Γιατί ο περιοδικός δεκαδικός 0,999... ισούται με 1;

Στην ταινία γερμανικής παραγωγής "Στο γραφείο των καθηγητών" (Das Lehrerzimmer, 2023), η δασκάλα θέτει το εξής πρόβλημα στους δωδεκάχρονους μαθητές της:

Ο περιοδικός δεκαδικός αριθμός \(0,\bar{9}=0,999...\) (άπειρα εννιάρια) ισούται ή όχι με το \(1\);

Οι περισσότεροι μαθητές πιστεύουν ότι υπάρχει αριθμός μεταξύ του 0,999... και του 1. Μετά από συζήτηση, ο Όσκαρ γράφει στον πίνακα την εξής απάντηση:

Γνωρίζω ότι

\[ \frac{1}{9} = 1:9 = 0,111... \]

Έτσι,

\[0,\bar{1}=\frac{1}{9}\]

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της ισότητας με 9, παίρνουμε:

\[ 0,\bar{9}=9 \cdot \frac{1}{9}\]

άρα

\[ 0,\bar{9}=1\]

Η εξήγηση βασίζεται στο ότι τα εννιάρια στον περιοδικό δεκαδικό 0,999... είναι άπειρα. Δείτε παρακάτω τη μαθηματική απόδειξη.

Θέτουμε \( x=0,999... (1) \)

Πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη της ισότητας με 10, οπότε \( 10x=9,999... (2) \)

Αφαιρούμε κατά μέλη τις ισότητες, \( (2)-(1) \) και έχουμε 

\( 10x - x = 9,999... - 0,999... \Leftrightarrow \)

\( 9x = 9 \Leftrightarrow \)

\( x = 1 \)

Άρα \( 0,999...  = 1 \).