Καλή Χρονιά!

Καλή και δημιουργική χρονιά σε όλους!!!

Παρακάτω σας έχω κι έναν μαθηματικό γρίφο... για να ξεκινήσει καλά η νέα χρονιά!!! ;)

Χριστουγεννιάτικο κουίζ!

Ποια είναι η αξία των δύο δώρων από τον Άι-Βασίλη;;; 

ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ!!!

Ο γρίφος της Κυριακής

Sunday = ?

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο

ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕΔΟ 

Sol LeWitt (1928 - 2007) - "Παραλληλεπίπεδα" (Τοιχογραφία)

Όπυ Ζούνη (1941-2008) 

Όπυ Ζούνη (1941-2008) 

Wanda Koop (γεν. 1951) - "Nature Preserve" (2011) 

Salvador Dali (1904 - 1989) - "The Disintegration of the Persistence of Memory" (1954)

Carl Andre (γεν. 1935) - "Still Blue Range"
(Μινιμαλιστικό γλυπτό του 1989)

Τα βιβλία γράφουν...

Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο ονομάζεται το στερεό εξάεδρο σχήμα που έχει τρία ζεύγη παράλληλων εδρών, οι οποίες είναι ορθογώνια παραλληλόγραμμα.

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Η επιστήμη σημαίνει την έρευνα της πραγματικότητας,

ενώ η τέχνη την έκφραση της ομορφιάς".

Όπυ Ζούνη (1941-2008)

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

Πηγές:

• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Όπυ Ζούνη: Γεωμετρική λογική και εικαστική ευαισθησία
• wikipedia.org

Γρίφος: Αληθής ή ψευδής? Η... στιγμή της αλήθειας!

Μόνο μία από τις παρακάτω πέντε προτάσεις είναι αληθής. Ποια είναι;;;

1. Μόνο μία από τις προτάσεις είναι ψευδής.
2. Μόνο δύο από τις προτάσεις είναι ψευδείς.
3. Τρεις από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.
4. Τέσσερις από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.
5. Και οι πέντε προτάσεις είναι ψευδείς.

Πηγή: "Το φ": Περιοδική έκδοση επικοινωνίας και διαλόγου στα Μαθηματικά. Τεύχος 3, Νοέμ. 2006. Υπεύθυνος έκδοσης Β. Ε. Βισκαδουράκης

Μαθηματικά και παιχνίδι: Παίζοντας με την προπαίδεια - Μέρος 1º

Επανέρχομαι σήμερα με ένα θέμα που μου ζητήσατε και που νομίζω πως απασχολεί πολλούς γονείς με παιδί στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού…

«Πώς θα τη μάθει αυτή την προπαίδεια???»

Θυμάμαι, όταν ήμουν στο Δημοτικό, έπρεπε να αποστηθίσω ολόκληρη την προπαίδεια και να τη λέω «κατεβατό»… Αγγαρεία σκέτη σας λέω! Αλλά μπορούσα να κάνω κι αλλιώς? Από τότε ακόμη αντιπαθούσα την παπαγαλία. Ευτυχώς, για το παιδί μου έχω βρει πιο διασκεδαστικούς τρόπους εκμάθησης… και πιστεύω πως δεν διαψεύστηκα! Όλοι οι τρόποι που αναλύονται παρακάτω δουλεύουν και για παιδιά με μαθησιακές δυσκολίες, όπως είναι η δυσαριθμησία.

Για να ξεκινήσουμε την προπαίδεια, που πλέον διδάσκεται από τη Β’ Δημοτικού, θα μας βοηθήσει πολύ να έχουμε ήδη μάθει να μετράμε δύο-δύο και τρία-τρία. Κι αυτό γιατί ο πολλαπλασιασμός δεν είναι παρά πολλές προσθέσεις με τον ίδιο αριθμό. Παροτρύνετε το παιδί σας να μετρήσει ως το 100 δύο-δύο και μια άλλη φορά, τρία-τρία. Αυτό θα το βοηθήσει να μάθει την προπαίδεια του 2 και του 3 αντίστοιχα. Θα ήταν όμως προτιμότερο να το κάνετε αυτό περισσότερο σαν παιχνίδι και όχι ως «διάβασμα»!

Ένας απλός τρόπος για την κατανόηση του πολλαπλασιασμού είναι να παραστήσετε τα γινόμενα με ομάδες από παιδάκια (ή ζωάκια κλπ). Για παράδειγμα, το γινόμενο 2x5 μπορεί να παρασταθεί με 2 σειρές από 5 παιδάκια…

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι όσα και όλα τα παιδάκια, δηλαδή 10.

Επειδή όμως η διδασκαλία του πολλαπλασιασμού γίνεται έτσι κι αλλιώς στο σχολείο, για τους γονείς προτείνω… να παίξουν με τα παιδιά τους!

Θυμάστε το κρυφτό που παίζατε εσείς παιδιά??? Για την προπαίδεια του 5, προτείνετέ του να τα «φυλάξει» όπως όταν παίζει κρυφτό: 5, 10, 15, 20, 25...

και θα τη θυμάται πάντα! Άλλωστε, είναι γνωστό πως όταν λέμε κάτι με ρυθμό, το απομνημονεύουμε πολύ πιο εύκολα!

Μέσα από το παιχνίδι μπορεί το παιδί να «ανακαλύψει» και την προπαίδεια του 4, μετρώντας τις ρόδες από τα αυτοκινητάκια του ή τα πόδια από τα ζωάκια του: 1 αυτοκίνητο έχει 4 ρόδες, 2 αυτοκίνητα έχουν 8 ρόδες κ.ο.κ. 

Αν πάτε για καφέ έχοντας μαζί και το παιδί σας, μπορείτε να μετρήσετε αντίστοιχα τα πόδια από τις καρέκλες… 1 καρέκλα έχει 4 πόδια, 2 καρέκλες έχουν 8 πόδια κ.ο.κ. Έτσι αρχίζει να νιώθει το παιδί πως τα Μαθηματικά βρίσκονται παντού στην καθημερινή μας ζωή και όχι απλώς στο βιβλίο, δεν είναι ένα μάθημα που θα το φοβούνται όταν δεν το καταλαβαίνουν…

Για τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με 10, αρκεί να συμπληρώσουμε ένα μηδενικό στο τέλος του αριθμού. Πείτε του αυτό το «μυστικό» και θα ξέρει πλέον τον κανόνα του πολλαπλασιασμού οποιουδήποτε αριθμού με 10. Εναλλακτικά, μπορείτε απλά να μετρήσετε δέκα-δέκα μέχρι το 100!

Παρακάτω βλέπετε μια παραλλαγή που έκανα στο κλασικό παιχνίδι domino…

Έκοψα ορθογώνια κομμάτια χαρτόνι, χώρισα το καθένα στη μέση και έγραψα στα κουτάκια τα πολλαπλάσια του 8, όπως φαίνεται στη φωτογραφία:

Από κει και πέρα, παίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως και το κλασικό domino. Μπορείτε να φτιάξετε κι εσείς τα δικά σας domino, με την προπαίδεια όποιου αριθμού θελήσετε!

Μπορείτε ακόμη να φτιάξετε τη δική σας… τράπουλα. Γράψτε τα γινόμενα π.χ. 5x6 και τα αποτελέσματα π.χ. 30, θέστε τους κανόνες και παίξτε χαρτιά. Ακόμη, μπορείτε να «εμπλουτίσετε» την τράπουλά σας και με προσθέσεις ή αφαιρέσεις!

Στην ιστοσελίδα «Πράσινη Πρίζα» βρήκα ένα ενδιαφέρον βίντεο με ένα κολπάκι για την προπαίδεια, που «δουλεύει» για τα γινόμενα αριθμών από  το 6 ως το 10…

… αλλά και αυτό για την προπαίδεια του 9:

Στο επόμενο βίντεο βλέπουμε μια ενδιαφέρουσα ιδέα που μπορεί να υλοποιήσει ένας δάσκαλος... Φτιάχνουμε βεντάλια με τους πίνακες της προπαίδειας από το 1 ως το 12!

Κι εδώ είναι μια διασκεδαστική άσκηση που βρήκα στην ίδια ιστοσελίδα κι ετοίμασα για την κόρη μου… Ενώνουμε τις τελείες με τη σειρά, σύμφωνα με την προπαίδεια του 7:

Αντίστοιχη άσκηση μπορείτε να φτιάξετε και με την προπαίδεια οποιουδήποτε αριθμού.

Για να εμπεδώσει την προπαίδεια το πιτσιρίκι, δεν είμαι υπέρ του να τη λέει «κατεβατό», αλλά να ξέρει να απαντάει σε μια τυχαία ερώτηση. Ρωτήστε το κάποια τυχαία στιγμή, όπως την ώρα που οδηγείτε, ή την ώρα που κάνετε τις δουλειές του σπιτιού… Πόσο κάνει 5x7? 6x9? Ακόμη και πριν φτάσετε στο στάδιο της προπαίδειας, ρωτήστε π.χ: 5+2? Τέτοιες ερωτήσεις κρατούν πάντα το μυαλουδάκι τους σε εγρήγορση, χωρίς να νιώθουν ότι μελετούν ή εξετάζονται!

Καλέστε τα να λύσουν ακόμη και «προβλήματα» της καθημερινότητας, όπως αυτό που ρώτησε η μεγάλη αδερφή μου, που είχε την κόρη μου μαζί με τις δικές της: «Είστε 3 κορίτσια. Αν καθεμιά πάρει 5 ψαροκροκέτες, πόσες θα φάτε όλες μαζί»? Ζητήστε τους ακόμη να σας βοηθήσουν με κάποιον πρόχειρο υπολογισμό όταν πάτε για ψώνια. Για παράδειγμα, ο ένας χυμός κοστίζει 2€, πόσα θα πληρώσουμε για 2 χυμούς? Έχουμε 5€, φτάνουν τα χρήματα για να πάρουμε 3 χυμούς?

Δεν ξέρω αν θα φανεί υπερβολικό, αλλά πιάνει το «κόλπο», πιστέψτε με! 

Για το τέλος άφησα τα online παιχνίδια εκμάθησης της προπαίδειας… Τα παιδιά μας μεγαλώνουν «μέσα» στη τεχνολογία, οπότε… ποιο θα έλεγε όχι σ’ ένα παιχνίδι στο ίντερνετ??? Οι παρακάτω σύνδεσμοι οδηγούν σε παιχνίδια με την προπαίδεια. Αν εξερευνήσετε όμως αυτές τις ιστοσελίδες, θα βρείτε περισσότερα παιχνίδια, γενικότερα με τα μαθηματικά…

• Number Balloons
• Dynamite Multiplication
• Pirates
• Flying High
• Snowy’s Friend
• Learn Your Tables

Ελπίζω να βοήθησα κι εσάς μ’ αυτές τις ιδέες… Γιατί δεν θέλει κόπο, θέλει τρόπο!!! 

Σημείωση: Η παραπάνω ανάρτηση αποτελεί μια βελτιωμένη αναδημοσίευση από το παλιό μου ιστολόγιο. Μπορείτε να διαβάσετε την πρωτότυπη ανάρτηση εδώ...

Η εξίσωση του... Batman

Σύμφωνα με το Wolfram MathWorld, η "εξίσωση του Batman" ή "καμπύλη του Batman", που αναπαριστά το λογότυπο του αγαπημένου από πολλούς σούπερ ήρωα, είναι μια καμπύλη αποτελούμενη από επιμέρους τμήματα, καθένα από τα οποία είναι γράφημα κάποιας συνάρτησης. Πρωτοδημοσιεύτηκε στο Reddit τον Ιούλιο του 2011.

Τσεκάρετε έναν άλλο τρόπο αναπαράστασης του λογότυπου του Batman, στο Wolfram Alpha, γράφοντας "batman logo"!

Ο γρίφος του Joker

 "Κούπες" με "καρό"... Πήρανε τα "σπαθιά" τους αλλά τα βρήκανε... "μπαστούνια"! Ο Joker προσπαθεί να λύσει το γρίφο... Μπορείτε να τον βοηθήσετε;

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Πολύεδρα - Κύβος

Στην παρούσα και στις επόμενες αναρτήσεις του project "Μαθηματικά και Τέχνη" θα γνωρίσουμε τη γεωμετρία του χώρου και τα θεμελιώδη γεωμετρικά στερεά σχήματα.

Ο γεωμετρικός χώρος έχει 3 διαστάσεις: μήκος, πλάτος και ύψος και εκτείνεται απεριόριστα σε κάθε κατεύθυνση. Μέσα στον γεωμετρικό χώρο "ζουν" όλα τα στερεά σχήματα. Υπάρχουν δύο "οικογένειες" στερεών σχημάτων: τα πολύεδρα και τα στερεά εκ περιστροφής.

ΠΟΛΥΕΔΡΑ

Τα βιβλία γράφουν...

Τα πολύεδρα αποτελούνται από επίπεδα πολυγωνικά σχήματα, κατάλληλα τοποθετημένα, ώστε να σχηματίζουν ένα κλειστό στερεό σχήμα. Τα πολυγωνικά σχήματα λέγονται έδρες του πολυγώνου. Οι έδρες ενώνονται σε ακμές και οι ακμές συνδέονται σε σημεία που ονομάζονται κορυφές του πολυγώνου.

Το πιο γνωστό πολύεδρο είναι ο κύβος, που αποτελείται από 6 τετράγωνα (έδρες του κύβου).


ΚΥΒΟΣ

Sol LeWitt (1928 - 2007) - "Cubic Rectangle" (Τοιχογραφία του 1989)

Sara Mondo (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Invasion of floating cubes"

Όπυ Ζούνη (1941-2008) - "Κόκκινος κύβος στο χώρο" (2007)

Όπυ Ζούνη (1941-2008) - "Κύβοι"

Susie Callahan (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Cool cubes"

Joseph Hawa (Σύγχρονος ζωγράφος) - "The Cube" (2012)

Chris Bancroft (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Painting of things on my desk: Rubik's"

John Picking (γεν. 1939) - "Ambiguity I" (2011)

John Picking (γεν. 1939) - "Causeway" (2011)

John Picking (γεν. 1939) - "Triad I" (2011)

John Picking (γεν. 1939)  - "Triad II" (2011)

John Picking (γεν. 1939)  - "Cube Vertigo" (2008)

John Picking (γεν. 1939)  - "Four-Cube" (2011)

John Picking (γεν. 1939)  - "Five-Cube" (2011)

John Picking (γεν. 1939)  - "Six-Cube" (2011)

John Picking (γεν. 1939)  - "Study for Clouds in a Four-Dimensional Sky" (2011)

Για να δούμε καλύτερα το σχήμα του κύβου μέσα στο χώρο, ας γνωρίσουμε τον κύβο μέσα από όμορφα γλυπτά.

Anila Quayyum Agha (Σύγχρονη γλύπτρια) - "Intersections" (Γλυπτό με την τεχνική της 3D-εκτύπωσης, εγκατεστημένο στο Μουσείο Peabody Essex, Σάλεμ, Μασαχουσέτη)

Anila Quayyum Agha (Σύγχρονη γλύπτρια) - "All the flowers are for me: Red" (Γλυπτό με την τεχνική της 3D-εκτύπωσης. Φωτισμένο από το εσωτερικό του, δημιουργεί καταπληκτικές σκιές στους τοίχους. Είναι εγκατεστημένο στο Μουσείο Peabody Essex, Σάλεμ, Μασαχουσέτη)

Rasheed Araeen (γεν. 1935) - "One Summer Afternoon" (1968)

Rasheed Araeen (γεν. 1935) - "One Summer Afternoon" (1968)

Jake Weigel (Σύγχρονος γλύπτης) - Γλυπτό από γυαλί και ξύλο (2014)

Ο μεγαλύτερος κύβος του κόσμου είναι το Atomium, ένα οικοδόμημα που κατασκευάστηκε το 1958 από τους αρχιτέκτονες J. Polak και A. Polak, για την Παγκόσμια Έκθεση των Βρυξελλών. Έχει ύψος 103 μ. και αναπαριστά την κυψελίδα ενός κρυστάλλου σιδήρου, η οποία έχει κυβικό σχήμα.

 "Atomium Illustration" (Copyright 2006, Art Creation (ASBL); Artists Rights Society (ARS), New York; SABAM, Belgium)

Τα βιβλία γράφουν...

Ο χώρος μπορεί να καλυφθεί, δηλαδή να "γεμίσει" χωρίς κενά ή επικαλύψεις, μόνο με κύβους.

Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972) - "Κυβική Διαίρεση Χώρου"

(Συνεχίζεται με περισσότερα γεωμετρικά στερεά...)

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Το ενδιαφέρον μου για τον κύβο, περισσότερο από τον Κυβισμό, αφορά αυτό το συγκεκριμένο γεωμετρικό στερεό. Προσφέρει τόσες πολλές δυνατότητες. Σε αντίθεση με τον Albers που είχε επιλέξει το τετράγωνο για την αδυναμία του, επέλεξα τον κύβο σαν ένα δυνατό στερεό που ξεπερνά τα όρια ενός επίπεδου καμβά".
John Picking (Homage to the Cube)

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

Πηγές:

• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• John Picking, Homage to the Cube, 2011
• Wolfram Math World: Cube
• wikipedia.org

"Αριθμητική με το νου"

Ο Nikolay Bogdanov-Belsky (1868 - 1945) ήταν Ρώσος ζωγράφος που ακολουθούσε τα ρεύματα του Ρεαλισμού και του Ιμπρεσιονισμού. Πολλά από τα έργα του έχουν ηθογραφικό χαρακτήρα και αποτελούνται από πορτρέτα, ιμπρεσιονιστικά τοπία και απεικονίσεις της καθημερινής ζωής, με κύριο στοιχείο τα παιδιά και την εκπαίδευση τους.

To 1895, o Nikolay Bogdanov-Belsky ζωγράφισε τον πίνακα «Αριθμητική με το νου. Στο δημόσιο σχολείο του S. Rachinsky», ή κατ' άλλους, «Ένα δυσνόητο πρόβλημα». Ο δάσκαλος που απεικονίζεται είναι ο S. Rachinsky, καθηγητής φυσικής, ο οποίος εγκατέλειψε το πανεπιστήμιο για να υπηρετήσει ως απλός δάσκαλος σε κάποιο χωριό.

Οι περισσότεροι, όμως, όταν θαυμάζουν το έργο τέχνης, παραβλέπουν το πρόβλημα που είναι γραμμένο στον πίνακα της τάξης... Το πρόβλημα ζητάει τον υπολογισμό της αριθμητικής παράστασης:

(10²+11²+12²+13²+14²)/365

Μπορείτε να κάνετε τον υπολογισμό με το μυαλό σας;

Πηγές:

Yakov Perelman, Διασκεδαστικά Μαθηματικά, Εκδόσεις Κάτοπτρο, 2001

https://twitter.com/fermatslibrary