Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα σπουδαίοι μαθηματικοί. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων
Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα σπουδαίοι μαθηματικοί. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων

Δευτέρα 5 Απριλίου 2021

Μια απάντηση με... μαθηματικό χιούμορ!



Ο σπουδαίος Γερμανός μαθηματικός Richard Dedekind (1831-1916) είδε με έκπληξή του δώδεκα χρόνια πριν πεθάνει ότι το "Ημερολόγιο για Μαθηματικούς" του εκδοτικού οίκου Teubner τον κατέτασσε στους θανόντες μαθηματικούς, με ημερομηνία θανάτου 4 Σεπτεμβρίου 1899! Τότε ο Dedekind, που ήταν γνωστός για το χιούμορ του, έστειλε στον εκδοτικό οίκο την παρακάτω επιστολή:

 

«Για την ημέρα του θανάτου μου, την 4η Σεπτεμβρίου, μπορεί τελικά να αποδειχθεί ότι είναι ορθή, αλλά για το έτος έχετε σίγουρα λάθος. Σύμφωνα με το προσωπικό μου ημερολόγιο, την ημέρα εκείνη ήμουν απολύτως υγιής και απολάμβανα μια απολύτως ενδιαφέρουσα συζήτηση για το "Σύστημα και Θεωρία" με τον ομοτράπεζο και αγαπητό μου φίλο Georg Cantor».


Τετάρτη 22 Απριλίου 2020

Οι δέκα εντολές του George Polya προς τον δάσκαλο των Μαθηματικών


O George Polya συνέβαλε δραστικά στην ενίσχυση της σύνδεσης ανάμεσα στα Μαθηματικά και τη Διδακτική, αλλά και ανάμεσα στους μαθηματικούς και στους καθηγητές των Μαθηματικών. Στο βιβλίο του "Mathematical Discovery on Undestanding, Learning and Teaching Problem Solving" δίνει τις δέκα εντολές προς όσους διδάσκουν Μαθηματικά:


I. Να ενδιαφέρεσαι για το αντικείμενό σου.

II. Να γνωρίζεις το αντικείμενό σου.

III. Να γνωρίζεις τους τρόπους μάθησης: Ο καλύτερος τρόπος για να μάθεις κάτι είναι να το ανακαλύψεις μόνος σου.

IV. Προσπάθησε να διαβάζεις τα πρόσωπα των μαθητών σου, προσπάθησε να δεις τις προσδοκίες και τις δυσκολίες τους, τοποθέτησε τον εαυτό σου στη θέση τους.

V. Δώσε στους μαθητές σου, όχι μόνο πληροφορία, αλλά και καθοδήγηση χειρισμού της πληροφορίας, τρόπους σκέψης, τη συνήθεια της μεθοδικής εργασίας.

VI. Άφησέ τους να μάθουν να κάνουν νοερές εκτιμήσεις.

VII. Άφησέ τους να μάθουν να αποδεικνύουν.

VIII. Να επισημαίνεις στα παρόντα προβλήματα εκείνα τα χαρακτηριστικά που μπορεί να φανούν χρήσιμα στην επίλυση μελλοντικών προβλημάτων - προσπάθησε να αποκαλύψεις το γενικό μοτίβο που κρύβεται πίσω από την παρούσα συγκεκριμένη κατάσταση.

IX. Μην χαρίζεις ολόκληρο το μυστικό σου μονομιάς -άσε τους μαθητές σου να μαντέψουν προτού το πεις- άφησέ τους να το ανακαλύψουν μόνοι τους, όσο είναι εφικτό.

X.  Πρότεινε την πληροφορία, μην τους βάζεις να την καταπιούν με το ζόρι.



Παρασκευή 20 Μαρτίου 2020

Πώς οι τυχαίοι περίπατοι χάρισαν σε δύο μαθηματικούς το "Βραβείο Άμπελ" για το 2020


Δύο πρωτοπόροι μαθηματικοί, ο Hilel Furstenberg και ο Gregory Margulis, μοιράζονται το φετινό Βραβείο Άμπελ. Το βραβείο αυτό, που φέρει το όνομα του σπουδαίου Νορβηγού μαθηματικού Niels Henrik Abel (1802-1829), καθιερώθηκε το 2003 και απονέμεται κάθε χρόνο από τη Νορβηγική Ακαδημία Επιστημών και Γραμμάτων.



Ο Hilel Furstenberg  (γεν. 1935) διατέλεσε καθηγητής του Εβραϊκού Πανεπιστημίου της Ιερουσαλήμ ως το 2003 και ο Gregory Margulis (γεν. 1946) είναι καθηγητής στο Πανεπιστήμιο Yale των Η.Π.Α.

Ο Hilel Furstenberg αριστερά και ο Gregory Margulis δεξιά.


Οι δύο μαθηματικοί, χωρίς ποτέ να συνεργαστούν επίσημα -εργάστηκαν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον- άρχισαν από το 1963 να εφαρμόζουν με καινοτόμους τρόπους, μεθόδους από τη Θεωρία Πιθανοτήτων και τα Δυναμικά Συστήματα στη Θεωρία Ομάδων, τη Θεωρία Αριθμών και τη Συνδυαστική. Συγκεκριμένα, ένας κεντρικός κλάδος της Θεωρίας Πιθανοτήτων είναι η μελέτη των τυχαίων περιπάτων, όπως η διαδρομή που παίρνει ένας τουρίστας που εξερευνά μια άγνωστη πόλη, στρίβοντας ένα νόμισμα προκειμένου να αποφασίσει αν θα στρίψει αριστερά ή δεξιά σε κάθε σταυροδρόμι.  Οι Furstenberg και Margulis επινόησαν παρόμοιες τεχνικές τυχαίων περιπάτων, για να εξερευνήσουν τη δομή των γραμμικών ομάδων, όπως είναι για παράδειγμα οι ομάδες πινάκων, δηλαδή σύνολα πινάκων κλειστών κάτω από κάποια πράξη. Παίρνοντας γινόμενα από τυχαία επιλεγμένους πίνακες, κανείς προσπαθεί να περιγράψει πώς το αποτέλεσμα μεγαλώνει και τι φανερώνει η αύξηση αυτή για τη δομή της ομάδας.

Οι Furstenberg και Margulis εισήγαγαν δυναμικές ιδέες, έλυσαν τρομερά προβλήματα και ανακάλυψαν εκπληκτικές συνδέσεις μεταξύ της Θεωρίας Ομάδων, της Θεωρίας Πιθανοτήτων, της Θεωρίας Αριθμών, της Θεωρίας Γραφημάτων και της Συνδυαστικής. Η δουλειά τους δημιούργησε μια σχολή σκέψης, που είχε βαθύ αντίκτυπο σε πολλές περιοχές των Μαθηματικών, αλλά και των εφαρμογών τους.

Οι Hilel Furstenberg και Gregory Margulis, μαζί με το βραβείο θα μοιραστούν και 7,5 εκατομμύρια νορβηγικές κορώνες (περίπου 600.000€). Εξαιτίας της πανδημίας του κορονοϊού, η τελετή απονομής του βραβείου που θα γινόταν στο Όσλο τον Ιούνιο ματαιώνεται και η Νορβηγική Ακαδημία Επιστημών και Γραμμάτων θα βραβεύσει τους δύο μαθηματικούς του χρόνου, στην τελετή απονομής των βραβείων του 2021 .

Τρίτη 21 Ιανουαρίου 2020

Ο Gowers χρωματίζει αριθμούς...

Ο Timothy Gowers είναι ένας από τους σπουδαιότερους εν ζωή μαθηματικούς, ο οποίος για την έρευνά του που συνέδεσε τη Συναρτησιακή Ανάλυση με τη Συνδυαστική, κέρδισε το 1998 το μετάλιο Fields. Στο βίντεο που ανέβηκε σήμερα στο YouTube από το κανάλι Numberphile, o Gowers εξηγεί το Θεώρημα Van der Waerden από τη Θεωρία Ramsey της Συνδυαστικής, χρωματίζοντας αριθμούς... Αξίζει να το δείτε!



Για οποιουσδήποτε θετικούς ακεραίους r και k υπάρχει θετικός ακέραιος Ν τέτοιος, ώστε αν οι ακέραιοι {1, 2, ... , Ν} χρωματιστούν, ο καθένας με r διαφορετικά χρώματα, τότε θα υπάρχουν τουλάχιστον k ακέραιοι, όροι αριθμητικής προόδου, της οποίας οι όροι είναι του ίδιου χρώματος.
Ο ελάχιστος τέτοιος Ν ονομάζεται αριθμός Van der Waerden.

Τρίτη 7 Ιανουαρίου 2020

Ο Paul Halmos και οι χειραψίες της... γυναίκας του


Το 1991, ο Paul Halmos στο βιβλίο του "Problems for Mathematicians, Young and Old", που όπως χαρακτηριστικά ανέφερε "έγραψε για το κέφι του", θέτει -μεταξύ πολλών άλλων- το παρακάτω πρόβλημα συνδυαστικής:


Η γυναίκα μου κι εγώ ήμασταν προσκεκλημένοι σε ένα πάρτι με άλλα τέσσερα ζευγάρια, συνολικά δέκα άτομα. Σε κάθε άφιξη είχαμε χειραψίες απρόβλεπτες σε αριθμό, με τις εξής δύο προφανείς προϋποθέσεις: κανένα πρόσωπο δεν ανταλλάσσει χειραψίες με τον εαυτό του ή με το ταίρι του. Στο τέλος, μου κινήθηκε η περιέργεια και ρώτησα το ίδιο πράγμα σε όλους τους παρόντες. "Πόσα χέρια έσφιξες; ... Κι εσύ; ... Κι εσύ"; Ρώτησα εννέα άτομα (όλους, συμπεριλαμβανομένης της γυναίκας μου) και δηλώνω υπευθύνως ότι έλαβα εννέα διαφορετικές απαντήσεις.

Πόσες χειραψίες αντάλλαξε η γυναίκα μου;


Ο Paul Halmos το 1980
Ο Paul Halmos γύρω στο 1980


Για τους φίλους που αγαπάνε να λύνουν γρίφους και προβλήματα, περιμένω τις απαντήσεις στα σχόλια!


"Ο Θεός κρατάει μυστικά από εμάς
και έχει πλάκα να προσπαθούμε να μάθουμε μερικά από αυτά".
Paul Halmos (1916 - 2006)

Κυριακή 22 Απριλίου 2018

Μετρώντας τη Γη: Ο μεγαλοφυής υπολογισμός του Ερατοσθένη

Η πρώτη φορά στην ιστορία κατά την οποία έγινε πραγματική μέτρηση για τον υπολογισμό της περιμέτρου της Γης, ήταν από τον Ερατοσθένη τον Κυρηναίο (276 πΧ – 194 πΧ), ο οποίος υπολόγισε με εκπληκτική ακρίβεια την περίμετρο της Γης από... ένα πηγάδι. Για τη μέτρηση αυτή ο Ερατοσθένης είχε γράψει ιδιαίτερη πραγματεία, όπως πληροφορούμαστε από την «Διόπτρα» του Ήρωνος του Αλεξανδρέως, ο οποίος αναφερόμενος στο μέγεθος της περιμέτρου της Γης σημειώνει: «Ερατοσθένης εν τω επιγραφομένω περί αναμετρήσεως της Γης».
Ερατοσθένης

Ο Ερατοσθένης γεννήθηκε στην ελληνική αποικία της Βόρειας Αφρικής, Κυρήνη και ήταν φίλος με τον Αρχιμήδη. Λέγεται ότι είχε ζήσει στην Αθήνα για αρκετά χρόνια, ώσπου έγινε βιβλιοθηκάριος στην περίφημη βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας, όπου και μελετούσε.
Πώς ένα πηγάδι βοήθησε τον Ερατοσθένη να αποδείξει ότι η Γη είναι στρογγυλή...
Η άποψη ότι η Γη ήταν σφαιρική ήταν αποδεκτή στην αρχαία Ελλάδα. Ο Ερατοσθένης ήταν εκείνος που απέδειξε μαθηματικά αυτή την πεποίθηση και μάλιστα υπολόγισε με αξιοθαύμαστη ακρίβεια την ακτίνα και την περίμετρο της σφαιρικής Γης.


Παρατηρήσεις στην Αλεξάνδρεια και στη Συήνη

Την εποχή που βρισκόταν στη βιβλιοθήκη, ο Ερατοσθένης πληροφορήθηκε για ένα πολύ περίεργο πηγάδι, το οποίο βρισκόταν κοντά στη Συήνη (σημερινό Ασουάν της νότιας Αιγύπτου). Κάθε χρόνο, το μεσημέρι της 21ης Ιουνίου - τη μέρα του θερινού ηλιοστασίου, δηλαδή τη μεγαλύτερη μέρα του έτους - ο Ήλιος καθρεφτιζόταν ολόκληρος μέσα στο πηγάδι και το φώτιζε μέχρι τον πυθμένα του, χωρίς να δημιουργείται σκιά γύρω από αυτό. Ο Ερατοσθένης συμπέρανε ότι για να συμβαίνει κάτι τέτοιο, τη συγκεκριμένη μέρα ο Ήλιος έπρεπε να βρίσκεται ακριβώς κατακόρυφα πάνω από το πηγάδι.

Αλεξάνδρεια και Συήνη

Ο ήλιος όμως δεν συμπεριφερόταν το ίδιο και στα βόρεια της Αιγύπτου. Στην Αλεξάνδρεια, η οποία απέχει 800 χλμ από το Ασουάν, την ίδια εκείνη μέρα, ο ήλιος δημιουργούσε μια μικρή σκιά σε μια ψηλή κολώνα. Αυτό σήμαινε ότι οι δύο πόλεις σίγουρα δεν έβλεπαν τον ήλιο υπό την ίδια γωνία. Ο Ερατοσθένης γνώριζε ήδη από προγενέστερες αστρολογικές μετρήσεις που διάβασε στη βιβλιοθήκη ή από δικούς του υπολογισμούς, ότι η Συήνη και η Αλεξάνδρεια ανήκαν στον ίδιο μεσημβρινό. Επομένως ο λόγος που ο Ήλιος δεν μπορούσε να μεσουρανεί ταυτόχρονα στη Συήνη και στην Αλεξάνδρεια οφειλόταν στο ότι η Γη ήταν στρογγυλή και όχι επίπεδη. 

Οι υπολογισμοί του Ερατοσθένη

Πώς ο Ερατοσθένης υπολόγισε την περίμετρο της Γης...

Το πείραμα του Ερατοσθένη βασίστηκε στη μέτρηση της γωνίας υπό την οποία ο Ήλιος έστελνε τις ακτίνες του σε δύο διαφορετικές τοποθεσίες (Αλεξάνδρεια και Συήνη), την ίδια χρονική στιγμή.  Ο Ερατοσθένης πραγματοποίησε το πείραμα στις 21 Ιουνίου, την ημέρα του θερινού ηλιοστασίου, όταν η Γη παρουσιάζει τη μέγιστη κλίση της ως προς τον Ήλιο. Αυτό σημαίνει ότι ο Ήλιος το μεσημέρι βρισκόταν ακριβώς πάνω από τις δύο πόλεις.

Παράλληλες ακτίνες να φτάνουν από τον Ήλιο στη Γη.

Στο σχήμα βλέπουμε παράλληλες ακτίνες να φτάνουν από τον Ήλιο στη Γη. Το μεσημέρι της 21ης Ιουνίου, οι ηλιακές ακτίνες βυθίζονται στο πηγάδι της Συήνης, χωρίς να δημιουργούν καμία σκιά, επομένως «κατευθύνονται» προς το κέντρο της Γης. 

Την ίδια χρονική στιγμή στην Αλεξάνδρεια, μία ψηλή κολώνα (κάθετη στο έδαφος) σχηματίζει μια μικρή σκιά. Ο Ερατοσθένης μέτρησε το ύψος της κολώνας και το μήκος της σκιάς της. Έτσι δημιούργησε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και, χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρία, υπολόγισε τη γωνία που σχηματιζόταν ανάμεσα στην κολώνα και στις ακτίνες του Ήλιου. Το αποτέλεσμα ήταν ότι η γωνία ήταν φ = 7,2˚ , δηλαδή το 1/50 της περιφέρειας του κύκλου που είναι 360˚.


Οι μετρήσεις του Ερατοσθένη

Εδώ έχει μεγάλη σημασία το ότι η γωνία φ ισούται με τη γωνία που σχηματίζεται ανάμεσα στις δύο ακτίνες που συνδέουν το κέντρο της Γης με την Αλεξάνδρεια και τη Συήνη αντίστοιχα (εντός εναλλάξ γωνίες).

Στη συνέχεια, με την βοήθεια του βασιλιά Πτολεμαίου, ο οποίος διέθεσε ένα είδος οδομέτρου με γρανάζια, μέτρησε την απόσταση των δύο πόλεων, που ήταν 5.040 στάδια. Στο πείραμα του, τα 5.040 στάδια αντιστοιχούσαν στο 1/50 της περιφέρειας του κύκλου.

Τέλος, πολλαπλασίασε το 5.040 με το 100% του κύκλου, δηλαδή το 50, και έτσι υπολόγισε την περίμετρο της Γης στα 252.000 στάδια, ή με τη σύγχρονη μονάδα μέτρησης, 39.690 χιλιόμετρα. Ο υπολογισμός που έκανε ο Ερατοσθένης 2.200 χρόνια πριν ήταν αρκετά ακριβής. Σήμερα η περίμετρος της Γης υπολογίζεται σύμφωνα με δορυφορικές μετρήσεις σε 40.048 χιλιόμετρα, άρα στην ουσία έπεσε έξω μόλις 358 χιλιόμετρα!


Πηγες:
Τζόνι Μπολ, Μαθημαγικά, Εκδόσεις Polaris, 2011
wikipedia.org

Σάββατο 31 Μαρτίου 2018

Τα τελευταία λόγια μεγάλων μαθηματικών!


Αρχιμήδης: Εύρηκα!


→Αρχιμήδης: «Εύρηκα... αλλά άρπαξα ένα κρύωμα!»

→Πυθαγόρας: «Μας κάρφωσε ο Ίππασος !!!»

→Ευκλείδης: «Το 5ο αίτημα δεν μου πολυαρέσει!!!»

→Ερατοσθένης: «Είδε κανείς το κόσκινο μου;»

→Ζήνων: «Είδες η χελώνα;»

→Διόφαντος: «Η ηλικία μου, ένα αίνιγμα…»

→Νεύτωνας : «Δεν ξαναπερνάω κάτω από μηλιά».

→Γαλιλαίος: «Και όμως, γυρίζει…»

→Καρτέσιος: «Σε λίγο θα πάψω να σκέπτομαι και να υπάρχω!!»

→Τζιρόλαμο Καρντάνο: «Αυτός ο κερατάς ο Ταρτάλια μου έκλεψε την απόδειξη!»

→Πιερ Ντε Φερμά: «Έχω βρει μια πολύ ωραία απόδειξη αλλά δεν προλαβαίνω να την γράψω, μου χτυπάνε το κουδούνι...»

→Γκαλουά: «Έπρεπε να φορέσω αλεξίσφαιρο…»

→Λάιμπνιτς: «Υπήρξα πολύ αγαπητός!!!» (μόνο τρία άτομα συνόδευαν την σορό του).

→Μπερνούλι: «Θα ξαναγυρίσω αλλαγμένος».

→Λέοναρντ  Όιλερ: «Δεν βλέπω τίποτα».

→Καντόρ : «Τελικά ο Σαίξπηρ ήταν ο Φράνσις Μπέικον;»

→Πασκάλ: «Τα τρίγωνα μου μέσα!!»

→Φιμπονάτσι: «Ποιος άφησε ελεύθερα τα κουνέλια;»

→Ραμανουτζάν : «Εγώ δεν έκανα τίποτα... Όλα τα έκανε η Ναμαγκίρι».

→Χίλμπερτ: «Τώρα ποιος θα λύσει τα προβλήματα μου;»

→Μπέρτραντ Ράσελ: «Πάλι αυτός ο κουρέας είναι ακούρευτος!!»

→Πωλ Έρντος: «Πάω τώρα να κρυφοκοιτάξω το βιβλίο...»

→Γκόλντμπαχ: «Το πολύ σε ένα χρόνο θα έχουν αποδείξει την εικασία μου».

→Τζορτζ Μπουλ: «Λογικά θα πεθάνω!»

→Αύγουστος Φερδινάνδος  Μέμπιους: «Είδε κανείς την λωρίδα μου;»

→Αύγουστος Ντε Μόργκαν: «Εκείνος ο χάρτης, πόσα χρώματα;»

→Αβραάμ Ντε Μουάβρ: «Έχω αϋπνίες..»

→Γκέντελ: «Πλήρης...»

→Ουίλιαμ Σάνκς: «Εγώ  δεν λαθεύω ποτέ και αυτό είναι το μοναδικό μου λάθος».  

→Τ.Χάρντι: « Όλα είναι θέμα spin».

→Αϊνστάιν: «Σχετικά είναι όλα...»

Δευτέρα 11 Σεπτεμβρίου 2017

Καλή σχολική χρονιά!

Καλή σχολική χρονιά σε εκπαιδευτικούς, γονείς και κυρίως σε όλα τα παιδιά μας, που από σήμερα επιστρέφουν στα θρανία!!! 

Καλή σχολική χρονιά

Η όρεξη για μάθηση και για διδασκαλία των Μαθηματικών είναι και φέτος μπόλικη... Μέσα από αυτό το blog θα μοιράζομαι μαζί σας οτιδήποτε έχει σχέση με τα Μαθηματικά.

Στέφαν Μπάναχ

"Τα μαθηματικά είναι το πιο όμορφο και ισχυρό δημιούργημα του ανθρώπινου πνεύματος".
Stefan Banach (1892-1945)


Ο Stefan Banach υπήρξε ένας από τους θεμελιωτές του κλάδου της Συναρτησιακής Ανάλυσης και θεωρείται ως ένας από τους σπουδαιότερους μαθηματικούς του 20ού αιώνα.