Σάββατο 10 Φεβρουαρίου 2018

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Πολύγωνα


Μαθαίνουμε για τα πολύγωνα μέσα από την τέχνη...


Μαθαίνουμε για τα πολύγωνα μέσα από την τέχνη

Τα βιβλία γράφουν...

Μια απλή, κλειστή τεθλασμένη γραμμή λέγεται πολύγωνο.
Όταν έχει 3 κορυφές, θα λέγεται τρίγωνο.
Όταν έχει 4 κορυφές, θα λέγεται τετράπλευρο.
Όταν έχει 5 κορυφές, θα λέγεται πεντάγωνο.
Όταν έχει 6 κορυφές, θα λέγεται εξάγωνο, ... κ.ο.κ.


ΠΕΝΤΑΓΩΝΟ

Πεντάγωνο: Πίνακας του 2016
Florin Constantinescu (Σύγχρονος ζωγράφος) - Pentagram (2016)


Χρωματιστή Γεωμετρία - Πεντάγωνο
Carolyn Goodridge (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Color Geometry - Pentagon" (2013)


Πίνακας του 2013 σε σχήμα πενταγώνου
Ngo Dinh Bao Chau (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Silk Of Light" (2013) 


Πεντάγωνο: Πίνακας της Τζοάν Ματέρα
Joanne Mattera (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Pentagon"

Κόκκινο πεντάγωνο
Rolph Scarlett (1889 - 1984) - "Red Pentagon" (1953)


Πενταγωνικός διάβολος
"Frankcraven" - "Pentagon Devil" (2004)


Πίνακας αγνώστου καλλιτέχνη
Άγνωστος καλλιτέχνης
(Αν κάποιος γνωρίζει το όνομά του, παρακαλείται να το αναφέρει στα σχόλια)

Λευκά πεντάγωνα
Sarah Crowner (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Terracotta Pentagon Leaves, White" (2016)

Πεντάγωνα - πίνακας του 1992
Liviu Stoicoviciu (γεν. 1942) - "Pentagon" (1992)

Μια μελέτη πάνω στη μέθοδο κατασκευής κανονικού πενταγώνου του Hirano - μιας κατασκευής που απαιτεί μόνο κανόνα και διαβήτη
John Ballou (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Hirano's Pentagon"
(Μια μελέτη πάνω στη μέθοδο κατασκευής κανονικού πενταγώνου του Hirano - μιας κατασκευής που απαιτεί μόνο κανόνα και διαβήτη)


Όταν η Γεωμετρία αποτελεί πηγή έμπνευσης στη γραφιστική...

Το μεγάλο πεντάγραμμα των στοιχείων
"Radical Terra" - "Grand Elemental Pentagram"

...και στην αρχιτεκτονική...

Το κτιριακό συγκρότημα όπου στεγάζονται τα κεντρικά γραφεία του Υπουργείου Άμυνας  των Η.Π.Α. (Πεντάγωνο) στη Βιρτζίνια
Το κτιριακό συγκρότημα όπου στεγάζονται τα κεντρικά γραφεία του Υπουργείου Άμυνας  των Η.Π.Α. (Πεντάγωνο) στη Βιρτζίνια, σχεδιασμένο από τον αρχιτέκτονα George Bergstrom (1876 - 1955)

Τα βιβλία γράφουν...

Το πολύγωνο με 5 κορυφές λέγεται  πεντάγωνο.


ΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΟΙ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΕΝΤΑΓΩΝΟΥ

Σχέδιο του Κορνήλιου Αγρίππα
"Pentagram and human body" - Σχέδιο του Κορνήλιου Αγρίππα (1486 - 1535)

Τα βιβλία γράφουν...

Κανονικό πεντάγωνο λέγεται το κυρτό πεντάγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες.

Το ABCDE είναι ένα κανονικό πεντάγωνο. Αν φέρουμε τις 5 διαγωνίους του κανονικού πενταγώνου, σχηματίζεται ένα κανονικό αστεροειδές πεντάγωνο, που καλείται πεντάγραμμα ή πεντάλφα. Στο κέντρο σχηματίζεται ένα μικρότερο κανονικό πεντάγωνο. Οι διαγώνιοι του κανονικού πενταγώνου "κρύβουν" τη χρυσή τομή
Το ABCDE είναι ένα κανονικό πεντάγωνο. Αν φέρουμε τις 5 διαγωνίους του κανονικού πενταγώνου, σχηματίζεται ένα κανονικό αστεροειδές πεντάγωνο, που καλείται πεντάγραμμα ή πεντάλφα. Στο κέντρο σχηματίζεται ένα μικρότερο κανονικό πεντάγωνο. Οι διαγώνιοι του κανονικού πενταγώνου "κρύβουν" τη χρυσή τομή, για την οποία θα μιλήσουμε αναλυτικά σε επόμενη ανάρτηση.


ΕΞΑΓΩΝΟ


Εξάγωνο - πίνακας του 2006
Alejandro Puente (1933 - 2013) (2006)


Αρμονία - πίνακας σε σχήμα εξαγώνου
Curtis Verdun (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Harmony" (2013) 


Πίνακας του 2013
Curtis Verdun (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Encapsulation" (2013) 


Πίνακας του 2015
Jarman Fagalde (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Mod geometry II" (2015)

Εξάγωνα
Dominique Landeau (2007)

Τα βιβλία γράφουν...

Το πολύγωνο με 6 κορυφές λέγεται  εξάγωνο.

Όταν η Γεωμετρία αποτελεί πηγή έμπνευσης στη διακοσμητική...

Πρωτότυπη ζωγραφική τοίχου με εξάγωνα κυψέλης
Πρωτότυπη ζωγραφική τοίχου με εξάγωνα κυψέλης (Κάλυψη του επιπέδου με κανονικά εξάγωνα)

Κάλυψη του επιπέδου με κανονικά εξάγωνα


Τα βιβλία γράφουν...

Κανονικό εξάγωνο λέγεται το κυρτό εξάγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες.


ΟΚΤΑΓΩΝΟ


Don Barrett (Σύγχρονος γραφίστας) - "The Octagon Family" (2019)


Erin Ashley (Σύγχρονη ζωγράφος) - "The Octagon"

Τα βιβλία γράφουν...

Το πολύγωνο με 8 κορυφές λέγεται  οκτάγωνο.
Κανονικό οκτάγωνο λέγεται το κυρτό οκτάγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες.


ΕΝΝΕΑΓΩΝΟ

Sol LeWitt (1928 - 2007) - Nine-sided Figure (1989)


.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Η υπέρτατη τέχνη του δασκάλου είναι να ξυπνάει τη χαρά στη δημιουργική έκφραση και τη γνώση".
Άλμπερτ Αϊνστάιν

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.


 Πηγές:

Δευτέρα 8 Ιανουαρίου 2018

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Τρίγωνο


Μαθαίνουμε, μέσα από την τέχνη, για το τρίγωνο, το πλέον θεμελιώδες σχήμα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.



Τα βιβλία γράφουν...

Το πολύγωνο με 3 κορυφές λέγεται τρίγωνο. Ένα τρίγωνο έχει 3 πλευρές και 3 γωνίες.

Πίνακας μοντέρνας τέχνης
Shane Walters (σύγχρονη ζωγράφος) - Modern Art Triangle Painting (2015)

Πίνακας του Καντίνσκυ
Wassily Kandinsky (1866 - 1944) - Soft Hard

Κάστρο και ήλιος - Πίνακας του Πάουλ Κλέε
Paul Klee (1879 - 1940) - Castle and Sun
Σημαίες - πίνακας του 2016
Andrew Salgado (Σύγχρονος καλλιτέχνης, γεν. 1982) - "Flags" (2016)



Τρίγωνα
Lyubov Popova (1889 - 1924)


Ισοσκελές τρίγωνο


Ισοσκελές τρίγωνο
Wassily  Kandinsky (1866 - 1944)

Τρίγωνα και ρόμβοι
Joanne Mattera (σύγχρονη ζωγράφος)

Πίνακας ζωγραφικής που απεικονίζει τρίγωνα
Joanne Mattera (σύγχρονη ζωγράφος)


Τα βιβλία γράφουν...

Ισοσκελές τρίγωνο λέγεται το τρίγωνο που έχει δύο πλευρές του ίσες.


Ισόπλευρο τρίγωνο


Ισόπλευρο τρίγωνο σε πίνακα του Μάλεβιτς
Kazimir Malevich (1878 - 1935) - Suprematism


Πίνακας ποπ αρτ
Keith Haring (1958 -1990) - Silence = Death (1989)

Τριγωνικοί πολύχρωμοι εισβολείς - σύγχρονος πίνακας ζωγραφικής
Kazuya Akimoto (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Triangular Colorful Invaders"

Τα βιβλία γράφουν...

Ισόπλευρο τρίγωνο λέγεται το τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες.


Ορθογώνιο τρίγωνο


Ορθογώνια τρίγωνα σε πίνακα του 1913
David Bomberg  (1890 - 1957) - "Ju-Jitsu" (1913)

Δύο ζεύγη ορθογωνίων τριγώνων - σύγχρονος πίνακας
Kazuya Akimoto (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Two Pairs Of Right Triangles"

Ivan Kliun (1873- 1943) - "Composition" (1917)


Τα βιβλία γράφουν...

Ορθογώνιο τρίγωνο λέγεται το τρίγωνο που έχει μια γωνία ορθή.


.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Ένα τρίγωνο ηχεί, με μια απλή κατεύθυνση προς τα πάνω, πιο ήρεμα, πιο ακίνητα, πιο σταθερά από ό,τι το ίδιο τρίγωνο τοποθετημένο λοξά πάνω στην επιφάνεια".
Wassily Kandinsky

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.


      Πηγές:
  • Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
  • E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
  • Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
  • Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
  • H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
  • Μαυρομάτης - Σταθοπούλου - Παπανικολάου, Τέχνη και Μαθηματικά - Γεωμετρικά σχήματα, Εκδόσεις Λιβάνη, 2014 
  • wikipedia.org

Δευτέρα 25 Δεκεμβρίου 2017

Δευτέρα 18 Δεκεμβρίου 2017

Η λύση του γρίφου των 9 σημείων...

Ο γρίφος των 9 σημείων ζητούσε να ενώσουμε τις 9 κουκίδες με 4 ευθείες γραμμές, δίχως να σηκώσουμε το μολύβι από το χαρτί...

ο γρίφος των εννέα σημείων

Οι περισσότεροι προσεγγίζουν αυτή την άσκηση, περιορίζοντας τις γραμμές σ' ένα τετράγωνο. Για να βρεθεί μια λύση, θα πρέπει το μολύβι να ξεπεράσει τα όρια του τετραγώνου. Δεν θα πρέπει ποτέ να παγιδεύεστε μέσα σ' ένα περιοριστικό τετράγωνο (πραγματικό ή νοητό) όποτε αντιμετωπίζετε μια καινούρια πρόκληση...


η λύση του γρίφου


Τετάρτη 13 Δεκεμβρίου 2017

Ο γρίφος των 9 σημείων...


Για σήμερα σας έχω ένα γρίφο που πιθανώς να έχετε ξανασυναντήσει...
Αρχικά μπορείτε να αντιγράψετε το παρακάτω σχήμα με τα 9 σημεία σε ένα φύλλο χαρτί.
Προσπαθήστε να ενώσετε τα 9 σημεία του σχήματος με 4 ευθείες γραμμές, δίχως να σηκώσετε το μολύβι σας από το χαρτί.

ο γρίφος των 9 σημείων

Η λύση θα δοθεί σύντομα...

Δευτέρα 11 Δεκεμβρίου 2017

Δευτέρα 4 Δεκεμβρίου 2017

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Τραπέζιο


Στο πρώτο μέρος του project "Μαθηματικά και Τέχνη" μάθαμε για το τετράπλευρο και στις προηγούμενες αναρτήσεις είδαμε πολλά γνωστά τετράπλευρα μέσα από πίνακες ζωγραφικής. Σειρά έχει σήμερα το τραπέζιο...


Τραπέζιο σε πίνακα του Μάλεβιτς
Kazimir Malevich (1879 - 1935)

Τραπέζιο σε πίνακα του Κέλλυ
Ellsworth Kelly (1923 - 2015) - Γκρι πανό 2

Τραπέζιο σε πίνακα του Ντέιβιντ Ράμπελο
David Rubello (γεν. 1935) - Room (1970)

Don Barrett (Σύγχρονος γραφίστας) - "Distant Shores" (2018) 

Γιάννης Πιτ. (Σύγχρονος καλλιτέχνης) (2019)


Τα βιβλία γράφουν...

Τραπέζιο λέμε το κυρτό τετράπλευρο που έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες.


      Πηγές:
  • Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
  • E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
  • Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
  • Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
  • H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
  • Μαυρομάτης - Σταθοπούλου - Παπανικολάου, Τέχνη και Μαθηματικά - Γεωμετρικά σχήματα, Εκδόσεις Λιβάνη, 2014 
  • Γιάννης Πιτ.: "Τεχνόσπιτο" - Ζωγραφική Αφηρημένης Γεωμετρικής Τέχνης
  • wikipedia.org

Τρίτη 14 Νοεμβρίου 2017