Οι δέκα εντολές του George Polya προς τον δάσκαλο των Μαθηματικών

O George Polya συνέβαλε δραστικά στην ενίσχυση της σύνδεσης ανάμεσα στα Μαθηματικά και τη Διδακτική, αλλά και ανάμεσα στους μαθηματικούς και στους καθηγητές των Μαθηματικών. Στο βιβλίο του "Mathematical Discovery on Undestanding, Learning and Teaching Problem Solving" δίνει τις δέκα εντολές προς όσους διδάσκουν Μαθηματικά:

I. Να ενδιαφέρεσαι για το αντικείμενό σου.

II. Να γνωρίζεις το αντικείμενό σου.

III. Να γνωρίζεις τους τρόπους μάθησης: Ο καλύτερος τρόπος για να μάθεις κάτι είναι να το ανακαλύψεις μόνος σου.

IV. Προσπάθησε να διαβάζεις τα πρόσωπα των μαθητών σου, προσπάθησε να δεις τις προσδοκίες και τις δυσκολίες τους, τοποθέτησε τον εαυτό σου στη θέση τους.

V. Δώσε στους μαθητές σου, όχι μόνο πληροφορία, αλλά και καθοδήγηση χειρισμού της πληροφορίας, τρόπους σκέψης, τη συνήθεια της μεθοδικής εργασίας.

VI. Άφησέ τους να μάθουν να κάνουν νοερές εκτιμήσεις.

VII. Άφησέ τους να μάθουν να αποδεικνύουν.

VIII. Να επισημαίνεις στα παρόντα προβλήματα εκείνα τα χαρακτηριστικά που μπορεί να φανούν χρήσιμα στην επίλυση μελλοντικών προβλημάτων - προσπάθησε να αποκαλύψεις το γενικό μοτίβο που κρύβεται πίσω από την παρούσα συγκεκριμένη κατάσταση.

IX. Μην χαρίζεις ολόκληρο το μυστικό σου μονομιάς -άσε τους μαθητές σου να μαντέψουν προτού το πεις- άφησέ τους να το ανακαλύψουν μόνοι τους, όσο είναι εφικτό.

X.  Πρότεινε την πληροφορία, μην τους βάζεις να την καταπιούν με το ζόρι.

Πηγή: Mathematics for Teaching

Πασχαλινός γρίφος!

Καλό Πάσχα σε όλους! Φέτος, εξαιτίας του COVID-19 δεν κάναμε Πάσχα στο χωριό μαζί με όλους τους συγγενείς... 

Το περασμένο Πάσχα όμως, είχαν μαζευτεί κάμποσοι συγγενείς γύρω από το γιορτινό τραπέζι στο χωριό. Αν γνωρίζετε ότι μεταξύ των συγγενών έγιναν 190 τσουγκρίσματα αυγών και κάθε ένας τσούγκρισε το αυγό του ακριβώς μια φορά με κάθε άλλον, να βρείτε πόσοι συγγενείς είχαν μαζευτεί.

Τα καλύτερα μαθηματικά ανέκδοτα

Άπειροι μαθηματικοί μπαίνουν σ' ένα μπαρ. Ο πρώτος λέει: "Θα πάρω μια μπύρα". Ο δεύτερος λέει: "Θα πάρω μισή μπύρα". Ο τρίτος λέει: "Θα πάρω ένα τέταρτο της μπύρας". Ο τέταρτος λέει: "Θα πάρω τη μισή μπύρα απ' όση ζήτησε ο προηγούμενος" και ούτω καθεξής... Οπότε ο μπάρμαν χωρίς να χάσει χρόνο βγάζει ακριβώς δύο ποτήρια μπύρα. "Πώς; Μόνο δύο ποτήρια μπύρα για όλους εμάς;", διαμαρτύρονται οι μαθηματικοί. "Ελάτε τώρα παιδιά", τους λέει ο μπάρμαν. "Πρέπει να ξέρετε τα όριά σας!"

Ένας μηχανικός, ένας φυσικός κι ένας μαθηματικός διανυκτερεύουν σ' ένα ξενοδοχείο. Κατά τη διάρκεια της νύχτας, ξεσπά φωτιά έξω από το δωμάτιο του μηχανικού. Ο μηχανικός ξυπνά μυρίζοντας τον καπνό, βγαίνει στο διάδρομο και βλέπει φωτιά! Γεμίζει λοιπόν το καλάθι των σκουπιδιών από το δωμάτιό του με νερό και έτσι σβήνει τη φωτιά. Πάει ήσυχος για ύπνο. Αργότερα ξεσπά φωτιά έξω από το δωμάτιο του φυσικού.  Ο φυσικός ξυπνά μυρίζοντας τον καπνό, βγαίνει στο διάδρομο και βλέπει φωτιά! Παίρνει λοιπόν από το τέλος του διαδρόμου την πυροσβεστική μάνικα που υπήρχε και, αφού υπολόγισε την κατεύθυνση της φωτιάς, την απόστασή του από τη φωτιά και την πίεση του νερού, καταφέρνει να σβήσει τη φωτιά με την ελάχιστη απαιτούμενη ποσότητα νερού και ενέργειας. Πάει ήσυχος για ύπνο. Αργότερα ξεσπά φωτιά έξω από το δωμάτιο του μαθηματικού. Ο μαθηματικός ξυπνά μυρίζοντας τον καπνό, βγαίνει στο διάδρομο και βλέπει φωτιά! Αμέσως εντοπίζει έναν πυροσβεστήρα στην άκρη του διαδρόμου. "Α, ώστε υπάρχει τουλάχιστον μία λύση στο πρόβλημα", σκέφτεται και πάει ήσυχος για ύπνο. 

-Γιατί μια κότα διέσχισε την ταινία του Möbius;

-Για να βρεθεί στην ίδια πλευρά!

-Γιατί η ταινία του Möbius δεν μπόρεσε να γραφτεί στο Γενικό Λύκειο;

-Έπρεπε να επιλέξει προσανατολισμό!

-Πώς μπορείς να κάνεις εύκολα πράξεις με το μυαλό;

-Χρησιμοποίησε φανταστικούς αριθμούς!

-Σε πόση ώρα υπολογίζει ένας μαθηματικός ένα άθροισμα αρρήτων;

-Στο π+φ!


-Πώς μαλώνει ένας μαθηματικός τα παιδιά του;
-Σου το είπα ν φορές, σου το είπα ν+1 φορές...Αμάν πια!


-Πώς βρίζει ένας μαθηματικός;

-Πόσοι μαθηματικοί χρειάζονται για ν' αλλάξουν μια λάμπα;
-Τρεις... Ένας για να αποδείξει την ύπαρξη, ένας τη μοναδικότητα κι ένας για να κατασκευάσει τον αλγόριθμο αλλαγής λάμπας.


-Γιατί οι άθεοι δεν μπορούν να λύσουν πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερου του 1;
-Επειδή δεν πιστεύουν σε ανώτερες δυνάμεις...


-Τι είναι κίτρινο και πλήρες;
-Ένας Χώρος Bananach!


-Γιατί η Κοκκινοσκουφίτσα μελετά Γενική Τοπολογία;
-Για να μη χάνεται στα μονοπάτια!


-Τι είναι το βούτυρο για το ψωμί;
-Χώρος επικάλυψης.


-Πώς λέγεται η Τοπολογία που έχει πυρετό;
-Ασθενής Τοπολογία.


-Ποιο είναι το πιο σύντομο μαθηματικό ανέκδοτο;
-Έστω ε<0.

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Σφαίρα και σφαιρικά πολύεδρα

ΣΦΑΙΡΑ

Τα βιβλία γράφουν...

Σφαίρα είναι το σχήμα που παράγεται από την περιστροφή ενός κύκλου (Ο, ρ) με άξονα περιστροφής μια διάμετρό του.


Τα βιβλία επίσης γράφουν...

Σφαίρα είναι το σύνολο των σημείων Μ του χώρου που απέχουν από ένα σταθερό σημείο Ο σταθερή απόσταση ρ, δηλαδή ισχύει:
ΟΜ = ρ.

Rene Magritte (1898 - 1967)

Rene Magritte (1898 - 1967) - "L'ombre Monumentale" (1932)

Ivan Kliun (1873- 1943) - "Σφαιρική μη αντικειμενική σύνθεση" (1922-25)

A.J. Edwards (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Game Room"

Barbara Fox (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Billiard Balls - Still Life"

Georgi Lechev (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Dialog Between White and Blue" (2011)

Allen Donnelly (Σύγχρονος καλλιτέχνης και συγγραφέας) - "On the beach"

James Pikerton (σύγχρονος ζωγράφος) - "Shadow Spheres" (2015)

James Pikerton (σύγχρονος ζωγράφος) - "Sphere Orb"

James Pikerton (σύγχρονος ζωγράφος) - "Red Sphere"

Katie Morris (Σύγχρονη ζωγράφος και καθηγήτρια καλλιτεχνικών) - "Sports Spheres"
Μέσα από τις καλλιτεχνικές δραστηριότητες στη σχολική τάξη, προσπαθεί να διδάξει στους μαθητές της τα γεωμετρικά σχήματα και τα γεωμετρικά στερεά. 

Katie Morris (Σύγχρονη ζωγράφος και καθηγήτρια καλλιτεχνικών) - "Sports Spheres"

Katie Morris (Σύγχρονη ζωγράφος και καθηγήτρια καλλιτεχνικών) - "Sports Spheres"

Katie Morris (Σύγχρονη ζωγράφος και καθηγήτρια καλλιτεχνικών) - "Sports Spheres"

Katie Morris (Σύγχρονη ζωγράφος και καθηγήτρια καλλιτεχνικών) - "Sports Spheres"

Katie Morris (Σύγχρονη ζωγράφος και καθηγήτρια καλλιτεχνικών) - "Sports Spheres"

Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Sphere Equations"

Τι γίνεται όταν επιτρέψουμε στα πολύεδρα να έχουν καμπυλωτές ακμές και έδρες;


ΣΦΑΙΡΙΚΑ ΠΟΛΥΕΔΡΑ

Τα βιβλία γράφουν...

Η επιφάνεια της σφαίρας μπορεί να χωριστεί με ευθύγραμμα τμήματα σε οριοθετούμενες περιοχές, για να σχηματίσει ένα σφαιρικό πολύεδρο. Μεγάλο μέρος της θεωρίας των συμμετρικών πολυέδρων προκύπτει ευκολότερα με αυτόν τον τρόπο. Τα σφαιρικά πολύεδρα έχουν μια μακρά και αξιοσέβαστη ιστορία. Ο Poinsot, χρησιμοποιώντας σφαιρικά πολύεδρα, ανακάλυψε τα τέσσερα κανονικά αστεροειδή πολύεδρα. Τα πρώτα πολύεδρα που κατασκεύασε ο άνθρωπος ήταν σφαιρικά πολύεδρα σκαλισμένα σε πέτρα.

Paolo Uccello (1397 - 1475) - "Γεωμετρική Σφαίρα"

Martino da Udine (1470 - 1548) - Σπουδή στη Γεωμετρία και στην προοπτική

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Μεταχειρίσου τη φύση μέσω του κυλίνδρου, της σφαίρας και του κώνου, όλα τοποθετημένα με προοπτική, ώστε κάθε πλευρά ενός αντικειμένου ή ενός επιπέδου να κατευθύνεται προς ένα κεντρικό σημείο. Αν μάθουμε να βασίζουμε τη ζωγραφική μας πάνω σ' αυτά τα απλά σχήματα, θα μπορέσουμε να πετύχουμε τα πάντα".
Paul Cezanne (1839 - 1906)

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

Πηγές:

• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Adventures of an art teacher by Katie Morris
• Allen Donnelly
• Fine Art America: James Pikerton
• Pixels: Russell Kightley
• Wolfram Math World: Sphere
• wikipedia.org

Γρίφος: Ο βαρόνος Μινχάουζεν και το κυνήγι της πάπιας

Επί πολλά χρόνια, ο βαρόνος Μινχάουζεν πήγαινε καθημερινά στη λίμνη για να κυνηγήσει πάπιες. Την 1η Αυγούστου του 1896, είπε στον μάγειρά του: "Σήμερα πέτυχα περισσότερες πάπιες απ' ό,τι προχθές, αλλά λιγότερες από όσες την ίδια ημέρα την προηγούμενη εβδομάδα". Επί πόσες μέρες μπορεί να ισχυρίζεται ο βαρόνος αυτό το πράγμα; 

(Σημειώστε ότι εδώ ο βαρόνος Μινχάουζεν δε λέει ψέματα!!!)

Ο Αρκάς και η τιμή του... π

Πώς οι τυχαίοι περίπατοι χάρισαν σε δύο μαθηματικούς το "Βραβείο Άμπελ" για το 2020

Δύο πρωτοπόροι μαθηματικοί, ο Hilel Furstenberg και ο Gregory Margulis, μοιράζονται το φετινό Βραβείο Άμπελ. Το βραβείο αυτό, που φέρει το όνομα του σπουδαίου Νορβηγού μαθηματικού Niels Henrik Abel (1802-1829), καθιερώθηκε το 2003 και απονέμεται κάθε χρόνο από τη Νορβηγική Ακαδημία Επιστημών και Γραμμάτων.

Ο Hilel Furstenberg  (γεν. 1935) διατέλεσε καθηγητής του Εβραϊκού Πανεπιστημίου της Ιερουσαλήμ ως το 2003 και ο Gregory Margulis (γεν. 1946) είναι καθηγητής στο Πανεπιστήμιο Yale των Η.Π.Α.

Ο Hilel Furstenberg αριστερά και ο Gregory Margulis δεξιά.

Οι δύο μαθηματικοί, χωρίς ποτέ να συνεργαστούν επίσημα -εργάστηκαν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον- άρχισαν από το 1963 να εφαρμόζουν με καινοτόμους τρόπους, μεθόδους από τη Θεωρία Πιθανοτήτων και τα Δυναμικά Συστήματα στη Θεωρία Ομάδων, τη Θεωρία Αριθμών και τη Συνδυαστική. Συγκεκριμένα, ένας κεντρικός κλάδος της Θεωρίας Πιθανοτήτων είναι η μελέτη των τυχαίων περιπάτων, όπως η διαδρομή που παίρνει ένας τουρίστας που εξερευνά μια άγνωστη πόλη, στρίβοντας ένα νόμισμα προκειμένου να αποφασίσει αν θα στρίψει αριστερά ή δεξιά σε κάθε σταυροδρόμι.  Οι Furstenberg και Margulis επινόησαν παρόμοιες τεχνικές τυχαίων περιπάτων, για να εξερευνήσουν τη δομή των γραμμικών ομάδων, όπως είναι για παράδειγμα οι ομάδες πινάκων, δηλαδή σύνολα πινάκων κλειστών κάτω από κάποια πράξη. Παίρνοντας γινόμενα από τυχαία επιλεγμένους πίνακες, κανείς προσπαθεί να περιγράψει πώς το αποτέλεσμα μεγαλώνει και τι φανερώνει η αύξηση αυτή για τη δομή της ομάδας.

Οι Furstenberg και Margulis εισήγαγαν δυναμικές ιδέες, έλυσαν τρομερά προβλήματα και ανακάλυψαν εκπληκτικές συνδέσεις μεταξύ της Θεωρίας Ομάδων, της Θεωρίας Πιθανοτήτων, της Θεωρίας Αριθμών, της Θεωρίας Γραφημάτων και της Συνδυαστικής. Η δουλειά τους δημιούργησε μια σχολή σκέψης, που είχε βαθύ αντίκτυπο σε πολλές περιοχές των Μαθηματικών, αλλά και των εφαρμογών τους.

Οι Hilel Furstenberg και Gregory Margulis, μαζί με το βραβείο θα μοιραστούν και 7,5 εκατομμύρια νορβηγικές κορώνες (περίπου 600.000€). Εξαιτίας της πανδημίας του κορονοϊού, η τελετή απονομής του βραβείου που θα γινόταν στο Όσλο τον Ιούνιο ματαιώνεται και η Νορβηγική Ακαδημία Επιστημών και Γραμμάτων θα βραβεύσει τους δύο μαθηματικούς του χρόνου, στην τελετή απονομής των βραβείων του 2021 .

Πηγές:
Abelprize.no
New Scientist

Η ζωή σου στα ψηφία του... π!

14/3 ή σύμφωνα με το δυτικό τρόπο γραφής: 3/14

Παγκόσμια ημέρα του αριθμού π=3,14... σήμερα. Το π είναι ο λόγος της περιφέρειας του κύκλου προς τη διάμετρό του και είναι άρρητος αριθμός, δηλαδή δεν μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα με αριθμητή και παρονομαστή ακέραιους αριθμούς. Όπως και σε κάθε άρρητο αριθμό, τα δεκαδικά ψηφία του π είναι άπειρα και κατανεμημένα χωρίς φανερό τρόπο, δεν είναι δηλαδή περιοδικός αριθμός. Το γεγονός αυτό έχει πολλές ενδιαφέρουσες φιλοσοφικές... συνέπειες. Στο παρακάτω ευφυές βίντεο που δημοσίευσε ο Nathan Shields, βλέπουμε πώς κάθε αριθμός που θεωρείται σημαντικός στη ζωή σου, μπορεί να εντοπιστεί στα ψηφία του π! Τυχαίο;

Αμφιβάλλεις ακόμη; Βρες όποιον αριθμό θέλεις μέσα στα ψηφία του π, πατώντας εδώ...

Τα μαθηματικά και ο... κορωνοϊός!

Στο παρακάτω βίντεο που δημοσιεύτηκε στο YouTube από το κανάλι 3Blue1Brown, εξηγείται με πολύ κατανοητό τρόπο η εξάπλωση του νέου κορωνοϊού COVID-19 μέσω της εκθετικής συνάρτησης, της γραμμικής παλινδρόμησης και της λογιστικής (σιγμοειδούς) καμπύλης και αναλύεται πώς οι παράγοντες που επηρεάζουν την εξάπλωσή του τελικά μειώνονται.

Κλείνοντας, ο αφηγητής, έπειτα από τους μαθηματικούς υπολογισμούς συμπεραίνει: "Εάν οι άνθρωποι είναι ανήσυχοι όσο χρειάζεται, τότε θα είναι και λιγότεροι οι λόγοι ανησυχίας".

Γρίφος: Ο χειρουργός που έκανε... οικονομία!

Όταν ένας χειρουργός κάνει εγχείρηση, πρέπει να προστατεύει τον ασθενή του, καθώς και τον εαυτό του, από μολύνσεις. Τα αποστειρωμένα γάντια έχουν ακριβώς τους δύο αυτούς στόχους.

Πρόβλημα:

Μπορεί ένας χειρουργός με μόνο 2 ζεύγη χειρουργικών γαντιών να εγχειρήσει 3 διαφορετικούς ασθενείς με πλήρη ασφάλεια;

(Πηγή: Paul Halmos (2012). Προβλήματα για μαθηματικούς, μικρούς & μεγάλους. Εκδόσεις: Ευρύαλος Απόλλων, Τρίκαλα)