Νάρκισσοι... αριθμοί!

Σύμφωνα με τη μυθολογία, ο ωραίος νεαρός Νάρκισσος, καθισμένος κοντά σε μια πηγή, είδε μια μέρα το πρόσωπό του στα νερά της πηγής. Γοητεύτηκε από την εικόνα του που καθρεφτιζόταν στο νερό και θέλησε, βυθίζοντας το βραχίονα του στο νερό να την αιχμαλωτίσει. Επειδή, όμως, παρά τις προσπάθειές του, δεν το κατόρθωνε, παρέμεινε στη θέση αυτή αυτοθαυμαζόμενος, μέχρι που πέθανε. Στη θέση εκείνη μετά από λίγο φύτρωσε το ομώνυμο λουλούδι.

Στα μαθηματικά, νάρκισσος αριθμός ονομάζεται ένας ν-ψήφιος αριθμός, του οποίου το άθροισμα των ψηφίων, υψωμένα στη νιοστή δύναμη, δίνει τον αριθμό αυτόν.

 

Για παράδειγμα:

\(153=1^3+5^3+3^3\)

\(1634=1^4+6^4+3^4+4^4\)

\(54748=5^5+4^5+7^5+4^5+8^5\)

 

Στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, υπάρχουν μόνο 88 νάρκισσοι αριθμοί, οι οποίοι είναι οι παρακάτω:

Πλήθος ψηφίων	Αριθμοί
1	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
3	153, 370, 371, 407
4	1634, 8208, 9474
5	54748, 92727, 93084
6	548834
7	1741725, 4210818, 9800817, 9926315
8	24678050, 24678051, 88593477
9	146511208, 472335975, 534494836, 912985153
10	4679307774
11	32164049650, 32164049651, 40028394225, 42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 94204591914
14	28116440335967
16	4338281769391370, 4338281769391371
17	21897142587612075, 35641594208964132, 35875699062250035
19	1517841543307505039, 3289582984443187032, 4498128791164624869, 4929273885928088826
20	63105425988599693916
21	128468643043731391252, 449177399146038697307
23	21887696841122916288858, 27879694893054074471405, 27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 35452590104031691935943
24	174088005938065293023722, 188451485447897896036875, 239313664430041569350093
25	1550475334214501539088894, 1553242162893771850669378, 3706907995955475988644380, 3706907995955475988644381, 4422095118095899619457938
27	121204998563613372405438066, 121270696006801314328439376, 128851796696487777842012787, 174650464499531377631639254, 177265453171792792366489765
29	14607640612971980372614873089, 19008174136254279995012734740, 19008174136254279995012734741, 23866716435523975980390369295
31	1145037275765491025924292050346, 1927890457142960697580636236639, 2309092682616190307509695338915
32	17333509997782249308725103962772
33	186709961001538790100634132976990, 186709961001538790100634132976991
34	1122763285329372541592822900204593
35	12639369517103790328947807201478392, 12679937780272278566303885594196922
37	1219167219625434121569735803609966019
38	12815792078366059955099770545296129367
39	115132219018763992565095597973971522400, 115132219018763992565095597973971522401

"Μαθηματικές Συναντήσεις..."

 

...με μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου

"Η γνώμη μου είναι ότι στα περισσότερα σχολικά βιβλία τα μαθηματικά θέματα αντιμετωπίζονται χωρίς συνοχή. Η μια λεπτομέρεια στοιβάζεται πάνω στην άλλη, συχνά χωρίς ρυθμό ή λογική. Δεν αποσαφηνίζονται οι σημαντικές γραμμές της μαθηματικής σκέψης, στις οποίες μπορεί να ενταχθεί η τεχνική ώστε να γίνεται ευχάριστα αποδεκτή και να έχει κάποιο νόημα. Και είναι μεγάλο κρίμα, διότι η ενασχόληση με τα μαθηματικά αποτελεί δραστηριότητα όμορφη και γεμάτη ζωντάνια", σημειώνει ο Serge Lang (1927-2005), παγκοσμίου φήμης καθηγητής του Πανεπιστημίου Yale, στο προλογικό σημείωμα του βιβλίου "Μαθηματικές Συναντήσεις με μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου".

Το βιβλίο από τις εκδόσεις "κάτοπτρο"

Το βιβλίο αυτό περιλαμβάνει τα "εκτός ύλης" μαθήματα που δίδαξε ο Serge Lang σε μαθητές της μέσης εκπαίδευσης. Τα κείμενα έχουν μεταγραφεί από τις μαγνητοταινίες όσο πιστά γίνεται, ώστε να διατηρηθεί το ζωντανό ύφος τους. Στόχος του συγγραφέα ήταν να δείξει στους μαθητές όμορφα μαθηματικά, στο επίπεδο της δικής τους τάξης, ιδωμένα όμως με τον τρόπο που έχει ένας έμπειρος μαθηματικός. Τα μαθήματα αφορούν γεωμετρικά και αλγεβρικά θέματα τα οποία είναι κατανοητά στο επίπεδο της Γ΄ Γυμνασίου και της Α΄ Λυκείου. Οι μαθητές κατόρθωσαν τόσο να κατανοήσουν όσο και να απολαύσουν όλα αυτά τα μαθηματικά και, αναμφίβολα, το ίδιο θα συμβεί και με εσάς που θα διαβάσετε αυτό το βιβλίο. Αν, μάλιστα, είστε εκπαιδευτικός, θα εμπνευστείτε από τη διδακτική του προσέγγιση!

Σελίδα από το βιβλίο: Ο S.Lang και οι μαθητές συζητούν σχετικά με τον αριθμό π.

Καλώς ήρθες, 2025...

Η αντίστροφη μέτρηση έγινε! Σας ευχαριστώ όλους όσοι ασχοληθήκατε με τον αριθμογρίφο του 2025 και σας στέλνω 2025 ευχές για μια όμορφη και δημιουργική χρονιά!!! 

Τι λέτε να δούμε κάτι ακόμα; 

Ισότητες μόνο με τα ψηφία 2, 0, 2, 5:

\(20+25 = ((2+0!)^2) \cdot 5 = 2 \cdot 20 +5 = \sqrt{2025}\)

\((20+25)·(20+25)=2025\)

Το 2025 γράφεται ως άθροισμα των κύβων των αριθμών 1, 2, 3, ... , 9:

\(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3=2025\)

...αλλά και ως το τετράγωνο του αθροίσματος των αριθμών αυτών:

\((1+2+3+4+5+6+7+8+9)^2=2025\) 

Εσείς ποιες άλλες ιδιότητες ξέρετε; Γράψτε μας στα σχόλια όσες γνωρίζετε ή ανακαλύψτε παρακάτω άλλες 2025 ιδιότητες!

 Numbers aplenty 2025

Numbers magic: Mathematics of 25 and 2025 in numbers and magic squares Part 1 - Part 2

Γρίφος: Μετρώντας αντίστροφα για το 2025

Είθισται κάθε χρόνο να σβήνουμε τα φώτα και να μετράμε αντίστροφα από το 10 κατά την αλλαγή του χρόνου... 

Τοποθετήστε ανάμεσα στους αριθμούς όποια σύμβολα πράξεων θέλετε, καθώς και παρενθέσεις, ή και... τίποτα, ώστε η τιμή της παράστασης να είναι 2025.

Η λύση φυσικά δεν είναι μοναδική... Περιμένω να δω τις απαντήσεις σας πριν κάνουμε την αντίστροφη μέτρηση για το 2025!!! 

Πώς χαίρονται το χιόνι οι μαθηματικοί!

Πηγή εικόνας 

Καλά Χριστούγεννα! (+γρίφος)

 

(Πηγή εικόνας)

Το blog "εις το άπειρον" εύχεται θερμά στους αναγνώστες του Καλά Χριστούγεννα και Καλές Γιορτές! Το Πανάγιο βρέφος της Βηθλεέμ να σας χαρίσει όλες τις ευλογίες Του! 

Βρείτε πόσο κοστίζει η αγορά ενός Άη Βασίλη, ενός χιονάνθρωπου και ενός ταράνδου για τη χριστουγεννιάτικη διακόσμησή μας:

Γρίφος: Ο συνδυασμός που συμφέρει

Στην ψαραγορά της πόλης μου, τα ψάρια προσφέρονται σε δύο μεγέθη: μεγάλα και μικρά. Σήμερα μπορείτε να αγοράσετε τρία μεγάλα ψάρια και ενα μικρό με τα ίδια χρήματα που θα δίνατε χθες για να αγοράσετε πέντε μεγάλα. Από την άλλη πλευρά, δύο μεγάλα ψάρια και ένα μικρό κοστίζουν σήμερα όσο κόστιζαν χθες τρία μεγάλα και ένα μικρό. Ποια είναι πιο οικονομικά, ένα μεγάλο και δύο μικρά ψάρια σήμερα ή πέντε μικρά ψάρια χθες;

"Η απολογία ενός μαθηματικού"

Ένας εκκεντρικός κορυφαίος μαθηματικός, κλεισμένος διά βίου στον περίγυρο του Cambridge, με τη δύση της καριέρας του στα 1940, αισθάνεται την ανάγκη να απολογηθεί. Πρόκειται για τον Godfrey Harold Hardy (1877-1947), γνωστό για τα επιτεύγματά του στη θεωρία αριθμών και στη μαθηματική ανάλυση. Ένας φυσικός, ο C.P. Snow, φίλος του πρώτου, προσπαθεί να φωτίσει την ιδιόρρυθμη προσωπικότητα του απολογούμενου. Χωρίς ίχνος σεμνοτυφίας, ο καθηγητής G.H. Hardy υπερασπίζεται με πάθος αλλά χωρίς φανατισμό τη μαθηματική δημιουργία. Το δοκίμιο «Η απολογία ενός μαθηματικού» είναι μία από τις πιο προσιτές αναλύσεις γύρω από τον τρόπο σκέψης ενός μαθηματικού. Αν και εκκεντρικό συχνά στις απόψεις του, με διάθεση κάποτε μελαγχολική και κάποτε δηκτική, μυεί μυημένους και αμύητους, φίλους και μη της επιστήμης, στον παράξενο κόσμο των καθαρών μαθηματικών και στις αξίες και αντιλήψεις μιας εποχής που φαίνεται ότι σβήνει. H ελληνική μετάφραση συνοδεύεται από εκτενή σχόλια που εισάγουν τον αναγνώστη στον τρόπο ζωής και τις συνήθειες του κοινωνικού και επιστημονικού περίγυρου της Aγγλίας του μεσοπολέμου.

Το βιβλίο από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

«Ο μαθηματικός δε χρειάζεται σοβαρά να φοβάται ότι το μέλλον θα τον αδικήσει. Η αθανασία είναι συχνά γελοία ή βάρβαρη: λίγοι από εμάς θα διάλεγαν να είναι ο Ωγ ή ο Ανανίας ή ο Γαλλίων. Ακόμη και στα Μαθηματικά, η ιστορία παίζει καμιά φορά περίεργες φάρσες. Ο Rolle ποζάρει στα βιβλία του Στοιχειώδους Λογισμού σαν να ήταν ένας μαθηματικός του διαμετρήματος του Νεύτωνα. Ο Farey είναι αθάνατος επειδή απέτυχε να κατανοήσει ένα θεώρημα που ο Haros είχε ήδη αποδείξει πριν από 14 χρόνια. Τα ονόματα πέντε άξιων Νορβηγών βρίσκονται ακόμη στον Βίο του Abel, μόνο εξ αιτίας μιας ενέργειας ενσυνείδητης βλακείας που συνετελέσθη, από τυπολατρεία, εις βάρος του μεγαλύτερου άνδρα της χώρας τους. Αλλά, συνολικά, η ιστορία της επιστήμης είναι δίκαιη, και αυτό ισχύει ιδιαίτερα στα Μαθηματικά. Κανένα άλλο αντικείμενο μελέτης δεν έχει τόσο καθαρά οριοθετημένα ή ομόφωνα αποδεκτά υψηλά κριτήρια, και οι μαθηματικοί που θυμόμαστε είναι σχεδόν πάντα αυτοί που το αξίζουν. Η μαθηματική δόξα, αν μπορούσε να εξαγοραστεί, θα ήταν μια από τις πιο υγιείς και σταθερές επενδύσεις».

(G.H.Hardy - «Η απολογία ενός μαθηματικού»)

 

📖Διαβάστε εδώ περισσότερες όμορφες ρήσεις του Hardy.

Τα σύνολα των αριθμών

Σχηματική αναπαράσταση των συνόλων των αριθμών...

Γρίφοι: Νομίσματα σε κουτιά

 

Γρίφος #1

Έχουμε 3 κουτιά, καθένα από τα οποία περιέχει 2 νομίσματα: Ένα κουτί περιέχει δύο χρυσά, ένα κουτί περιέχει δύο ασημένια και το τρίτο ένα χρυσό και ένα ασημένιο.

Επιλέξαμε ένα κουτί στην τύχη. Χωρίς να κοιτάξουμε μέσα, βγάλαμε έξω το ένα νόμισμα και αυτό ήταν ασημένιο. Αν βγάλουμε έξω και το δεύτερο νόμισμα, ποια είναι η πιθανότητα να είναι και αυτό ασημένιο;

Γρίφος #2

Έχουμε 4 κουτιά, καθένα από τα οποία περιέχει 3 νομίσματα: Ένα κουτί περιέχει τρία χρυσά, ένα κουτί περιέχει τρία ασημένια, ένα κουτί περιέχει δύο χρυσά και ένα ασημένιο και το τελευταίο ένα χρυσό και δύο ασημένια.

Επιλέξαμε ένα κουτί στην τύχη. Χωρίς να κοιτάξουμε μέσα, βγάλαμε έξω το ένα νόμισμα και αυτό ήταν ασημένιο. Αν βγάλουμε έξω και ένα δεύτερο νόμισμα από το ίδιο κουτί, ποια είναι η πιθανότητα να είναι και αυτό ασημένιο;

Γρίφος #3

Έχουμε 4 κουτιά, καθένα από τα οποία περιέχει 3 νομίσματα: Ένα κουτί περιέχει τρία χρυσά, ένα κουτί περιέχει τρία ασημένια, ένα κουτί περιέχει δύο χρυσά και ένα ασημένιο και το τελευταίο ένα χρυσό και δύο ασημένια.

Επιλέξαμε ένα κουτί στην τύχη. Χωρίς να κοιτάξουμε μέσα, βγάλαμε έξω δύο νομίσματα και ήταν και τα δύο ασημένια. Αν βγάλουμε έξω και το τρίτο νόμισμα από το κουτί, ποια είναι η πιθανότητα να είναι και αυτό ασημένιο;