Γρίφος: Αριθμοί σε πίνακα

Βρείτε ποιος αριθμός πρέπει να αντικαταστήσει το ερωτηματικό. 

Πηγή: Διαγωνισμοί για την εισαγωγή στην Εθνική Σχολή Δημόσιας Διοίκησης και Αυτοδιοίκησης.

"Φίλιππος: Η Αποκάλυψη"

Η ζωή του Φίλιππου αλλάζει μετά την επιτυχία του σε μαθηματικό διαγωνισμό, που τον οδηγεί σε ένα ταξίδι στη σύγχρονη Αθήνα. Εκεί, αποκαλύπτεται η σύνδεσή του με τη χαμένη πόλη της Αρχαίας Ελίκης. Με μια μυστηριώδη φωτογραφική μηχανή που αποκαλύπτει το αρχαίο παρελθόν και με τη βοήθεια της αρχαιολόγου Δανάης, ο Φίλιππος πρέπει να σταματήσει τον γίγαντα Εγκέλαδο και τους συμμάχους του, Τιτάνες, που απειλούν να κυριεύσουν τον κόσμο κατά τη διάρκεια μιας σπάνιας πλανητικής ευθυγράμμισης... 

Οι Pan Stam (συγγραφή) και Jimmy D. Lupa (εικονογράφηση) έχουν δημιουργήσει μια συναρπαστική περιπέτεια φαντασίας γεμάτη θεούς και θρύλους, ενώ παράλληλα οι μαθηματικές αναφορές όπως ο αριθμός φ και ο μηχανισμός των Αντικυθήρων, δίνουν μια επιστημονική χροιά στην πλοκή. 

Αριθμοί Friedman

 

📖Ένας αριθμός Friedman είναι ένας θετικός ακέραιος που μπορεί να προκύψει χρησιμοποιώντας τα δικά του ψηφία, μαζί με ένα τουλάχιστον από τα σύμβολα +, -, ·, /, ^, (, ). 

• Τα ψηφία του χρησιμοποιούνται ακριβώς μία φορά το καθένα.
• Επιτρέπεται να συγκολληθούν δύο ή περισσότερα ψηφία.

Οι αριθμοί Friedman στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, ξεκινώντας από τον μικρότερο, είναι:

\(25=5^2\)

\(121=11^2\)

\(125=5^{1+2}\)

\(126=6 \cdot 21\)

\(127=2^7-1\)

\(128=2^{8-1}\)

\(153=3 \cdot 51\)

\(216=6^{2+1}\)

\(289=(8+9)^2\)

\(343=(3+4)^3\)

\(347=7^3+4\)

\(625=5^{6-2}\)

\(688=8 \cdot 86\)

\(736=7+3^6\)

\(1022=2^{10}-2\)

\(1024=(4-2)^{10}\)

\(1206=6 \cdot 201\)

\(1255=5 \cdot 251\)

\(1260=6 \cdot 210 = 21 \cdot 60\)

\(1258=(1+2^8) \cdot 5\)

\(1296=6^{(9-1)/2}\)

\(1395=15 \cdot 93\)

\(1435=35 \cdot 41\)

\(1503=3 \cdot 501\)

\(1530=3 \cdot 510\)

\(1792=7 \cdot 2^{9-1}\)

\(1827=21 \cdot 87\)

\(2048=\frac{8^4}{2}+0=\frac{8^4}{2+0}\)

\(2187=(2+1^8)^7\)

\(2349=29 \cdot 3^4\)

 ...

📖Ένας πρώτος αριθμός Friedman είναι ένας αριθμός Friedman που επιπλέον είναι πρώτος.

Οι πρώτοι αριθμοί Friedman στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης είναι:

127, 347, 2503, 12101, 12107, 12109, 15629, 15641, 15661, 15667, 15679, 16381, 16447, 16759, 16879, 19739, 21943, 27653, 28547, 28559, 29527, 29531, 32771, 32783, 35933, 36457, 39313, 39343, 43691, 45361, 46619, 46633, 46643, 46649, 46663, 46691, 48751, 48757, 49277, 58921, 59051, 59053, 59263, 59273, 64513, 74353, 74897, 78163, 83357, ... 

 

📖Ένας αριθμός Friedman λέγεται ωραίος, όταν η μαθηματική έκφραση που τον συνθέτει, μπορεί να γραφεί έτσι, ώστε να περιέχει τα ψηφία με την ίδια σειρά που περιέχονται στον αριθμό.

Για παράδειγμα:

\(127=2^7-1=-1+2^7\)

\(343=(3+4)^3\)

Αν, μάλιστα, τυχαίνει να είναι και πρώτος, τότε λέγεται ωραίος πρώτος αριθμός Friedman. To 127 είναι ένας ωραίος πρώτος αριθμός Friedman.

Από την άλλη, το 121 και το 343 είναι παλινδρομικοί αριθμοί Friedman, αφού διαβάζονται το ίδιο είτε ευθέως είτε ανάποδα.

 

🧛🏻‍♂️Μια ειδική περίπτωση των αριθμών Friedman είναι οι βαμπιρικοί αριθμοί, όπως ο 1260 και ο 1395, τους οποίους είχαμε γνωρίσει σε παλιότερη ανάρτηση.

🖥️Μερικοί αριθμοί Friedman στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης είναι: 11001, 11011, 111111, 1001111, 1010001, ...

(Αυτοί που σημειώνονται έντονα είναι ωραίοι αριθμοί Friedman, αλλά και παλινδρομικοί).

🌐Για περισσότερα, σας παραπέμπω:

Numbers Aplenty, Friedman Numbers 

Online Encyclopedia of Integer Sequences, Erich Friedman 

Γρίφος: Το άγγιγμα του Μίδα

 

Σε ένα σεντούκι θησαυρού υπάρχουν 4 χάλκινα νομίσματα, 4 ασημένια νομίσματα και 5 χρυσά νομίσματα. Όταν ο Μίδας αγγίζει τυχαία οποιοδήποτε νόμισμα οποιουδήποτε χρώματος, αυτό εξαφανίζεται μαγικά και αντικαθίσταται από δύο νέα νομίσματα που έχουν τα άλλα δύο χρώματα. Για παράδειγμα, αν ο Μίδας αγγίξει ένα ασημένιο νόμισμα, αυτό μεταμορφώνεται σε ένα χάλκινο νόμισμα και ένα χρυσό νόμισμα.

Μετά από δύο διαδοχικά τυχαία αγγίγματα του Μίδα, ποια είναι η πιθανότητα τα χρυσά νομίσματα να εξακολουθούν να είναι περισσότερα από οποιοδήποτε από τα άλλα δύο χρώματα;

Σημείωση: Ευχαριστώ τον φίλτατο Carlo De Grandi που μου έστειλε το γρίφο.

GIVEAWAY! Κερδίστε δύο βιβλία Μαθηματικών της Γ΄ Λυκείου! *ΕΛΗΞΕ*

Για τους μαθητές που έχουν μπει στην τελική ευθεία για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις, αλλά και για τους καθηγητές τους, κυκλοφορεί το βιβλίο «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ… στην τελική ευθεία» από τον μαθηματικό και συγγραφέα Σπύρο Γιαννάκαρο και τις Εκδόσεις ΒΑΡΦΗΣ.

📚Στο περιεχόμενο του βιβλίου θα βρείτε:

• Συγκεντρωμένη τη θεωρία των Πανελλαδικών εξετάσεων

• 10 ολιγόλεπτα Τεστ ανά παράγραφο

• 15 θέματα θεωρίας σε όλη την ύλη

• Προτεινόμενες δραστηριότητες για την τάξη

• Μεθοδολογία σε βασικές κατηγορίες ασκήσεων, που συναντούμε συχνά σε θέματα των Πανελλαδικών εξετάσεων, με λυμένα παραδείγματα.

• Ασκήσεις εμπέδωσης

• Συνδυαστικά θέματα εφ’ όλης της ύλης

• Επαναληπτικά διαγωνίσματα

• Θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων προηγουμένων ετών

• Αναλυτικές απαντήσεις των ασκήσεων εμπέδωσης, των συνδυαστικών θεμάτων (με παραπομπές στα αντίστοιχα κομμάτια της θεωρίας), των επαναληπτικών διαγωνισμάτων και των θεμάτων των Πανελλαδικών εξετάσεων.

 

🎁Δύο τυχεροί/τυχερές μπορούν από σήμερα να κερδίσουν από ένα αντίτυπο του βιβλίου «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ… στην τελική ευθεία», προσφορά του συγγραφέα, μέσα από το 4^ο giveaway που διοργανώνει το blog «εις το άπειρον»!

 

Για να πάρετε μέρος στην κλήρωση, πρέπει και αρκεί:

1.    Να είστε ακόλουθοι του blog «εις το άπειρον» (η εγγραφή γίνεται με χρήση gmail πατώντας πάνω στο μπλε κουμπάκι)

2.    Να αφήσετε ένα σχόλιο σ' αυτή την ανάρτηση, δηλώνοντας συμμετοχή στο giveaway και γράφοντας το e-mail σας

3.    Προσοχή: αν στο σχόλιο φαίνεστε ως ανώνυμοι, φροντίστε να γράψετε το όνομά σας  (δυστυχώς ανώνυμα σχόλια δεν μπορούν να ληφθούν υπόψη).

 

🎲Ο διαγωνισμός λήγει το Σάββατο 1 Φεβρουαρίου 2025 στις 23:59. Την Κυριακή 2 Φεβρουαρίου 2025, θα ανακοινωθούν στην παρούσα ανάρτηση οι 2 τυχεροί/τυχερές που θα αναδείξει η κλήρωση μέσω του randomname picker από το commentpicker.com και θα ειδοποιηθούν μέσω e-mail (στο e-mail που θα έχουν δηλώσει)! Τα δώρα θα σταλούν στους νικητές μόλις έχουμε τις διευθύνσεις τους. Αν κάποιος/α δεν επικοινωνήσει εντός μιας εβδομάδας, θα ξαναγίνει κλήρωση για να αναδειχθεί ο νικητής που θα τον αντικαταστήσει.

 

Καλή επιτυχία σε όλους!!!

 

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

EDIT 2/2/2025 - ΛΗΞΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΚΛΗΡΩΣΗ!

Σας ευχαριστούμε όλους και όλες όσοι/ες συμμετείχατε στο giveaway μας! Μέσω του random name picker από το commentpicker.com, πραγματοποιήθηκε η κλήρωση που ανέδειξε τους 2 τυχερούς!

Συγχαρητήρια στις δύο νικήτριες! Είμαι σίγουρη ότι το βιβλίο του Σ.Γιαννάκαρου θα αποδειχθεί πολύτιμος βοηθός στη δουλειά σας!

Αν η στατιστική ήταν... ζώο!

Γρίφος: Η ανταλλαγή

Κάποιος οδηγός χρειάζεται κέρματα, για να ρίξει στο μηχάνημα του parking. Ζητάει, λοιπόν, από τον περιπτερά να του ανταλλάξει ένα χαρτονόμισμα των 10€, με κέρματα του 1€ και των 50 λεπτών. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει η ανταλλαγή, αν ο οδηγός θέλει οπωσδήποτε κέρματα και του 1€ και των 50 λεπτών; 

Νάρκισσοι... αριθμοί!

Σύμφωνα με τη μυθολογία, ο ωραίος νεαρός Νάρκισσος, καθισμένος κοντά σε μια πηγή, είδε μια μέρα το πρόσωπό του στα νερά της πηγής. Γοητεύτηκε από την εικόνα του που καθρεφτιζόταν στο νερό και θέλησε, βυθίζοντας το βραχίονα του στο νερό να την αιχμαλωτίσει. Επειδή, όμως, παρά τις προσπάθειές του, δεν το κατόρθωνε, παρέμεινε στη θέση αυτή αυτοθαυμαζόμενος, μέχρι που πέθανε. Στη θέση εκείνη μετά από λίγο φύτρωσε το ομώνυμο λουλούδι.

Στα μαθηματικά, νάρκισσος αριθμός ονομάζεται ένας ν-ψήφιος αριθμός, του οποίου το άθροισμα των ψηφίων, υψωμένα στη νιοστή δύναμη, δίνει τον αριθμό αυτόν.

 

Για παράδειγμα:

\(153=1^3+5^3+3^3\)

\(1634=1^4+6^4+3^4+4^4\)

\(54748=5^5+4^5+7^5+4^5+8^5\)

 

Στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, υπάρχουν μόνο 88 νάρκισσοι αριθμοί, οι οποίοι είναι οι παρακάτω:

Πλήθος ψηφίων	Αριθμοί
1	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
3	153, 370, 371, 407
4	1634, 8208, 9474
5	54748, 92727, 93084
6	548834
7	1741725, 4210818, 9800817, 9926315
8	24678050, 24678051, 88593477
9	146511208, 472335975, 534494836, 912985153
10	4679307774
11	32164049650, 32164049651, 40028394225, 42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 94204591914
14	28116440335967
16	4338281769391370, 4338281769391371
17	21897142587612075, 35641594208964132, 35875699062250035
19	1517841543307505039, 3289582984443187032, 4498128791164624869, 4929273885928088826
20	63105425988599693916
21	128468643043731391252, 449177399146038697307
23	21887696841122916288858, 27879694893054074471405, 27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 35452590104031691935943
24	174088005938065293023722, 188451485447897896036875, 239313664430041569350093
25	1550475334214501539088894, 1553242162893771850669378, 3706907995955475988644380, 3706907995955475988644381, 4422095118095899619457938
27	121204998563613372405438066, 121270696006801314328439376, 128851796696487777842012787, 174650464499531377631639254, 177265453171792792366489765
29	14607640612971980372614873089, 19008174136254279995012734740, 19008174136254279995012734741, 23866716435523975980390369295
31	1145037275765491025924292050346, 1927890457142960697580636236639, 2309092682616190307509695338915
32	17333509997782249308725103962772
33	186709961001538790100634132976990, 186709961001538790100634132976991
34	1122763285329372541592822900204593
35	12639369517103790328947807201478392, 12679937780272278566303885594196922
37	1219167219625434121569735803609966019
38	12815792078366059955099770545296129367
39	115132219018763992565095597973971522400, 115132219018763992565095597973971522401

"Μαθηματικές Συναντήσεις..."

 

...με μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου

"Η γνώμη μου είναι ότι στα περισσότερα σχολικά βιβλία τα μαθηματικά θέματα αντιμετωπίζονται χωρίς συνοχή. Η μια λεπτομέρεια στοιβάζεται πάνω στην άλλη, συχνά χωρίς ρυθμό ή λογική. Δεν αποσαφηνίζονται οι σημαντικές γραμμές της μαθηματικής σκέψης, στις οποίες μπορεί να ενταχθεί η τεχνική ώστε να γίνεται ευχάριστα αποδεκτή και να έχει κάποιο νόημα. Και είναι μεγάλο κρίμα, διότι η ενασχόληση με τα μαθηματικά αποτελεί δραστηριότητα όμορφη και γεμάτη ζωντάνια", σημειώνει ο Serge Lang (1927-2005), παγκοσμίου φήμης καθηγητής του Πανεπιστημίου Yale, στο προλογικό σημείωμα του βιβλίου "Μαθηματικές Συναντήσεις με μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου".

Το βιβλίο από τις εκδόσεις "κάτοπτρο"

Το βιβλίο αυτό περιλαμβάνει τα "εκτός ύλης" μαθήματα που δίδαξε ο Serge Lang σε μαθητές της μέσης εκπαίδευσης. Τα κείμενα έχουν μεταγραφεί από τις μαγνητοταινίες όσο πιστά γίνεται, ώστε να διατηρηθεί το ζωντανό ύφος τους. Στόχος του συγγραφέα ήταν να δείξει στους μαθητές όμορφα μαθηματικά, στο επίπεδο της δικής τους τάξης, ιδωμένα όμως με τον τρόπο που έχει ένας έμπειρος μαθηματικός. Τα μαθήματα αφορούν γεωμετρικά και αλγεβρικά θέματα τα οποία είναι κατανοητά στο επίπεδο της Γ΄ Γυμνασίου και της Α΄ Λυκείου. Οι μαθητές κατόρθωσαν τόσο να κατανοήσουν όσο και να απολαύσουν όλα αυτά τα μαθηματικά και, αναμφίβολα, το ίδιο θα συμβεί και με εσάς που θα διαβάσετε αυτό το βιβλίο. Αν, μάλιστα, είστε εκπαιδευτικός, θα εμπνευστείτε από τη διδακτική του προσέγγιση!

Σελίδα από το βιβλίο: Ο S.Lang και οι μαθητές συζητούν σχετικά με τον αριθμό π.

Καλώς ήρθες, 2025...

Η αντίστροφη μέτρηση έγινε! Σας ευχαριστώ όλους όσοι ασχοληθήκατε με τον αριθμογρίφο του 2025 και σας στέλνω 2025 ευχές για μια όμορφη και δημιουργική χρονιά!!! 

Τι λέτε να δούμε κάτι ακόμα; 

Ισότητες μόνο με τα ψηφία 2, 0, 2, 5:

\(20+25 = ((2+0!)^2) \cdot 5 = 2 \cdot 20 +5 = \sqrt{2025}\)

\((20+25)·(20+25)=2025\)

Το 2025 γράφεται ως άθροισμα των κύβων των αριθμών 1, 2, 3, ... , 9:

\(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3=2025\)

...αλλά και ως το τετράγωνο του αθροίσματος των αριθμών αυτών:

\((1+2+3+4+5+6+7+8+9)^2=2025\) 

Εσείς ποιες άλλες ιδιότητες ξέρετε; Γράψτε μας στα σχόλια όσες γνωρίζετε ή ανακαλύψτε παρακάτω άλλες 2025 ιδιότητες!

 Numbers aplenty 2025

Numbers magic: Mathematics of 25 and 2025 in numbers and magic squares Part 1 - Part 2