Αυτή ήταν η πρώτη εργασία που δημοσίευσε το 1983 ο ιδιοφυής μαθηματικός Terence Tao (Μετάλλιο Fields, 2006), σε ηλικία μόλις 8 ετών!
Στην εργασία αυτή, αναπτύσσει έναν κώδικα σε Basic, ο οποίος εντοπίζει τέλειους αριθμούς.
Τέλειος λέγεται ένας φυσικός αριθμός ν, όταν το άθροισμα των διαιρετών του, εκτός του ν, ισούται με τον αριθμό ν.
Ο μικρότερος τέλειος αριθμός είναι το 6. Οι διαιρέτες του 6 (εκτός από τον εαυτό του) είναι οι 1, 2, 3.
Το άθροισμα αυτών είναι 1 + 2 + 3 = 6.
Άλλοι τέλειοι αριθμοί είναι οι:
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
Ο Ευκλείδης ανακάλυψε ότι οι τέσσερις πρώτοι τέλειοι αριθμοί παράγονται από τον τύπο , όπου .
Πράγματι:
Για είναι:
Για είναι:
Για είναι:
Για είναι:
Αποδεικνύεται εύκολα ότι αν ο είναι πρώτος, τότε και ο είναι πρώτος. (Το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει!)
Παρατηρώντας ότι τα στον παραπάνω τύπο είναι πρώτοι αριθμοί, ο Ευκλείδης, στο βιβλίο του "Στοιχεία", απέδειξε ότι αν ο είναι πρώτος, τότε ο αριθμός είναι τέλειος. O Ευκλείδης, λοιπόν, τεκμηρίωσε μια ικανή συνθήκη για να είναι ένας αριθμός τέλειος. Έτσι, για την εύρεση τέλειων αριθμών αρκεί η εύρεση πρώτων αριθμών της μορφής . Δεν ισχυρίστηκε όμως πουθενά ότι αυτή η συνθήκη ήταν επίσης αναγκαία -δηλαδή ότι αν ένας αριθμός είναι τέλειος, τότε θα πρέπει να έχει την παραπάνω μορφή.
Σχεδόν είκοσι αιώνες μετά τον Ευκλείδη, ο Euler απέδειξε ότι ο τύπος μας δίνει όλους τους άρτιους τέλειους αριθμούς. Δηλαδή ένας άρτιος τέλειος αριθμός έχει τη μορφή , όπου ο είναι πρώτος. Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό ως το Θεώρημα Ευκλείδη-Euler.
Είναι άγνωστο μέχρι σήμερα αν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί. Ο υπολογισμός τέλειων αριθμών είναι αρκετά δύσκολος, αν αναλογιστεί κανείς ότι ως το 2016 υπήρχαν 49 γνωστοί τέλειοι αριθμοί.
Ο τότε πιτσιρικάς Terence Tao βασίστηκε στο θεώρημα που είχε αποδείξει ο Ευκλείδης και σχεδίασε την εύρεση πρώτων αριθμών της μορφής , με σκοπό τη δημιουργία τέλειων αριθμών. Διαβάστε την εργασία του Terence Tao στο Fermat's Library πατώντας εδώ...