Γρίφος: Ένας περίεργος δεκαψήφιος

 

Σχηματίστε έναν δεκαψήφιο αριθμό, γράφοντας στις 10 θέσεις του παραπάνω σχήματος τα κατάλληλα ψηφία, ώστε το ψηφίο στη θέση "0" να δείχνει το συνολικό πλήθος των μηδενικών του αριθμού, το ψηφίο στη θέση "1" να δείχνει το συνολικό πλήθος των 1 κλπ, μέχρι τη θέση "9", το ψηφίο της οποίας πρέπει να δείχνει το συνολικό πλήθος των ψηφίων 9 στον αριθμό αυτό.

Η απάντηση είναι μοναδική.

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Υπερβολικό παραβολοειδές

Τα βιβλία γράφουν...

Το υπερβολικό παραβολοειδές είναι μια τετραγωνική επιφάνεια, δηλαδή επιφάνεια 2^ου βαθμού. 

Η επιφάνεια του υπερβολικού παραβολοειδούς είναι απεριόριστη και παράγεται από την κίνηση ευθείας, είναι επομένως ευθειογενής επιφάνεια.

Το υπερβολικό παραβολοειδές έχει δύο επίπεδα συμμετρίας, τα οποία είναι κάθετα μεταξύ τους. Η τομή των δύο αυτών επιπέδων είναι ο άξονας συμμετρίας της επιφάνειας, ο οποίος τέμνει την επιφάνεια σε ένα μοναδικό σημείο, που λέγεται κορυφή του υπερβολικού παραβολοειδούς.

Τα επίπεδα συμμετρίας τέμνουν την επιφάνεια σε δύο παραβολές, που έχουν κοινό σημείο την κορυφή της επιφάνειας.

Κάθε επίπεδο παράλληλο σε ένα από τα επίπεδα συμμετρίας επίσης τέμνει την επιφάνεια κατά παραβολή.

Κάθε επίπεδο κάθετο και στα δύο επίπεδα συμμετρίας τέμνει την επιφάνεια σε υπερβολή, εκτός από το επίπεδο που διέρχεται από την κορυφή της επιφάνειας, το οποίο την τέμνει σε δύο ευθείες.

Τα παραπάνω δικαιολογούν και το όνομα της επιφάνειας, καθώς και το ότι το υπερβολικό παραβολοειδές δεν είναι φραγμένο.

Σύγχρονοι ζωγράφοι, γραφίστες, αλλά και γλύπτες έχουν χρησιμοποιήσει το υπερβολικό παραβολοειδές στα έργα τέχνης τους.

Don Barrett (Σύγχρονος γραφίστας) - "Back In The Saddle Again" 

Don Barrett (Σύγχρονος γραφίστας) - "Gravity Well"

Aaron Lee (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Hyperbolic Paraboloid" 

Joe Orlando (γεν. 1949) - "Υπερβολική Παραβολοειδής Στήλη" (γλυπτό που ολοκληρώθηκε το 1985)

Η γεωμετρία του υπερβολικού παραβολοειδούς έχει χρησιμοποιηθεί πολύ συχνά στη σύγχρονη αρχιτεκτονική, αποτελώντας έμπνευση για τη δημιουργία ξεχωριστών κτηρίων. Μετά τη σφαίρα και τον κύλινδρο, είναι η πλέον εφαρμοσμένη επιφάνεια 2^ου βαθμού στην αρχιτεκτονική, δημιουργώντας εντυπωσιακές καμπυλωτές φόρμες.

Arseniusz Romanowicz & Piotr Szymaniak - Σιδηροδρομικός Σταθμός Warszawa Ochota, Βαρσοβία
(ολοκληρώθηκε το 1962)

Le Corbusier - Ι. Ξενάκης, Philips Pavilion, Διεθνής Έκθεση Βρυξελλών, 1958

Le Corbusier - Ι. Ξενάκης, Philips Pavilion, Διεθνής Έκθεση Βρυξελλών

Santiago Calatrava (γεν. 1951) - Ολυμπιακό Στάδιο Αθηνών, στέγαστρο του ΟΑΚΑ (2004)

Santiago Calatrava (γεν. 1951) - Ολυμπιακό Στάδιο Αθηνών, στέγαστρο του ΟΑΚΑ (2004)

Félix Candela - Restaurante "Los Manantiales", Xochimilco, México

(σχεδιάστηκε το 1958)

Félix Candela - L'Oceanographic, Valencia
(σχεδιάστηκε το 1997)

.*.~.*.~.*.~.*.~.*.~.*

"Άρχισα να ενδιαφέρομαι για τη γεωμετρία του υπερβολικού παραβολοειδούς. Η ιδέα μιας απεριόριστης καμπύλης, η οποία δεν έχει στοιχεία καμπύλης, ήταν η έμπνευση που προκάλεσε 11 χρόνια δουλειάς. Ο πειραματισμός πάνω στην κατασκευή αυτών των επιφανειών οδήγησε τελικά στη δημιουργία της υπερβολικής παραβολοειδούς στήλης το 1985".
Joe Orlando

.*.~.*.~.*.~.*.~.*.~.*

Πηγές:

• Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
• Aaron Lee Art
• Behance.net: Hyperbolic Paraboloid
• Oceanographic.org
• Pixels: Don Barrett art
• Wolfram Mathworld: Hyperbolic Paraboloid

Καλώς ήρθες 2021!

Το ιστολόγιο "eis to apeiron" εύχεται με... τον δικό του τρόπο... Καλή Χρονιά και ευτυχισμένο το 2021!!!

Το 2021 είναι αρκετά ξεχωριστός αριθμός: προκύπτει από την αλληλουχία δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών (20 και 21). Η ανάλυση του αριθμού 2021 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων  είναι:

2021 = 43 · 47

Το πιο ενδιαφέρον με τον αριθμό 2021, από άποψης Θεωρίας Αριθμών, είναι ότι γράφεται ως γινόμενο δύο ακριβώς πρώτων αριθμών, οι οποίοι μάλιστα είναι διαδοχικοί και έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων. 

Το παραπάνω γεγονός κατατάσσει το 2021 στην κατηγορία των brilliant semiprime (ημι-πρώτων) αριθμών.

Επειδή επιπλέον οι πρώτοι αριθμοί 43 και 47 είναι και οι δύο ισότιμοι με 3mod4, το 2021 είναι ένας ακέραιος Blum...

Θα μπορούσα να συνεχίσω να απαριθμώ τις ιδιότητες του αριθμού 2021 (θα μπορούσε κανείς βιβλίο να γράψει...), αλλά θα σας παραπέμψω να διαβάσετε περισσότερα στους ακόλουθους συνδέσμους:

• Στη σελίδα Numbermatics: The Number Explorer, αναφέρονται πολλές ιδιότητες, κυρίως αλγεβρικές.
• Στη σελίδα Numbers Aplenty, καταγράφονται περισσότερες λεπτομέρειες, κυρίως από άποψης Θεωρίας Αριθμών.
• Ο Inder J. Taneja, συνταξιούχος καθηγητής πανεπιστημίου από τη Βραζιλία, μας "στέλνει αδιάβαστους" με πολλές όμορφες παραστάσεις, ακολουθίες, μαγικά τετράγωνα και μοτίβα με τον αριθμό 2021!

.~.*.~.*.~.*.~.*.~.

Μην ξεχάσετε τον γρίφο της αντίστροφης μέτρησης για το 2021! Οι λύσεις φαίνεται να είναι πάρα πολλές!

 

Εύχομαι το 2021 να είναι τόσο όμορφο όσο και ο αριθμός αυτός καθαυτός! Καλή Χρονιά σε όλους και καλή πρόοδο στους μαθητές!!!