Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Μη κυρτά και αστεροειδή πολύεδρα

Αστεροειδή Πολύεδρα ή Αστέρες Πολύεδρα

Συνεχίζουμε, μέσω της τέχνης, την περιήγηση στον κόσμο των πολυέδρων, αυτή τη φορά με αστεροειδή (ή αστρόμορφα) πολύεδρα. Πρόκειται για μη κυρτά πολύεδρα, είναι δηλαδή αυτοτεμνόμενα.

Στο βιβλίο του Welzel Jamnitzer "Perspectiva Corporum Regularium" ("Προοπτική Κανονικών Στερεών", 1568), απεικονίζονται διάφορα αστεροειδή πολύεδρα.

Πολύεδρα Kepler-Poinsot

Τα βιβλία γράφουν...

Υπάρχουν τέσσερα κανονικά αστεροειδή πολύεδρα, των οποίων οι έδρες τέμνουν το πολύεδρο, γνωστά ως πολύεδρα των Kepler-Poinsot.

Μικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο

Το μικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο πρωτοεμφανίστηκε περίπου το 1430 σε ένα μωσαϊκό του Paolo Uccello (1397 - 1475) στο πάτωμα του καθεδρικού του Σαν Μάρκο στη Βιέννη (Muraro, 1955). Αναλύθηκε  από τον Kepler στο έργο του "Harmonice Mundi" ("Αρμονικός Κόσμος", 1619) και ξανά από τον Poinsot το 1809.

M.C. Escher (1898 - 1972) - "Gravitation" (1952)

Γλυπτό εμπνευσμένο από το μικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο του πίνακα "Gravitation" του Maurits Cornellis Escher.

Διακοσμεί το χώρο του Πανεπιστημίου του Twente της Ολλανδίας.

Richard Starks (Σύγχρονος γλύπτης) - "Small Stellated Dodecahedron" (2016)

Μεγάλο αστεροειδές δωδεκάεδρο

Στο βιβλίο του Welzel Jamnitzer "Perspectiva Corporum Regularium" ("Προοπτική Κανονικών Στερεών", 1568), υπάρχει ένα σκίτσο του μεγάλου αστεροειδούς δωδεκαέδρου.

The Playful Geometer (σύγχρονος μηχανικός και καλλιτέχνης) - "Great Stellated Dodecahedron" (2009)
Γλυπτό-φωτιστικό

Vebjørn Sand (γεν. 1966) - "The Kepler Star" (2000)

Γλυπτό που διακοσμεί το αεροδρόμιο του Όσλο, Νορβηγία, γνωστό και ως "Norwegian Peace Star". Αποτελείται από ένα εικοσάεδρο και ένα δωδεκάεδρο μέσα σε ένα μεγάλο αστεροειδές δωδεκάεδρο.

Μεγάλο αστεροειδές δωδεκάεδρο εγγεγραμμένο σ' ένα οκταγωνικό πρίσμα, στο βιβλίο "Harmonice Mundi" ("Αρμονικός Κόσμος", 1619)  του Johannes Kepler

Μεγάλα και μικρά αστεροειδή δωδεκάεδρα στο βιβλίο "Harmonice Mundi" ("Αρμονικός Κόσμος", 1619)  του Johannes Kepler

Μεγάλο δωδεκάεδρο

Στο βιβλίο του Welzel Jamnitzer "Perspectiva Corporum Regularium" ("Προοπτική Κανονικών Στερεών", 1568), συναντάμε ένα σκίτσο του μεγάλου δωδεκαέδρου.

Μεγάλο εικοσάεδρο

Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", 1509)

"Ycocedron Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", 1509)

Amber Brookman (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Great Icosahedron"

Σελίδα από το βιβλίο του Lorenzo Sirigatti (1561 - 1614), "La Pratica di Perspettiva" ("Η Πρακτική της Προοπτικής", Βενετία, 1596), ένα βιβλίο για καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες.  Απεικονίζονται, από πάνω προς τα κάτω: Μικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο, 72εδρη σφαίρα και Μεγάλο εικοσάεδρο.

Διάφορα άλλα αστεροειδή πολύεδρα

Εκτός από τα πολύεδρα των Kepler-Poinsot, έχουμε και άλλα γνωστά αστεροειδή πολύεδρα.


Πρώτο αστεροειδές ρομβικό δωδεκάεδρο ή στερεό του Escher

Το στερεό του Escher είναι το στερεό που απεικονίζεται στην κορυφή του δεξιού βάθρου στην ξυλογραφία "Waterfalls" του M.C. Escher:

M.C. Escher (1898 - 1972) - "Waterfalls" (1961)

M.C. Escher (1898 - 1972) - "Stars" (1948)

Υπάρχει μια ομοιότητα μεταξύ αυτών των πολυέδρων και εκείνων του Leonardo da Vinci στο βιβλίο του Luca Paccioli.

Τριάκις Οκτάεδρο ή Αστεροειδές/αστερώδες οκτάεδρο


Αποτελεί σύνθεση δύο τετραέδρων. Επίσης είναι ο μοναδικός αστερισμός του οκταέδρου.

"Octocedron Elevatus Solidus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", τρίτο βιβλίο, 1509).
Αργότερα (1611), ο Kepler ονόμασε το στερεό αυτό Stella Octangula.

"Octocedron Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", τρίτο βιβλίο, 1509)

Διακοσμητική λεπτομέρεια στο Υπαίθριο Μουσείο Πολιτισμού και Ιστορίας στο Μέλανα Δρυμό της Γερμανίας
(Swarzwælder Freilichtmuseum Vogtsbauernhof)

Πολυεδρική ένωση κύβου και οκταέδρου


Αποτελεί σύνθεση ενός κύβου και ενός οκταέδρου. Είναι επίσης ο πρώτος αστερισμός του κυβοκταέδρου. Τέλος, μπορεί να κατασκευαστεί από ένα κυβοκτάεδρο, με προσθήκη τριγωνικών και τετραγωνικών πυραμίδων σε κάθε έδρα του.

Vincent Fink (Σύγχρονος ζωγράφος)

Vincent Fink (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Mr. Octahedron Iteration 1"
Εκτός από το κυβο-οκτάεδρο στο πάνω-δεξιά μέρος του πίνακα, ο ζωγράφος έχει απεικονίσει κύβους και οκτάεδρα σε διάφορα μεγέθη.

Πρώτος σύνθετος αστερισμός του εικοσιδωδεκαέδρου (Πολυεδρική ένωση πέντε οκταέδρων)

"Vigintisex Basilum Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", 1509)

Τα βιβλία γράφουν...

Ένα επαυξημένο πολύεδρο προκύπτει, αν στο αρχικό πολύεδρο προσαρτήσουμε σε κάθε κάθε έδρα του μια πυραμίδα με βάση την έδρα αυτή.


Τριάκις Τετράεδρο ή Επαυξημένο Τετράεδρο


Μπορεί να προκύψει από ένα τετράεδρο αν σε κάθε έδρα του "κολλήσουμε" μια τριγωνική πυραμίδα.

"Tetracedron Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", 1509)

"Tetracedron Elevatus Vacuus - Tetracedron Elevatus Solidus"
Αφίσα για το Μουσείο Leonardo da Vinci στην πόλη Vinci της Ιταλίας, πρότζεκτ με τον Dirk Huylebrouck

Oliver Gustav (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Elevated Tetrahedron"

Επαυξημένος Κύβος ή Επαυξημένο Εξάεδρο

Μπορεί να προκύψει από έναν κύβο αν σε κάθε έδρα του "κολλήσουμε" μια τετραγωνική πυραμίδα.

"Hexacedron Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci στο βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", τρίτο βιβλίο, 1509)

Επαυξημένος Κόλουρος Κύβος ή Επαυξημένο Κόλουρο Εξάεδρο

Μπορεί να προκύψει από έναν κόλουρο κύβο αν σε κάθε έδρα του "κολλήσουμε" οκταγωνικές ή τριγωνικές πυραμίδες.

"Exacedron Abscisus Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", τρίτο βιβλίο, 1509)

"Exacedron Abscisus Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", τρίτο βιβλίο, 1509)

"Exacedron Abscisus Elevatus Vacuus - Exacedron Abscisus Elevatus Solidus"
Αφίσα για το Μουσείο Leonardo da Vinci στην πόλη Vinci της Ιταλίας, πρότζεκτ με τον Dirk Huylebrouck

Πεντάκις δωδεκάεδρο

Μπορεί να προκύψει από ένα δωδεκάεδρο αν σε κάθε έδρα του "κολλήσουμε" πενταγωνικές πυραμίδες. Έχει 5x12 = 60 έδρες, εξ' ου και το όνομά του.

"Duodecedron Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", 1509)

Επαυξημένο εικοσιδωδεκάεδρο

Μπορεί να προκύψει από ένα εικοσιδωδεκάεδρο αν σε κάθε έδρα του "κολλήσουμε" πενταγωνικές ή τριγωνικές πυραμίδες.

"Duodecedron Abscisus Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας, 1509)

"Duodecedron Abscisus Elevatus Vacuus"
Πιστή αναπαραγωγή της κατασκευής του da Vinci από τον σύγχρονο μαθηματικό και καλλιτέχνη, George Hart (1999)

"Duodecedron Abscisus Elevatus Vacuus - Duodecedron Abscisus Elevatus Solidus"
Αφίσα για το Μουσείο Leonardo da Vinci στην πόλη Vinci της Ιταλίας, πρότζεκτ με τον Dirk Huylebrouck

Πρόκειται για το αστεροειδές πολύεδρο στο κάτω μέρος του ξυλόγλυπτου της εικόνας:

Αναγεννησιακό ξυλόγλυπτο (Intarsia), έργο του Fra Giovanni da Verona (1457 - 1525). Σκευοφυλάκιο της Αγίας Μαρίνας στο αρμόνιο της Βερόνα 
(περ. 1494 - 1499).
Απεικονίζονται με τη σειρά, από πάνω προς τα κάτω: Επαυξημένος κύβος, κυβοκτάεδρο και επαυξημένο εικοσιδωδεκάεδρο. 

Αναγεννησιακό ξυλόγλυπτο (Intarsia), έργο του Fra Giovanni da Verona (1457 - 1525). Μοναστήρι του Monte Olivetto, κοντά στη Siena (περ. 1503 - 1506).

Παρατηρούμε ότι όλες οι απεικονίσεις των πολυέδρων είναι επηρεασμένες από την τεχνοτροπία του Leonardo da Vinci στο βιβλίο του Luca Pacioli, "De Divina Proportione" (1509). Ο τελευταίος ήταν δάσκαλος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας για τον da Vinci και τον βοήθησε στις κατασκευές του ως μηχανικός.

Διάφορα μη κυρτά πολύεδρα

Σελίδα από το βιβλίο του Lorenz Stoer "Geometria et Perspectiva ("Γεωμετρία και Προοπτική", Νυρεμβέργη, 1567). Το βιβλίο αυτό περιείχε μια σειρά τυπωμάτων με σχέδια για ξυλόγλυπτα, με φανταστικά τοπία και μη κυρτά πολύεδρα, όπως αυτό της εικόνας.

Τα βιβλία γράφουν...

Οι επιφάνειες των μη κυρτών πολυέδρων -σε αντίθεση με τα κυρτά- μπορεί να έχουν χαρακτηριστική Euler διάφορους αριθμούς.


Τα αστεροειδή πολύεδρα παρουσιάζουν ποικίλες συμμετρίες και ομάδες συμμετριών, οι οποίες μελετώνται από τη σύγχρονη Θεωρία Ομάδων. Πιστεύεται ότι οι συμμετρίες αυτές είναι ο κύριος λόγος που τα αστεροειδή πολύεδρα ενέπνευσαν τόσο έντονα τους καλλιτέχνες, ειδικά κατά την Αναγέννηση.

Πηγές:

• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Πανεπιστημιακές σημειώσεις "Ιστορίας των Μαθηματικών" καθηγητή Α.Θωμά, 2010
• Geometricism by David Wade
• George Hart: Leonardo Project
• Matematicas Visuales
• Richard Starks Sculptures
• The Playful Geometer: Star Ring Attractions
• The Polyhedra of M.C. Escher
• Universal Leonardo: Rule of Mathematics
• Vincent Fink
• Wolfram Math World: Escher's Solid
• Wolfram Math World: Small Stellated Dodecahedron
• Wolfram Math World: Stella Octangula
• Wolfram Math World: Truncated Octahedron
• wikipedia.org