'Εκθεση Μαθηματικής Τέχνης 2020

Πολλοί κατανοούν τα μαθηματικά μέσω της τέχνης, αλλά και πολλοί άλλοι βλέπουν την τέχνη που υπάρχει σε μια μαθηματική έννοια... Μαθηματικοί και καλλιτέχνες συνεχίζουν να δημιουργούν δυνατά, εντυπωσιακά έργα με ποικίλα μέσα και τεχνικές, εξερευνώντας την οπτικοποίηση των μαθηματικών.

Πραγματοποιήθηκε η φετινή Έκθεση Μαθηματικής Τέχνης στο Denver των Η.Π.Α., με αξιόλογα έργα τέχνης εμπνευσμένα από την επιστήμη των μαθηματικών: Όμορφα γλυπτά, κεραμικά, υφαντά, οριγκάμι, ψηφιακά τυπωμένα έργα, τρισδιάστατες εκτυπώσεις, πίνακες ζωγραφικής και άλλα εικαστικά έργα που δημιουργήθηκαν από καλλιτέχνες αλλά και μαθηματικούς...

Lisa Shier

David Bachman

Ellie Baker

Dick A. Termes

Mark Donohue

Απολαύστε περισσότερα έργα μαθηματικής τέχνης από την εν λόγω έκθεση πατώντας εδώ...

Περισσότερα στιγμιότυπα από τη νέα... υβριδική εκπαίδευση!

Νέες δυνατότητες προσφέρει το Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων στους μαθητές!

Ξενοδοχείο "Το Άπειρον"

Το 1924, ο David Hilbert εισήγαγε ένα νοητικό πείραμα που αναδεικνύει τις παράδοξες ιδιότητες του απείρου, καθιστώντας φανερό το πόσο δύσκολο είναι για το... πεπερασμένων δυνατοτήτων μυαλό των ανθρώπων να συλλάβει την έννοια του απείρου.

Φανταστείτε ότι είστε ρεσεψιονίστας στο ξενοδοχείο "Το Άπειρον", ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια. Ένα βράδυ, και ενώ όλα τα δωμάτια είναι κατειλημμένα, ένας πελάτης μπαίνει στο ξενοδοχείο. Μπορείτε να του βρείτε δωμάτιο; 

Σύμφωνα με τον Hilbert, ο ρεσεψιονίστας μπορεί να βρει δωμάτιο στον νέο πελάτη! Πώς;

Θα ζητήσει από αυτόν που μένει στο δωμάτιο 1 να μεταφερθεί στο δωμάτιο 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 2 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 3.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 3 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 4 κ.ο.κ.
...
Αυτός που μένει στο δωμάτιο ν θα μεταφερθεί στο δωμάτιο ν+1.
Έτσι όλοι οι πελάτες έχουν βολευτεί και το δωμάτιο 1 είναι ελεύθερο για τον νέο πελάτη.

Το επόμενο βράδυ, και ενώ όλα τα δωμάτια είναι ακόμη κατειλημμένα, φτάνει στο ξενοδοχείο "Το Άπειρον" ένα λεωφορείο με 50 επιβάτες, που θέλουν να διανυκτερεύσουν στο ξενοδοχείο. Τι θα κάνει ο ρεσεψιονίστας;

Θα ζητήσει από αυτόν που μένει στο δωμάτιο 1 να μεταφερθεί στο δωμάτιο 51.

Αυτός που μένει στο δωμάτιο 2 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 52 κ.ο.κ.
...
Αυτός που μένει στο δωμάτιο ν θα μεταφερθεί στο δωμάτιο ν+50.
Έτσι θα μείνουν ελεύθερα τα 50 πρώτα δωμάτια.


Αφού υπάρχουν άπειρα δωμάτια, υπάρχουν πάντα δωμάτια για νέους φιλοξενούμενους. Αλλά το επόμενο βράδυ, και ενώ όλα τα δωμάτια είναι ακόμη κατειλημμένα, φτάνει στο ξενοδοχείο "Το Άπειρο" ένα λεωφορείο με άπειρους επιβάτες, που θέλουν να διανυκτερεύσουν στο ξενοδοχείο. Ο ρεσεψιονίστας τα χάνει.

Ο Hilbert προτείνει τώρα το εξής:
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 1 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 2 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 4.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 3 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 6 κ.ο.κ.
...

Αυτός που μένει στο δωμάτιο ν θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 2ν.

Έτσι, οι άπειροι ένοικοι του ξενοδοχείου γεμίζουν μόνο τα δωμάτια με άρτιο αριθμό (που είναι άπειρα σε πλήθος), ενώ τα δωμάτια με περιττό αριθμό (επίσης άπειρα) μένουν ελεύθερα για τους νέους, άπειρους πελάτες.

Το κλειδί για την κατανόηση αυτού του παραδόξου είναι πως οι φυσικοί αριθμοί είναι άπειροι σε πλήθος, όπως άπειροι είναι και οι άρτιοι και περιττοί αριθμοί, οι οποίοι μαζί απαρτίζουν τους φυσικούς.


Ένα βράδυ, ενώ τα δωμάτια του ξενοδοχείου είναι ακόμη όλα κατειλημμένα, φτάνει στην είσοδο μια άπειρη ουρά με απείρως μεγάλα τουριστικά λεωφορεία, με άπειρους επιβάτες στο καθένα. Ο ρεσεψιονίστας προς στιγμήν απελπίζεται.

Ευτυχώς, ο Ευκλείδης γύρω στο 300 π.Χ. είχε αποδείξει πως υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Οι πρώτοι αριθμοί είναι: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... και είναι άπειροι σε πλήθος. Έτσι, χρησιμοποιώντας τους πρώτους αριθμούς, ο ρεσεψιονίστας μπορεί πάλι να βρει δωμάτιο στους νέους πελάτες:

Ξεκινάμε με τις δυνάμεις του μικρότερου πρώτου αριθμού, του 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 1 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 2¹ = 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 2 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 2² = 4.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 3 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 2³ = 8 κ.ο.κ.
...
Αυτός που μένει στο δωμάτιο ν θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 2^ν.

Έπειτα ο ρεσεψιονίστας φωνάζει τους επιβάτες του πρώτου λεωφορείου και τους τοποθετεί στα δωμάτια που είναι δυνάμεις του επόμενου πρώτου αριθμού, του 3.
Αυτός που καθόταν στη θέση 1 του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 3¹ = 3.
Αυτός που καθόταν στη θέση 2 του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 3² = 9 κ.ο.κ.
..
Αυτός που καθόταν στη θέση ν του λεωφορείου, θα μείνει  στο δωμάτιο 3^ν.

Για τους επιβάτες του δεύτερου λεωφορείου, θα χρησιμοποιήσουμε τις δυνάμεις του 5.

Αυτός που καθόταν στη θέση 1 του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 5¹ = 5.
Αυτός που καθόταν στη θέση 2 του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 5² = 25 κ.ο.κ.
..
Αυτός που καθόταν στη θέση ν του λεωφορείου, θα μείνει  στο δωμάτιο 5^ν.

Όμοια, οι επιβάτες του τρίτου λεωφορείου θα διαμείνουν στα δωμάτια που είναι δυνάμεις του 7.
Οι επιβάτες του επόμενου λεωφορείου θα διαμείνουν στα δωμάτια που είναι δυνάμεις του 11.
Συνεχίζουμε με τις δυνάμεις του 13, τις δυνάμεις του 17 κ.ο.κ.

Αφού καθένας από τους προηγούμενους αριθμούς είναι δύναμη με βάση έναν πρώτο αριθμό και εκθέτη έναν φυσικό αριθμό, είναι όλοι διαφορετικοί μεταξύ τους. Επομένως, δεν θα βρεθούν δύο διαφορετικοί ένοικοι στο ίδιο δωμάτιο. (Αν και πολλά δωμάτια, όπως το 1, το 6 ή το 10 θα μείνουν άδεια έτσι!!!)

Αυτό που χρειάζεται να κατανοήσουμε εδώ, είναι πως οι φυσικοί αριθμοί είναι άπειροι σε πλήθος, όπως άπειροι σε πλήθος είναι και οι πρώτοι αριθμοί, παρόλο που αποτελούν γνήσιο υποσύνολο των φυσικών. Όμως τα σύνολα των φυσικών, των πρώτων, αλλά και των αρτίων και των περιττών αριθμών, αν και άπειρα, είναι αριθμήσιμα. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να γίνει κάποιου είδους "καταμέτρηση" των φυσικών αριθμών. Αυτό είναι το πιο "απλό" άπειρο. Έτσι ο ρεσεψιονίστας μπορεί να διαχειριστεί τα άπειρα δωμάτια.

Αν κάποτε μείνετε στο ξενοδοχείο "Το Άπειρον", θα μπορέσετε να βγάλετε άκρη με το παράδοξο αυτό. Αλλά ίσως σας ξυπνήσει ο ρεσεψιονίστας τα ξημερώματα για να σας αλλάξει δωμάτιο...

Πηγές:

• Πανεπιστημιακές σημειώσεις "Θεωρίας Συνόλων" καθηγητή Θ.Βιδάλη, 2011
• TED Ed: The Infinite Hotel Paradox by Jeff Dekofsky
• Wikipedia: Hilbert's paradox of the Grand Hotel

Στιγμιότυπα από τη νέα... υβριδική εκπαίδευση...

Γρίφος: Αριθμοί σε κύκλους

Τα διακεκομμένα κόκκινα βέλη υποδηλώνουν πρόσθεση. Τα έντονα μπλε βέλη υποδηλώνουν πολλαπλασιασμό. Ποιος αριθμός πρέπει να μπει στη θέση του ερωτηματικού;

(Πηγή)

Στο μεταξύ, στην Ελλάδα του κορωνοϊού...

Προχωρά με επιτυχία η βιντεοσκόπηση των μαθημάτων στις σχολικές αίθουσες.

Μετά τη διευθέτηση του -κατά τα άλλα παράλογου- ζητήματος περί προστασίας προσωπικών δεδομένων, νέα, πιο ουσιώδη ερωτήματα βασανίζουν την εκπαιδευτική κοινότητα: Θα υπάρχει διαθέσιμη πούδρα για όλους τους εκπαιδευτικούς, ή θα γυαλίζει το μέτωπό μας στα βίντεο; Χορηγοί θα υπάρξουν; Πώς θα εμφανιζόμαστε κάθε μέρα με το ίδιο συνολάκι! Τέλος, θα διεξάγεται και ψηφοφορία τύπου Big Brother; Δηλαδή, όποιος κάνει βαρετό μάθημα, θα αποχωρεί;;;

Μέχρι να λυθούν και τα ανωτέρω ζητήματα, παρακολουθήστε ζωντανά το μάθημα των Μαθηματικών της Β' Γυμνασίου.

ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ!

Προβλήματα με τον ήχο κατά τη βιντεοσκόπηση των μαθημάτων σου; Τώρα, σου έχουμε τη λύση:
Ο νέος μαρκαδόρος-μικρόφωνο!
Γράφεις με τον μαρκαδόρο στον πίνακα, ενώ ταυτόχρονα μιλάς με το ενσωματωμένο ασύρματο* μικρόφωνο.

Μαρκαδόρος-μικρόφωνο! Το gadget που θα λατρέψει κάθε εκπαιδευτικός!

*Ο δέκτης πωλείται ξεχωριστά.

Αυτό που δεν πέτυχε ο μαρξισμός, το πέτυχε η Άλγεβρα!

Η Άλγεβρα με τη Θεωρία Ομάδων κατάφερε ό,τι δεν έχει καταφέρει ο... μαρξισμός: Την εξίσωση των τάξεων (ή κλάσεων)!

Φωτογραφία από τις σημειώσεις που κρατούσα στο μεταπτυχιακό μάθημα "Άλγεβρα Ι" με καθηγητή τον Ν.Μαρμαρίδη, 2014

Διαβάστε για την εξίσωση των τάξεων (ή κλάσεων) εδώ...

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Τόρος και τοροειδή πολύεδρα

ΤΟΡΟΣ

Τα βιβλία γράφουν...

Τόρος είναι η επιφάνεια που παράγεται από την περιστροφή ενός κύκλου γύρω από έναν άξονα συνεπίπεδο με τον κύκλο.

Αντίστοιχα, στερεός τόρος είναι το στερεό που παράγεται από την περιστροφή ενός κυκλικού δίσκου γύρω από έναν άξονα συνεπίπεδο με τον κυκλικό δίσκο.

π.χ. Ένα φουσκωτό σωσίβιο είναι τόρος, ενώ ένα ντόνατ είναι στερεός τόρος.

Δεν ήταν λίγοι οι καλλιτέχνες που εμπνεύστηκαν και από τον τόρο...

Σελίδα από το βιβλίο του Johannes Lencker "Perspectiva Literaria" ("Λογοτεχνική Προοπτική", Νυρεμβέργη, 1567) 

Wayne Ferrebee (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Donut Universe with Centaur and Mummy" (2010)

Wayne Ferrebee (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Torus with Spearman, Bagpipes and Barnacle" (2011)

Seth Bareiss (γεν. 1964) - "Torus, Fish, Hawks and Horses" (2007)

Don Barrett (Σύγχρονος γραφίστας) - "Torus"

Marta Banaszak (γεν. 1975) - "Kamasutra Torus Black" (2014)

Marta Banaszak (γεν. 1975) -
"Kamasutra Torus Black" (2014)

Amer Kobaslija (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Lowe's Tubes, Ichetucknee" (2018)

Terry Romero Paul (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Penny Lane"

DAN (Κοσμολόγος και ζωγράφος, γεν. 1968) - "Double Torus Universe" (2010)
Σύμφωνα με πολλούς μελετητές, το σύμπαν μας έχει σχήμα τόρου. Δεν έχει λοιπόν αρχή και τέλος, υπακούοντας στην Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας.

Ο τόρος εισάγει μια νέα κατηγορία επιφανειών, αυτών που έχουν "τρύπα". Το πλήθος των τρυπών της επιφάνειας ονομάζεται γένος της επιφάνειας. Από τοπολογική άποψη, οι επιφάνειες του ίδιου γένους θεωρούνται ομοιομορφικοί, δηλαδή "ίδιοι".

ΤΟΡΟΕΙΔΗ ΠΟΛΥΕΔΡΑ

Τα βιβλία γράφουν...

Τα πολύεδρα με τοπολογικό τύπο τόρου λέγονται τοροειδή πολύεδρα και έχουν χαρακτηριστική Euler χ = Κ - Α + Ε = 0.

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - Σχέδιο του Mazzocchio (αρχές 
16^ου αιώνα)

Paolo Uccello (1397 - 1475) - Σχέδιο του Mazzocchio (μέσα
15^ου αιώνα)

Paolo Uccello (1397 - 1475) -  Σχέδιο του Mazzocchio (μέσα
15^ου αιώνα)

Εκτός από τα πλατωνικά στερεά, ένα άλλο αγαπημένο γεωμετρικό στερεό των Αναγεννησιακών ζωγράφων ήταν ένα τοροειδές πολύεδρο, το οποίο αποκαλούσαν Μαζζόκιο (Mazzocchio). Το συγκεκριμένο στερεό αντιπροσώπευε το υψηλότερο επίπεδο δεξιοτεχνίας στην εξάσκηση της προοπτικής για γεωμετρικά στερεά.

Wentzel Jamnitzer (1508 - 1585) - Σχέδιο του Mazzocchio (μέσα
16^ου αιώνα)

Peter Halt - Σχέδιο του Mazzocchio (αρχές 17^ου αιώνα)

Αναγεννησιακό ξυλόγλυπτο (Intarsia), έργο του Fra Giovanni da Verona (1457 - 1525). Μοναστήρι του Monte Olivetto, κοντά στη Siena (περ. 1503 - 1506). Απεικονίζει μια 72-εδρη σφαίρα (σφαίρα του Κάμπανου) και ένα τοροειδές πολύεδρο (Mazzocchio)

Mimmo Paladino (γεν. 1948) - Γλυπτό στο Μουσείο Βωμός της Ειρήνης, Ρώμη

Πηγές:

• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Πανεπιστημιακές σημειώσεις "Ολικής Διαφορικής Γεωμετρίας" καθηγητή Θ. Χασάνη, 2010
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
• David Wade: Renaissance Geometricism
• George Adams Gallery: Amer Kobaslija
• Pixels: Don Barrett art
• Il Mazzocchio di Leonardo
• Marta Banaszak
• Terry Romero Paul
• Tessellations.org
• Wayne Ferebee
• Wolfram Math World: Torus
• wikipedia.org

Γρίφος: Οι μυστηριώδεις πράξεις

Στην Άλγεβρα, μπορούμε με ένα οποιοδήποτε σύμβολο να συμβολίσουμε μια πράξη ή μια σειρά πράξεων που ορίσαμε μεταξύ δύο αριθμών. Αρκεί η πράξη αυτή να είναι καλά ορισμένη, δηλαδή το αποτέλεσμα της πράξης μεταξύ των δύο αριθμών να ορίζεται μονοσήμαντα και να ανήκει στο ίδιο σύνολο αριθμών με τους δύο αρχικούς.

Βρείτε ποια ή ποιες πράξεις ορίζονται με το σύμβολο ⨀ κι έπειτα βρείτε τον αριθμό στη θέση του ερωτηματικού.

Κριτήρια Διαιρετότητας για τους αριθμούς από το 19 ως το 32!

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 19:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.

2. Στον αριθμό που προκύπτει προσθέτουμε 2 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Αν το αποτέλεσμα (συμπεριλαμβανομένου του 0) διαιρείται με το 19, τότε και ο αρχικός αριθμός θα διαιρείται με το 19.

4. Αν δεν μπορούμε να αποφασίσουμε, επαναλαμβάνουμε τα τρία προηγούμενα βήματα μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός. 

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 11.343
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 3 και μένει ο αριθμός 1.134.

2. Στο 1.134 προσθέτουμε το διπλάσιο του 3, δηλαδή το 6:
1.134 + 2*3 = 1.134 + 6 = 1.140
3. Επειδή δεν μπορούμε να κρίνουμε αν ο αριθμός 1.140 διαιρείται με το 19, επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 1.140, δηλαδή το 0 και μένει ο αριθμός 114.
2. Στο 114 προσθέτουμε το διπλάσιο του 0, δηλαδή το 0:
114 + 2*0 = 114

3. Επαναλαμβάνουμε:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 114 και μένει ο αριθμός 11.
2. Στο 11 προσθέτουμε το διπλάσιο του 4:
11 + 2*4 = 11 + 8 = 19
3. Το 19 διαιρείται με το 19, επομένως και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 19.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 20:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 4 και με το 5,

ή, συνδυάζοντας τα κριτήρια διαιρετότητας του 4 και του 5:
-Αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5 και τα  τελευταία δύο ψηφία του σχηματίζουν διψήφιο αριθμό που διαιρείται με το 4.

π.χ. Ο αριθμός  1.360 διαιρείται με το 20, γιατί:
-διαιρείται με το 4, αφού τελειώνει σε 60 και το 60 διαιρείται με το 4
και
-διαιρείται με το 5, αφού τελειώνει σε 0.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 21:

Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 3 και με το 7,

δηλαδή αν ικανοποιεί ταυτόχρονα τα κριτήρια διαιρετότητας του 3 και του 7.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 273. 
-Διαιρείται με το 3, αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι 2 + 7 + 3 = 12 και το 12 διαιρείται με το 3.
-Διαιρείται με το 7. Πράγματι, 27 - 2*3 = 21 και το 21 διαιρείται με το 7.
Οπότε ο αριθμός 273 διαιρείται με το 21.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 22:

Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 2 και με το 11,

δηλαδή αν ικανοποιεί ταυτόχρονα τα κριτήρια διαιρετότητας του 2 και του 11.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 1.166.
-Διαιρείται με το 2, αφού τελειώνει σε 6, είναι δηλαδή άρτιος αριθμός.
-Διαιρείται με το 11. 
Πράγματι, το άθροισμα των ψηφίων που βρίσκονται στις περιττές θέσεις είναι 1 + 6 = 7.
Το άθροισμα των ψηφίων που βρίσκονται στις περιττές θέσεις είναι 1 + 6 = 7.
Η διαφορά των δύο αθροισμάτων είναι 7 - 7 = 0.
Σύμφωνα με το κριτήριο διαιρετότητας του 11, ο αριθμός 1.166 διαιρείται με το 11.
Άρα τελικά ο αριθμός 1.166 διαιρείται με το 22.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 23:
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.
2. Στον αριθμό που προκύπτει προσθέτουμε 7 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Επαναλαμβάνουμε τα δύο προηγούμενα βήματα, μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός.
4. Αν ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται με το 23 (δηλαδή αν προκύψει 23, 46, 69 ή 92), τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 23.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 35.949. 
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 9 και μένει ο αριθμός 3.594.
2. Στο 3.594 προσθέτουμε το επταπλάσιο του 9:
3.594 + 7*9 = 3.594 + 63 = 3.657
3. Επαναλαμβάνουμε τα δύο προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 7 και μένει ο αριθμός 365.
2. Στο 365 προσθέτουμε το επταπλάσιο του 7:
365 + 7*7 = 365 + 49 = 414
3. Επαναλαμβάνουμε τα δύο προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 4 και μένει ο αριθμός 41.
2. Στο 41 προσθέτουμε το επταπλάσιο του 4:

41 + 7*4 = 41 + 28 = 69
3. Το 69 διαιρείται με το 23, άρα και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 23.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 24:

Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 3 και με το 8,

δηλαδή αν ικανοποιεί ταυτόχρονα τα κριτήρια διαιρετότητας του 3 και του 8.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 768.
-Διαιρείται με το 3, αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι 7 + 6 + 8 = 21 και το 21 διαιρείται με το 3.
-Διαιρείται με το 8, αφού το ψηφίο των εκατοντάδων (7) είναι περιττός αριθμός και τα τελευταία δύο ψηφία συν 4, σχηματίζουν τον αριθμό 68 + 4 = 72, ο οποίος διαιρείται με το 8.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 25, αν τα τελευταία δύο ψηφία του σχηματίζουν διψήφιο αριθμό που διαιρείται με το 25,
δηλαδή αν τα δύο τελευταία ψηφία του είναι:
00 ή 25 ή 50 ή 75.

π.χ. Ο αριθμός 12.600 διαιρείται με το 25, αφού τελειώνει σε 00.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 24,

αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 2 και με το 13,

δηλαδή αν ικανοποιεί ταυτόχρονα τα κριτήρια διαιρετότητας του 2 και του 13.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 832.
-Διαιρείται με το 2, αφού τελειώνει σε 2, είναι δηλαδή άρτιος αριθμός.
-Διαιρείται με το 13.
Πράγματι, 83 - 9*2 = 83 - 18 = 65 και το 65 διαιρείται με το 13.
Άρα ο αριθμός 832 διαιρείται με το 26.

Για να κρίνουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 27, αρχικά εξετάζουμε το πλήθος των ψηφίων του. 

1η περίπτωση: Αν ο αριθμός είναι τριψήφιος, τότε:
1. Διαγράφουμε  το ψηφίο των εκατοντάδων (το πρώτο ψηφίο).
2. Από τον διψήφιο αριθμό που μένει, αφαιρούμε το 8πλάσιο του ψηφίου που έχουμε διαγράψει.
3. Αν ο αριθμός που προκύψει διαιρείται με το 27 (συμπεριλαμβανομένων του 0 αλλά και αρνητικών αριθμών), τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 27.

2η περίπτωση: Αν ο αριθμός έχει τουλάχιστον 4 ψηφία, τότε:
1. Διαγράφουμε τα τελευταία τρία ψηφία του, τα οποία αποτελούν έναν τριψήφιο αριθμό.
2. Στον αριθμό που μένει, προσθέτουμε τον τριψήφιο αριθμό από το βήμα 1.
3. Το άθροισμα σαφώς θα είναι ένας αριθμός μικρότερος από τον αρχικό. Συνεχίζουμε τα βήματα 1 και 2, μέχρι να προκύψει τριψήφιος αριθμός.
4. Ακολουθούμε τα βήματα όπως περιγράφονται στην 1η περίπτωση.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 1.242
Είναι 4ψήφιος, άρα ακολουθούμε τα βήματα της 2ης περίπτωσης:

1. Διαγράφουμε τα τελευταία τρία ψηφία του, δηλαδή τον αριθμό 242.
2. Στον αριθμό που έμεινε, δηλαδή το 1, προσθέτουμε το 242.
1 + 242 = 243.
3. Προέκυψε 3ψήφιος αριθμός, άρα ακολουθούμε τα βήματα της 1ης περίπτωσης:

1. Από τον αριθμό 243, διαγράφουμε το ψηφίο των εκατοντάδων, δηλαδή το 2.
2. Από τον αριθμό που μένει, δηλαδή το 43, αφαιρούμε το 8πλάσιο του 2:
43 - 8*2 = 43 - 16 = 27
3. Προκύπτει ο αριθμός 27, ο οποίος προφανώς διαιρείται με το 27. Άρα και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 27.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 28,

αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 4 και με το 7,

δηλαδή αν ικανοποιεί ταυτόχρονα τα κριτήρια διαιρετότητας του 4 και του 7.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 224.
-Διαιρείται με το 4, αφού τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 24, ο οποίος διαιρείται με το 4.
-Διαιρείται με το 7. Πράγματι:
22 - 2*4 = 22 - 8 = 14
Το 14 διαιρείται με το 7, άρα και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 7.
Οπότε διαιρείται και με το 28.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 29:
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.
2. Στον αριθμό που προκύπτει προσθέτουμε 3 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Επαναλαμβάνουμε τα δύο προηγούμενα βήματα, μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός.
4. Αν ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται με το 29, τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 29.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 1.914. 
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 4 και μένει ο αριθμός 191.
2. Στο 191 προσθέτουμε το τριπλάσιο του 4:
191 + 3*4 = 191 + 12 = 203

3. Επαναλαμβάνουμε για τον αριθμό 203 τα δύο προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 3 και μένει ο αριθμός 20.
2. Στο 20 προσθέτουμε το τριπλάσιο του 3:
20 + 3*3 = 20 + 9 = 29

3. Το 29 προφανώς διαιρείται με το 29, άρα και ο αρχικός αριθμός, το 1.914 διαιρείται με το 29.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 30
αν το τελευταίο του ψηφίο είναι το 0 και το άθροισμα των ψηφίων του είναι αριθμός που διαιρείται με το 3

(δηλαδή αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 3 και με το 10).

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 1.950.
-Το τελευταίο του ψηφίο είναι το 0, δηλαδή διαιρείται με το 10.
-Το άθροισμα των ψηφίων του είναι 
1 + 9 + 5 + 0 = 15
και το 15 διαιρείται με το 3, άρα ο αριθμός 1.950 διαιρείται με το 3.
Επομένως ο αριθμός 1.950 διαιρείται με το 30.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 31:
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.
2. Από τον αριθμό που προκύπτει αφαιρούμε 3 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Επαναλαμβάνουμε τα δύο προηγούμενα βήματα, μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός.
4. Αν ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται με το 31, τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 31.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 775.
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 775, δηλαδή το 5 και μένει ο αριθμός 77.
2. Από το 77 αφαιρούμε το τριπλάσιο του 5:
77 - 3*5 = 77 - 15 = 62
3. Το 62 διαιρείται με το 31, άρα και ο αρχικός αριθμός, το 775 διαιρείται με το 31.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 32:

-Αν ο αριθμός έχει περισσότερα από 5 ψηφία, τότε: Ο αριθμός διαιρείται με το 32 αν τα τελευταία 5 ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 32. 

-Και πώς θα ελέγξουμε αν ένας πενταψήφιος αριθμός διαιρείται με το 32;;;

• Αν το ψηφίο στη θέση των Δεκάδων Χιλιάδων (το πρώτο ψηφίο) είναι άρτιος αριθμός, αρκεί να ελέγξουμε αν τα τελευταία τέσσερα ψηφία σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 32.
• Αν το ψηφίο στη θέση των Δεκάδων Χιλιάδων (το πρώτο ψηφίο) είναι περιττός αριθμός, αρκεί να ελέγξουμε αν τα τελευταία τέσσερα ψηφία του συν 16, σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 16.

-Μόλις προκύψει τριψήφιος ή τετραψήφιος αριθμός, για να ελέγξουμε αν διαιρείται με το 32, ακολουθούμε το εξής κριτήριο:

1. Απομονώνουμε τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού.

2. Προσθέτουμε τον διψήφιο αριθμό στο 4πλάσιο του αριθμού που απέμεινε.

3. Αν ο αριθμός που προκύψει διαιρείται με το 32, τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 32.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 1.088.256
-Αρκεί να απομονώσουμε τα τελευταία πέντε ψηφία του και να ελέγξουμε αν ο αριθμός 88.256 διαιρείται με το 32.

-Ελέγχουμε το ψηφίο στη θέση των Δεκάδων Χιλιάδων. Το 8 είναι άρτιος αριθμός, άρα αρκεί να ελέγξουμε αν τα τελευταία τέσσερα ψηφία του, δηλαδή ο αριθμός 8.256 διαιρείται με το 32.

-Από τον αριθμό 8.256 διαγράφουμε τα δύο τελευταία του ψηφία (το 56).
-Προσθέτουμε το 56 στο 4πλάσιο του αριθμού που απέμεινε, δηλαδή στο 4πλάσιο του 82:
4*82 + 56 = 384
Αρκεί να εξετάσουμε τώρα αν το 384 διαιρείται με το 32.

-Επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα:
-Από τον αριθμό 384 διαγράφουμε τα δύο τελευταία του ψηφία (το 84).
-Προσθέτουμε το 84 στο 4πλάσιο του αριθμού που απέμεινε, δηλαδή στο 4πλάσιο του 3:
4*3 + 84 = 96

-Το 96 διαιρείται με το 32 (είναι 96=3*32) άρα και ο αρχικός αριθμός, το 1.088.256 διαιρείται με το 32.