Γρίφος: Άλματα στο χρόνο

"Ξέρεις κάτι;" μου είπε ένας φίλος μου. "Προχθές ήμουν 10 ετών και του χρόνου θα γίνω 13!"

Είναι δυνατόν να έλεγε την αλήθεια;;;

Πηγη:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΓΡΙΦΟΙ 2 - 150 προβλήματα από τη στήλη "Σπαζοκεφαλιές" του περιοδικού Quantum, εκδόσεις "Κάτοπτρο"

Γραμμικό σύστημα 2x2 και η απάντηση ενός μαθητή...

Βρες το ζεύγος των αριθμών x και y που επαληθεύει το παραπάνω σύστημα.

Μαθηματικά και παιχνίδι: Τα σπιτάκια των αριθμών

Καλή σχολική χρονιά σε μικρούς και μεγάλους και επισήμως!

Για τους δασκάλους στο Δημοτικό, αλλά και για τους γονείς που έχουν μικρά παιδιά, αποφάσισα να εγκαινιάσω σ' αυτό το ιστολόγιο μια νέα κατηγορία με θέμα "Μαθηματικά και Παιχνίδι". Ως εκπαιδευτικός και γονέας η ίδια, καταλαβαίνω κάθε δυσκολία που μπορεί να αντιμετωπίζουν τα μικρά παιδιά όσον αφορά τα Μαθηματικά. Σύμφωνα με ακαδημαϊκές έρευνες, όταν ένας γονέας δείχνει ενδιαφέρον και μεράκι (και όχι φόβο-απέχθεια) για τα Μαθηματικά, το παιδί δεν θα δυσκολευτεί να τα κατανοήσει και ίσως αποκτήσει το ίδιο ενδιαφέρον και αυτό. 

Είναι πολύ σημαντικό για τα παιδιά να πάρουν τα Μαθηματικά "με καλό μάτι" από την αρχή και σ' αυτό μπορείτε να τα βοηθήσετε παίζοντας μαζί τους παιχνίδια με αριθμούς. Όταν η κόρη μου ήταν στο στάδιο της πρόσθεσης με τα δάχτυλα (αρχές Α΄ Δημοτικού), είχαμε κάνει μαζί μια διασκεδαστική χειροτεχνία που βοήθησε την μικρή μου μαθήτρια να εμπεδώσει τα αθροίσματα που δεν ξεπερνούν το 10. Ήταν τα "σπιτάκια των αριθμών"...

"Τα σπιτάκια των αριθμών"

Κάθε σπιτάκι είχε στη στέγη του έναν αριθμό από το 1 ως το 10. Έτσι, τα ονομάσαμε ως "το σπιτάκι του 1", "το σπιτάκι του 2", κ.ο.κ. Έπειτα κολλήσαμε μαζί, πάνω σε κάθε σπιτάκι, όλα τα αθροίσματα που έδιναν τον αριθμό της σκεπής. 

    

  

   

Κάθε φορά που κολλούσαμε ένα άθροισμα, λέγαμε φωναχτά την προσθεσούλα για να την εμπεδώσουμε.

Ειδικά, το "σπιτάκι του 10" που περιέχει τα αθροίσματα στο 10 είναι πολύ σημαντικό να το μάθουν τα πιτσιρίκια. Θα μας βοηθήσει αργότερα στην πρόσθεση μεγαλύτερων αριθμών που γίνεται με το "πάτημα στη δεκάδα". Π.χ. για το 8+6, θα "πατήσουμε" στο 10 και θα πούμε: (8+2)+4=10+4=14.

Είναι, λοιπόν, κατά τη γνώμη μου, ένας πολύ διασκεδαστικός τρόπος για τα παιδιά να εμπεδώσουν την πρόσθεση και, σαν χειροτεχνία δεν είναι δύσκολη!

Μπορείτε να την εφαρμόσετε κι εσείς με τα παιδιά σας ή τους μαθητές σας! Η δραστηριότητα αυτή είναι κατάλληλη ακόμη και στην περίπτωση που κάποιο παιδί αντιμετωπίζει ειδικές μαθησιακές δυσκολίες.

• Για την προετοιμασία έχετε να γράψετε σε αρχείο word όλα τα αθροίσματα που δεν ξεπερνούν το 10, καθώς και τους αριθμούς από το 1 ως το 10 σε κάπως μεγαλύτερη γραμματοσειρά. Εναλλακτικά, ζητήστε μου να σας στείλω το δικό μου αρχείο με e-mail! 

• Τυπώστε τους αριθμούς σε απλό ή χρωματιστό χαρτί εκτύπωσης.

Για τη χειροτεχνία θα χρειστείτε:

-Χαρτόνια κάνσον

-Μολύβι

-Χάρακα

-Ψαλίδι

-Κόλλα στικ

Σχεδιάζετε στα χαρτόνια και κόβετε 10 ορθογώνια και 10 τρίγωνα σχήματα για τα σπιτάκια. Κόβετε και τους αριθμούς και τα αθροίσματα που έχετε εκτυπώσει. Έπειτα τα κολλάτε στα σπιτάκια παίζοντας και επαναλαμβάνοντας τις προσθεσούλες! 

Να πω καλό διάβασμα? Θα πω καλό παιχνίδι!!!

  

~*~*~*~*~

Σημείωση: Η παραπάνω ανάρτηση αποτελεί αναδημοσίευση από το παλιό μου ιστολόγιο. Μπορείτε να διαβάσετε την πρωτότυπη ανάρτηση εδώ...

~*~*~*~*~

"Αν οι αριθμοί δεν είναι όμορφοι, δεν ξέρω τι είναι όμορφο".

Paul Erdos (1913 - 1996)

"Kill the Puzzle"

Καλό μήνα σε όλους! Παρακάτω σας έχω μια μαθηματική πρόκληση που βρήκα στο διαδίκτυο... Σας προειδοποιώ πως δεν είναι όσο εύκολη φαίνεται με την πρώτη ματιά, αλλά θέλει προσοχή και παρατηρητικότητα. Θα δοκιμάσετε;;;

KILL THE PUZZLE!!!

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Συμμετρία

Η ισορροπία είναι μια αρχή της σχεδίασης που βασίζεται στο οπτικό βάρος των αντικειμένων. Τα έργα τέχνης γίνονται πιο ελκυστικά όταν τα μέρη τους ισορροπούν και ένας τρόπος για να το πετύχει αυτό ο καλλιτέχνης είναι η συμμετρία. Τι είναι ακριβώς η συμμετρία;

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ

Τα βιβλία γράφουν...

Έστω ότι έχουμε ένα σημείο Α, σημειωμένο σε ένα φύλλο χαρτί. Συμμετρικό σημείου Α ως προς ευθεία ε, είναι το σημείο Α΄, το οποίο, αν διπλώσουμε το φύλλο κατά μήκος της ευθείας ε, θα συμπίπτει με το Α.

Δύο σχήματα λέγονται συμμετρικά ως προς μια ευθεία ε, όταν καθένα αποτελείται από τα συμμετρικά σημεία του άλλου ως προς την ευθεία ε.

Τα συμμετρικά ως προς ευθεία σχήματα είναι ίσα.

Kazuya Akimoto (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Black Bat" (2009)

Kazuya Akimoto (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Autumn Night" (2008)

Roland Rafael Repczuk (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Knowledge" (2001)

Leigh Ann Inskeep-Simpson (Σύγχρονη ζωγράφος και καθηγήτρια καλλιτεχνικών) - "Symmetrical Garden" (2011)

Leigh Ann Inskeep-Simpson (Σύγχρονη ζωγράφος και καθηγήτρια καλλιτεχνικών) - "Looking Out My Back Door" (2011)

Τα βιβλία γράφουν...

Άξονας συμμετρίας σχήματος ονομάζεται η ευθεία που χωρίζει το σχήμα σε δύο μέρη, τα οποία συμπίπτουν όταν διπλωθεί το σχήμα κατά μήκος της ευθείας. Στην περίπτωση αυτή, λέμε ότι το σχήμα έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία αυτή.

Όταν ένα σχήμα έχει άξονα συμμετρίας, το συμμετρικό του ως προς τον άξονα συμμετρίας είναι το ίδιο το σχήμα.

Μαρία Λιναρδάτου (Σύγχρονη ζωγράφος - ιστορικός τέχνης - καθηγήτρια καλλιτεχνικών)
Διδασκαλία της συμμετρίας μέσα από την τέχνη με πεταλούδες

Μαρία Λιναρδάτου (Σύγχρονη ζωγράφος - ιστορικός τέχνης - καθηγήτρια καλλιτεχνικών)
Διδασκαλία δημιουργίας συμμετρικού σχήματος

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

Τα βιβλία γράφουν...

Συμμετρικό σημείου Α ως προς κέντρο Ο, είναι το σημείο Α΄, με το οποίο συμπίπτει το Α, αν περιστραφεί γύρω από το Ο κατά 180º.

Δύο σχήματα λέγονται συμμετρικά ως προς σημείο Ο, όταν κάθε σημείο του ενός είναι συμμετρικό ενός σημείου του άλλου
ως προς το Ο.
Τα συμμετρικά ως προς σημείο σχήματα είναι ίσα.

Brian Sloan (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Roses in Symmetry"

Dona Morgan Greer (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Harmony" (2015)

Τα βιβλία γράφουν...

Κέντρο συμμετρίας σχήματος ονομάζεται ένα σημείο του Ο, γύρω από το οποίο αν περιστραφεί το σχήμα κατά 180º, συμπίπτει με το αρχικό. Στην περίπτωση που υπάρχει τέτοιο σημείο, λέμε ότι το σχήμα έχει κέντρο συμμετρίας το Ο.

Όταν ένα σχήμα έχει κέντρο συμμετρίας, το συμμετρικό του ως προς το κέντρο συμμετρίας είναι το ίδιο το σχήμα.

Kazuya Akimoto (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Golden Baby Twins" (2010)

Πηγές:

• Μαθηματικά Α' Γυμνασίου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2016
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Brian Sloan Paintings
• Dona Morgan
• Kazuya Akimoto
• Leigh Ann Inskeep-Simpson
• Maria Linardatou
• Roland Raphael Repczuk: Symmetrical Surrealism
• wikipedia.org

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Οι ευθείες στο επίπεδο

Συχνά οι καλλιτέχνες χρησιμοποιούν στα έργα τους σχέδια, σημεία, ευθείες και άλλα αντικείμενα. Ο συλλογισμός τους μπορεί να επιτρέψει την απάντηση στα εξής ερωτήματα: Τι είναι ένα σημείο; Τι είναι ευθεία; Τι εννοούμε με τον όρο "παραλληλία"; Ο Wassily Kandinsky (1866 - 1944) ήταν Ρώσος ζωγράφος, ποιητής, δραματουργός και παιδαγωγός, ενώ είχε επίσης σπουδάσει νομική και οικονομικά. Τις πανεπιστημιακές του γνώσεις τις είχε εντάξει στο σχέδιο και στη ζωγραφική του. Από την εμπειρία του ως καθηγητής, άντλησε το υλικό της πραγματείας του "Σημείο - Γραμμή - Επίπεδο" (1925). Ο Kandinsky ορίζει τη γραμμή ως "ένα μοναδικό σημείο που σύρεται πάνω σε μια σελίδα".

Στο πλαίσιο του project "Μαθηματικά και Τέχνη", μαθαίνουμε σήμερα, μέσα από την τέχνη, για τις ευθείες στο επίπεδο...

ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Τα βιβλία γράφουν...

Δύο διαφορετικές ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή θα είναι παράλληλες, ή θα τέμνονται.

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

Kazimir Malevich (1878 - 1935) - "Red Cavalry Parallels"

James Charles (σύγχρονος ζωγράφος) - "Straight Lines"

Ellsworth Kelly (1923 - 2015) - "Spectrum IV" (1967)

Joanne Mattera (σύγχρονη ζωγράφος)

Joanne Mattera (σύγχρονη ζωγράφος)

Sol LeWitt (1928 - 2007) - "Bands of Color in Four Directions"

Antonio Saporito (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Parallel Lines"

Varvara Stepanova (1854 - 1958) - "Textile"

Όπυ Ζούνη (1941-2008) - "Φράχτης"

Τα βιβλία γράφουν...

Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου λέγονται παράλληλες, αν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, όσο κι αν προεκταθούν.

ΤΕΜΝΟΜΕΝΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

Lyubov Popova (1889 - 1924) - "Space Force Construction" (1922)

Aleksandr Rodchenko (1891 - 1956) - "Non Objective Painting (Line)" (1919)

Τα βιβλία γράφουν...

Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που έχουν ένα κοινό σημείο ονομάζονται τεμνόμενες. Το κοινό τους σημείο λέγεται σημείο τομής των δύο ευθειών.

ΚΑΘΕΤΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

Sol LeWitt (1928 -2007) - "Centre"

Frank Stella (γεν. 1936) - "Hyena Stomp" (1962)

Piet Mondrian (1872 - 1944) - "Composition with Red, Yellow and Blue" (1942)

Slavomir Zombek (Σύγχρονος ζωγράφος) - "The Golden Ratio No 09"

Τα βιβλία γράφουν...

Δύο ευθείες είναι κάθετες, όταν οι γωνίες που σχηματίζουν αυτές τεμνόμενες,  είναι ορθές.

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Τα μάτια συλλαμβάνουν τους πιο λεπτούς μαθηματικούς λογισμούς παρά τις παραμορφώσεις της προοπτικής. Εκεί έγκειται ένα από τα μυστικά της μελαγχολικής ομορφιάς ορισμένων πινάκων".
Salvador Dali

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

Πηγές:

• Μαθηματικά Α' Γυμνασίου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2016
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• wikipedia.org

Περί του χρυσού αριθμού «φ»... (Μέρος 2º - Ο αριθμός «φ», πανταχού παρών!)

«Όλη η ζωή είναι βιολογία

Όλη η βιολογία είναι φυσιολογία

Όλη η φυσιολογία είναι χημεία

Όλη η χημεία είναι φυσική

Όλη η φυσική είναι μαθηματικά».

Dr. Stephen Marquardt

Μελέτες σε πολλούς κλάδους όπως η Βιολογία, η Βοτανολογία και η  Ζωολογία δείχνουν πως ο σχεδιασμός της ζωής βασίζεται σε έναν «χρυσό κανόνα»… Σχεδόν παντού μπορεί να εντοπιστεί ο χρυσός αριθμός φ και η ακολουθία Fibonacci που διαβάσατε εδώ … Υπενθυμίζουμε ότι αριθμός φ ισούται περίπου με 1,61803398874989484... και η ακολουθία Fibonacci είναι η εξής: 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 114, 233, 377, 610...

Ο ΑΡΙΘΜΟΣ φ ΣΤΗ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΣΤΑ ΦΥΤΑ

Τα φυτά «κρύβουν» την ακολουθία Fibonacci στον αριθμό ή στη διάταξη των φύλλων, των πετάλων, των κλαδιών ή των σπόρων. Φυσικά και δε γνωρίζουν για την ακολουθία Fibonacci - απλά μεγαλώνουν με τον πιο αποτελεσματικό τρόπο.

Για παράδειγμα, στην κυκλική διάταξη της στεφάνης του τριαντάφυλλου, τα πέταλα διατάσσονται όπως τα σκαλοπάτια μιας ελικοειδούς σκάλας. Η γωνία ανάμεσα σε 2 πέταλα είναι περίπου 222,5 μοίρες. Αν διαιρέσουμε τις 360 μοίρες του κύκλου με τον αριθμό 222,5, το πηλίκο είναι, κατά μεγάλη προσέγγιση, ο αριθμός φ = 1,618... Αυτό δεν είναι τυχαίο... Σύμφωνα με μετρήσεις, σ’ αυτήν ακριβώς τη γωνία των 222,5 μοιρών, τα φύλλα των φυτών ρίχνουν την ελάχιστη δυνατή σκιά το ένα στο άλλο.

Επιπλέον, σε κάθε σειρά πετάλων, υπάρχουν συνήθως είτε 5, είτε 8, είτε 13 πέταλα.

Στη φωτογραφία παρακάτω βλέπουμε μια μικρή μαργαρίτα. Στο κέντρο του λουλουδιού σχηματίζονται σπείρες, σύμφωνα με τη ακολουθία Fibonacci.

Υπάρχουν 21 σκούρες μπλε σπείρες και 13 γαλάζιες σπείρες. Το 13 και το 21 είναι διαδοχικοί αριθμοί στην ακολουθία Fibonacci. Παρόμοιες διατάξεις εμφανίζουν πολλά ακόμη άνθη...

Οι σπόροι του ηλίανθου κατανέμονται κυκλικά. Η σπείρα είναι προς τα έξω ενώ έχει διπλή κατεύθυνση, δηλαδή και όπως κινούνται οι δείκτες του ρολογιού και αντίστροφα από το κέντρο του λουλουδιού.  

Ο αριθμός των σπειρών στο κάθε φυτό δεν είναι ίδιος. Γιατί  γενικά είναι είτε 21 και 34, είτε 34 και 55, είτε 55 και 89, ή 89 και 144; Ο αριθμός των σπειρών ενός ηλίανθου και προς τις δύο κατευθύνσεις είναι δύο διαδοχικοί αριθμοί στην ακολουθία Fibonacci. 

Αν μετρήσει κανείς τα πέταλα ενός λουλουδιού, θα διαπιστώσει ότι ο αριθμός τους είναι συχνά 3, 5, 8, 13, 21, 34 ή ακόμα και 55 ή 89. 

Για παράδειγμα, μπορούμε να μετρήσουμε στις μαργαρίτες 13, 21, 34, 55, ή και 89 πέταλα. Οι κοινές μαργαρίτες του αγρού έχουν συνήθως 34 πέταλα. Ο κρίνος έχει 3 πέταλα,  η νεραγκούλα έχει 5  κ.λπ. 

Έχει παρατηρηθεί ότι η ακολουθία Fibonacci εμφανίζεται στη φυλλοταξία πολλών φυτών.

Η ακολουθία Fibonacci εμφανίζεται και στις βελόνες αρκετών ειδών έλατου, στα φύλλα της λεύκας, της κερασιάς, της μηλιάς, της δαμασκηνιάς, της βελανιδιάς και της φιλύρας. Τη βλέπουμε στην επιφάνεια των κορμών των κωνοφόρων δέντρων, στους δακτύλιους των κορμών των φοινικόδεντρων και των κουκουναριών.

Όλα τα κουκουνάρια αναπτύσσονται σε σπείρες, ξεκινώντας από τη βάση όπου ήταν ο μίσχος, και πηγαίνοντας κυκλικά μέχρι να φτάσουμε στην κορυφή.

Συναντάμε την έλικα Fibonacci στο σχήμα της αλόης της πολύφυλλου, της αγκινάρας, του κουνουπιδιού,  του ανανά και πολλών άλλων φυτών, καρπών και λαχανικών.

Τέλος, παρατηρήστε τις αποστάσεις ανάμεσα στα κουκούτσια της μπανάνας και του μήλου. Μπορεί να περιμένατε συμμετρία στη φύση, αλλά αν κόψετε στη μέση ένα φρούτο ή λαχανικό, πιθανόν να ανακαλύψετε την ακολουθία Fibonacci…

Ο ΑΡΙΘΜΟΣ φ ΣΤΟ ΖΩΙΚΟ ΒΑΣΙΛΕΙΟ

Το κέλυφος των σαλιγκαριών ακολουθεί και αυτό την ακολουθία Fibonacci. Το ίδιο και το κέλυφος του ναυτίλου.

Η μόνη διαφορά μεταξύ των δύο είναι ότι το κέλυφος του ναυτίλου αναπτύσσεται σε τρισδιάστατες σπείρες, ενώ το κέλυφος των σαλιγκαριών αναπτύσσεται σε δισδιάστατες σπείρες.

ΠΑΡΘΕΝΟΓΕΝΕΣΗ ΣΤΟ ΜΕΛΙΣΣΙ

Μπορεί τα κουνέλια του Fibonacci να αποτελούν μια εξιδανικευμένη υπόθεση, αλλά μπορούμε να αναζητήσουμε κάποιο υπαρκτό παράδειγμα της ακολουθίας Fibonacci στη φύση. Και θα το βρούμε στο γενεαλογικό δέντρο κάθε κηφήνα σε ένα μελίσσι! Το εν λόγω έντομο, σε αντίθεση με τη βασίλισσα και τις εργάτριες, γεννιέται από ένα μη γονιμοποιημένο αβγό της βασίλισσας, δηλαδή έχει μητέρα αλλά όχι πατέρα. Επομένως το γενεαλογικό δέντρο του κηφήνα διαμορφώνεται ως εξής: Έχει 1 μητέρα, 2 παππούδες (αρσενικό και θηλυκό), 3 προπαππούδες (2 από την οικογένεια της γιαγιάς και 1 του παππού), 5 προ-προπαππούδες, 8 προ- προ-προπαππούδες κ.ο.κ. Το γενεαλογικό δέντρο του κηφήνα είναι μια ακολουθία Fibonacci!

Ο Leonardo de Pisa ή Fibonacci έζησε κοντά στην πόλη της Bejaia, η οποία αποτελούσε ένα σημαντικό εξαγωγέα κεριού την εποχή του Fibonacci (από εκεί προέρχεται και η γαλλική εκδοχή του ονόματος της πόλης αυτής, “bougie”, που σημαίνει" κερί "στα γαλλικά). Μια πρόσφατη μαθηματικο-ιστορική ανάλυση της περιόδου και της περιοχής στην οποία έζησε ο Fibonacci προτείνει ότι στην πραγματικότητα οι μελισσοκόμοι της Bejaia και οι γνώσεις τους σχετικά με την αναπαραγωγή των μελισσών αποτέλεσαν την πηγή έμπνευσης της ακολουθίας Fibonacci και όχι το ευρύτερα ίσως γνωστό μοντέλο της αναπαραγωγής κουνελιών.

Και όχι μόνο αυτό. Το 1966, ο Νταγκ Γιανέγκα από το Μουσείο Έρευνας στην εντομολογία του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνια, ανακάλυψε ότι η αναλογία ανάμεσα σε εργάτριες μέλισσες και κηφήνες σε ένα μελίσσι προσεγγίζει πάντα τον αριθμό φ. 

Η παραπάνω πεταλούδα έχει στα φτερά της σημάδια που μοιάζουν με μάτια, τα οποία βρίσκονται στις χρυσές τομές των γραμμών που δείχνουν το μήκος και το πλάτος της. 

Ο κατάλογος στο ζωικό βασίλειο είναι ατελείωτος: το φ εμφανίζεται στα κέρατα του κριού, στο σώμα του δελφινιού, στον αστερία, στο σώμα και στα πόδια εντόμων όπως η αράχνη και το μυρμήγκι…

Ο ΑΡΙΘΜΟΣ φ ΣΤΟΝ ΜΙΚΡΟΚΟΣΜΟ

Ακόμα και πολλά από τα πιο μικρά σωματίδια στη φύση φαίνεται ότι διατάσσονται σύμφωνα με τη χρυσή αναλογία.

Πριν από λίγα χρόνια, Ελβετοί και Αμερικανοί επιστήμονες μελετούσαν τους λεγόμενους ημικρυστάλλους, οι οποίοι έχουν πολύ ιδιαίτερη δομή σε επίπεδο ατόμων. Η επιφάνειά τους αποτελείται από έδρες με δύο διαφορετικά ύψη. Όταν τα ύψη αυτά μετρήθηκαν μ’ ένα ακριβέστατο μικροσκόπιο σάρωσης σήραγγας (STM), οι ερευνητές έκπληκτοι ανακάλυψαν ότι ο λόγος του μεγαλύτερου ύψους προς το μικρότερο είναι φ = 1,618... 

Η θεωρία των ερευνητών είναι ότι ο κρύσταλλος έχει τη μεγαλύτερη σταθερότητα, όταν υπάρχει αυτή ακριβώς η σχέση. 

(Συνεχίζεται...)

Πηγές:

Περιοδικό Focus

goldennumber.net

wikipedia.org