστήματα τεχνητής νοημοσύνης

Τι είναι, άραγε, τα θεωρητικά μαθηματικά και σε τι χρησιμεύουν; Μπορεί να αποτελέσει το ΑΙ (Τεχνητή Νοημοσύνη) ένα πολύτιμο εργαλείο στις επιστήμες και, ειδικότερα, στα μαθηματικά ή θα αποδειχθεί ο δυνάστης τους; Τι μήνυμα έστειλε η Μαθηματική Ολυμπιάδα του 2025, γιατί υπάρχουν χώρες που πρωτοπορούν σε αυτόν τον τομέα (όπως η Πολωνία) και ποιες είναι οι ευκαιρίες των «φωτισμένων» μυαλών του κλάδου στην Ελλάδα;

Αυτά και άλλα ερωτήματα προσπαθήσαμε να διερευνήσουμε με τον Βαγγέλη Πρωτόπαπα, που στα 29 του χρόνια έχει ήδη πτυχίο πληροφορικής και τηλεπικοινωνιών από το Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο, μεταπτυχιακό στους αλγόριθμους λογικής και διακριτών μαθηματικών, διδακτορικό στη θεωρητική πληροφορική και πλέον εργάζεται ως μεταδιδακτορικός ερευνητής στο πανεπιστήμιο της Βαρσοβίας, με κύριο αντικείμενο τα θεωρητικά μαθηματικά. Η συζήτηση βρήκε γρήγορα τους ρυθμούς της και ο Βαγγέλης ξεδίπλωσε τις γνώσεις του όχι στην περίπλοκη – και ακατανόητη στους περισσότερους «κοινούς θνητούς» – επιστημονική γλώσσα, αλλά απλά και «λαϊκά».

«Ο κλάδος της θεωρητικής πληροφορικής είναι τεράστιος και πάει πίσω αιώνες ολόκληρους, ωστόσο τα τελευταία 100 χρόνια οι άνθρωποι δίνουν μεγάλη προσοχή σε αυτόν. Υπάρχουν εκατοντάδες πράγματα που μπορείς να κάνεις με τη θεωρητική πληροφορική και τα θεωρητικά μαθηματικά. Εγώ πριν έκανα έρευνα στη θεωρία γραφημάτων και στη συνδυαστική δομική θεωρία γραφημάτων. Αυτές οι έρευνες μπορούν να σε βοηθήσουν να βρεις πιο έξυπνους, πιο γρήγορους, πιο καλούς αλγόριθμους, γιατί γενικά στη θεωρία της πληροφορικής, ένα μεγάλο κομμάτι έχει να κάνει με την κατηγοριοποίηση των προβλημάτων. Παραδείγματος χάριν, διαλέγεις ένα σαφώς ορισμένο μαθηματικό αλγοριθμικό πρόβλημα, το οποίο έχει μία είσοδο και του δίνεις κάποιες κατευθύνσεις ώστε να μπορέσει να κατηγοριοποιηθεί», λέει ο Βαγγέλης. «Η έρευνά μου συνεχίζει να έχει αυτόν τον χαρακτήρα με το βασικό ερώτημα που προσπαθεί να απαντήσει, να επικεντρώνεται στο πώς μπορούμε να εκμεταλλευτούμε κάποια δομικά χαρακτηριστικά, ώστε να μπορέσουμε να κάνουμε καλύτερους αλγόριθμους. Σε μέσες άκρες αυτό που κάνει και το Machine Learning σήμερα με την τεχνητή νοημοσύνη».

Για το ΑΙ τα ερωτήματα ήταν πολλά και ένα-ένα ξεδιπλώθηκαν στη συζήτησή μας. «Ο κόσμος είναι λίγο μπερδεμένος με το τι σημαίνει ακριβώς και τι κάνουν αυτά τα μοντέλα που έχουμε σήμερα στα χέρια μας, όπως το Chat GPT, το Gemini και άλλα παρόμοια εργαλεία. Νομίζω ο κόσμος πιστεύει ότι έχουμε φτάσει σε ένα σημείο στο οποίο τα μοντέλα αυτά έχουν πραγματική νοημοσύνη, ωστόσο αυτό δεν ισχύει. Υπάρχει μια γενική σύγχυση, καθώς βλέπουμε αυτά που καταφέρνουν να κάνουν και πιστεύουμε ότι έχουν φτάσει σε σημείο που μπορούν να ανταγωνιστούν την ανθρώπινη δραστηριότητα και με την ανθρώπινη διανόηση. Για να καταρρίψουμε αυτές τις αβάσιμες – για την ώρα τουλάχιστον – θεωρίες πρέπει πρώτα να κατανοήσουμε τι ακριβώς είναι το ΑΙ», σημειώνει ο Βαγγέλης.

Αλγόριθμοι που μιμούνται

«Τι είναι, λοιπόν;», είναι το ερώτημα που έρχεται απολύτως φυσικά. Για να μου απαντήσει αβίαστα: «Δεν είναι κάτι περισσότερο από έναν αλγόριθμο, απλά όχι στην παραδοσιακή μορφή που τον βρίσκαμε τόσα χρόνια. Με αυτήν την παραδοσιακή μορφή, ένας αλγόριθμος έχει ένα πολύ ορισμένο πρόβλημα το οποίο καλείται να επιλύσει. Για την επίλυση του παρέχονται κάποια συγκεκριμένα δεδομένα. Σκοπός του δε είναι να δημιουργήσει ένα γράφημα δίνοντας λύση στο πρόβλημα. Επί της ουσίας έχω μία είσοδο, ένα πολύ σαφές πρόβλημα, παρέχω τις απαραίτητες πληροφορίες και περιμένω μία έξοδο. Το ΑΙ κάνει κάτι διαφορετικό καθώς δεν έχει στόχο να λύσει κάτι συγκεκριμένο. Έτσι, η έννοια του αλγόριθμου χάνει αυτόν τον σαφή ορισμό, παραλαμβάνει οποιοδήποτε πρόβλημα και αντλεί πληροφορίες από όλο το Διαδίκτυο ώστε να παραδώσει μια πιθανώς επιθυμητή απάντηση. Το ΑΙ είναι ένας αλγόριθμος που προσπαθεί με διάφορους τεχνικούς τρόπους να μιμηθεί κάποιες συμπεριφορές. Μέσω αυτού φτιάχνουμε αλγόριθμους που προσπαθούν να μιμηθούν τον συλλογισμό ενός ανθρώπου. Να μπορούν να συμπεράνουν, με λογική συνέχεια, όπως ο ανθρώπινος εγκέφαλος».

Υπάρχει όμως και μία ακόμη βασική διαφορά των παραδοσιακών αλγορίθμων με το ΑΙ και έχει να κάνει με το αποτέλεσμα – την απάντηση που δίνει. Να πώς το εξήγησε ο Βαγγέλης: «Δεν υπάρχει κάτι στο οποίο να μπορεί η τεχνητή νοημοσύνη να απαντήσει εγγυημένα. Βασίζεται στον τεράστιο όγκο πληροφοριών που έχει στην κατοχή της και καταλήγει σε ένα πιθανό συμπέρασμα. Επί της ουσίας, βλέπει μια σειρά από λέξεις και… μαντεύει, με βάση αυτό που της έχεις γράψει, ποια είναι η πιο πιθανή επόμενη λέξη. Για το ΑΙ, η πιθανότητα βασίζεται στην πλειοψηφία των ίδιων λέξεων που μπορεί να διαβάσει». Ξεκαθαρίζει δε ότι «η διαφορά με τους κλασικούς αλγορίθμους βασίζεται και στο ότι στα μαθηματικά υπάρχει σωστό και όχι μόνο πιθανώς σωστό. Όταν αναφερόμαστε σε σαφή και ορισμένη γνώση, εννοούμε κάτι το οποίο είναι αντικειμενικό και δεν αμφισβητείται. Αυτό γιατί τα κλασικά μαθηματικά δουλεύουν αξιωματικά, έχουν ένα σύστημα λογικής από πίσω, ενώ η τεχνητή νοημοσύνη δεν έχει. Ο τρόπος με τον οποίο λειτουργούν τα αξιωματικά συστήματα στα μαθηματικά είναι πολύ αυστηρός. Τα αξιώματα τα θεωρείς με τρόπο που ικανοποιούν κάποιες συνθήκες συνέπειας, δηλαδή δεν μπορείς, με αυτό που έχεις υποθέσει, να αποδείξεις δυο πράγματα που αντικρούονται».

Μήπως όμως τα παραπάνω διαψεύστηκαν στη φετινή Μαθηματική Ολυμπιάδα, η οποία διεξήχθη στην Αυστραλία και στη συμμετοχή μοντέλων ΑΙ όπως αυτά της Google και της OpenAI, τα οποία κατέκτησαν για πρώτη φορά χρυσό μετάλλιο; Και σε αυτό το θέμα, ο Βαγγέλης βάζει τα πράγματα σε… σειρά: «Το μοντέλο της Google που κέρδισε χρυσό μετάλλιο δεν είναι σαν αυτά που μπορεί να χρησιμοποιήσει ο καθένας καθημερινά. Εκπαιδεύεται αποκλειστικά πάνω σε πληροφορίες που του παρέχονται για την Ολυμπιάδα. Καταπιάστηκε με προβλήματα προηγούμενων και έτσι έμαθε να δουλεύει με πολύ συγκεκριμένο τρόπο, έχοντας και προκαθορισμένο σκοπό. Το αποτέλεσμα είναι, βεβαίως, φοβερό έως και τρομακτικό, λαμβάνοντας υπόψη ότι πέρυσι συμμετείχε για πρώτη φορά στον διαγωνισμό και είχε κατακτήσει το ασημένιο μετάλλιο».

«Πρέπει να ανησυχείτε και να ανησυχούμε, λοιπόν;», τον ρωτάω. «Πρέπει να καταλάβουμε πως τα παραπάνω δεν σημαίνουν ότι ξαφνικά ο άνθρωπος είναι πλέον άχρηστος. Τα μοντέλα αυτά έχουν τέτοια επιτυχία γιατί τους παρέχονται πάρα πολλά δεδομένα ώστε να εκπληρώσουν έναν και μοναδικό σκοπό. Χωρίς τον άνθρωπο, αυτό δεν θα μπορούσε να επιτευχθεί, καθώς ούτε πληροφορία θα είχε να καταναλώσει το μοντέλο ούτε κάποιον να το προγραμματίσει ώστε να υπάρχει. Μέσω της εκπαίδευσής τους δεν δημιουργούν κάποια δική τους εικόνα για τον κόσμο, δεν κάνουν world building. Είναι τελείως επιφανειακό γιατί απλά λαμβάνουν κάποια πληροφορία και αποφασίζουν πώς με βάση την κατανομή θα απαντήσουν ανάλογα. Το ΑΙ δεν διαθέτει καμία πραγματική γνώση».

Ελλάδα και Πολωνία

Στο πλαίσιο της συζήτησης για την 66η Μαθηματική Ολυμπιάδα στο τραπέζι μας βρέθηκε και η Πολωνία – στην οποία ο Βαγγέλης εργάζεται σήμερα – καθώς οι εκπρόσωποί της κατέγραψαν την καλύτερη επίδοση από όλους τους ευρωπαίους συναδέλφους τους και κατέκτησαν την 4η θέση παγκοσμίως (μαζί με την Ιαπωνία), τη στιγμή που η Ελλάδα βρίσκεται στην 34η. «Αυτό δεν σημαίνει πως οι Πολωνοί είναι πιο έξυπνοι μαθητές από τους Έλληνες», λέει ο Βαγγέλης. «Για μένα έχει να κάνει με δύο παράγοντες. Αφενός, η Πολωνία ανέκαθεν ήταν μία μαθηματική δύναμη, ακόμα και από τον Μεσαίωνα με τον Κοπέρνικο και άλλους πάρα πολύ διάσημους επιστήμονες αλλά και αργότερα, μεταξύ Α’ και Β’ Παγκοσμίου Πολέμου, όπου είδε τεράστια άνθηση στα μαθηματικά. Οι Πολωνοί έχουν μαθηματική κουλτούρα και αυτό τους αρέσει και δεν νομίζω ότι σταματάει μόνο εκεί – δεν είναι ότι παραδοσιακά ασχολούνται μόνο με τα μαθηματικά αλλά ευρύτερα με τις επιστήμες.

«Χωρίς να το γνωρίζω εμπεριστατωμένα – προσθέτει, με αρκετή δόση πικρίας για τη χώρα μας – πιστεύω επίσης ότι έχουν και πολύ καλύτερο σύστημα εκπαίδευσης από εμάς. Γνωρίζω ότι υπάρχει μέριμνα καθώς οργανώνονται πάρα πολλές δράσεις από το κράτος για μαθητές, από το δημοτικό μέχρι και το λύκειο. Υπάρχει μια ξεκάθαρη διαφορά ευκαιριών μεταξύ της Ελλάδας και της Πολωνίας. Στην Ελλάδα δεν δίνονται τα απαραίτητα στην παιδεία ώστε να “ανθίσει”, όπως γίνεται στις περισσότερες ευρωπαϊκές χώρες. Προφανώς αυτό δεν ισχύει μόνο για τους μαθητές και για τους φοιτητές, αλλά και για όλο το ακαδημαϊκό προσωπικό. Στην Πολωνία είναι υπερήφανοι για την παιδεία που έχουν και έτσι θα έπρεπε να ήταν και εδώ. Άλλωστε μόνο κέρδος και υπερηφάνεια φέρνει μια πεπαιδευμένη κοινωνία».

Δύο ώρες μετά τη συνάντησή μας, ένα ερώτημα με «πολιορκούσε» ακόμη: Πώς γίνεται ένας τόσο μικρός άνθρωπος – ηλικιακά – να έχει φτάσει τόσο ψηλά στην ακαδημαϊκή του πορεία; Ιδιαίτερα ταπεινός, ο Βαγγέλης μού είχε πει: «Υπήρχε μια σημαντική επιρροή από το σπίτι, καθώς ο πατέρας μου είναι προγραμματιστής και ασχολείται από παλιά με υπολογιστές, οπότε είχα αυτή την έκθεση από μικρός και σε έναν βαθμό ήμουν καλός σε ό,τι είχε να κάνει με τεχνολογία. Μου άρεσαν επίσης τα μαθηματικά και η φυσική πάρα πολύ, αλλά δεν μου ήταν σαφές από μικρός ότι θα ασχολούμουν με αυτά και στο μέλλον. Θεωρώ πως είναι πολύ δύσκολο ένα παιδί να πρέπει να αποφασίσει τι θέλει να κάνει εφ’ όρου ζωής από τα 17. Έτσι και εγώ διάλεξα τον δρόμο μου με βάση τα κυριότερα ερεθίσματα και τα ενδιαφέροντά μου».  Και κατέληξε, στους ίδιους χαμηλούς τόνους: «Πολλά πράγματα με ενέπνευσαν, όπως καθηγητές και διαλέξεις που μου κέντρισαν το ενδιαφέρον στη σχολή. Μετά ακολούθησε το μεταπτυχιακό, πάλι εδώ στην Αθήνα, το οποίο μάλιστα ήταν δια-ιδρυματικό, δηλαδή μεταξύ του ΕΚΠΑ και του ΕΜΠ. Εκεί μελέτησα εκτενέστερα την επιστήμη των διακριτών μαθηματικών και όταν το τελείωσα μου παρουσιάστηκε η ευκαιρία και πήγα στη Γαλλία για να κάνω το διδακτορικό μου. Έτσι λοιπόν, “βούτηξα” στον πολύ θεωρητικό κόσμο των μαθηματικών. Στην ίδια ροή συνεχίζω τις σπουδές και την έρευνά μου μέχρι σήμερα».

 

Πηγή: Τα Νέα