Το 1991, ο Paul Halmos στο βιβλίο του "Problems for Mathematicians, Young and Old", που όπως χαρακτηριστικά ανέφερε "έγραψε για το κέφι του", θέτει -μεταξύ πολλών άλλων- το παρακάτω πρόβλημα συνδυαστικής:
Η γυναίκα μου κι εγώ ήμασταν προσκεκλημένοι σε ένα πάρτι με άλλα τέσσερα ζευγάρια, συνολικά δέκα άτομα. Σε κάθε άφιξη είχαμε χειραψίες απρόβλεπτες σε αριθμό, με τις εξής δύο προφανείς προϋποθέσεις: κανένα πρόσωπο δεν ανταλλάσσει χειραψίες με τον εαυτό του ή με το ταίρι του. Στο τέλος, μου κινήθηκε η περιέργεια και ρώτησα το ίδιο πράγμα σε όλους τους παρόντες. "Πόσα χέρια έσφιξες; ... Κι εσύ; ... Κι εσύ"; Ρώτησα εννέα άτομα (όλους, συμπεριλαμβανομένης της γυναίκας μου) και δηλώνω υπευθύνως ότι έλαβα εννέα διαφορετικές απαντήσεις.
Πόσες χειραψίες αντάλλαξε η γυναίκα μου;
 |
| Ο Paul Halmos γύρω στο 1980 |
Για τους φίλους που αγαπάνε να λύνουν γρίφους και προβλήματα, περιμένω τις απαντήσεις στα σχόλια!
"Ο Θεός κρατάει μυστικά από εμάς
και έχει πλάκα να προσπαθούμε να μάθουμε μερικά από αυτά".
Paul Halmos (1916 - 2006)
9+8+7+...+2+1 = (10*9)/2 = 45 χειραψίες
ΑπάντησηΔιαγραφήΜάλλον με παρέσυρε η γνωστή άσκηση που υπάρχει στο σχολικό βιβλίο και δεν διάβασα την εκφώνηση. Εδώ είναι διαφορετική γιατί κανένας δεν ανταλλάσσει χειραψία με τον εαυτό του και το ταίρι του.
ΔιαγραφήΝαι, είναι διαφορετική η άσκηση που λες... Το μυαλό του Halmos ήταν "σατανικό"...!
ΔιαγραφήΡώτησε εννέα (9) άτομα και πήρε διαφορετικές απαντήσεις, άρα οι χειραψίες που δόθηκαν (από τους 9 ερωτηθέντες) είναι 0,1,2,...,8, αφού αυτός με τις περισσότερες, δεν έδωσε χειραψία με τον εαυτό του και τη γυναίκα του, άρα 10-2=8 χειραψίες, άρα όλοι πλην της γυναίκας αυτουνού με τις 8 έδωσαν τουλάχιστον μία χειραψία, άρα η γυναίκα αυτού με τις 8 χειραψίες έδωσε 0 χειραψίες (8+0=8). Αυτός με τις 7 χειραψίες χαιρέτησε όλους πλην του εαυτού του, της γυναίκας του και της γυναίκας του Halmos, άρα όλοι πλην της γυναίκας του και της γυναίκας του Halmos (0 χειραψίες)έδωσαν τουλάχιστον 2 χειραψίες, άρα η γυναίκα του έδωσε μια(1)χειραψία (7+1=8) και με το ίδιο σκεπτικό η γυναίκα αυτού με τις 6 έδωσε 2, με τις 5 έδωσε 3, άρα η γυναίκα του Halmos έδωσε τέσσερις(4), τον αριθμό που απόμεινε.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΜία διόρθωση. Ο κάθε προσκαλεσμένος με 8,7,6,5 χειραψίες μπορεί να είναι άνδρας ή γυναίκα και οι με τις συμπληρωματικές του 8 χειραψίες 0,1,2,3 είναι οι σύντροφοί τους. Το σύνολο των χειραψιών (χωρίς τον Halmos) που ανταλλάχθηκαν ισούται με 1+2+...+8=36. Ο Halmos αντάλλαξε 4 χειραψίες, με τους ή τις με 8,7,6,5 χειραψίες.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠολύ ενδιαφέρουσες οι απαντήσεις που διάβασα, πράγματι ο Halmos και η γυναίκα του αντάλλαξαν ο καθένας από 4 χειραψίες (εφόσον ο Halmos στον γρίφο δε ρωτάει τον εαυτό του, μπορεί να έχει κάνει το ίδιο πλήθος χειραψιών με κάποιον άλλον παρόντα στο πάρτι). Καθώς έχω το βιβλίο που ανέφερα στην αρχή -μεταφρασμένο- θα παραθέσω και την αυτούσια λύση κατά τον Halmos:
ΑπάντησηΔιαγραφή"Για διευκόλυνση, δίνουμε σε κάθε καλεσμένο (συμπεριλαμβανομένης της γυναίκας μου) το όνομα (k), k=0,...,8 που αντιστοιχεί στις χειραψίες που αντάλλαξε.
Πόσα χέρια έσφιξε η γυναίκα του (8); Απάντηση: κανένα. Πράγματι, ο (8) και οι άνθρωποι που χαιρέτησε απαρτίζουν την ομήγυρη, εκτός από την σύζυγο του (8). Συνεπώς η σύζυγος του (8) είναι η μόνη που μπορούσε να απαντήσει "0".
Πόσα χέρια τώρα έσφιξε το ταίρι του (7); Απάντηση: Ακριβώς 1. Ένας τρόπος για να το δούμε είναι να προσαρμόσουμε λίγο τον προηγούμενο συλλογισμό, αλλά υπάρχει καλύτερη μέθοδος. Αφαιρούμε νοερά το ζεύγος (8)-(0) από το πάρτι σαν να ήταν απόντες (και, φυσικά, δεν υπολογίζουμε τις χειραψίες τους). Αναγόμαστε έτσι σε πάρτι με 8, αντί 10, καλεσμένους, ώστε ο μέγιστος αριθμός χειραψιών για ένα άτομο είναι 6 και το ταίρι του δεν έσφιξε κανένα χέρι. Συνεπώς, στο αρχικό πάρτι, το ταίρι του (7) πρέπει να είναι το (1), που έσφιξε μόνο το χέρι του (8).
Συνεχίζοντας, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι κάθε αντρόγυνο αντάλλαξε συνολικά ακριβώς 8 χειραψίες:
8+0
7+1
6+2 και
5+3.
Η μόνη δυνατότητα που απομένει για τις χειραψίες της γυναίκας μου είναι ο αριθμός 4".
(Πηγή: Paul Halmos (2012). Προβλήματα για μαθηματικούς, μικρούς & μεγάλους. Εκδόσεις: Ευρύαλος Απόλλων, Τρίκαλα)
Καλή χρονιά με υγεία!
ΑπάντησηΔιαγραφήΘα βάλω τα αγόρια μου που τρελένονται για τέτοιου είδους ασκήσεις, να βρουν την απάντηση!
Τέλεια :) Μπράβο στα αγόρια σου που ασχολούνται! Μπορείς να βρεις περισσότερους γρίφους πατώντας εδώ...
ΔιαγραφήΚαλή χρονιά με υγεία και δημιουργικότητα!!!