Διαθέτουμε συρματόπλεγμα μήκους 240 μ. και θέλουμε να περιφράξουμε με αυτό ένα χωράφι σε σχήμα ορθογωνίου. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του χωραφιού, ώστε να περιφράξουμε τη μεγαλύτερη δυνατή έκταση;
"Στον κόσμο δεν συμβαίνει τίποτε, του οποίου η σημασία να μη συμπίπτει με εκείνη κάποιου μεγίστου ή ελαχίστου".Leonard Euler (1707 - 1783)
Αφού η περίμετρος του ορθογώνιου χωραφιού είναι σταθερή (240 μ) το μεγαλύτερο εμβαδόν έχει το τετράγωνο ίσης περιμέτρου, δηλαδή το τετράγωνο πλευράς 240/4=60 μ. και άρα εμβαδού 3600 μ^2
ΑπάντησηΔιαγραφήΑκριβώς Ευθύμη, ευχαριστώ για την απάντηση!
ΔιαγραφήΑχ μαθηματικοί με την ευλογημένη σας παρουσία και την πρακτική σας χρησιμότητα. Λατρεύω τη γεωμετρία και το ξέρεις.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαλά Χριστούγεννα καλή μου φίλη.
Να είσαι καλά Γιάννη μας! Η αλήθεια είναι πως κάτι έχω υποψιαστεί...χαχαχα! Με υγεία να σε βρουν τα Χριστούγεννα!!!
ΔιαγραφήTέτοιου είδους προβλήματα λέγονται ισοπεριμετρικά προβλήματα. Το κλασικό ισοπεριμετρικό πρόβλημα για το επίπεδο λέει ότι: Έστω L ένας θετικός αριθμός. Από όλες τις κλειστές καμπύλες του επιπέδου με μήκος L η καμπύλη που περικλείει το μέγιστο εμβαδόν είναι ο κύκλος ακτίνας L/(2*π).
ΑπάντησηΔιαγραφήΜε αφαίρεση έχουν ανακαλυφθεί ισοπεριμετρικές ανισότητες σε πιο αφηρημένους χώρους, στην Ανάλυση και υπάρχουν ακόμα πιο γενικά ισοπεριμετρικά προβλήματα στη Γεωμετρική Θεωρία Μέτρου. Kαι άλλα όμορφα θέματα όπως το Double Bubble Conjecture, μια εικασία που έχει αποδειχθεί.
Με πήγες χρόνια πίσω τώρα... όταν φοιτούσα στο Μαθηματικό!!!
ΔιαγραφήΈχω: x,y οι διαστάσεις με x+y=120, άρα από AM-GM παίρνω xy(max)=3.600m^2
ΑπάντησηΔιαγραφήAM-GM:x+y≥2∙√xy
ΑπάντησηΔιαγραφήΈτσι είναι xy≤3.600
ΑπάντησηΔιαγραφή