Το ChatGPT γράφει για τα Μαθηματικά των Επιστημών της Υγείας!

 

Ζήτησα από το ChatGPT να γράψει ένα άρθρο στο οποίο να προσπαθεί με επιχειρήματα να πείσει τους μαθητές της Ομάδας Προσανατολισμού "Υγείας" να μην σταματήσουν να μελετούν Μαθηματικά κι ας μην πρόκειται να εξεταστούν σε αυτά στις Πανελλαδικές Εξετάσεις. Μου απάντησε: "Εξαιρετική ιδέα! Αυτό μπορεί να τους βοηθήσει να κατανοήσουν πόσο σημαντικά είναι τα μαθηματικά στη βιολογία και την ιατρική. Ίσως έτσι δουν τα μαθηματικά με άλλο μάτι"! Έπειτα παρέθεσε ένα άρθρο, το οποίο μετά από έναν έλεγχο και ελάχιστη επεξεργασία, σας το παρουσιάζω παρακάτω. Μου έφτιαξε και μια εικόνα για να συνοδεύει το άρθρο...

Γιατί τα Μαθηματικά είναι Σημαντικά στις Επιστήμες της Υγείας και της Ζωής

Πολλοί μαθητές που προτιμούν τις Επιστήμες της Υγείας θεωρούν ότι τα μαθηματικά «δεν τους αφορούν». Στην πραγματικότητα, όμως, τα μαθηματικά είναι ένα πολύτιμο εργαλείο που βοηθά στην κατανόηση της ζωής και στη βελτίωση της υγείας. Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

---

🧬 Βιολογία και Γενετική: Πώς τα Μαθηματικά Προβλέπουν τα Χαρακτηριστικά μας

Τα μαθηματικά είναι ζωτικής σημασίας για την κατανόηση του ανθρώπινου γονιδιώματος και της κληρονομικότητας.

🔹 Γενετική Πιθανοτήτων: Στη γενετική, χρησιμοποιούμε τις πιθανότητες για να προβλέψουμε ποια χαρακτηριστικά θα κληρονομήσει ένα παιδί. Οι Νόμοι του Μέντελ βασίζονται σε μαθηματικές αναλογίες και χρησιμοποιούν βασική Θεωρία Πιθανοτήτων για να υπολογίσουν την πιθανότητα εμφάνισης συγκεκριμένων χαρακτηριστικών στους απογόνους. Για παράδειγμα:

• Αν ένα παιδί κληρονομήσει δύο υπολειπόμενα γονίδια για το χρώμα των ματιών, τότε θα έχει γαλάζια μάτια.
• Αν κληρονομήσει τουλάχιστον ένα επικρατές γονίδιο, τότε θα έχει καστανά μάτια.

Οι Πίνακες Punnett χρησιμοποιούνται για να υπολογίσουμε αυτές τις πιθανότητες. Για παράδειγμα, αν δύο ετερόζυγοι γονείς (Bb) κάνουν παιδί, η πιθανότητα να έχει καστανά μάτια είναι 75%, ενώ η πιθανότητα να έχει γαλάζια είναι 25%.

🔹 Βιοπληροφορική: Οι μαθηματικοί αλγόριθμοι βοηθούν στην ανάλυση μεγάλων γενετικών δεδομένων, εντοπίζοντας γονίδια που σχετίζονται με ασθένειες.

🔹 Πληθυσμιακή βιολογία: Χρησιμοποιεί μαθηματικά μοντέλα για να μελετήσει την εξέλιξη των ειδών και τη φυσική επιλογή.

---

🦠 Επιδημιολογία: Πώς Προβλέπουμε την Εξάπλωση των Ιώσεων

Στην πανδημία του COVID-19, οι επιστήμονες χρησιμοποίησαν μαθηματικά μοντέλα για να προβλέψουν την εξάπλωση του ιού. Το πιο γνωστό από αυτά είναι το μοντέλο SIR, που χωρίζει τον πληθυσμό σε τρεις κατηγορίες:

🔹 S (Susceptible) – Άτομα που μπορούν να μολυνθούν.
🔹 I (Infected) – Μολυσμένα άτομα.
🔹 R (Recovered) – Άτομα που ανάρρωσαν.

Χρησιμοποιώντας μαθηματικές εξισώσεις, οι επιστήμονες μπορούσαν να προβλέψουν πότε θα κορυφωθεί η πανδημία και πότε θα μειωθούν τα κρούσματα.

Μάλιστα, ο αναπαραγωγικός αριθμός R₀ δείχνει πόσα άτομα μπορεί να μολύνει ένα μολυσμένο άτομο. Αν R₀ > 1, η ασθένεια εξαπλώνεται ραγδαία, ενώ αν R₀ < 1, η πανδημία μειώνεται.

---

💊 Φαρμακευτική: Πώς Υπολογίζεται η Σωστή Δοσολογία

Τα μαθηματικά είναι απαραίτητα στη φαρμακευτική έρευνα.

🔹 Ο γιατρός και ο φαρμακοποιός χρειάζονται τα μαθηματικά στον υπολογισμό των δοσολογιών και της ασφαλούς χορήγησης φαρμάκων.

Για παράδειγμα, αν η δοσολογία ενός φαρμάκου εξαρτάται από το βάρος του ασθενούς και η συνιστώμενη δόση είναι 5mg ανά κιλό, τότε:

• Ένα παιδί 30 κιλών χρειάζεται 5 × 30 = 150mg.
• Ένας ενήλικας 70 κιλών χρειάζεται 5 × 70 = 350mg.

Λάθος υπολογισμός μπορεί να οδηγήσει σε ανεπαρκή ή επικίνδυνα υψηλή δόση, κάτι που κάνει αυτά τα μαθηματικά ζωτικής σημασίας!

🔹 Φαρμακοκινητική και Φαρμακοδυναμική: Χρησιμοποιούνται διαφορικές εξισώσεις για να περιγράψουν πώς ένα φάρμακο διασπάται και απορροφάται από το σώμα.

🔹 Μοντέλα τεχνητής νοημοσύνης: Αναλύουν τεράστιες βάσεις δεδομένων για να προβλέψουν ποια χημικά μόρια έχουν τη μεγαλύτερη πιθανότητα επιτυχίας ως νέα φάρμακα.

---

❤️️ Καρδιολογία: Τα Μαθηματικά της Ροής του Αίματος

Οι καρδιολόγοι χρησιμοποιούν μαθηματικά μοντέλα για να μελετήσουν την κυκλοφορία του αίματος και τη λειτουργία της καρδιάς.

🔹 Εξισώσεις ρευστομηχανικής: Περιγράφουν πώς το αίμα ρέει στα αγγεία, βοηθώντας στη διάγνωση προβλημάτων όπως η υπέρταση ή η αρτηριοσκλήρωση.

🔹 Ηλεκτροφυσιολογία της καρδιάς: Χρησιμοποιούνται μαθηματικά μοντέλα για να κατανοηθεί ο ρυθμός της καρδιάς και να αναπτυχθούν θεραπείες για αρρυθμίες. Το ηλεκτροκαρδιογράφημα (ΗΚΓ), που χρησιμοποιείται για τη διάγνωση καρδιακών παθήσεων, βασίζεται σε μαθηματικούς υπολογισμούς των ηλεκτρικών σημάτων της καρδιάς.

---

📊 Στατιστική και Βιοστατιστική στην Ιατρική

Η στατιστική είναι απαραίτητη στην ιατρική έρευνα, καθώς βοηθά στη συλλογή, ανάλυση και ερμηνεία δεδομένων. Οι επιστήμονες τη χρησιμοποιούν για να εξάγουν συμπεράσματα από μελέτες και να αποφασίσουν εάν μια νέα θεραπεία είναι αποτελεσματική.

🔹 Κλινικές δοκιμές: Χρησιμοποιούνται στατιστικές μέθοδοι για τη σύγκριση των αποτελεσμάτων μεταξύ ασθενών που λαμβάνουν μια νέα θεραπεία και εκείνων που λαμβάνουν εικονικό φάρμακο (placebo).

🔹 Ιατρική απεικόνιση: Μέσω στατιστικών αλγορίθμων, οι γιατροί μπορούν να αναλύσουν δεδομένα από ακτινογραφίες, αξονικές και μαγνητικές τομογραφίες για να εντοπίσουν ανωμαλίες.

---

🤖 Τεχνητή Νοημοσύνη και Μαθηματικά στην Ιατρική

Οι σύγχρονοι ιατρικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούν τεχνητή νοημοσύνη (ΑΙ) για να εντοπίζουν ασθένειες από ιατρικές εικόνες, όπως οι αξονικές τομογραφίες. Αυτοί οι αλγόριθμοι είναι μαθηματικά μοντέλα που έχουν εκπαιδευτεί σε εκατομμύρια εικόνες ασθενών για να ανιχνεύουν προβλήματα πιο γρήγορα και με μεγαλύτερη ακρίβεια.

🔹 Διαγνωστικά Συστήματα: Μηχανική μάθηση και νευρωνικά δίκτυα βοηθούν στην ανίχνευση ασθενειών, όπως ο καρκίνος, μέσα από ιατρικές εικόνες.

🔹 Ρομποτική χειρουργική: Τα μαθηματικά παίζουν ρόλο στον προγραμματισμό των κινήσεων ρομποτικών συστημάτων που εκτελούν ελάχιστα επεμβατικές χειρουργικές επεμβάσεις.

🔹 Ανάλυση μεγάλων δεδομένων: Επιτρέπει την εξατομίκευση των θεραπειών μέσω Ιατρικής Ακριβείας (Precision Medicine).

---

🎯 Συμπέρασμα: Τα Μαθηματικά είναι απαραίτητα!

Αν και οι μαθητές της Ομάδας Προσανατολισμού «Υγείας» δεν εξετάζονται στα μαθηματικά, στην πραγματικότητα, τα μαθηματικά είναι άρρηκτα συνδεδεμένα με τις Επιστήμες της Υγείας: Από τη βιολογία και τη γενετική, μέχρι τη φαρμακευτική και την ιατρική!

👉 Οπότε, την επόμενη φορά που θα σκεφτείς "δεν χρειάζομαι τα μαθηματικά", θυμήσου πόσο σημαντικά είναι για την επιστήμη που αγαπάς! 🔬📊

Γεωμετρικός γρίφος: Κομμάτια του κύκλου

Ποιο μέρος του κύκλου είναι χρωματισμένο; 

Πηγή: Facebook | Math is visual

Ημέρα τετραγωνικής ρίζας!

Σήμερα, 5/5/25 είναι η "Ημέρα Τετραγωνικής Ρίζας" (5×5=25). Ξεκίνησε από τον Ron Gordon, έναν καθηγητή Γυμνασίου στην Καλιφόρνια στις 9/9/81 και έκτοτε καθιερώθηκε. Μια τέτοια ημερομηνία εμφανίζεται μόνο 9 φορές ανά αιώνα!

Η επόμενη ημέρα τετραγωνικής ρίζας θα είναι στις 6/6/36 και η μεθεπόμενη στις 7/7/49.

Μαθηματικά και παιχνίδι: Παίζοντας με την προπαίδεια - Μέρος 2º

 

Με δύο μικρούς μαθητές είπαμε να αφήσουμε τα τετράδια και να παίξουμε... έλα όμως που στο παιχνίδι αυτό εξασκηθήκαμε ταυτόχρονα και  στην προπαίδεια! Πρόκειται για "Το Τσαμπί της Προπαίδειας", όπως το ονομάσαμε. Την ιδέα την είχα δει παλιότερα στη σελίδα της ειδικής παιδαγωγού Κώτη Αφροδίτης και την υλοποίησα με πολύ μεράκι...

Προετοιμασία παιχνιδιού:

1. Σε ένα χαρτόνι ζωγράφισα ένα τσαμπί σταφύλι, με 21 ρώγες-κύκλους συνολικά. 

2. Σε κάθε κύκλο, έγραψα ένα γινόμενο από την προπαίδεια.

3. Συνέλεξα 21 καπάκια από μπουκάλια νερού, πάνω στα οποία έγραψα με ανεξίτηλο μαρκαδόρο τα αποτελέσματα των παραπάνω πολλαπλασιασμών.

4. Το επιτραπέζιο παιχνίδι είναι έτοιμο! Σκοπός του παιχνιδιού είναι να συμπληρώσουν τα παιδιά το τσαμπί σταφύλι. Πρέπει να τοποθετήσουν κάθε καπάκι πάνω στον κατάλληλο κύκλο, ώστε τα αποτελέσματα των πολλαπλασιασμών να είναι όλα σωστά.

Ώρα για μάθημα! Ε... συγγνώμη, για παιχνίδι εννοούσα...

Σύμφωνα με πολλές έρευνες στο χώρο της Διδακτικής των Μαθηματικών, τα παιδιά μαθαίνουν ευκολότερα και αναπτύσσουν θετική στάση απέναντι στα Μαθηματικά όταν χρησιμοποιούν χειραπτικό υλικό. Το παιχνίδι αυτό είναι κατάλληλο για παιδιά με ή χωρίς μαθησιακές δυσκολίες και μπορείτε να το προσαρμόσετε ανάλογα με την ηλικία και τη μαθηματική ετοιμότητα των μαθητών. Για παράδειγμα, μπορείτε να βάλετε μικρότερα γινόμενα, όπως 2⨯2=4, ή ακόμη και... ποικιλία με τις τέσσερεις πράξεις. Δεν υπάρχει πιο διασκεδαστικός τρόπος να μάθουν τα παιδιά μαθηματικά!

"Μαθηματικά: Μια συνοπτική εισαγωγή" του Timothy Gowers

Στις 23 Απριλίου γιορτάζεται και η Παγκόσμια Ημέρα Βιβλίου, που καθιερώθηκε από την Unesco. Το "εις το άπειρον" για σήμερα προτείνει ένα μικρούλι αλλά τόσο περιεκτικό βιβλίο... "Μαθηματικά: Μια συνοπτική εισαγωγή" του Timothy Gowers...

Το βιβλίο αυτό εξηγεί, προσεκτικά αλλά σε μη τεχνικό επίπεδο, τις διαφορές ανάμεσα στα προχωρημένα μαθηματικά ερευνητικού επιπέδου και στο είδος των μαθηματικών που μαθαίνουμε στο σχολείο. Στο πλαί­σιο αυτό, παρουσιάζονται και επεξηγούνται κάποιες σημαντικές, φαινομενικά παράδοξες, έννοιες όπως το άπειρο, οι φανταστικοί αριθμοί και ο καμπύλος χώρος. Τα πρώτα κεφάλαια πραγματεύ­ονται γενικές πλευρές της μαθηματικής σκέψης, ενώ εκείνα που ακολουθούν αφορούν πιο ειδικά ζητήματα, όπως τα όρια και το άπειρο, η διάσταση, η γεωμετρία, οι εκτιμήσεις και οι προσεγγίσεις. Το βιβλίο ολοκληρώνεται με απαντήσεις σε ορισμένα συνηθισμένα κοινωνιολογικά ερωτήματα για την κοινότητα των μαθηματικών.

Γρίφοι: Τα πέντε πασχαλινά αβγά

 

Γρίφος #1

Έχουμε ένα καλάθι με 5 πασχαλινά αβγά και θέλουμε να τα μοιράσουμε σε 5 παιδιά. Πώς γίνεται να πάρει 1 αβγό το κάθε παιδί και να μείνει και 1 αβγό στο καλάθι;

Γρίφος #2

Καθώς ζυγίζετε κάθε ένα από τα πέντε πασχαλινά αβγά, το μέσο βάρος αυξάνεται κάθε φορά κατά 1 γραμμάριο. Αν το πρώτο αβγό ζυγίζει 50 γραμμάρια, ποιο είναι το βάρος του τελευταίου αβγού;

Καλό Πάσχα σε όλους και Καλή Ανάσταση! 

Τα "Πανταζάρια": Πώς να κερδίζετε πάντα στα ζάρια!

Σας αρέσει ο τζόγος; Με τα "Πανταζάρια-6" θα τρελάνετε τον συμπαίκτη σας...

 

Τα "Πανταζάρια-6" από το Μουσείο Γρίφων Μεγίστης

Τα "Πανταζάρια-6" είναι ιδιαίτερα. Πρόκειται για μη μεταβατικά ζάρια, μια εφαρμογή της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Τα μη μεταβατικά ζάρια είναι γνωστά στο χώρο των ψυχαγωγικών μαθηματικών για το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό τους, ότι δεν είναι "δίκαια"... Χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά από τον Μπράντλεϋ Έφρον (1970) με τέσσερα ζάρια, ενώ πρόσφατα ακολούθησαν άλλες εκδόσεις με διαφορετικό αριθμό ζαριών.  Περιέργως, κάνεις δεν χρησιμοποίησε έξι ζάρια που είναι πιο αποτελεσματικά και τα οποία, σε μια ριξιά, δίνουν μέσο όρο πιθανότητας νίκης πάνω από 74%. Έτσι, τα δημιούργησε ο κ. Πανταζής Χούλης στο Μουσείο Γρίφων Μεγίστης...

Στο παρακάτω βίντεο εξηγείται η ιδέα των μη μεταβατικών ζαριών:

Οι μαθηματικοί κανόνες στη ζωή!

~★~★~★~★~★~

"Η ζωή είναι σαν μια μαθηματική εξίσωση... Είναι στο χέρι σου να βρεις την πιο όμορφη λύση".

Florian Armas 

1...2...3 προτάσεις για την Παγκόσμια Ημέρα παιδικού βιβλίου!

Για την Παγκόσμια Ημέρα παιδικού βιβλίου που γιορτάζεται στις 2 Απριλίου, το μαθηματικό μπλογκ "εις το άπειρον" σας προτείνει τρία βιβλία παιδικής λογοτεχνίας με μαθηματικό περιεχόμενο...

Το Παραμύθι της Τετράγωνης Λογικής

Για παιδιά ηλικίας 10 ετών και άνω

Τετραγώνισε πλατείες, πίτσες, νομίσματα, πινακίδες και ονόματα. Εξαφάνισε κουλούρια, καλλιτεχνικά κυκλώματα, κυκλάμινα, υδρόγειους σφαίρες και καθετί στρογγυλό ή σφαιρικό. Πάντα χρησιμοποιώντας με το χειρότερο τρόπο την ευφυΐα του. Το παραμύθι της τετράγωνης λογικής, αφηγείται τις περιπέτειες ενός πρίγκιπα που αγαπούσε τα αινίγματα και χάρη στην εξυπνάδα του κατάφερε να γίνει βασιλιάς...

Ο τετραγωνισμός του κύκλου ήταν μόνο η αφορμή για να έρθει αντιμέτωπος με τη μοίρα του και να την προκαλέσει σε μια μάχη μέχρι εσχάτων. Ο άλυτος γρίφος άφησε να αναδειχθούν οι πιο σκοτεινές πλευρές του χαρακτήρα του. Από καλοκάγαθος ηγεμόνας μεταλλάχθηκε σε ανθρωπόμορφο τέρας, επιβάλλοντας σκληρούς νόμους στο λαό του προσπαθώντας να εξαφανίσει οτιδήποτε του θύμιζε την αδυναμία του να βρει λύση στο αίνιγμα.

Η βασίλισσα, υποφέροντας από την αλλαγή του αγαπημένου της, σε συνεργασία με δυο ερωτευμένους έφηβους, με μοναδικό όπλο τους την αγάπη, κατάφεραν να αποδείξουν πώς για να νικήσεις τα τέρατα το μόνο μυστικό είναι να παραμείνεις άνθρωπος. Τότε μόνο ακόμα και η φύση μπορεί να σου υποκλιθεί και να σε οδηγήσει με τα μαγικά της κόλπα στην ευτυχία…

Οι υπέροχοι δέκα

Για παιδιά ηλικίας 10 ετών και άνω

Ο Φίλιππος είναι ένα πολύ τυχερό παιδί. Ο παππούς του, συνταξιούχος μαθηματικός, νοσταλγεί την παλιά δουλειά του και τους αγαπημένους του μαθητές. Έτσι ο περίεργος εγγονός του, που πηγαίνει στο Δημοτικό, γίνεται ο καλύτερος του μαθητής. Τον βοηθάει να κατανοήσει έννοιες που του φαίνονται δύσκολες, με τον πιο απλό τρόπο, δίνοντάς του παραδείγματα που βγαίνουν από την καθημερινή ζωή. Με χαριτωμένα ανέκδοτα και ιστορικές αναφορές, απαντά στα συνεχή ερωτήματα του μικρού Φίλιππου. Τί σχέση έχουν τα Μαθηματικά με το κόψιμο μιας τούρτας; Τί σχέση έχουν τα κουνέλια με τα Μαθηματικά και τον Φιμπονάτσι; Ιστορίες για γέλια που απομυθοποιούν ότι τα Μαθηματικά είναι δύσκολα και ακαταλαβίστικα.

Περιεχόμενα:

1. Οι Φυσικοί Αριθμοί
2. Ο άβαξ
3. Τα ψηφία παραγκωνίζουν τον άβακα
4. Προσοχή στις παρενθέσεις
5. Αλίμονο εάν διαιρέσεις με το Μηδέν!
6. Τα κουνέλια του Φιμπονάτσι
7. Ο κύριος Μορς και το δυαδικό σύστημα
8. Υπολογίζοντας, υπολογίζοντας
9. Οι ασύμμετροι (άρρητοι) αριθμοί
10. Αναζητώντας τον άγνωστο χ
11. Οι σκιές του Θαλή
12. Οριστικό, αόριστο και αόριστα μικρό
13. Οι σοκολάτες του Πυθαγόρα
14. Ο Χρυσός αριθμός
15. Ο παίκτης ζαριών
16. Οι φύλακες του ελληνικού π
17. Η μέθοδος του Αρχιμήδη
18. Η έλικα του Ναυτίλου
19. Οι ναυμαχίες του Καρτέσιου
20. Σαν μια νιφάδα χιονιού

Σ’ αγαπώ κι ας είσαι κλάσμα

Για παιδιά της Γ΄ Δημοτικού και άνω

Η ιστορία διαδραματίζεται στο δεκαδικό χωριό... Ο ήρωάς της είναι ένας δεκαδικός αριθμός, που, στην προσπάθειά του να μικρύνει, μπλέκει σε μια περιπέτεια με τις πράξεις του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης με το 10, το 100 και το 1000. Μέσα από την ιστορία μαθαίνουμε για την αξία του αριθμού και πώς αυτή μπορεί να αλλάξει. Το βιβλίο συνοδεύεται από οδηγίες και προτάσεις του συγγραφέα για τη διδακτική αξιοποίησή του. 

👩🏻‍🏫Οι ηλικίες που αναγράφονται στην παρουσίαση κάθε βιβλίου είναι ενδεικτικές και μπορούν να προσαρμοστούν ανάλογα με τη μαθησιακή ωριμότητα και την ετοιμότητα του κάθε παιδιού.

🧮Γιατί όχι; Τα βιβλία αυτά είναι κατάλληλα και για μεγάλους!

🌐Δείτε εδώ περισσότερες προτάσεις του "εις το άπειρον" για παιδικά βιβλία με μαθηματικό περιεχόμενο.

💬Υπάρχει κάποιο βιβλίο που νομίζετε ότι πρέπει να συμπεριληφθεί στις προτάσεις; Γράψτε το στα σχόλια!

Πώς μπορούμε να ελέγξουμε αν ένας αριθμός είναι πρώτος;

 

📚Αν θέλεις να θυμηθείς πότε ένας αριθμός λέγεται πρώτος, μπορείς να το διαβάσεις εδώ...

 

Image credit: Michael Jay Berlin via Shutterstock

Πολλές φορές, χρειάζεται να ελέγξουμε αν ένας αριθμός n είναι πρώτος. Μια βασική διαδικασία είναι η δοκιμαστική διαίρεση, δηλαδή να ελέγξουμε αν ο αριθμός n είναι πολλαπλάσιο κάποιου αριθμού από το 2 έως και το \(\sqrt{n}\). Απαραίτητα εδώ είναι τα κριτήρια διαιρετότητας.

 

Παραδείγματα:

✅Θέλουμε να εξετάσουμε αν ο αριθμός 169 είναι πρώτος. Αρκεί να ελέγξουμε αν το 169 είναι πολλαπλάσιο κάποιου αριθμού από το 2 έως και το \(\sqrt{169}=13\).

Το 2 δεν διαιρεί το 169.

Το 3 δεν διαιρεί το 169.

Ομοίως, το 4, το 5, το 6, το 7, το 8, το 9, το 10, το 11 και το 12 δεν διαιρούν το 169.

Το 13 διαιρεί το 169.

Άρα το 169 δεν είναι πρώτος αριθμός.

 

✅Θέλουμε να εξετάσουμε αν ο αριθμός 51 είναι πρώτος. Επειδή 49<51 δηλαδή \(7<\sqrt{51}\),  αρκεί να ελέγξουμε αν το 51 είναι πολλαπλάσιο κάποιου αριθμού από το 2  έως και το 7.

Το 2 δεν διαιρεί το 51.

Το 3 διαιρεί το 51.

Άρα το 51 δεν είναι πρώτος αριθμός.

 

✅Θέλουμε να εξετάσουμε αν ο αριθμός 113 είναι πρώτος. Επειδή 100<113 δηλαδή \(10<\sqrt{113}\),  αρκεί να ελέγξουμε αν το 113 είναι πολλαπλάσιο κάποιου αριθμού από το 2 έως και το 10.

Βρίσκουμε ότι κανένας από τους αριθμούς 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 δεν διαιρεί το 113.

Άρα το 113 είναι πρώτος αριθμός.

 

💡Η μέθοδος της δοκιμαστικής διαίρεσης μπορεί να εφαρμοστεί πιο αποτελεσματικά αν είναι γνωστοί όλοι οι πρώτοι αριθμοί μέχρι και το \(\sqrt{n}\). Για παράδειγμα, για να ελέγξουμε αν ο 113 είναι πρώτος, αρκεί να ελέγξουμε αν διαιρείται μόνο από το 2, το 3, το 5 και το 7.

 

🚩Για πολύ μεγάλους αριθμούς, η μέθοδος αυτή γίνεται πολύ αργή και μη πρακτική, γιατί το πλήθος των πιθανών παραγόντων του n αυξάνεται ραγδαία καθώς αυξάνεται ο n. Για την ακρίβεια, το πλήθος των πρώτων αριθμών μικρότερων του \(\sqrt{n}\) είναι της τάξης \(\frac{\sqrt{n}}{ln(\sqrt{n})}\).  Για τον έλεγχο πολύ μεγάλων αριθμών, έχουν αναπτυχθεί διάφοροι αλγόριθμοι που τρέχουν σε υπολογιστικά συστήματα.

🔍Διάβασε εδώ περισσότερα γύρω από τους πρώτους αριθμούς.

"Μαγικά Μαθηματικά"... Κάρτες για την εκμάθηση των τεσσάρων πράξεων!

🔮Τα μαθηματικά είναι μαγικά, γι' αυτό είναι τόσο διασκεδαστικά! Οι κάρτες με τις τέσσερις βασικές πράξεις (Πρόσθεση-Αφαίρεση-Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση) ενθαρρύνουν τους μικρούς μαθητές να παίξουν με τα μαθηματικά. 

🪄Τοποθετούμε την κάρτα στην ειδική εσοχή και εμφανίζεται η λύση της άσκησης... 

🧮Κυκλοφορούν από τις εκδόσεις Τζιαμπίρης-Πυραμίδα και είναι ιδανικές από την Α' Δημοτικού, σύμφωνα πάντα και με τον βαθμό ετοιμότητας του κάθε παιδιού. 

💬Ποια αντίστοιχα μαθηματικά παιχνίδια γνωρίζετε και θα θέλατε να μας προτείνετε; Μπορείτε να το γράψετε στα σχόλια!

"Ο μαθηματικός και ο παραχαράκτης"

 

Λονδίνο, 1700. Πρόκειται για το οικονομικό κέντρο του κόσμου, σε μια εποχή ριζικής και απίστευτα επικερδούς μεταμόρφωσης της Βρετανικής Αυτοκρατορίας. Ωστόσο, κανένας τραπεζίτης ή έμπορος δεν αποδέχεται την ονομαστική αξία του αγγλικού νομίσματος. Η κυβέρνηση -προκειμένου να αντεπεξέλθει στο κόστος των πολέμων- δανείζεται όλο και μεγαλύτερα ποσά, παρά την έκδοση ομολόγων. Το έθνος βρίσκεται στα πρόθυρα της χρεοκοπίας.

Τι συμβαίνει με το νόμισμα της Αγγλίας;

Μια συμμορία από παραχαράκτες, εκμεταλλευόμενη τη διαφορά στην ισοτιμία της εποχής ανάμεσα στο χρυσό και τον αργυρό, λιώνει τα λιγοστά νόμιμα κέρματα και πουλάει το ασήμι στο Παρίσι, στην τιμή του χρυσού. Στη συνέχεια, κόβει πλαστά νομίσματα και τα ρίχνει στην αγορά. Αποτέλεσμα: δεν κυκλοφορεί σχεδόν καμία νόμιμη στερλίνα˙ σχεδόν κανένα ασημένιο κέρμα. Ο Ουίλιαμ Τσάλονερ είναι ο άρχοντας των παραχαρακτών. Είναι σκληρός… Έχει στο ενεργητικό του τουλάχιστον δυο φόνους και δεν φοβάται κανέναν.

Το Στέμμα απευθύνεται στο πιο άξιο τέκνο του: στον Ισαάκ Νεύτωνα, τον πιο έξυπνο άνθρωπο του κόσμου, τον πιο σημαντικό μαθηματικό όλων των εποχών, τον ιδρυτή της σύγχρονης επιστήμης, τον μεγαλύτερο φυσικό φιλόσοφο. Τι σχέση θα μπορούσε να έχει ο Νεύτων με το οργανωμένο έγκλημα, με τον ιδιότυπο κόσμο των καπηλειών, με τον υπόκοσμο και το βρώμικο χρήμα;

Για το Νεύτωνα, το πρόβλημα είναι τόσο απλό όσο και οι απλούστερες εξισώσεις. Σύντομα, ο πιο πειθαρχημένος επιστήμονας της Ευρώπης μεταμορφώνεται στον πιο ευφάνταστο ντετέκτιβ, στον πιο αμείλικτο αξιωματούχο του Βασιλικού Νομισματοκοπείου, στον πιο αποτελεσματικό κυνηγό παραχαρακτών.

Το παιχνίδι της γάτας με το ποντίκι έχει αρχίσει.  

14/3...Ημέρα του π: Λίγη τέχνη, λίγη ιστορία και λίγα μαθηματικά!

 

Η Ημέρα του «π», που γιορτάζεται στις 14/3, είναι ένας ετήσιος εορτασμός της μαθηματικής σταθεράς π. Καθιερώθηκε το 1988 από τον Larry Shaw, υπάλληλο του επιστημονικού μουσείου του Σαν Φρανσίσκο της Καλιφόρνια, του Exploratorium.

 

Ο Jonathan J Fuller δημιουργεί έργα μαθηματικής τέχνης βασιζόμενος στα ψηφία του π. Δείτε εδώ πώς…

Το σύμβολο για τον αριθμό «π» χρησιμοποιείται εδώ και πάνω από 250 χρόνια. Εισήχθη το 1706 από τον Ουαλό μαθηματικό William Jones, φίλο του Sir Isaac Newton, ενώ έγινε δημοφιλές από τον Ελβετό μαθηματικό Leonhard Euler. Επιλέχθηκε το ελληνικό γράμμα «π», που είναι το πρώτο γράμμα της λέξης «περιφέρεια» και «περίμετρος». (Θυμηθείτε ότι το π είναι ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του! Ο λόγος αυτός είναι σταθερός και ανεξάρτητος από το μέγεθος του κύκλου). Πριν από το 1700, οι μαθηματικοί αναφέρονταν στον αριθμό που γνωρίζουμε ως «π» ως «το μέγεθος που όταν η διάμετρος ενός κύκλου πολλαπλασιάζεται με αυτό, δίνει την περιφέρειά του». Δεν αποτελεί έκπληξη το γεγονός ότι οι άνθρωποι κουράστηκαν να λένε τόσο πολλά κάθε φορά που ήθελαν να αναφερθούν στο π…

Προσπαθώντας να προσεγγίσουμε το άπειρο…

Ποτέ δεν θα μπορέσουμε να βρούμε όλα τα ψηφία του π, επειδή είναι άρρητος αριθμός, δηλαδή έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία τα οποία δεν επαναλαμβάνονται περιοδικά. Ο βαβυλωνιακός πολιτισμός χρησιμοποιούσε το κλάσμα 3⅛, ενώ οι αρχαίοι Κινέζοι χρησιμοποιούσαν τον ακέραιο αριθμό 3. Οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι, όπως γνωρίζουμε από τον Πάπυρο του Ριντ (περίπου 1650 π.Χ.), προσέγγιζαν το π ως 3,1605 μέσω του τύπου για το εμβαδόν του κύκλου. Ο Αρχιμήδης (3^ος αιώνας π.Χ.), στο έργο του «Κύκλου Μέτρησις», χρησιμοποιεί την αρκετά καλή προσέγγιση \( \frac{223}{71} < \pi <  \frac{22}{7} \). Ο Πτολεμαίος (2^ος αιώνας μ.Χ.), στο έργο του «Αλμαγέστη», χρησιμοποίησε την προσέγγιση 3,1416.

 

Μέχρι το 1665, ο Ισαάκ Νεύτων υπολόγισε μια ρητή προσέγγιση του π με 16 δεκαδικά ψηφία. Οι υπολογιστές δεν είχαν εφευρεθεί ακόμα, οπότε αυτό ήταν μια πολύ μεγάλη υπόθεση. Στις αρχές της δεκαετίας του 1700 ο Τόμας Λάγκνεϊ υπολόγισε τα πρώτα 127 δεκαδικά ψηφία του π. Το 1767 ο Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ απέδειξε ότι ο π είναι άρρητος αριθμός. Στο δεύτερο μισό του εικοστού αιώνα, ο αριθμός των γνωστών ψηφίων του π αυξήθηκε από περίπου 2000 σε 500.000 χάρη στον CDC 6600, έναν από τους πρώτους υπολογιστές που κατασκευάστηκαν ποτέ. Το ρεκόρ αυτό καταρρίφθηκε το 2017, όταν ένας Ελβετός επιστήμονας υπολόγισε περισσότερα από 22 τρισεκατομμύρια ψηφία του π. Στη «μάχη» της ακριβέστερης προσέγγισης του π, κατέρριψε το 2019 το ρεκόρ η Emma Haruka Iwao της Google. Χρησιμοποιώντας το Google Cloud, υπολόγισε 31,4 τρισεκατομμύρια ψηφία του π. Το 2021, μια ομάδα μαθηματικών από το Πανεπιστήμιο Εφαρμοσμένης Επιστήμης του Grisnos στην Ελβετία, υπολόγισε περισσότερα από 62 τρισεκατομμύρια ψηφία του π. Σήμερα είναι γνωστά 105 τρισεκατομμύρια ψηφία του π, καθώς το 2024 μια αμερικάνικη εταιρεία υπολογιστών κατέχει το νέο ρεκόρ!

 

Πηγές και παραπομπές:

Imaginary.org|Pi Sacred Geometry

LiveScience|Pi Calculated to 105 Trillion Digits,smashing world record

Piday.org 

Wikipedia|π (μαθηματική σταθερά)

Η εκθετική αύξηση στον πολλαπλασιασμό των βακτηρίων (+γρίφοι)

📚Στη βιολογία και στη μικροβιολογία, ο όρος αύξηση ή ανάπτυξη αναφέρεται στον πολλαπλασιασμό (αφυλετική αναπαραγωγή) ενός μικροβιακού κυττάρου. Τα βακτήρια αναπαράγονται μέσω μιας διαδικασίας που ονομάζεται δυαδική διάσπαση ή διχοτόμηση. Ένα κύτταρο διαιρείται σε δύο κύτταρα και κάθε νέο κύτταρο είναι ίδιο με το αρχικό.

Το 1 βακτήριο, λοιπόν, γίνεται 2.

Μετά από συγκεκριμένο χρονικό διάστημα (που εξαρτάται από το είδος του μικροοργανισμού και τις περιβαλλοντικές συνθήκες) το κάθε βακτήριο διαιρείται ξανά σε δύο βακτήρια. Έτσι τα 2 βακτήρια γίνονται 4. 

Στη συνέχεια, αφού περάσει το ίδιο χρονικό διάστημα, τα 4 βακτήρια διχοτομούνται κι αυτά και γίνονται 8.

Με νέα διχοτόμηση, τα 8 βακτήρια γίνονται 16.

Τα 16 βακτήρια γίνονται 32.

Τα 32 βακτήρια γίνονται 64 και ούτω καθεξής.

👉Οι αριθμοί των βακτηρίων που είναι σημειωμένοι έντονα είναι οι δυνάμεις του 2.

$1=2^0$

$2=2^1$

$4=2^2$

$8=2^3$

$16=2^4$

$32=2^5$

$64=2^6$

$128=2^7$

$256=2^8$

$512=2^9$

$1.024=2^{10}$

και ούτω καθεξής.

ℹ️Κάθε φορά ο αριθμός στον εκθέτη δείχνει πόσες διχοτομήσεις έχουν γίνει στα βακτήρια. Γι' αυτό και αυτή η διαδικασία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση.

❓Με βάση αυτές τις γνώσεις, μπορείτε να λύσετε τους παρακάτω γρίφους-προβλήματα βιολογίας; 

🥇Γρίφος #1

Ένας πληθυσμός μικροοργανισμών (αμοιβάδας) διπλασιάζεται κάθε 24 ώρες. Μέσα σε 8 ημέρες, ο πληθυσμός έχει φτάσει στα 100 εκατομμύρια. Μετά από πόσες ακόμη μέρες θα έχει φτάσει ο πληθυσμός στα 800 εκατομμύρια; (Υποθέτουμε ότι οι συνθήκες είναι ιδανικές). 

Πηγή: Ιστολόγιο Μαθηματικών Γρίφων και Σκακιού Papaveri48

🥈Γρίφος #2

Ένα βακτήριο E.coli διπλασιάζεται κάθε 20 λεπτά. Από 1 μόνο βακτήριο και αν υποθέσουμε ότι οι συνθήκες είναι ιδανικές, πόσα θα είναι τα βακτήρια μετά από 10 ώρες;

🥉Γρίφος #3

Μια βακτηριακή καλλιέργεια που ξεκίνησε από 2 βακτήρια, μέσα σε χρόνο 60 λεπτών οκταπλασίασε τον πληθυσμό της. Κάθε πόσα λεπτά αναπαράγονται τα βακτήρια που την αποτελούν;

Πηγή: Βιολογία Β΄ Γενικού Λυκείου, ΙΤΥΕ Διοφαντος, 2023 (Πρώην βιβλίο Βιολογίας Γενικής Παιδείας Γ΄ Γενικού Λυκείου, ΟΕΔΒ, 2004)

ℹ️Οι βιολόγοι, οι μικροβιολόγοι, οι επιδημιολόγοι και γενικά οι επιστήμονες υγείας χρησιμοποιούν έναν τύπο που υπολογίζει την εκθετική αύξηση των βακτηρίων:

🔬Ευχαριστώ τους βιολόγους του σχολείου μου, που έλεγξαν τις παραπάνω πληροφορίες!

"1.101.101,10..."

Στην ελληνική ταινία του 1958 "Μια ζωή την έχουμε", ο Κλέων (Δημήτρης Χορν), υπάλληλος της Εμποροπιστωτικής Τράπεζας, γίνεται ξαφνικά πάμπλουτος. Η στιγμή όπου ανακαλύπτει ένα ανεξήγητο λογιστικό λάθος που αφήνει περίσσευμα "ένα εκατομμύριο, εκατόν μία χιλιάδες, εκατόν μία και δέκα" δραχμές είναι αξέχαστη...

Γρίφος: Ειλικρινής πλειοψηφία

Εκατό άτομα -χημικοί και αλχημιστές- συμμετείχαν σε ένα επιστημονικό συνέδριο. Τους ετέθη το εξής ερώτημα: Ποια ομάδα είναι πολυπληθέστερη σε αυτή τη συνάντηση (χωρίς να συμπεριλάβετε τον εαυτό σας), οι χημικοί ή οι αλχημιστές; Οι πρώτοι πενήντα απάντησαν ότι περισσότεροι ήταν οι αλχημιστές. Γνωρίζουμε ότι οι αλχημιστές λένε πάντα ψέματα, ενώ οι χημικοί πάντα αλήθεια.

Πόσοι χημικοί συμμετείχαν στο συνέδριο;