Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Κώνος

ΚΩΝΟΣ


Τα βιβλία γράφουν...

Ορθός κώνος ή κώνος εκ περιστροφής ή απλώς κώνος λέγεται το στερεό σχήμα που παράγεται από την περιστροφή ενός ορθογωνίου τριγώνου γύρω από μία κάθετη πλευρά του.

Christofer Andrukiewicz (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Lady in a Cone Hat"

Terry Romero Paul (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Melted Coffee Ice Cream" (2018)

Terry Romero Paul (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Cones and More Cones" (2014)

Wayne Thiebaud (γεν. 1920) - "Clown Cones" (2000)

Gerhard Richter (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Kegel (Cone)" (1985)

Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Cone"

ΚΟΛΟΥΡΟΣ ΚΩΝΟΣ

Τα βιβλία γράφουν...

Κόλουρος κώνος λέγεται το στερεό σχήμα που παράγεται από την περιστροφή ενός ορθογωνίου τραπεζίου γύρω από την κάθετη προς τις βάσεις πλευρά του.

Scott Budgell (a.k.a. Jazzberry Blue) (Σύγχρονος graphic artist) - "Conical Frustum"

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

Τα βιβλία γράφουν...

Κωνική τομή ονομάζεται μια καμπύλη που προκύπτει από την τομή κώνου και επιπέδου, ή ακριβέστερα, από την τομή ενός επιπέδου με δύο ίσες ορθές άπειρες κωνικές επιφάνειες που έχουν κοινό άξονα και συνδέονται στην κορυφή τους. Η θέση του επιπέδου ως προς τον κώνο καθορίζει τη μορφή της κωνικής τομής:

• Αν το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου, η κωνική τομή είναι ένας κύκλος.
• Αν το επίπεδο δεν είναι κάθετο στον άξονα του κώνου και τέμνει όλες τις γενέτειρες αυτού, η κλειστή καμπύλη που δημιουργείται είναι μια έλλειψη.
• Αν το επίπεδο είναι παράλληλο προς μια γενέτειρα του κώνου, η κωνική τομή είναι παραβολή.
• Αν το επίπεδο δεν είναι κάθετο στον άξονα του κώνου και ούτε παράλληλο προς μια γενέτειρα αυτού, τότε η κωνική τομή είναι υπερβολή.
• Τέλος, αν το επίπεδο διέρχεται από την κορυφή του κώνου, η τομή λέγεται εκφυλισμένη κωνική τομή και στην περίπτωση αυτή έχουμε ένα σημείο ή ένα ζεύγος ευθειών που διέρχονται από την κορυφή του κώνου.

Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Conic Sections"

Πηγές:

• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004.
• Apollo Magazine: Geomeytry, Pastries and Paint - An Interview with Wayne Thiebaud
• Art Wanted: Christofer Andrukiewicz
• Jazzberry Blue
• Philipps: Gerhard Richter
• Pixels: Russell Kightley
• Terry Romero Paul
• Wolfram Math World: Cone
• Wolfram Math World: Conical Frustum
• wikipedia.org

Διανυσματικός Λογισμός στο "Star Wars"

Πριν από πολύ καιρό, σε μια τάξη πολύ - πολύ μακριά...

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Οι ευθείες στο επίπεδο

Συχνά οι καλλιτέχνες χρησιμοποιούν στα έργα τους σχέδια, σημεία, ευθείες και άλλα αντικείμενα. Ο συλλογισμός τους μπορεί να επιτρέψει την απάντηση στα εξής ερωτήματα: Τι είναι ένα σημείο; Τι είναι ευθεία; Τι εννοούμε με τον όρο "παραλληλία"; Ο Wassily Kandinsky (1866 - 1944) ήταν Ρώσος ζωγράφος, ποιητής, δραματουργός και παιδαγωγός, ενώ είχε επίσης σπουδάσει νομική και οικονομικά. Τις πανεπιστημιακές του γνώσεις τις είχε εντάξει στο σχέδιο και στη ζωγραφική του. Από την εμπειρία του ως καθηγητής, άντλησε το υλικό της πραγματείας του "Σημείο - Γραμμή - Επίπεδο" (1925). Ο Kandinsky ορίζει τη γραμμή ως "ένα μοναδικό σημείο που σύρεται πάνω σε μια σελίδα".

Στο πλαίσιο του project "Μαθηματικά και Τέχνη", μαθαίνουμε σήμερα, μέσα από την τέχνη, για τις ευθείες στο επίπεδο...

ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Τα βιβλία γράφουν...

Δύο διαφορετικές ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή θα είναι παράλληλες, ή θα τέμνονται.

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

Kazimir Malevich (1878 - 1935) - "Red Cavalry Parallels"

James Charles (σύγχρονος ζωγράφος) - "Straight Lines"

Ellsworth Kelly (1923 - 2015) - "Spectrum IV" (1967)

Joanne Mattera (σύγχρονη ζωγράφος)

Joanne Mattera (σύγχρονη ζωγράφος)

Sol LeWitt (1928 - 2007) - "Bands of Color in Four Directions"

Antonio Saporito (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Parallel Lines"

Varvara Stepanova (1854 - 1958) - "Textile"

Όπυ Ζούνη (1941-2008) - "Φράχτης"

Τα βιβλία γράφουν...

Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου λέγονται παράλληλες, αν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, όσο κι αν προεκταθούν.

ΤΕΜΝΟΜΕΝΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

Lyubov Popova (1889 - 1924) - "Space Force Construction" (1922)

Aleksandr Rodchenko (1891 - 1956) - "Non Objective Painting (Line)" (1919)

Τα βιβλία γράφουν...

Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που έχουν ένα κοινό σημείο ονομάζονται τεμνόμενες. Το κοινό τους σημείο λέγεται σημείο τομής των δύο ευθειών.

ΚΑΘΕΤΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

Sol LeWitt (1928 -2007) - "Centre"

Frank Stella (γεν. 1936) - "Hyena Stomp" (1962)

Piet Mondrian (1872 - 1944) - "Composition with Red, Yellow and Blue" (1942)

Slavomir Zombek (Σύγχρονος ζωγράφος) - "The Golden Ratio No 09"

Τα βιβλία γράφουν...

Δύο ευθείες είναι κάθετες, όταν οι γωνίες που σχηματίζουν αυτές τεμνόμενες,  είναι ορθές.

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Τα μάτια συλλαμβάνουν τους πιο λεπτούς μαθηματικούς λογισμούς παρά τις παραμορφώσεις της προοπτικής. Εκεί έγκειται ένα από τα μυστικά της μελαγχολικής ομορφιάς ορισμένων πινάκων".
Salvador Dali

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

Πηγές:

• Μαθηματικά Α' Γυμνασίου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2016
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• wikipedia.org

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Υπερβολή

Μαθαίνουμε για την υπερβολή μέσα από έργα τέχνης...

Josh Hufford (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Within The Emptiness: Hyperbola"

Mary Rouncefield (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Hyperbola"

Slav Nedev (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Y=f(x)" (1995)

Τα βιβλία γράφουν...

Έστω Ε και Ε΄ δύο σημεία του επιπέδου. Ονομάζεται υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε και Ε΄ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από τα Ε και Ε΄ είναι σταθερή και μικρότερη του Ε΄Ε. Η απόσταση Ε΄Ε ονομάζεται εστιακή απόσταση της υπερβολής.

Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Hyperbola"

Τα βιβλία επίσης γράφουν...

Η υπερβολή μπορεί να προκύψει από την τομή ενός κώνου με ένα επίπεδο, γι' αυτό και είναι μία από τις κωνικές τομές. 

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"O πίνακας ζωγραφικής "Y=f(x)" δημιουργήθηκε με τη βοήθεια ενός μαθηματικού τύπου, συγκεκριμένα της συνάρτησης y=1/x. H καμπύλη που προκύπτει είναι μια υπερβολή. Η άλλη αρχή που χρησιμοποιήθηκε είναι αυτή της χρυσής τομής. Ήταν ενδιαφέρον να πειραματιστώ, θέλοντας να δείξω πώς μια μαθηματική έκφραση μπορεί επίσης να έχει αισθητική. Τα Μαθηματικά είναι παντού γύρω μας και μας πληροφορούν για την όλη ύπαρξη".
Slav Nedev

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

Πηγές:

• Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β' Γενικού Λυκείου, ΟΕΔΒ, 2003
• Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Deviant Art: Josh Hufford 
• Fine Art America: Hyperbola
• Mary Rouncefield
• Saatchi Art: Slav Nedev
• wikipedia.org

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Παραβολή

Μαθαίνουμε για την παραβολή μέσα από έργα τέχνης...

Josh Hufford (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "This Holy Reality-Parabola"

Jutta Maria Pusl (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Parabolic"

Mary Rouncefield (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Confined"

Mary Rouncefield (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Area"

Τα βιβλία γράφουν...

Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ. Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από την Ε και τη δ. Αν Α είναι η προβολή της εστίας Ε στη διευθετούσα δ, τότε το μέσο Κ του ΕΑ είναι προφανώς σημείο της παραβολής και λέγεται κορυφή της.

Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Parabola"

Τα βιβλία επίσης γράφουν...

Η παραβολή μπορεί να προκύψει από την τομή ενός κώνου με ένα επίπεδο, γι' αυτό και είναι μία από τις κωνικές τομές. 

Πηγές:

• Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β' Γενικού Λυκείου, ΟΕΔΒ, 2003
• Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Deviant Art: Josh Hufford 
• Fine Art America: Jutta Maria Pusl
• Pixels: Russell Kightley
• Mary Rouncefield
• wikipedia.org

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Έλλειψη

Μαθαίνουμε για την έλλειψη μέσα από έργα τέχνης.

Kazimir Malevich (1879 - 1935) - "Black Cross on Red Oval" 

Ellsworth Kelly (1923 - 2015) - "Red/Blue" (1964) 

Ellsworth Kelly (1923 - 2015) - Blue and Yellow and Red-Orange

Josh Hufford (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Tedious Path-Ellipse"

Mary Rouncefield (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Ellipse"

"Oval Hanging Construction", κρεμαστό γλυπτό του Alex Rodchenko (1921)

Τα βιβλία γράφουν...

Έλλειψη λέμε το σύνολο των σημείων του επιπέδου, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία (εστίες της έλλειψης) είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση μεταξύ των εστιών.

Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Conic Sections: Ellipse"

Τα βιβλία επίσης γράφουν...

Η έλλειψη μπορεί να προκύψει από την τομή ενός κώνου με ένα επίπεδο, γι' αυτό και είναι μία από τις κωνικές τομές. 

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Ο θεωρητικός μαθηματικός, όπως ο μουσικός, είναι ένας ελεύθερος δημιουργός ενός κόσμου διατεταγμένης ομορφιάς".

Bertrand Russel (1872 - 1970)

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

 Πηγές:

• Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β' Γενικού Λυκείου, ΟΕΔΒ, 2003
• Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004.
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Deviant Art: Josh Hufford 
• Mary Rouncefield
• Pixels: Russell Kightley
• wikipedia.org

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Κύκλος

Θα μάθουμε τον κύκλο μέσα από πίνακες ζωγραφικής και ψηφιακά σχέδια...

Wassily Kandinsky (1866 - 1944) - Squares with Concentric Circles (1913)

Wassily Kandinsky (1866 - 1944) - Circles within a circle (1923)

Wassily Kandinsky (1866 - 1944) - Several Circles (1926)

Donald K. Sultan (γεν. 1951) - Double Dominos

Sharon Horvath (Σύγχρονη ζωγράφος) - Moons (2016)

Laszlo Moholy-Nagy (1895 - 1946)

Kazuya Akimoto (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Colorful Planets"

Lazar Markovich Lissitzky (El Lissitzky) (1890 - 1941)

Lazar Markovich Lissitzky (El Lissitzky) (1890 - 1941)

Paul Klee (1879 - 1940) - Senecio (1922)

Florin Constantinescu (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - Uncertainties (2016)

James Pinkerton (γεν. 1958) - Blue Plate Special

Julie Gross (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Blue Inversion" (2004)

Mairi Walker (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα και μαθηματικός) (2013)

Τα βιβλία γράφουν...

Κύκλο λέμε το επίπεδο σχήμα, κάθε σημείο του οποίου απέχει ίση απόσταση (ακτίνα) από ένα σταθερό σημείο
(κέντρο του κύκλου).

Τα βιβλία επίσης γράφουν...

Κύκλος (Ο,ρ) λέγεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει:
ΟΜ = ρ.

Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Conic Sections-Circle"

Τα βιβλία γράφουν...

Ο κύκλος μπορεί να προκύψει από την τομή ενός κώνου με ένα επίπεδο, γι' αυτό και είναι μία από τις κωνικές τομές. 

 Πηγές:

• Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β' Γενικού Λυκείου, ΟΕΔΒ, 2003
• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004.
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Pixels: Russell Kightley
• wikipedia.org