Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα γεωμετρία. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων
Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα γεωμετρία. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων

Σάββατο 4 Ιανουαρίου 2020

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Μη κυρτά και αστεροειδή πολύεδρα


Αστεροειδή Πολύεδρα ή Αστέρες Πολύεδρα



Συνεχίζουμε, μέσω της τέχνης, την περιήγηση στον κόσμο των πολυέδρων, αυτή τη φορά με αστεροειδή (ή αστρόμορφα) πολύεδρα. Πρόκειται για μη κυρτά πολύεδρα, είναι δηλαδή αυτοτεμνόμενα.


Στο βιβλίο του Welzel Jamnitzer "Perspectiva Corporum Regularium" ("Προοπτική Κανονικών Στερεών", 1568), απεικονίζονται διάφορα αστεροειδή πολύεδρα.


Πολύεδρα Kepler-Poinsot


 Τα βιβλία γράφουν...

Υπάρχουν τέσσερα κανονικά αστεροειδή πολύεδρα, των οποίων οι έδρες τέμνουν το πολύεδρο, γνωστά ως πολύεδρα των Kepler-Poinsot.

Μικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο

Το μικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο πρωτοεμφανίστηκε περίπου το 1430 σε ένα μωσαϊκό του Paolo Uccello (1397 - 1475) στο πάτωμα του καθεδρικού του Σαν Μάρκο στη Βιέννη (Muraro, 1955). Αναλύθηκε  από τον Kepler στο έργο του "Harmonice Mundi" ("Αρμονικός Κόσμος", 1619) και ξανά από τον Poinsot το 1809.

M.C. Escher (1898 - 1972) - "Gravitation" (1952)

Γλυπτό εμπνευσμένο από το μικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο του πίνακα "Gravitation" του Maurits Cornellis Escher.
Διακοσμεί το χώρο του Πανεπιστημίου του Twente της Ολλανδίας.

Richard Starks (Σύγχρονος γλύπτης) - "Small Stellated Dodecahedron" (2016)


Μεγάλο αστεροειδές δωδεκάεδρο

Στο βιβλίο του Welzel Jamnitzer "Perspectiva Corporum Regularium" ("Προοπτική Κανονικών Στερεών", 1568), υπάρχει ένα σκίτσο του μεγάλου αστεροειδούς δωδεκαέδρου.

The Playful Geometer (σύγχρονος μηχανικός και καλλιτέχνης) - "Great Stellated Dodecahedron" (2009)
Γλυπτό-φωτιστικό


Vebjørn Sand (γεν. 1966) - "The Kepler Star" (2000)
Γλυπτό που διακοσμεί το αεροδρόμιο του Όσλο, Νορβηγία, γνωστό και ως "Norwegian Peace Star". Αποτελείται από ένα εικοσάεδρο και ένα δωδεκάεδρο μέσα σε ένα μεγάλο αστεροειδές δωδεκάεδρο.

Μεγάλο αστεροειδές δωδεκάεδρο εγγεγραμμένο σ' ένα οκταγωνικό πρίσμα, στο βιβλίο "Harmonice Mundi" ("Αρμονικός Κόσμος", 1619)  του Johannes Kepler

Μεγάλα και μικρά αστεροειδή δωδεκάεδρα στο βιβλίο "Harmonice Mundi" ("Αρμονικός Κόσμος", 1619)  του Johannes Kepler


Μεγάλο δωδεκάεδρο

Στο βιβλίο του Welzel Jamnitzer "Perspectiva Corporum Regularium" ("Προοπτική Κανονικών Στερεών", 1568), συναντάμε ένα σκίτσο του μεγάλου δωδεκαέδρου.


Μεγάλο εικοσάεδρο
Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", 1509)

Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509)
"Ycocedron Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", 1509)
Amber Brookman (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Great Icosahedron"
Amber Brookman (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Great Icosahedron"


Σελίδα από το βιβλίο του Lorenzo Sirigatti (1561 - 1614), "La Pratica di Perspettiva" ("Η Πρακτική της Προοπτικής", Βενετία, 1596), ένα βιβλίο για καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες.  Απεικονίζονται, από πάνω προς τα κάτω: Μικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο, 72εδρη σφαίρα και Μεγάλο εικοσάεδρο.


Διάφορα άλλα αστεροειδή πολύεδρα


Εκτός από τα πολύεδρα των Kepler-Poinsot, έχουμε και άλλα γνωστά αστεροειδή πολύεδρα.


Πρώτο αστεροειδές ρομβικό δωδεκάεδρο ή στερεό του Escher

Το στερεό του Escher είναι το στερεό που απεικονίζεται στην κορυφή του δεξιού βάθρου στην ξυλογραφία "Waterfalls" του M.C. Escher:

M.C. Escher (1898 - 1972) - "Waterfalls" (1961)

M.C. Escher (1898 - 1972) - "Stars" (1948)
Υπάρχει μια ομοιότητα μεταξύ αυτών των πολυέδρων και εκείνων του Leonardo da Vinci στο βιβλίο του Luca Paccioli.


Τριάκις Οκτάεδρο ή Αστεροειδές/αστερώδες οκτάεδρο
Αποτελεί σύνθεση δύο τετραέδρων. Επίσης είναι ο μοναδικός αστερισμός του οκταέδρου.

"Octocedron Elevatus Solidus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", τρίτο βιβλίο, 1509).
Αργότερα (1611), ο Kepler ονόμασε το στερεό αυτό Stella Octangula.

"Octocedron Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", τρίτο βιβλίο, 1509)

Διακοσμητική λεπτομέρεια στο Υπαίθριο Μουσείο Πολιτισμού και Ιστορίας στο Μέλανα Δρυμό της Γερμανίας
(Swarzwælder Freilichtmuseum Vogtsbauernhof)
Πολυεδρική ένωση κύβου και οκταέδρου
Αποτελεί σύνθεση ενός κύβου και ενός οκταέδρου. Είναι επίσης ο πρώτος αστερισμός του κυβοκταέδρου. Τέλος, μπορεί να κατασκευαστεί από ένα κυβοκτάεδρο, με προσθήκη τριγωνικών και τετραγωνικών πυραμίδων σε κάθε έδρα του.

Vincent Fink (Σύγχρονος ζωγράφος)


Vincent Fink (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Mr. Octahedron Iteration 1"
Εκτός από το κυβο-οκτάεδρο στο πάνω-δεξιά μέρος του πίνακα, ο ζωγράφος έχει απεικονίσει κύβους και οκτάεδρα σε διάφορα μεγέθη.


 Πρώτος σύνθετος αστερισμός του εικοσιδωδεκαέδρου (Πολυεδρική ένωση πέντε οκταέδρων)
"Vigintisex Basilum Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", 1509)


 Τα βιβλία γράφουν...

 Ένα επαυξημένο πολύεδρο προκύπτει, αν στο αρχικό πολύεδρο προσαρτήσουμε σε κάθε κάθε έδρα του μια πυραμίδα με βάση την έδρα αυτή.


 Τριάκις Τετράεδρο ή Επαυξημένο Τετράεδρο
Μπορεί να προκύψει από ένα τετράεδρο αν σε κάθε έδρα του "κολλήσουμε" μια τριγωνική πυραμίδα.

"Tetracedron Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", 1509)

"Tetracedron Elevatus Vacuus - Tetracedron Elevatus Solidus"
Αφίσα για το Μουσείο Leonardo da Vinci στην πόλη Vinci της Ιταλίας, πρότζεκτ με τον Dirk Huylebrouck

Oliver Gustav (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Elevated Tetrahedron"
Επαυξημένος Κύβος ή Επαυξημένο Εξάεδρο

 Μπορεί να προκύψει από έναν κύβο αν σε κάθε έδρα του "κολλήσουμε" μια τετραγωνική πυραμίδα.
"Hexacedron Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci στο βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", τρίτο βιβλίο, 1509)
Επαυξημένος Κόλουρος Κύβος ή Επαυξημένο Κόλουρο Εξάεδρο

 Μπορεί να προκύψει από έναν κόλουρο κύβο αν σε κάθε έδρα του "κολλήσουμε" οκταγωνικές ή τριγωνικές πυραμίδες.
"Exacedron Abscisus Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", τρίτο βιβλίο, 1509)

"Exacedron Abscisus Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", τρίτο βιβλίο, 1509)
"Exacedron Abscisus Elevatus Vacuus - Exacedron Abscisus Elevatus Solidus"
Αφίσα για το Μουσείο Leonardo da Vinci στην πόλη Vinci της Ιταλίας, πρότζεκτ με τον Dirk Huylebrouck

Πεντάκις δωδεκάεδρο

 Μπορεί να προκύψει από ένα δωδεκάεδρο αν σε κάθε έδρα του "κολλήσουμε" πενταγωνικές πυραμίδες. Έχει 5x12 = 60 έδρες, εξ' ου και το όνομά του.
"Duodecedron Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", 1509)


Επαυξημένο εικοσιδωδεκάεδρο

 Μπορεί να προκύψει από ένα εικοσιδωδεκάεδρο αν σε κάθε έδρα του "κολλήσουμε" πενταγωνικές ή τριγωνικές πυραμίδες.
"Duodecedron Abscisus Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας, 1509)

"Duodecedron Abscisus Elevatus Vacuus"
Πιστή αναπαραγωγή της κατασκευής του da Vinci από τον σύγχρονο μαθηματικό και καλλιτέχνη, George Hart (1999)

"Duodecedron Abscisus Elevatus Vacuus - Duodecedron Abscisus Elevatus Solidus"
Αφίσα για το Μουσείο Leonardo da Vinci στην πόλη Vinci της Ιταλίας, πρότζεκτ με τον Dirk Huylebrouck

 Πρόκειται για το αστεροειδές πολύεδρο στο κάτω μέρος του ξυλόγλυπτου της εικόνας:

Αναγεννησιακό ξυλόγλυπτο (Intarsia), έργο του Fra Giovanni da Verona (1457 - 1525). Σκευοφυλάκιο της Αγίας Μαρίνας στο αρμόνιο της Βερόνα 
(περ. 1494 - 1499).
Απεικονίζονται με τη σειρά, από πάνω προς τα κάτω: Επαυξημένος κύβος, κυβοκτάεδρο και επαυξημένο εικοσιδωδεκάεδρο. 
Αναγεννησιακό ξυλόγλυπτο (Intarsia), έργο του Fra Giovanni da Verona (1457 - 1525). Μοναστήρι του Monte Olivetto, κοντά στη Siena (περ. 1503 - 1506).

Παρατηρούμε ότι όλες οι απεικονίσεις των πολυέδρων είναι επηρεασμένες από την τεχνοτροπία του Leonardo da Vinci στο βιβλίο του Luca Pacioli, "De Divina Proportione" (1509). Ο τελευταίος ήταν δάσκαλος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας για τον da Vinci και τον βοήθησε στις κατασκευές του ως μηχανικός.


Διάφορα μη κυρτά πολύεδρα


Σελίδα από το βιβλίο του Lorenz Stoer "Geometria et Perspectiva ("Γεωμετρία και Προοπτική", Νυρεμβέργη, 1567). Το βιβλίο αυτό περιείχε μια σειρά τυπωμάτων με σχέδια για ξυλόγλυπτα, με φανταστικά τοπία και μη κυρτά πολύεδρα, όπως αυτό της εικόνας.


Τα βιβλία γράφουν...

 Οι επιφάνειες των μη κυρτών πολυέδρων -σε αντίθεση με τα κυρτά- μπορεί να έχουν χαρακτηριστική Euler διάφορους αριθμούς.


Τα αστεροειδή πολύεδρα παρουσιάζουν ποικίλες συμμετρίες και ομάδες συμμετριών, οι οποίες μελετώνται από τη σύγχρονη Θεωρία Ομάδων. Πιστεύεται ότι οι συμμετρίες αυτές είναι ο κύριος λόγος που τα αστεροειδή πολύεδρα ενέπνευσαν τόσο έντονα τους καλλιτέχνες, ειδικά κατά την Αναγέννηση.



Πηγές:
Αναρτήθηκε από στις 5 σχόλια:
Ετικέτες , ,

Παρασκευή 1 Νοεμβρίου 2019

Γρίφος: Η κάτοψη της πυραμίδας


Παρατηρήστε την πυραμίδα της εικόνας και προσπαθήστε να φανταστείτε πώς θα φαίνεται κοιτώντας την ακριβώς από πάνω...

Ποια είναι η κάτοψη της πυραμίδας;


Για να μάθετε περισσότερα για την πυραμίδα, πατήστε εδώ...
Αναρτήθηκε από στις 2 σχόλια:
Ετικέτες ,

Τρίτη 1 Οκτωβρίου 2019

Γρίφος: Συσκευάζοντας μαρμελάδες


Στη βιοτεχνία όπου εργάζεσαι, σου ζήτησαν να στείλεις κυλινδρικά βάζα μαρμελάδας, διαμέτρου 10 εκ. Θέλεις να σχεδιάσεις ένα κυλινδρικό κουτί για να συσκευάζεις τα βάζα μαρμελάδας, ίδιου ύψους με τα βάζα, ώστε κάθε κουτί να χωράει 7 βάζα. Καλείσαι, λοιπόν, να λύσεις το εξής γεωμετρικό πρόβλημα:

Ποια είναι η ελάχιστη εσωτερική διάμετρος που πρέπει να έχει το κουτί;

κυλινδρικά βάζα μαρμελάδας
(Πηγή)

Αναρτήθηκε από στις Δεν υπάρχουν σχόλια:
Ετικέτες ,

Τρίτη 30 Ιουλίου 2019

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Αρχιμήδεια στερεά και διάφορα κυρτά πολύεδρα


Στην προηγούμενη ανάρτηση του πρότζεκτ "Τα Μαθηματικά στην Τέχνη" είδαμε τα πέντε κανονικά πολύεδρα, που ονομάστηκαν και πλατωνικά στερεά. Αυτό που τα καθιστά ξεχωριστά είναι το γεγονός ότι οι έδρες τους είναι όλες κανονικά πολύγωνα του ίδιου τύπου. Η επόμενη κατηγορία πολυέδρων είναι τα ημικανονικά πολύεδρα ή αλλιώς αρχιμήδεια στερεά...

Σχέδια διαφόρων πολυέδρων. Από το βιβλίο του Max Brückner "Πολύγωνα και Πολύεδρα: Θεωρία και Ιστορία", 1900.


Σύμφωνα με μαρτυρία του Πάππου, ο Αρχιμήδης στη χαμένη πραγματεία του για τα λεγόμενα ημικανονικά πολύεδρα, διακρίνει μια νέα κατηγορία πολυέδρων.


Τα βιβλία γράφουν...

Τα αρχιμήδεια στερεά (ή στερεά του Αρχιμήδη) είναι ημικανονικά κυρτά πολύεδρα, οι έδρες των οποίων είναι κανονικά πολύγωνα, αλλά όχι όλες του ίδιου τύπου. Τα κανονικά πολύγωνα που αποτελούν τις έδρες έχουν όλα ίσες τις πλευρές τους, δηλαδή οι ακμές κάθε αρχιμήδειου πολυέδρου είναι όλες ίσες. Οι έδρες ενώνονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο σε όλες τις κορυφές του πολυέδρου, διαμορφώνοντας ίσες πολυεδρικές γωνίες. Υπάρχουν 13 αρχιμήδεια στερεά:


Κόλουρο Τετράεδρο

Έχει 8 έδρες: 4 τρίγωνα και 4 εξάγωνα.
Ο όρος "κόλουρο" αναφέρεται στη διαδικασία της αποκοπής των κορυφών από ένα αρχικό πολύεδρο. Έτσι, κατασκευαστικά, το κόλουρο τετράεδρο προέρχεται από ένα τετράεδρο, από το οποίο έχουμε αποκόψει τις 4 κορυφές.
Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509)
Kυβοκτάεδρο

Έχει 14 έδρες: 8 τρίγωνα και 6 τετράγωνα.

Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509)
Ana Conde (Σύγχρονη ζωγράφος και tattoo artist) - "Cuboctahedron Full of Dust Bunnies" (2018)
James Sawyer (Σύγχρονος καλλιτέχνης) -  "Octahedron Inside a Cuboctahedron" (2010)
Κόλουρος Κύβος ή Κόλουρο Εξάεδρο

Έχει 14 έδρες: 8 τρίγωνα και 6 οκτάγωνα.
Άγνωστος καλλιτέχνης από τις Η.Π.Α. - "Truncated Cube, Possibly a Zodiac Instrument"

Κόλουρο Οκτάεδρο

Έχει 14 έδρες: 6 τετράγωνα και 8 κανονικά εξάγωνα.
Κατασκευαστικά, προέρχεται από το οκτάεδρο, αν αποκοπούν όλες οι κορυφές του στο 1/3 της ακμής, έτσι ώστε από τις έδρες του αρχικού οκτάεδρου να προκύψουν εξάγωνα και στη θέση των αποκομμένων κορυφών του να σχηματιστούν τετράγωνα.

"Octocedron Abscisus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509)

Ρομβοκυβοκτάεδρο (ή μικρό ρομβοκυβοκτάεδρο)

Έχει 26 έδρες: 8 τρίγωνα και 18 τετράγωνα.

"Vigintisex Basilum Planus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509)


Η πρώτη τυπωμένη απεικόνιση ενός ρομβοκυβοκτάεδρου. Έργο του Leonardo da Vinci, στο βιβλίο του Luca Paccioli, "De Divina Proportione" (1509)


Jacopo de Barbari (1460 - 1516). Ο πίνακας απεικονίζει τον Luca Paccioli και τον μαθητή του Guidobaldo, δούκα του Urbino. Στην πάνω αριστερή γωνία είναι κρεμασμένο ένα ρομβοκυβοκτάεδρο, γεμάτο με νερό μέχρι τη μέση. Στο τραπέζι θα παρατηρήσει κανείς ένα δωδεκάεδρο πάνω σ' ένα αντίγραφο των στοιχείων του Ευκλείδη, έναν διαβήτη, μια πυξίδα, ενώ ο Paccioli παρουσιάζει ένα θεώρημα του Ευκλείδη. 


Κόλουρο Κυβοκτάεδρο (ή μέγα ρομβοκυβοκτάεδρο)

Έχει 26 έδρες: 12 τετράγωνα, 8 εξάγωνα και 6 οκτάγωνα.

Jim Wrenholt (Σύγχρονος graphic designer) - "Truncated Cuboctahedron" (2014)


Πεπλατυσμένος κύβος (ή πεπλατυσμένο εξάεδρο)

Έχει 38 έδρες: 32 τρίγωνα και 6 τετράγωνα.
Ο όρος "πεπλατυσμένος" αναφέρεται στη διαδικασία της "επέκτασης" του αρχικού σχήματος. Κατασκευαστικά, ο πεπλατυσμένος κύβος μπορεί να προέλθει από τον κύβο, αν απομακρύνουμε όλες τις έδρες του προς τα έξω, κατά ορισμένη απόσταση και τις περιστρέψουμε ως προς το κέντρο τους έτσι, ώστε τα κενά που δημιουργούνται να μπορούν να καλυφθούν από ισόπλευρα τρίγωνα.

Γλυπτό-συντριβάνι σε σχήμα πεπλατυσμένου κύβου. Διακοσμεί τον εξωτερικό χώρο του Caltech στην Καλιφόρνια.

Εικοσιδωδεκάεδρο

Έχει 32 έδρες: 20 τρίγωνα και 12 πεντάγωνα.

Η πρώτη τυπωμένη απεικόνιση ενός εικοσιδωδεκάεδρου. Έργο του Leonardo da Vinci, στο βιβλίο του Luca Paccioli, "De Divina Proportione" (1509)

P.S. (Σύγχρονος graphic designer) - "Icosidodecahedron 2"


Κόλουρο δωδεκάεδρο

Έχει 32 έδρες: 20 τρίγωνα και 12 δεκάγωνα.

Jim Wrenholt (Σύγχρονος graphic designer) - "Truncated Dodecahedron" (2014)


Κόλουρο εικοσάεδρο

Έχει 32 έδρες: 12 πεντάγωνα και 20 εξάγωνα. Το μοτίβο του κόλουρου εικοσάεδρου χρησιμοποιείται στην κατασκευή της συνηθισμένης μπάλας ποδοσφαίρου.

"Ycocedron Abscisus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509)

Απόκρυφη Γεωμετρία της Αναγέννησης: Ένα ζευγάρι χέρια στηρίζει ένα κόλουρο εικοσάεδρο. Γλυπτό που διακοσμεί το ταφικό μνημείο του Sir Anthony Ashley, σε έναν ενοριακό ναό κοντά στο Salisbury, Αγγλία.


Ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο (ή μικρό ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο)

Έχει 62 έδρες: 20 τρίγωνα, 30 τετράγωνα και 12 πεντάγωνα.

Jim Wrenholt (Σύγχρονος graphic designer) - "Rhombicosidodecahedron" (2014)


Κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο (ή μέγα ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο )

Έχει 62 έδρες: 30 τετράγωνα, 20 εξάγωνα και 12 δεκάγωνα.

Lindsey Carr (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Jacques Great Rhombicosidodecahedron"


Πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο (ή πεπλατυσμένο εικοσιδωδεκάεδρο)

Έχει 92 έδρες: 80 τρίγωνα και 12 πεντάγωνα.
Κατασκευαστικά, το πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο μπορεί να προέλθει με διαδικασία παρόμοια με εκείνη του πεπλατυσμένου κύβου, μόνο που τώρα το αρχικό στερεό είναι ένα δωδεκάεδρο.

Jim Wrenholt (Σύγχρονος graphic designer) - "Snub Dodecahedron" (2014)


Τα βιβλία γράφουν...

Ο πρώτος που ασχολήθηκε με την κατασκευή αρχιμήδειων στερεών φαίνεται να ήταν ο Αρχιμήδης, ο οποίος τα διαπραγματευόταν στο (μη σωζόμενο) έργο του "Περί 13 ημικανονικών πολυέδρων" και γι' αυτό φέρουν το όνομά του. Ωστόσο, το όνομα κάθε αρχιμήδειου στερεού οφείλεται στον Kepler, που τα μελέτησε εκτενώς στο βιβλίο του "Αρμονικός Κόσμος" (Harmonices Mundi, 1619) και σήμερα έχουμε τη μεταφρασμένη, από τα λατινικά, ορολογία.



Διάφορα άλλα κυρτά πολύεδρα



Εννεάεδρο - Επιμήκης τετραγωνική πυραμίδα

Οι μικροί μαθητές πολύ ορθά το παρομοιάζουν με σπίτι!

Sabrina Barrios (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Enneahedron" (2019)


72εδρη σφαίρα (ή σφαίρα του Κάμπανου)

Το πολύεδρο αυτό προσεγγίζει τη σφαίρα και αποτελεί τη βάση για την κατασκευή αρχιτεκτονικών θόλων.

"Septuaginta Duarum Basilum Solidum"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509)

"Septuaginta Duarum Basilum Vacuum"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509)


Το στερεό του Dürer

Πρόκειται για το στερεό που διακρίνεται στο αριστερό κομμάτι της γκραβούρας του Albrecht Dürer, "Melencolia I":

Albrecht Dürer (1471-1528) - "Melencolia I" (1514)
O Dürer ήταν ζωγράφος, χαράκτης και μαθηματικός της Γερμανικής Αναγέννησης, που ένωσε τη Γεωμετρία με την Τέχνη. Περιέγραψε το στερεό αυτό ως ένα κόλουρο ρομβόεδρο.


Τα βιβλία γράφουν...
Για κάθε κυρτό πολύεδρο ισχύει ο τύπος του Euler:

K + E = A + 2,
όπου Κ το πλήθος των κορυφών του, Ε το πλήθος των εδρών του και Α το πλήθος των ακμών του.
Με άλλα λόγια, τα κυρτά πολύεδρα έχουν χαρακτηριστική Euler  χ = Κ - Α + Ε = 2.

Τα αρχιμήδεια στερεά, αλλά και πολλά άλλα πολύεδρα, παρουσιάζουν ποικίλες συμμετρίες και ομάδες συμμετρίας, οι οποίες μελετώνται από τη σύγχρονη Θεωρία Ομάδων. Εικάζεται ότι οι συμμετρίες αυτές είναι ο κύριος λόγος που ενέπνευσαν τόσο έντονα τους καλλιτέχνες, ειδικά κατά την Αναγέννηση. Ο καλλιτέχνης της Αναγέννησης που ασχολήθηκε διεξοδικότερα με τα πολύεδρα ήταν ο Leonardo da Vinci. Ειδικότερα, η τεχνοτροπία αναπαράστασης πολυέδρων που πρώτος χρησιμοποίησε, απεικονίζοντάς τα στέρεα και κοίλα, σαν ξύλινα μοντέλα (που πιθανότατα είχε κατασκευάσει για το σκοπό αυτό ο Luca Paccioli), ώστε να φαίνονται και οι "πίσω" ακμές, επηρέασε καθοριστικά όσους μεταγενέστερους ασχολήθηκαν με τα πολύεδρα στη ζωγραφική και γενικότερα στις εικαστικές τέχνες.  


Αναγεννησιακό ξυλόγλυπτο (Intarsia), έργο του Fra Giovanni da Verona (1457 - 1525). Σκευοφυλάκιο της Αγίας Μαρίνας στο αρμόνιο της Βερόνα (περ. 1494 - 1499). Απεικονίζει, μεταξύ άλλων, ένα κόλουρο εικοσάεδρο και μια 72-εδρη σφαίρα.
Σελίδα από το βιβλίο του Lorenzo Sirigatti (1561 - 1614), "Η Πρακτική της Προοπτικής" (La Pratica di Perspettiva, Βενετία, 1596), ένα βιβλίο για καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες. Απεικονίζονται δύο εικοσιδωδεκάεδρα, δύο κόλουρα εικοσάεδρα (με και χωρίς τις έδρες τους), καθώς και ένα μικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο, το οποίο θα αναλυθεί στο επόμενο μέρος.


.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Τα βασικά στοιχεία των μαθηματικών, οι αριθμοί και η μέτρηση, που ονομάστηκαν αριθμητική και γεωμετρία, χρησιμοποιούνται με υπέρτατη αλήθεια σε διακριτές αλλά και συνεχείς ποσότητες. Εδώ δε συναντάμε διαφωνίες, λόγου χάρη ότι 2 φορές το 3 μας κάνει περισσότερο ή λιγότερο  από 6, ή ότι ένα τρίγωνο έχει άθροισμα γωνιών μικρότερο ή μεγαλύτερο από 2 ορθές, αλλά με αιώνια σιωπή, κάθε διαφωνία παύει να υφίσταται και, με ηρεμία, αυτές οι επιστήμες όπως τα μαθηματικά απολαμβάνονται από τους αφοσιωμένους τους ακολούθους".
Leonardo da Vinci

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.




Πηγές:
Αναρτήθηκε από στις 1 σχόλιο:
Ετικέτες , , ,
Εγγραφή σε: Αναρτήσεις (Atom)