Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Έλλειψη

Μαθαίνουμε για την έλλειψη μέσα από έργα τέχνης.

Kazimir Malevich (1879 - 1935) - "Black Cross on Red Oval" 

Ellsworth Kelly (1923 - 2015) - "Red/Blue" (1964) 

Ellsworth Kelly (1923 - 2015) - Blue and Yellow and Red-Orange

Josh Hufford (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Tedious Path-Ellipse"

Mary Rouncefield (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Ellipse"

"Oval Hanging Construction", κρεμαστό γλυπτό του Alex Rodchenko (1921)

Τα βιβλία γράφουν...

Έλλειψη λέμε το σύνολο των σημείων του επιπέδου, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία (εστίες της έλλειψης) είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση μεταξύ των εστιών.

Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Conic Sections: Ellipse"

Τα βιβλία επίσης γράφουν...

Η έλλειψη μπορεί να προκύψει από την τομή ενός κώνου με ένα επίπεδο, γι' αυτό και είναι μία από τις κωνικές τομές. 

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Ο θεωρητικός μαθηματικός, όπως ο μουσικός, είναι ένας ελεύθερος δημιουργός ενός κόσμου διατεταγμένης ομορφιάς".

Bertrand Russel (1872 - 1970)

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

 Πηγές:

• Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β' Γενικού Λυκείου, ΟΕΔΒ, 2003
• Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004.
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Deviant Art: Josh Hufford 
• Mary Rouncefield
• Pixels: Russell Kightley
• wikipedia.org

Τα τελευταία λόγια μεγάλων μαθηματικών!

→Αρχιμήδης: «Εύρηκα... αλλά άρπαξα ένα κρύωμα!»

→Πυθαγόρας: «Μας κάρφωσε ο Ίππασος !!!»

→Ευκλείδης: «Το 5ο αίτημα δεν μου πολυαρέσει!!!»

→Ερατοσθένης: «Είδε κανείς το κόσκινο μου;»

→Ζήνων: «Είδες η χελώνα;»

→Διόφαντος: «Η ηλικία μου, ένα αίνιγμα…»

→Νεύτωνας : «Δεν ξαναπερνάω κάτω από μηλιά».

→Γαλιλαίος: «Και όμως, γυρίζει…»

→Καρτέσιος: «Σε λίγο θα πάψω να σκέπτομαι και να υπάρχω!!»

→Τζιρόλαμο Καρντάνο: «Αυτός ο κερατάς ο Ταρτάλια μου έκλεψε την απόδειξη!»

→Πιερ Ντε Φερμά: «Έχω βρει μια πολύ ωραία απόδειξη αλλά δεν προλαβαίνω να την γράψω, μου χτυπάνε το κουδούνι...»

→Γκαλουά: «Έπρεπε να φορέσω αλεξίσφαιρο…»

→Λάιμπνιτς: «Υπήρξα πολύ αγαπητός!!!» (μόνο τρία άτομα συνόδευαν την σορό του).

→Μπερνούλι: «Θα ξαναγυρίσω αλλαγμένος».

→Λέοναρντ  Όιλερ: «Δεν βλέπω τίποτα».

→Καντόρ : «Τελικά ο Σαίξπηρ ήταν ο Φράνσις Μπέικον;»

→Πασκάλ: «Τα τρίγωνα μου μέσα!!»

→Φιμπονάτσι: «Ποιος άφησε ελεύθερα τα κουνέλια;»

→Ραμανουτζάν : «Εγώ δεν έκανα τίποτα... Όλα τα έκανε η Ναμαγκίρι».

→Χίλμπερτ: «Τώρα ποιος θα λύσει τα προβλήματα μου;»

→Μπέρτραντ Ράσελ: «Πάλι αυτός ο κουρέας είναι ακούρευτος!!»

→Πωλ Έρντος: «Πάω τώρα να κρυφοκοιτάξω το βιβλίο...»

→Γκόλντμπαχ: «Το πολύ σε ένα χρόνο θα έχουν αποδείξει την εικασία μου».

→Τζορτζ Μπουλ: «Λογικά θα πεθάνω!»

→Αύγουστος Φερδινάνδος  Μέμπιους: «Είδε κανείς την λωρίδα μου;»

→Αύγουστος Ντε Μόργκαν: «Εκείνος ο χάρτης, πόσα χρώματα;»

→Αβραάμ Ντε Μουάβρ: «Έχω αϋπνίες..»

→Γκέντελ: «Πλήρης...»

→Ουίλιαμ Σάνκς: «Εγώ  δεν λαθεύω ποτέ και αυτό είναι το μοναδικό μου λάθος».  

→Τ.Χάρντι: « Όλα είναι θέμα spin».

→Αϊνστάιν: «Σχετικά είναι όλα...»

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Κύκλος

Θα μάθουμε τον κύκλο μέσα από πίνακες ζωγραφικής και ψηφιακά σχέδια...

Wassily Kandinsky (1866 - 1944) - Squares with Concentric Circles (1913)

Wassily Kandinsky (1866 - 1944) - Circles within a circle (1923)

Wassily Kandinsky (1866 - 1944) - Several Circles (1926)

Donald K. Sultan (γεν. 1951) - Double Dominos

Sharon Horvath (Σύγχρονη ζωγράφος) - Moons (2016)

Laszlo Moholy-Nagy (1895 - 1946)

Kazuya Akimoto (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Colorful Planets"

Lazar Markovich Lissitzky (El Lissitzky) (1890 - 1941)

Lazar Markovich Lissitzky (El Lissitzky) (1890 - 1941)

Paul Klee (1879 - 1940) - Senecio (1922)

Florin Constantinescu (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - Uncertainties (2016)

James Pinkerton (γεν. 1958) - Blue Plate Special

Julie Gross (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Blue Inversion" (2004)

Mairi Walker (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα και μαθηματικός) (2013)

Τα βιβλία γράφουν...

Κύκλο λέμε το επίπεδο σχήμα, κάθε σημείο του οποίου απέχει ίση απόσταση (ακτίνα) από ένα σταθερό σημείο
(κέντρο του κύκλου).

Τα βιβλία επίσης γράφουν...

Κύκλος (Ο,ρ) λέγεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει:
ΟΜ = ρ.

Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Conic Sections-Circle"

Τα βιβλία γράφουν...

Ο κύκλος μπορεί να προκύψει από την τομή ενός κώνου με ένα επίπεδο, γι' αυτό και είναι μία από τις κωνικές τομές. 

 Πηγές:

• Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β' Γενικού Λυκείου, ΟΕΔΒ, 2003
• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004.
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Pixels: Russell Kightley
• wikipedia.org

Μαθηματικές... προκλήσεις!

Για σήμερα συγκέντρωσα μερικούς διασκεδαστικούς γρίφους που βρήκα στο διαδίκτυο... Πραγματικά, είναι εθισμός! Εσείς τι λέτε?

#1

#2

#3

#4

#5

#6

Update: Θα βρείτε τις απαντήσεις εδώ...

Μιγαδικοί... έρωτες!

...Και κάπως έτσι επινοήθηκαν οι μιγαδικοί αριθμοί!

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Πολύγωνα

Μαθαίνουμε για τα πολύγωνα μέσα από την τέχνη...

Τα βιβλία γράφουν...

Μια απλή, κλειστή τεθλασμένη γραμμή λέγεται πολύγωνο.
Όταν έχει 3 κορυφές, θα λέγεται τρίγωνο.
Όταν έχει 4 κορυφές, θα λέγεται τετράπλευρο.
Όταν έχει 5 κορυφές, θα λέγεται πεντάγωνο.
Όταν έχει 6 κορυφές, θα λέγεται εξάγωνο, ... κ.ο.κ.


ΠΕΝΤΑΓΩΝΟ

Florin Constantinescu (Σύγχρονος ζωγράφος) - Pentagram (2016)

Carolyn Goodridge (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Color Geometry - Pentagon" (2013)

Ngo Dinh Bao Chau (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Silk Of Light" (2013) 

Joanne Mattera (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Pentagon"

Rolph Scarlett (1889 - 1984) - "Red Pentagon" (1953)

"Frankcraven" - "Pentagon Devil" (2004)

Άγνωστος καλλιτέχνης
(Αν κάποιος γνωρίζει το όνομά του, παρακαλείται να το αναφέρει στα σχόλια)

Sarah Crowner (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Terracotta Pentagon Leaves, White" (2016)

Liviu Stoicoviciu (γεν. 1942) - "Pentagon" (1992)

John Ballou (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Hirano's Pentagon"
(Μια μελέτη πάνω στη μέθοδο κατασκευής κανονικού πενταγώνου του Hirano - μιας κατασκευής που απαιτεί μόνο κανόνα και διαβήτη)

Όταν η Γεωμετρία αποτελεί πηγή έμπνευσης στη γραφιστική...

"Radical Terra" - "Grand Elemental Pentagram"

...και στην αρχιτεκτονική...

Το κτιριακό συγκρότημα όπου στεγάζονται τα κεντρικά γραφεία του Υπουργείου Άμυνας  των Η.Π.Α. (Πεντάγωνο) στη Βιρτζίνια, σχεδιασμένο από τον αρχιτέκτονα George Bergstrom (1876 - 1955)

Τα βιβλία γράφουν...

Το πολύγωνο με 5 κορυφές λέγεται  πεντάγωνο.

ΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΟΙ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΕΝΤΑΓΩΝΟΥ

"Pentagram and human body" - Σχέδιο του Κορνήλιου Αγρίππα (1486 - 1535)

Τα βιβλία γράφουν...

Κανονικό πεντάγωνο λέγεται το κυρτό πεντάγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες.

Το ABCDE είναι ένα κανονικό πεντάγωνο. Αν φέρουμε τις 5 διαγωνίους του κανονικού πενταγώνου, σχηματίζεται ένα κανονικό αστεροειδές πεντάγωνο, που καλείται πεντάγραμμα ή πεντάλφα. Στο κέντρο σχηματίζεται ένα μικρότερο κανονικό πεντάγωνο. Οι διαγώνιοι του κανονικού πενταγώνου "κρύβουν" τη χρυσή τομή, για την οποία θα μιλήσουμε αναλυτικά σε επόμενη ανάρτηση.

ΕΞΑΓΩΝΟ

Alejandro Puente (1933 - 2013) (2006)

Curtis Verdun (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Harmony" (2013) 

Curtis Verdun (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Encapsulation" (2013) 

Jarman Fagalde (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Mod geometry II" (2015)

Dominique Landeau (2007)

Τα βιβλία γράφουν...

Το πολύγωνο με 6 κορυφές λέγεται  εξάγωνο.

Όταν η Γεωμετρία αποτελεί πηγή έμπνευσης στη διακοσμητική...

Πρωτότυπη ζωγραφική τοίχου με εξάγωνα κυψέλης (Κάλυψη του επιπέδου με κανονικά εξάγωνα)

Τα βιβλία γράφουν...

Κανονικό εξάγωνο λέγεται το κυρτό εξάγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες.

ΟΚΤΑΓΩΝΟ

Don Barrett (Σύγχρονος γραφίστας) - "The Octagon Family" (2019)

Erin Ashley (Σύγχρονη ζωγράφος) - "The Octagon"

Τα βιβλία γράφουν...

Το πολύγωνο με 8 κορυφές λέγεται  οκτάγωνο.

Κανονικό οκτάγωνο λέγεται το κυρτό οκτάγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες.


ΕΝΝΕΑΓΩΝΟ

Sol LeWitt (1928 - 2007) - Nine-sided Figure (1989)

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Η υπέρτατη τέχνη του δασκάλου είναι να ξυπνάει τη χαρά στη δημιουργική έκφραση και τη γνώση".
Άλμπερτ Αϊνστάιν

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

 Πηγές:

• Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β' Γενικού Λυκείου, ΟΕΔΒ, 2003
• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• iCanvas: Erin Ashley
• Pixels: Don Barrett art
• Saatchi Art: Hirano's Pentagon Painting by John Ballou
• Reference: How many faces does a pentagonal prism have?
• wikipedia.org
• Wolfram Demonstration Project: Hirano's Construction of a Regular Pentagon