Πέμπτη 9 Νοεμβρίου 2017

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Τετράγωνο


ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ


ύμνος στο τετράγωνο
Josef Albers (1888 - 1976) - Homage to a square

Salvador Dali (1904 - 1989) - Bengal Tiger

Τετράγωνα σε πίνακα του Πητ Μοντριάν
Piet Mondrian (1872 - 1944) - Composition Checkerboard Dark Colors

Τετράγωνα σε πίνακα του Πικάσο
Pablo Picasso (1881 - 1973) - Harlequin Leaning (1901)

Τετράγωνα σε πίνακα του Βασαρελύ
Victor Vasarely (1906-1997)

Τετράγωνα σε πίνακα του Πάουλ Κλέε
Paul Klee (1879 - 1940) - May Picture

Μαύρο τετράγωνο και κόκκινο τετράγωνο - πίνακας του Μάλεβιτς
Kazimir Malevich (1879 - 1935) -
"Black Square and Red Square: Colour Masses in the Fourth Dimension" (1915)

Τέσσερα τέταρτα - Τετράγωνα σε πίνακα του Κονσταντινέσκου
Florin Constantinescu (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - 4 quarters (2016)

Τετράγωνα σε πίνακα του Σαλγκάντο
Andrew Salgado (Σύγχρονος καλλιτέχνης, γεν. 1982)

Τα βιβλία γράφουν...

Τετράγωνο λέμε το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος.


      Πηγές:
  • Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
  • E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
  • Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
  • Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
  • H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
  • Μαυρομάτης - Σταθοπούλου - Παπανικολάου, Τέχνη και Μαθηματικά - Γεωμετρικά σχήματα, Εκδόσεις Λιβάνη, 2014 
  • wikipedia.org

Κυριακή 5 Νοεμβρίου 2017

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Ρόμβος


ΡΟΜΒΟΣ

Ρόμβος
Laszlo Moholy-Nagy (1895 - 1946) 


Χρωματιστή γεωμετρία
Joanne Mattera (Σύγχρονη ζωγράφος) - Chromatic Geometry (2013)


Ρόμβοι σε πίνακα της Τζοάν Ματέρα
Joanne Mattera (Σύγχρονη ζωγράφος) - Chromatic Geometry (2014)


Ρόμβοι σε πίνακα της Τζοάν Ματέρα
Joanne Mattera (Σύγχρονη ζωγράφος) - Chromatic Geometry


Ρόμβοι σε πίνακα του 2014
Joanne Mattera (Σύγχρονη ζωγράφος) - Chromatic Geometry (2014)


Πίνακας του 1965 σε σχήμα ρόμβου
Alejandro Puente (1933 - 2013) (1965)


Ρόμβοι σε πίνακα του Αλεχάντρο Πουέντε
Alejandro Puente (1933 - 2013) - "Auca"

Ρόμβος σε πίνακα του Κέλλυ
Ellsworth Kelly (1923 - 2015) (1974)

Ρόμβοι σε πίνακα του Ρενουάρ
Pierre-August Renoir (1841 - 1919) - "Lunch at the Restaurant Fournaise" (1875)

Τα βιβλία γράφουν...

Ρόμβο λέμε το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.


.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Οι μαθηματικές δομές, όπως αυτές των ζωγράφων ή των ποιητών, πρέπει να είναι όμορφες. Οι ιδέες, όπως και τα χρώματα ή οι λέξεις, πρέπει να ταιριάζουν μεταξύ τους με έναν αρμονικό τρόπο. Η ομορφιά είναι η πρώτη δοκιμασία. Δεν υπάρχει χώρος για άσχημα μαθηματικά".
Godfrey Hardy

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.


             Πηγές:
  • Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
  • E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
  • Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
  • Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
  • H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
  • Μαυρομάτης - Σταθοπούλου - Παπανικολάου, Τέχνη και Μαθηματικά - Γεωμετρικά σχήματα, Εκδόσεις Λιβάνη, 2014 
  • wikipedia.org

Πέμπτη 2 Νοεμβρίου 2017

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Ορθογώνιο


Στο προηγούμενο μέρος του project "Μαθηματικά και Τέχνη" μάθαμε για το παραλληλόγραμμο. Στη συνέχεια θα μιλήσουμε για ορισμένα χαρακτηριστικά παραλληλόγραμμα...


ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ

Ορθογώνια σε πίνακα του Μάλεβιτς
Kazimir Malevich (1878 - 1935)

Ορθογώνια σε πίνακα του Πητ Μοντριάν
Piet Mondrian (1872 - 1944)

Piet Mondrian (1872 - 1944) - "Composition with Grid #1" (1918)

Ορθογώνια
Sol LeWitt (1928 - 2007)

Ορθογώνια σε πίνακα του Γκούσταβ Κλιμτ
Gustav Klimt (1862 - 1918) - "The Kiss" (1907 - 1908)

Ορθογώνια σε σύγχρονο πίνακα ζωγραφικής
Jacky Quetard & Sanae Kushibiki (σύγχρονοι ζωγράφοι)

Ορθογώνια σε σύγχρονο πίνακα ζωγραφικής
Kostas G. Schnippering (σύγχρονος ζωγράφος) - "Rainy Stockholm" (2020)

Ορθογώνια σε πίνακα του Ταμάρ Ζιν
Tamar Zinn (σύγχρονος ζωγράφος) - "At the still point 14" (2015)

Ορθογώνια σε πίνακα του Τζέημς Πίνκερτον
James Pinkerton (γεν. 1958) -  "Red Pillars"

Ορθογώνια σε πίνακα του Κονσταντινέσκου
Florin Constantinescu (σύγχρονος ζωγράφος) - "Ocher, Red, Green and Gray" (2016)


Τα βιβλία γράφουν...

Ορθογώνιο λέμε το παραλληλόγραμμο που έχει μια γωνία ορθή.

Πολλές φορές το λέμε και ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, για να το ξεχωρίσουμε από το πλάγιο παραλληλόγραμμο...


      Πηγές:
  • Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
  • E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
  • Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
  • Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
  • H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
  • Μαυρομάτης - Σταθοπούλου - Παπανικολάου, Τέχνη και Μαθηματικά - Γεωμετρικά σχήματα, Εκδόσεις Λιβάνη, 2014 
  • wikipedia.org

Τετάρτη 25 Οκτωβρίου 2017

Η λύση του γρίφου των παρενθέσεων

Ο χθεσινός γρίφος των παρενθέσεων ζητούσε να τοποθετήσουμε καταλλήλως παρενθέσεις στην παρακάτω παράσταση, ώστε να προκύψει ένας αριθμός μεγαλύτερος του 39.

Ο γρίφος των παρενθέσεων

Ομολογουμένως. η επίλυση του γρίφου απαιτεί "πονηριά"... Παρακάτω δίνονται δύο διαφορετικοί τρόποι επίλυσης.

Δύο λύσεις για το γρίφο των παρενθέσεων


Τρίτη 24 Οκτωβρίου 2017

Ο γρίφος των παρενθέσεων

Γνωρίζουμε ότι σε μια παράσταση οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις έχουν προτεραιότητα.

Τοποθετήστε κατάλληλα παρενθέσεις στην παράσταση:

δύο δια δύο πλην τρία δια τρία πλην τέσσερα δια τέσσερα πλην πέντε δια πέντε

έτσι, ώστε να προκύψει ένας αριθμός μεγαλύτερος του 39.

(Η λύση θα δοθεί αύριο το βράδυ!)

_____________________________________________
UPDATE: Αν ο γρίφος σας βασανίζει, μπορείτε να δείτε δύο ενδεικτικές λύσεις εδώ...

Σάββατο 21 Οκτωβρίου 2017

Μαγικά ή μαθηματικά;

Είμαστε έτοιμοι να δούμε ένα... μαγικό τρικ (και την απομυθοποίησή του); Ξεκινάμε...

  • Σκέψου έναν αριθμό.
  • Πρόσθεσε το 7 στον αριθμό που διάλεξες.
  • Αφαίρεσε το 2.
  • Τώρα αφαίρεσε τον αριθμό που σκέφτηκες αρχικά.
  • Πολλαπλασίασε τον αριθμό που προέκυψε με το 3.
  • Τέλος, πρόσθεσε το 5.

Ξέρω ότι ο αριθμός που προέκυψε είναι το 20. Έτσι δεν είναι;

μαθημαγικά

Όχι, δεν έχω καμιά ικανότητα να διαβάζω το μυαλό των άλλων... Πίσω από το τρικ κρύβεται απλώς η παρακάτω αλγεβρική παράσταση:

(x+7-2-x)·3+5 = 5·3+5
                        = 15+5
                    = 20


Δεν είναι μαγικά... είναι απλά μαθηματικά!

Τετάρτη 18 Οκτωβρίου 2017

Μερικές... διαφορετικές εξισώσεις

Για σήμερα σας έχω λίγους μαθηματικούς γρίφους που βρήκα στο ίντερνετ, οι οποίοι διασκεδάζουν και προβληματίζουν τους χρήστες των κοινωνικών δικτύων. Εσείς μπορείτε να βρείτε τις λύσεις?

#1
κουίζ 1

#2
κουίζ 2

#3
κουίζ 3

#4
κουίζ 4

Και ένα τελευταίο από μένα...
#5
κουίζ 5

Σας δυσκολεύουν? Δείτε τις απαντήσεις εδώ...

Τετάρτη 11 Οκτωβρίου 2017

Αθροίσματα γωνιών των πολυγώνων

Ένα σκίτσο που μας διδάσκει να αποδεχόμαστε τη διαφορετικότητα, γίνεται αφορμή και για ένα μικρό μάθημα Γεωμετρίας.

μαθηματικό σκίτσο


✩ Άθροισμα (εσωτερικών) γωνιών κυρτού ν-γώνου = 2ν-4 ορθές ✩


Αθροίσματα γωνιών των πολυγώνων




Δευτέρα 9 Οκτωβρίου 2017

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Παραλληλόγραμμο

Στο ξεκίνημα του project "Μαθηματικά και Τέχνη" αναφέραμε το τετράπλευρο. Τώρα θα μάθουμε μερικά χαρακτηριστικά τετράπλευρα σχήματα που θα εντοπίζουμε σε πίνακες ζωγραφικής και διάφορα έργα τέχνης...


ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ


Παραλληλόγραμμα
Laszlo Moholy-Nagy  (1895 - 1946)

Παραλληλόγραμμα σε πίνακα του Γουέστφολ
Stephen Westfall (Σύγχρονος ζωγράφος, γεν. 1953) - "Persona" (2009)

Παραλληλόγραμμα σε πίνακα του Πικάσο
Pablo Picasso (1881 - 1973)

Παραλληλόγραμμα σε πίνακα του Μάλεβιτς
Kazimir Malevich (1879 - 1935) - "Painterly Realism of a Football Player" (1915)

Παραλληλόγραμμα σε πίνακα της Τζοάν Ματέρα
Joanne Mattera (Σύγχρονη ζωγράφος)

Τα βιβλία γράφουν...

Παραλληλόγραμμο λέμε το τετράπλευρο σχήμα που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.


.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.


      Πηγές:
  • Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
  • E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
  • Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
  • Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
  • H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
  • Μαυρομάτης - Σταθοπούλου - Παπανικολάου, Τέχνη και Μαθηματικά - Γεωμετρικά σχήματα, Εκδόσεις Λιβάνη, 2014 
  • wikipedia.org

Σάββατο 7 Οκτωβρίου 2017

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Εισαγωγή, Τετράπλευρο

Leonardo Da Vinci (1452 - 1519) έλεγε ότι "οι ζωγράφοι χρησιμοποιούν γραμμές, σχήματα και χρώματα για να αποτυπώνουν τις ιδέες τους πάνω στον καμβά". Ο Ευκλείδης (~350 π.Χ. - 270 π.Χ.) από την άλλη, έλεγε ότι "οι μαθηματικοί διατυπώνουν ακριβείς ορισμούς για τα σχήματα αυτά, ώστε να μπορούν να τα ξεχωρίζουν με βεβαιότητα από άλλα σχήματα, οποιαδήποτε κι αν είναι η θέση τους μέσα στον χώρο". 


Οι κύκνοι του Έσερ
M.C. Escher (1898 - 1972) - "Swans"

Η ίδια η ανθρώπινη φύση υπαγορεύει από τη μια την ανάγκη για έκφραση και δημιουργικότητα και από την άλλη, την ανάγκη για πρόβλεψη και κατανόηση, συνθέτοντας παράλληλα την Τέχνη και τα Μαθηματικά... 


Ο άνθρωπος του Βιτρούβιου, έτος περίπου 1490
Ο Άνθρωπος του Βιτρούβιου, του Leonardo Da Vinci (έτος περίπου 1490)

Μια κοινή άποψη μεταξύ πολλών ανθρώπων είναι ότι τα μαθηματικά είναι ένα μάθημα βαρετό και χωρίς καμιά χρησιμότητα. Γνώσεις που έχω αποκτήσει στα χρόνια των σπουδών μου, έχουν δείξει όμως το αντίθετο κι αυτό είναι κάτι που επιθυμώ να μοιραστώ με όσους θέλουν να δουν μια εναλλακτική οπτική των πραγμάτων... Τα Μαθηματικά εμφανίζονται (άμεσα ή έμμεσα) σε κάθε μορφή Τέχνης και,  όπως είχε πει ο συνεργάτης του Da Vinci, Luca Pacioli (1445 - 1517), "δεν υπάρχει Τέχνη χωρίς Μαθηματικα". Δεν είναι λίγες οι φορές που εκμεταλλεύομαι αυτό το γεγονός για να βοηθήσω τους μαθητές μου και την κόρη μου να δουν την ομορφιά των Μαθηματικών... Αποκαλύπτω τα "δυσνόητα" μαθηματικά μέσα από τις Καλές Τέχνες και τη Μουσική, έτσι οι μαθηματικές έννοιες γίνονται εύκολα κατανοητές.

Πίνακας του Καντίνσκυ
Wassily  Kandinsky (1866 - 1944)


Πάμε λοιπόν κι εμείς να ανακαλύψουμε τα Μαθηματικά μέσα από την Τέχνη...


ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ

Τετράπλευρα σε πίνακα της Ποπόβα
Lyubov Popova (1889 - 1924)  - έργο του 1916


Ivan Kliun (1873- 1943)

Τετράπλευρα σε πίνακα της Αμάντα Έιρς
Amanda Airs (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα)

Τετράπλευρα σε πίνακα του Άρθουρ Γουίσαπ
Arthur Wishup (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - έργο του 2014


Τα βιβλία γράφουν...

Τετράπλευρο λέγεται ένα πολύγωνο με τέσσερις πλευρές.



Στα επόμενα θα δούμε κάποια χαρακτηριστικά τετράπλευρα...


(Συνεχίζεται με περισσότερα γεωμετρικά σχήματα και μαθηματικές έννοιες...)


.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Κάθε τέχνη πρέπει να γίνεται επιστήμη
και
κάθε επιστήμη πρέπει να γίνεται τέχνη".
(Karl Wilhelm Friedrich von Schlegel)

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.



                Πηγές:
  • Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
  • E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
  • Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
  • Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981.
  • H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
  • Μαυρομάτης - Σταθοπούλου - Παπανικολάου, Τέχνη και Μαθηματικά - Γεωμετρικά σχήματα, Εκδόσεις Λιβάνη, 2014 
  • Beautiful Decay: Four Artists Paint the Rainbow
  • wikipedia.org