Γιατί ο περιοδικός δεκαδικός 0,999... ισούται με 1;

Στην ταινία γερμανικής παραγωγής "Στο γραφείο των καθηγητών" (Das Lehrerzimmer, 2023), η δασκάλα θέτει το εξής πρόβλημα στους δωδεκάχρονους μαθητές της:

Ο περιοδικός δεκαδικός αριθμός $0,\overline{9}=0,999...$ (άπειρα εννιάρια) ισούται ή όχι με το $1$;

Οι περισσότεροι μαθητές πιστεύουν ότι υπάρχει αριθμός μεταξύ του 0,999... και του 1. Μετά από συζήτηση, ο Όσκαρ γράφει στον πίνακα την εξής απάντηση:

Γνωρίζω ότι

$$\frac{1}{9}=1:9=0,111...$$

Έτσι,

$$0,\overline{1}=\frac{1}{9}$$

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της ισότητας με 9, παίρνουμε:

$$0,\overline{9}=9\cdot \frac{1}{9}$$

άρα

$$0,\overline{9}=1$$

Η εξήγηση βασίζεται στο ότι τα εννιάρια στον περιοδικό δεκαδικό 0,999... είναι άπειρα. Δείτε παρακάτω τη μαθηματική απόδειξη.

Θέτουμε $x=0,999...(1)$

Πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη της ισότητας με 10, οπότε $10x=9,999...(2)$

Αφαιρούμε κατά μέλη τις ισότητες, $(2)-(1)$ και έχουμε 

$10x-x=9,999...-0,999...\iff$

$9x=9\iff$

$x=1$

Άρα $0,999...=1$.