Καλώς ήρθατε! Μην περιμένετε να βρείτε φυλλάδια με ασκήσεις μαθηματικών εδώ... Σκοπός του blog "εις το άπειρον" είναι να προσεγγίσει τη μαθηματική γνώση ελεύθερα και με διασκεδαστικό τρόπο, χωρίς τα όρια των σχολικών τάξεων.
Καλώς ήρθατε! Μην περιμένετε να βρείτε φυλλάδια με ασκήσεις μαθηματικών εδώ... Σκοπός του blog "εις το άπειρον" είναι να προσεγγίσει τη μαθηματική γνώση ελεύθερα και με διασκεδαστικό τρόπο, χωρίς τα όρια των σχολικών τάξεων.
Φωτεινή καλησπέρα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο άθροισμα των εμβαδών των τριών τετραγώνων ισούται με 25 τετραγωνικές μονάδες.
Το κλειδί εδώ είναι ότι το συνολικό μήκος της βάσης είναι 5 μονάδες,
Σε τέτοιου τύπου σχήματα ισχύει ένα γνωστό γεωμετρικό αποτέλεσμα:
«Το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που εφάπτονται σε ημικύκλιο ισούται με το εμβαδό του τετραγώνου που έχει πλευρά τη διάμετρο.»
Άρα έχουμε:
Eολ=5^2=25
Καλησπέρα Κάρλο! Δεν είναι σωστό.
Διαγραφή(Προσπαθώ να καταλάβω αν είναι κάτι που θυμάσαι μισο-σωστά-μισο-λάθος, οπότε αν μπορείς στείλε στο mail φωτογραφία ή γράψε εδώ για να βγάλω άκρη)
Φωτεινή, καλησπέρα.
ΔιαγραφήΈχεις δίκιο. Το σωστό είναι:
Eολ=5^2/2=25/2=12,50 τετραγωνικές μονάδες.
Έστω α, β και γ οι πλευρές των τριών τετραγώνω αντίστοιχα.
• α για το μπεζ τετράγωνο.
• Β για το πράσινο τετράγωνο.
• γ για το γαλάζιο τετράγωνο.
Από τη βάση του σχήματος, βλέπουμε ότι το συνολικό μήκος είναι 5 μονάδες.
Άρα:
α+β= 5 μονάδες
Το ημικύκλιο έχει διάμετρο 5 μονάδες, άρα η ακτίνα έχει μήκος α=2,50 μονάδες.
Αν τοποθετήσουμε το σχήμα σε ένα σύστημα συντεταγμένων με την αρχή (0,0) στο κέντρο της βάσης του ημικυκλίου (στο μέσο του τμήματος μήκους 5 μονάδων) έχουμε:
• Η εξίσωση του ημικυκλίου είναι:
x^2+y^=2,50^2
• Το σημείο όπου εφάπτονται το μεσαίο και το μεγάλο τετράγωνο βρίσκεται στον άξονα y αν α=β, αλλά εδώ είναι α≠β.
Ωστόσο, υπάρχει μια πιο άμεση γεωμετρική ιδιότητα για τέτοια σχήματα. Το σημείο επαφής των τετραγώνων με το ημικύκλιο (η πάνω αριστερή γωνία του μικρού τετραγώνου και η πάνω δεξιά του μεγάλου) μας δείχνει ότι:
• Το ύψος του μεγάλου τετραγώνου δεξιά (μπεζ) είναι: α.
• Το συνολικό ύψος των δύο τετραγώνω αριστερά (πάσινο και γαλάζιο) είναι: β+γ.
Από τη δύναμη σημείου ή το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ημικύκλιο, προκύπτει ότι για να "χωράνε" έτσι τα τετράγωνα, η σχέση που συνδέει τις πλευρές τους με τη διάμετρο δ=5 οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το άθροισμα των εμβαδών τους είναι σταθερό.
Το ζητούμενο είναι το άθροισμα των εμβαδών: Ε=α^2+β^2+γ^2
Σε αυτό το κλασικό πρόβλημα γεωμετρίας, αποδεικνύεται ότι το άθροισμα των εμβαδών των τριών τετραγώνων ισούται με το τετράγωνο της ακτίνας επί μια σταθερά ή σχετίζεται άμεσα με τη διάμετρο. Συγκεκριμένα:
• Αν θεωρήσουμε τη διάμετρο ΑΒ=5 μονάδες
• Το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που εγγράφονται με αυτόν τον τρόπο σε ημικύκλιο ισούται με:
Ε=(α+β)^2/2
(Σημείωση: Λόγω της συμμετρίας και των ιδιοτήτων του ορθογωνίου τριγώνου που σχηματίζεται με την ακτίνα).
Με α+β=5 μονάδες έχουμε:
Ε=(α+β)^2/2 === Ε=5^2/2 === Ε=25/2 === Ε=2,50 μονάδες ο.ε.δ.
Ελπίζω τώρα, να είναι σωστό!!
ΑπάντησηΔιαγραφήΞεκινάς σωστά αλλά μετά το χάνεις. Σωστή η σκέψη να ονομάσεις α την πλευρά του μπεζ τετραγώνου και β την πλευρά του πρασινου-λαχανί. Τότε η πλευρά του γαλάζιου-σμαραγδί θα ισούται με α-β οπότε έχουμε 2 άγνωστους. Επίσης από το σχήμα ισχύει α+β=5✅
ΑπάντησηΔιαγραφήΧρειαζόμαστε άλλη μία σχέση μεταξύ των α και β ώστε μετά να λύσουμε σύστημα.
Σωστά παρατηρείς ότι έχουμε ημικύκλιο αλλά πρέπει να το αξιοποιήσουμε με σωστό τρόπο. Τα τετράγωνα ΔΕΝ είναι εγγεγραμμένα. Τι γνωρίζουμε όμως για μια εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο ;
...
Δίνω χρόνο να το συνεχίσετε όσοι το προσπαθείτε και θα επανέλθω!
Καλησπέρα! Η διάμετρος του κύκλου είναι 5 , επομένως η ακτίνα θα είναι 2,5. Αν ενώσω το κέντρο με οποιοδήποτε σημείο στην καμπύλη , εκεί που ακουμπάνε οι γωνίες των τετραγώνων σχηματίζεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο .
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω πως ένα τετράγωνο έχει πλευρά y και η απόσταση της βάσης του από το κέντρο είναι x. Από το πυθαγόρειο θεώρημα θα ισχύει : x^2 + y^2 =R^2
-> x^2 + εμβαδόν τρίγωνου =2,5^2 ->
x^2 +E= 6,25.
Στο σχήμα οι κορυφές των τριών τετραγώνων μοιράζονται την απόσταση της διαμέτρου . Λόγω της συμμετρίας του κύκλου και ο τρόπος που εφάπτονται τα τετράγωνα , οι αποστάσεις x και y αλληλοσυμπληρώνονται . Ετσι , το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που καλύπτουν την διάμετρο ενός ημικύκλιου θα ισούται με 2*R^2.
Ε(συνολικό)=2*R^2->
Ε(συνολικό)=2*(2,5)^2->
Ε(συνολικό)=2*6,25=12,5
Φωτεινή καλημέρα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤελικά ποια είναι η σωστή λύση η δικιά μου ή η δικιά σου; Ανωτέρω ο Ανώνυμος δίνει ως λύση αυτή που έδωσα κι' εγώ.
Καλημέρα! Θα ήθελα να ενημερώσω πως εγώ έγραψα απλά την επίλυση του προβλήματος χωρίς να διαβάσω τα υπόλοιπα σχόλια . Με συγχωρείς αν νόμιζες ότι αντέγραψα την απάντηση σου αλλά δεν το έκανα , διότι δεν το είδα! Ευχαριστώ πολύ
ΔιαγραφήΚαλησπέρα! Σ' ευχαριστώ για τη διευκρίνιση. Το εκτιμώ πολύ. Καταλαβαίνω ότι δεν το αντέγραψες. Το ερώτημά μου αφορά τη διευκρίνιση για τις δύο λύσεις από την υπεύθυνη της ιστοσελίδας Φωτεινή Κουζούμη και τις δύο δικές μας..
ΔιαγραφήΕυχαριστώ για τα σχόλιά σας! Θα ανεβάσω τη σωστή λύση με την πρώτη ευκαιρία👩🏻🏫📚
Διαγραφή