Έχω στο μυαλό μου τέσσερις διαφορετικούς φυσικούς αριθμούς, τέτοιους ώστε:
- Το άθροισμα και των τεσσάρων αριθμών είναι 31.
- Μόνο ένας από αυτούς είναι περιττός.
- Η διαφορά του μικρότερου από τον μεγαλύτερο αριθμό ισούται με 7.
- Η διαφορά των δύο μεσαίων αριθμών ισούται με 2.
Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί;
Οι αριθμοί είναι: 14, 6, 4, και 7. Έστω α, β, γ, και δ οι τέσσερις διαφορετικοί αριθμοί. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τι εξής εξισώσεις:
ΑπάντησηΔιαγραφήα+β+γ+δ=31 (1)
β-γ=2 (2)
α-δ=7 (3)
α=;, β=;, γ=;, και δ=;
Λύνουμε τις (2) και (3) ως προς α και β αντίστοιχα κι' έχουμε:
α-δ=7 ===> α=7+δ (4)
β=2+γ (5)
Αντικαθιστούμε τις (4) και (5) στην (1) κι' έχουμε:
α+β+γ+δ=31 ===> 7+δ+2+γ+γ+δ=31 ===> 2γ+2δ+9=31 ===> 2γ+2δ=31-9 ===> 2(γ+δ)=22 ===> γ+δ=22/2 ===>
γ+δ=11 ===> γ=11-δ (6)
α+β+γ+δ=31 ===> α+β+11-δ+δ=31 ===> α+β+11=31 ===> α+β=31-11 ===> α+β=20 (7)
Από τα κατωτέρω 10 ζεύγη, το μόνα που ικανοποιεί τη συνθήκη είναι το ζεύγος (στ) - (14+6).
α) 1+19=20
β) 2+18=20
γ) 3+17=20
δ) 4+16=20
ε) 5+15=20
στ) 6+14=20
ζ) 7+13=20
η) 8+12=20
θ) 9+11=20
ι) 10+10=20
Τα ζεύγη (α), (γ), (ε), (ζ), (θ) απορρίπτονται λόγω του ότι είναι περιττοί αριθμοί, εφόσον η εκφώνηση αναφέρει ότι υπάρχει μόνο ένας περιττός αριθμός.
Τα ζεύγη (β), (δ), (η) και (θ) απορρίπτονται λόγω του ότι ο συνδυασμός με τους υπόλοιπους αριθμούς υπερβαίνουν το σύνολο 31.
Αντικαθιστούμε τις τιμές 14 και 6 στην (7) κι' έχουμε:
α+β=20 ===> 14+6=20
Επαλήθευση:
α+β+γ+δ=31 14+6+4+7=31
β-γ=2 ===> 6-4=2
α-δ=7 ===> 14-7=7 ο.ε.δ.
Φωτεινή, καλησπέρα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΦρονώ ότι έφθασε το πλήρωμα του χρόνου για να δοθεί η απάντηση εάν είναι σωστή ή όχι η λύση. Αναμένω απάντηση σου.
Καλησπέρα! Δεν είναι σωστή. Αν βάλεις τους αριθμούς που έχεις βρει σε αύξουσα σειρά (από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο) δεν επαληθεύονται οι προϋποθέσεις!
ΔιαγραφήΠχ η διαφορά του μικρότερου από τον μεγαλύτερο δεν είναι ίση με 7.
ΔιαγραφήΚαλησπέρα!
ΔιαγραφήΈχεις δίκιο.
Οι αριθμοί είναι: 5, 6, 8, και 12.
Έστω α, β, γ, και δ οι τέσσερις διαφορετικοί αριθμοί.
Έστω α<β<γ<δ.
Επίσης μόνο το ένα από τα α, β, γ, και δ είναι περιττό.
Εφόσον το (γ-β) είναι άρτιο και το β και το γ είναι άρτιο, αφού μόνο ένας περιττός αριθμός υπάρχει μεταξύ των 4 αριθμών.
Επομένως, το α είναι περιττό και το δ είναι άρτιο, ή το α είναι άρτιο και το δ είναι περιττό.
Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τι εξής εξισώσεις:
α+β+γ+δ=31 (1)
γ-β=2 (2)
δ-α=7 (3)
α=;, β=;, γ=;, και δ=;
Προσθέτουμε τις εξισώσεις (2) και (3) κι’ έχουμε:
δ-α=7
γ-β=2
δ-α+γ-β=9 (4)
Προσθέτουμε τις εξισώσεις (1) και (4) κι’ έχουμε΅
α+β+γ+δ=31
δ-α+γ-β=9
2γ+2δ=40 === 2*(γ+δ)=40 === γ+δ=40/2 === γ+δ=20 (5)
Αφαιρούμε την εξίσωση (5) από την εξίσωση (1) κι’ έχουμε:
α+β+γ+δ=31
-γ-δ= -20
α+β=11 (6)
Για α=5 (7) === α+β=11 === 5+β=11 === β=11-5 === β=6 (8)
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «β» στην εξίσωση (2) κι’ έχουμε:
γ-β=2 === γ-6=2 === γ=2+6 === γ=8 (9)
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «α» στην εξίσωση (3) κι’ έχουμε:
δ-α=7 === δ-5=7 === δ=7+5 === δ=12 (10)
Επομένως, οι αριθμοί (από το χαμηλότερο στο υψηλότερο) που ικανοποιούν όλες τις προϋποθέσεις είναι:
5, 6, 8, και 12.
Επαλήθευση:
α+β+γ+δ=31 === 5+6+8+12=31
γ-β=2 === 8-6=2
δ-α=7 === 12-5=7 ο.ε.δ.
Ναι, αυτή είναι η σωστή απάντηση!!!
ΔιαγραφήΦωτεινή, καλησπέρα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠεριμένω μια απάντηση για το πρόβλημα.