Πώς να αποφύγετε τις... αρνητικές σκέψεις!

Καλημέρα και καλή εβδομάδα σε όλους, μακριά από αρνητικές σκέψεις, αρνητικούς ανθρώπους... και αρνητικές τιμές! Το κόλπο είναι απλό... και λέγεται "απόλυτη τιμή"!!!

Γρίφος: Η λογική πίσω από τις συμπτώσεις

Πηγή γρίφου:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΓΡΙΦΟΙ 2 - 150 προβλήματα από τη στήλη "Σπαζοκεφαλιές" του περιοδικού Quantum, εκδόσεις "Κάτοπτρο", 2001

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Ελλειπτικό παραβολοειδές

Τα βιβλία γράφουν...

Ελλειπτικό παραβολοειδές είναι μια τετραγωνική επιφάνεια, δηλαδή επιφάνεια 2^ου βαθμού.

Η επιφάνεια του ελλειπτικού παραβολοειδούς είναι απεριόριστη και έχει δύο κάθετα μεταξύ τους επίπεδα συμμετρίας. Η τομή των επιπέδων συμμετρίας είναι ο άξονας συμμετρίας της επιφάνειας, ο οποίος την τέμνει σε ένα σημείο που ονομάζεται κορυφή της επιφάνειας.

Κάθε τομή της επιφάνειας με επίπεδο κάθετο στον άξονά της είναι μια έλλειψη. Κάθε τομή της επιφάνειας με επίπεδο παράλληλο στα επίπεδα συμμετρίας είναι μια παραβολή. Αυτό δικαιολογεί και την ονομασία της επιφάνειας αυτής.

Αν η τομή της επιφάνειας με επίπεδο κάθετο στον άξονά της είναι κύκλος, τότε η επιφάνεια είναι εκ περιστροφής, γιατί μπορεί να προκύψει δια περιστροφής μιας παραβολής περί τον άξονα αυτόν.

Σύγχρονοι ζωγράφοι, γραφίστες, αλλά και γλύπτες έχουν χρησιμοποιήσει το ελλειπτικό παραβολοειδές στα έργα τέχνης τους.

Don Barrett (Σύγχρονος γραφίστας) - "3D Parabola" 

Mia McLean (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Jellyfish Ice Cream Cone" (2020)

Maureen Bell (Σύγχρονη γλύπτρια) - "Parabola" 

Το ελλειπτικό παραβολοειδές έχει χρησιμοποιηθεί και στη σύγχρονη αρχιτεκτονική, δημιουργώντας ενδιαφέρουσες δομές, όπως είναι οι τρούλοι.

Reichstag Dome, ο τρούλος στο κτίριο της γερμανικής Βουλής, Βερολίνο, Γερμανία. Σχεδιασμένο από τον αρχιτέκτονα Norman Foster.

Το Πλανητάριο Carl Zeiss στο Bochum της Γερμανίας. Ο τρούλος του, σε σχήμα ελλειπτικού παραβολοειδούς, έχει διάμετρο 20 μέτρα 

Το κτίριο του Κογκρέσου, Μπραζίλια, Βραζιλία. Σχεδιάστηκε από τον αρχιτέκτονα Oscar Niemeyer.

"The Congress IV", λεπτομέρεια από το κτίριο του Κογκρέσου στη Μπραζίλια. Φωτογραφία: Todd Eberle 

.*.~.*.~.*.~.*.~.*.~.*

"Είναι κάτι που οι μη μαθηματικοί δεν μπορούν να αντιληφθούν πλήρως. Τα μαθηματικά στην πραγματικότητα είναι σχεδόν εξ ολοκλήρου ζήτημα αισθητικής".
J.H. Conway

.*.~.*.~.*.~.*.~.*.~.*

Πηγές:

• Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Bahai Art Gallery: Maureen Bell
• BlueThumb: Mia McLean
• Flickr: Daniel Mennerich
• Pixels: Don Barrett art
• Robert Harding: Oscar Niemeyer
• Sankaart: Berlin Norman Foster Reichstag
• Todd Eberle: Brazilia
• Wolfram Mathworld: Elliptic Paraboloid

Απλά... μαθηματικά!

Ο Θανάσης Βέγγος δείχνει πώς μπορείς να βγάλεις χρήματα εύκολα, με απλά... μαθηματικά!!!

Προσεταιριστική ιδιότητα: Πόσο προφανής είναι;

Είναι προφανές ότι ισχύει

63 + 48 = 27 + 84 ;

Πρόκειται για μια ορθή μαθηματική πρόταση, χωρίς ενδιαφέρον, που επαληθεύεται σε δευτερόλεπτα. Είναι όμως προφανής; Αν "προφανής" σημαίνει ότι ο λόγος για τον οποίο ισχύει είναι σαφώς κατανοητός, χωρίς ανάγκη επαλήθευσης, τότε οι περισσότεροι θα απαντούσαν αρνητικά.

Είναι, τώρα, προφανές ότι

(27 + 36) + 48 = 27 + (36 + 48) ;

Ασφαλώς, για την πλειοψηφία: η ενστικτώδης (και ορθή) αντίδραση είναι ότι ο τρόπος με τον οποίο "συμμαζεύουμε" τους όρους ενός αθροίσματος δεν μπορεί να επηρεάσει το αποτέλεσμα. Ο έγκυρος μαθηματικός όρος για το συμμάζεμα αυτό και την τοποθέτηση των αριθμών σε "παρέες" είναι "προσεταιρίζουμε" και η ενστικτώδης αντίδραση είναι η αποδοχή της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης για πραγματικούς αριθμούς:

Την προσεταιριστική ιδιότητα διαθέτει και η πράξη του πολλαπλασιασμού στους πραγματικούς αριθμούς:

Εκτός, όμως, από το σύνολο των πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με τις πράξεις τις πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, οι μαθηματικοί ενδιαφέρθηκαν να ορίσουν και άλλα σύνολα, πιο αφηρημένα, για πολλούς και διάφορους σκοπούς. Η Γραμμική Άλγεβρα ασχολείται με διάφορα είδη πράξεων (όπως η πρόσθεση ή ο πολλαπλασιασμός) για διάφορα είδη αντικειμένων (όχι αναγκαστικά πραγματικούς αριθμούς). Μας ενδιαφέρει αν η πράξη με την οποία έχει εφοδιαστεί ένα σύνολο είναι, μεταξύ άλλων, προσεταιριστική. 

Προσεταιριστική πράξη

Μια διμελής πράξη ✱ σ' ένα σύνολο S λέγεται προσεταιριστική, αν (α ✱ β) ✱ γ = α ✱ (β ✱ γ), για κάθε α, β, γ ∈ S.

Είναι άδικο να παραβλέψουμε την προσεταιριστική ιδιότητα ως κάτι τετριμμένο. Η προσεταιριστικότητα της πράξης μπορεί να μην ισχύει πάντα, αλλά, ακόμη κι αν ισχύει, δεν είναι και τόσο προφανής. Στον κόσμο της Γραμμικής Άλγεβρας, αν και οι μη προσεταιριστικές πράξεις είναι σπάνιες, πράξεις για τις οποίες η προσεταιριστικότητα δεν είναι αυτονόητη, συναντώνται συχνότερα.

Κουίζ:

1. Ορίζουμε μια νέα πρόσθεση στους πραγματικούς αριθμούς, συμβολιζόμενη ως ⊕, όπου:

α⊕β = 2α + 2β

Είναι η ⊕ προσεταιριστική;

Σχόλιο: Το + στο δεύτερο μέλος σημαίνει τη συνήθη πρόσθεση.

2. Στο σύνολο {0, 1, 2} που αποτελείται από τρία στοιχεία, ορίζουμε έναν νέο πολλαπλασιασμό, που τον συμβολίζουμε με ⊗. Στον παρακάτω πίνακα πολλαπλασιασμού βλέπουμε πώς ορίζεται ο πολλαπλασιασμός ⊗:

⊗	0	1	2
0	0	0	0
1	0	1	2
2	0	2	1

Είναι η ⊗ προσεταιριστική;

Σχόλιο: Η πράξη αυτή καλείται στη Γραμμική Άλγεβρα "πολλαπλασιασμός modulo 3" (mod3, μοδίω 3), ενώ το σύνολο {0, 1, 2} καλείται "οι ακέραιοι modulo 3" και συμβολίζεται ως  ℤ3 .

Πηγές:

John B. Fraleigh (2003, 4η έκδοση). Εισαγωγή στην Άλγεβρα (μετ. Γιαννόπουλος). Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο (Το πρωτότυπο έργο δημοσιεύθηκε το 1967).

Paul Halmos (2012). Προβλήματα Γραμμικής Άλγεβρας (μετ. Τουμάσης & Γραμματίκας). Ευρύαλος Απόλλων, Τρίκαλα (Το πρωτότυπο έργο δημοσιεύθηκε το 1995).

Αν οι βαθμολογητές των Πανελλαδικών 2020 βαθμολογούσαν τα γραπτά των Μαθηματικών με αντιδράσεις του facebook

Αν φέτος οι βαθμολογητές των Πανελλαδικών Εξετάσεων αποφάσιζαν να μη βάλουν βαθμούς, αλλά να αξιολογήσουν τα γραπτά στα Μαθηματικά με αντιδράσεις του facebook... τα αποτελέσματα θα ήταν κάπως έτσι: 

• Σωστή απάντηση / Παράθεση σωστού αντιπαραδείγματος στη Θεωρία:

Μου αρέσει!

• Ευφυής απόδειξη του ζητούμενου:

Τέλειο!

• Υπολογισμός ορίου με Κριτήριο Παρεμβολής:

Νοιάζομαι

• Λανθασμένη παραγώγιση:

Χαχα

• Απόδειξη ανισότητας με χρήση Θεωρήματος Μέσης Τιμής και μονοτονίας:

Ουάου!

• Λάθος στην εύρεση προσήμων, με αποτέλεσμα να μην μπορεί ο μαθητής να εφαρμόσει Θεώρημα Bolzano:

Λυπάμαι...

• Ανεπίτρεπτα / Θανάσιμα λάθη:

Έλεος!

Ο γρίφος του Einstein

Ο γρίφος του Einstein αποτελεί έναν από τους διασημότερους γρίφους μαθηματικής λογικής. Πήρε το όνομά του από τον θεμελιωτή της Θεωρίας της Σχετικότητας Albert Einstein, είτε επειδή ήταν εκείνος που τον εμπνεύστηκε, ή - το πιθανότερο- απλώς επειδή είναι ένας τόσο έξυπνος γρίφος, ώστε θυμίζει κατά κάποιον τρόπο το μυαλό του Einstein... Για να τον λύσει κανείς, δεν απαιτείται κάποιο μαθηματικό υπόβαθρο, παρά μόνο μαθηματική λογική!

Υπάρχουν πέντε σπίτια, με πέντε διαφορετικά χρώματα στη σειρά. Σε κάθε σπίτι κατοικεί ένας άνθρωπος με διαφορετική εθνικότητα. Ο κάθε ένας από τους πέντε ιδιοκτήτες των σπιτιών πίνει διαφορετικό ποτό, καπνίζει διαφορετική μάρκα τσιγάρων και έχει στην κατοχή του ένα διαφορετικό κατοικίδιο. Κανένας από τους ιδιοκτήτες δεν έχει το ίδιο κατοικίδιο με τον άλλον, δεν καπνίζει την ίδια μάρκα τσιγάρων με τον άλλο ή πίνει το ίδιο ποτό με τον άλλον.

Τα στοιχεία:

1. Ο Βρετανός κατοικεί στο κόκκινο σπίτι.
2. Ο Σουηδός έχει στην κατοχή του ένα σκύλο.
3. Ο Δανός πίνει τσάι.
4. Το πράσινο σπίτι βρίσκεται ακριβώς στα αριστερά του λευκού σπιτιού.
5. Ο ιδιοκτήτης του πράσινου σπιτιού πίνει καφέ.
6. Ο ιδιοκτήτης που έχει στην κατοχή του πουλιά, καπνίζει Pall Mall.
7. Ο ιδιοκτήτης του κίτρινου σπιτιού καπνίζει Dunhill.
8. Ο ιδιοκτήτης που κατοικεί στο μεσαίο σπίτι πίνει γάλα.
9. Ο Νορβηγός κατοικεί στο πρώτο σπίτι.
10. Ο ιδιοκτήτης που καπνίζει Blends κατοικεί δίπλα σε αυτόν που έχει για κατοικίδιο γάτα.
11. Ο ιδιοκτήτης που έχει στην κατοχή του άλογο, κατοικεί δίπλα σε αυτόν που καπνίζει Dunhill.
12. Ο ιδιοκτήτης που καπνίζει Bluemasters πίνει μπύρα.
13. Ο Γερμανός καπνίζει Prince.
14. Ο Νορβηγός κατοικεί δίπλα στο μπλε σπίτι.
15. Αυτός που καπνίζει Blends κατοικεί δίπλα σε αυτόν που πίνει νερό.

Η ερώτηση είναι: Ποιος έχει το ψάρι;

Μπορείτε να δείτε την απάντηση εδώ...

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Μονόχωνο Υπερβολοειδές

Τα βιβλία γράφουν...

Το μονόχωνο υπερβολοειδές εκ περιστροφής είναι τετραγωνική επιφάνεια και παράγεται από την περιστροφή ευθείας γύρω από άξονα, ασύμβατο προς την ευθεία. Ο άξονας αυτός λέγεται άξονας του μονόχωνου υπερβολοειδούς και είναι άξονας συμμετρίας του. Το μονόχωνο υπερβολοειδές εκ περιστροφής έχει επίσης κέντρο συμμετρίας. Κάθε ευθεία του μονόχωνου υπερβολοειδούς είναι γενέτειρα της επιφάνειας.
Κάθε επίπεδο κάθετο στον άξονα του μονόχωνου υπερβολοειδούς εκ περιστροφής, το τέμνει σε κύκλο. Κάθε επίπεδο που περιέχει τον άξονα του μονόχωνου υπερβολοειδούς, το τέμνει σε υπερβολή. Έτσι,το μονόχωνο υπερβολοειδές εκ περιστροφής μπορεί να προκύψει δια περιστροφής μιας υπερβολής γύρω από τον άξονα αυτό.

Connelly Barnes (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Hyperbola"

Don Barrett (Σύγχρονος γραφίστας) - "Apocalypse Soon" 

Το μονόχωνο υπερβολοειδές έχει χρησιμοποιηθεί πολύ συχνά στη σύγχρονη αρχιτεκτονική, δημιουργώντας ενδιαφέρουσες φόρμες.

Πύργος ελέγχου εναέριας κυκλοφορίας, Διεθνής Αερολιμένας Newcastle, Ηνωμένο Βασίλειο

Πλανητάριο James McDonnell, Μισσούρι, Η.Π.Α.

Ο Πύργος του Canton, Guangdong, Κίνα.

Καθεδρικός Ναός της Μπραζίλια, Βραζιλία. Σχεδιάστηκε από τον αρχιτέκτονα Oscar Niemeyer και ολοκληρώθηκε το 1970. 
  

Γέφυρα μεταξύ κτιρίων στο Manchester της Αγγλίας

 

Ο πρώτος πύργος σε σχήμα μονόχωνου υπερβολοειδούς ήταν ένας πύργος νερού που κατασκευάστηκε το 1896 στη Ρωσία, από τον αρχιτέκτονα Vladimir Shukhov.

Πηγές:

• Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
• H.L.C. Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Connelly Barnes
• Pixels: Don Barrett art
• Wikipedia: Hyperboloid
• Wikipedia: Hyperboloid Structure
• Wolfram Mathworld: One-Sheeted Hyperboloid

Τα μαθηματικά μας διδάσκουν να είμαστε ειλικρινείς...

   "Δεν μπορείτε να μάθετε μαθηματικά βλέποντας κάποιον άλλο να ασχολείται με αυτά. Μια ενεργή διαδικασία μάθησης εμπεριέχει την επίλυση προβλημάτων αυξανόμενης δυσκολίας, αν λύνετε συνεχώς προβλήματα της ίδιας πάντα δυσκολίας αυτά καταλήγουν απλώς ασκήσεις ρουτίνας. Αν ένα συγκεκριμένο πρόβλημα σας αντιστέκεται επίμονα, μπορείτε μεν να κοιτάτε το ταβάνι ή να συνοφρυώνεστε (δεν υπάρχει κανείς νόμος να το απαγορεύει), αλλά το καλύτερο που έχετε να κάνετε είναι να πάρετε  χαρτί και μολύβι και να αρχίσετε να πειραματίζεστε: προβείτε σε κάποιες εκτιμήσεις, θεωρήστε ειδικές περιπτώσεις, περιγράψτε τις ιδέες σας και ούτω καθεξής. Ο Leonard Euler είπε κάποτε: «Το μολύβι μου  μερικές φόρες κατεβάζει καλύτερες ιδέες από το κεφάλι μου».

  Για να αντιμετωπίσετε το πρόβλημα, πρέπει να συγκεντρώσετε την προσοχή σας στις συνθήκες του και στην διατύπωση του έως ότου εμφανιστεί η πρώτη αναλαμπή μιας ιδέας και η ελπίδα της επιτυχίας. Η επίλυση ενός προβλήματος δεν αποτελεί μόνο διανοητική πρόκληση αλλά και δοκιμασία της θέλησης, απαιτεί «μαχητικό πνεύμα».

  Δεν είναι απαραίτητο (ούτε καν  εφικτό) να λύσετε όλα τα γνωστά μαθηματικά προβλήματα. Πρέπει, επομένως, να διαλέξετε ό,τι θεωρείτε ευχάριστο, διδακτικό ενδιαφέρον και στα πλαίσια των δυνατοτήτων σας. Μέσα από αυτήν την διαδικασία  θα καλλιεργήσετε τα κριτήρια σας  και θα αποκτήσετε ευρύτερη μαθηματική «κουλτούρα».

  Τα μαθηματικά, έκτος των άλλων, σας διδάσκουν να είστε ειλικρινείς και με τον εαυτό σας και με τους άλλους. Όταν απαντάτε σε ένα  μαθηματικό πρόβλημα δεν είναι δυνατές οι υπεκφυγές. Και επιπλέον, η ειλικρίνεια αποτελεί απαραίτητη προϋπόθεση του συνεπούς τρόπου σκέψης. Έκτος αυτού, όταν λύνουμε προβλήματα δεν μαθαίνουμε μόνο πώς να αποδεικνύουμε αληθείς προτάσεις, αλλά και πώς να μαντεύουμε ποιες είναι οι αληθείς. Και η ικανότητα  να μαντεύουμε αποτελεί αναπόσπαστο κομμάτι της παραγωγικής σκέψης.

   Ο όμορφος κόσμος των μαθηματικών προβλημάτων αυξάνεται και πληθύνεται συνεχώς, γεγονός που αποδεικνύει ότι τα μαθηματικά είναι πράγματι μια ζωντανή επιστήμη".

V. Proizvolov

Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.com/

Γρίφος: Αλήθειες και ψέματα...

Ο Πέτρος λέει την αλήθεια μόνο κάθε Κυριακή, ενώ όλες τις άλλες ημέρες λέει μόνο ψέματα. Η γυναίκα του, Μαρία, λέει ψέματα την Παρασκευή και την Κυριακή, ενώ όλες τις υπόλοιπες ημέρες λέει αλήθεια.

1. Μια μέρα, τηλεφωνήσαμε στη Μαρία και τη ρωτήσαμε "τι μέρα είναι σήμερα;" και εκείνη μας απάντησε: "Σήμερα είναι Παρασκευή".

Τι μέρα την τηλεφωνήσαμε;

2. Μετά από λίγες μέρες, συναντήσαμε τη Μαρία μαζί με τον Πέτρο έξω και τους ρωτήσαμε: "Τι μέρα είναι σήμερα"; Η Μαρία απάντησε: "Σήμερα είναι Σάββατο" και ο Πέτρος συμφώνησε μαζί της, απαντώντας "ναι, σήμερα είναι Σάββατο". 

Τι μέρα τους συναντήσαμε;