Γρίφος: Το χωράφι με το μεγαλύτερο εμβαδόν

Διαθέτουμε συρματόπλεγμα μήκους 240 μ. και θέλουμε να περιφράξουμε με αυτό ένα χωράφι σε σχήμα ορθογωνίου. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του χωραφιού, ώστε να περιφράξουμε τη μεγαλύτερη δυνατή έκταση;

"Στον κόσμο δεν συμβαίνει τίποτε, του οποίου η σημασία να μη συμπίπτει με εκείνη κάποιου μεγίστου ή ελαχίστου".

Leonard Euler (1707 - 1783) 

Trigodance: Ο χορός της... τριγωνομετρίας

Το Movemathics είναι μια νέα, καινοτόμα προσέγγιση της διδασκαλίας των Μαθηματικών. Βασίζεται στην κιναισθητική μάθηση, σύμφωνα με την οποία ο άνθρωπος μαθαίνει και απομνημονεύει τις πληροφορίες μέσα από την κίνηση, τις χειρονομίες και την αφή. 

Συγκεκριμένα, το Movemathics χρησιμοποιεί τον χορό ως κιναισθητική μέθοδο διδασκαλίας της Τριγωνομετρίας του Γυμνασίου και παροτρύνει τους μαθητές να χορέψουν Trigodance: τον τριγωνομετρικό χορό!    

Θα ήθελα πολύ να μάθω τη γνώμη των μαθητών της χώρας μας. Εσείς, ως καθηγητές, θα διδάσκατε αυτόν τον χορό στους μαθητές σας;

Μια νέα σταθερά: 2,920050977316...

 

Ο δρ. James Grime μας εξηγεί τη νέα... αγαπημένη του σταθερά, με τη βοήθεια της οποίας παράγονται οι πρώτοι αριθμοί. Η σταθερά αυτή είναι ο άρρητος αριθμός 

2,920050977316...

και ο τύπος που παράγει τους πρώτους αριθμούς δίνεται από την παρακάτω ακολουθία αρρήτων:

Το ακέραιο μέρος κάθε αριθμού αυτής της ακολουθίας δίνει και έναν πρώτο αριθμό!

Δείτε το βίντεο του Numberphile για περισσότερες λεπτομέρειες:

Γρίφος: Το σιντριβάνι της Επιπεδούπολης

 

Στην πλατεία της Επιπεδούπολης, υπάρχει αυτό το σιντριβάνι, σε σχήμα κυκλικού δακτυλίου, ο οποίος αποτελείται από δύο ομόκεντρους κύκλους. Αν το μήκος του ΑΒ = 12 μ., να βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας του νερού (σημειώνεται στο σχήμα με γαλάζιο).

Βαμπιρικοί... αριθμοί!

Τι σχέση έχουν τα βαμπίρ με τα μαθηματικά;

Το 1994, ο C. A. Pickover της IBM όρισε τους βαμπιρικούς αριθμούς ως εξής:
Έστω n ένας φυσικός αριθμός με 2κ ψηφία (δηλαδή με άρτιο πλήθος ψηφίων). Ο n λέγεται "βαμπιρικός αριθμός" αν και μόνο αν υπάρχουν δύο φυσικοί αριθμοί a και b, ο καθένας με κ ψηφία, τέτοιοι ώστε:
n = a ⋅ b,
τα τελευταία ψηφία του a και του b να μην είναι και τα δύο 0
και τα ψηφία του n να είναι ακριβώς τα ψηφία των a και b μαζί, με μια οποιαδήποτε μετάθεση (δηλαδή αναδιάταξη).
Οι δύο αριθμοί a και b λέγονται "κυνόδοντες" (!) του n.

Για παράδειγμα:
1260 = 21 ⋅ 60

      ↑            ↑          ↑
βαμπιρικός      κυνόδοντες

 αριθμός                         

Βλέπουμε ότι τα ψηφία των αριθμών 21 και 60, με μια αναδιάταξη δίνουν τα ψηφία του 1260.

Υπάρχουν άπειρα τέτοια παραδείγματα βαμπιρικών αριθμών, όπως:
1395 = 15 ⋅ 93
1435 = 35 ⋅ 41
1530 = 30 ⋅ 51
1827 = 21 ⋅ 87

2187 = 21 ⋅ 87
6880 = 80 ⋅ 86

Οι βαμπιρικοί αριθμοί είναι:

1260, 1395, 1435, 1530, 1827, 2187, 6880, 102510, 104260, 105210, 105264, 105750, 108135, 110758, 115672, 116725, 117067, 118440, 120600, 123354, 124483, 125248, 125433, 125460, 125500, ...

Κάντε κλικ εδώ για να δείτε τη λίστα των 10.000 πρώτων βαμπιρικών αριθμών

Επιπλέον, υπάρχουν βαμπιρικοί αριθμοί με διπλά (ή και πολλαπλά) ζεύγη "κυνόδοντων":
125460 = 204 ⋅ 615
             = 246 ⋅ 510

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι βαμπιρικοί αριθμοί που είναι πρώτοι αριθμοί, με τους "κυνόδοντες" να είναι επίσης πρώτοι αριθμοί:
117067 = 167 ⋅ 701

Οι πρώτοι βαμπιρικοί αριθμοί ορίστηκαν από τον C. Rivera το 2002.

Είναι γνωστό ότι οι αριθμοί που γράφονται ως γινόμενο δύο πρώτων αριθμών εφαρμόζονται κατά κόρον στην Κρυπτογραφία. Αν επιπλέον αυτοί είναι και βαμπιρικοί αριθμοί, τότε ανοίγει ένας νέος τομέας για έρευνα στη Θεωρία Αριθμών!

Πηγές και αναφορές:

C. A. Pickover, "Vampire Numbers." Ch. 30 in Keys to Infinity. New York: Wiley, pp. 227-231, 1995.

Πανεπιστημιακές σημειώσεις "Εφαρμογές της Θεωρίας Αριθμών στην Κρυπτογραφία" καθηγητή Α. Φυραρίδη, 2009.
The On-Line encyclopedia of Integer Sequences

Wikipedia.org/Vampire_number
Wolfram Mathworld: Vampire Number

YouTube: Numberphile - Vampire Numbers

Καλή σχολική χρονιά!

Το ιστολόγιο "eis to apeiron" εύχεται σε εκπαιδευτικούς, γονείς, μαθητές και φοιτητές...

"Τα Μαθηματικά διαποτίζουν την κοινωνία μας. Οι περισσότεροι από εμάς δεν το προσέχουμε, διότι κατά το πλείστον αυτά λειτουργούν πίσω από το προσκήνιο".
I. Stewart

Πώς να αποφύγετε τις... αρνητικές σκέψεις!

Καλημέρα και καλή εβδομάδα σε όλους, μακριά από αρνητικές σκέψεις, αρνητικούς ανθρώπους... και αρνητικές τιμές! Το κόλπο είναι απλό... και λέγεται "απόλυτη τιμή"!!!

Γρίφος: Η λογική πίσω από τις συμπτώσεις

Πηγή γρίφου:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΓΡΙΦΟΙ 2 - 150 προβλήματα από τη στήλη "Σπαζοκεφαλιές" του περιοδικού Quantum, εκδόσεις "Κάτοπτρο", 2001

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Ελλειπτικό παραβολοειδές

Τα βιβλία γράφουν...

Ελλειπτικό παραβολοειδές είναι μια τετραγωνική επιφάνεια, δηλαδή επιφάνεια 2^ου βαθμού.

Η επιφάνεια του ελλειπτικού παραβολοειδούς είναι απεριόριστη και έχει δύο κάθετα μεταξύ τους επίπεδα συμμετρίας. Η τομή των επιπέδων συμμετρίας είναι ο άξονας συμμετρίας της επιφάνειας, ο οποίος την τέμνει σε ένα σημείο που ονομάζεται κορυφή της επιφάνειας.

Κάθε τομή της επιφάνειας με επίπεδο κάθετο στον άξονά της είναι μια έλλειψη. Κάθε τομή της επιφάνειας με επίπεδο παράλληλο στα επίπεδα συμμετρίας είναι μια παραβολή. Αυτό δικαιολογεί και την ονομασία της επιφάνειας αυτής.

Αν η τομή της επιφάνειας με επίπεδο κάθετο στον άξονά της είναι κύκλος, τότε η επιφάνεια είναι εκ περιστροφής, γιατί μπορεί να προκύψει δια περιστροφής μιας παραβολής περί τον άξονα αυτόν.

Σύγχρονοι ζωγράφοι, γραφίστες, αλλά και γλύπτες έχουν χρησιμοποιήσει το ελλειπτικό παραβολοειδές στα έργα τέχνης τους.

Don Barrett (Σύγχρονος γραφίστας) - "3D Parabola" 

Mia McLean (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Jellyfish Ice Cream Cone" (2020)

Maureen Bell (Σύγχρονη γλύπτρια) - "Parabola" 

Το ελλειπτικό παραβολοειδές έχει χρησιμοποιηθεί και στη σύγχρονη αρχιτεκτονική, δημιουργώντας ενδιαφέρουσες δομές, όπως είναι οι τρούλοι.

Reichstag Dome, ο τρούλος στο κτίριο της γερμανικής Βουλής, Βερολίνο, Γερμανία. Σχεδιασμένο από τον αρχιτέκτονα Norman Foster.

Το Πλανητάριο Carl Zeiss στο Bochum της Γερμανίας. Ο τρούλος του, σε σχήμα ελλειπτικού παραβολοειδούς, έχει διάμετρο 20 μέτρα 

Το κτίριο του Κογκρέσου, Μπραζίλια, Βραζιλία. Σχεδιάστηκε από τον αρχιτέκτονα Oscar Niemeyer.

"The Congress IV", λεπτομέρεια από το κτίριο του Κογκρέσου στη Μπραζίλια. Φωτογραφία: Todd Eberle 

.*.~.*.~.*.~.*.~.*.~.*

"Είναι κάτι που οι μη μαθηματικοί δεν μπορούν να αντιληφθούν πλήρως. Τα μαθηματικά στην πραγματικότητα είναι σχεδόν εξ ολοκλήρου ζήτημα αισθητικής".
J.H. Conway

.*.~.*.~.*.~.*.~.*.~.*

Πηγές:

• Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Bahai Art Gallery: Maureen Bell
• BlueThumb: Mia McLean
• Flickr: Daniel Mennerich
• Pixels: Don Barrett art
• Robert Harding: Oscar Niemeyer
• Sankaart: Berlin Norman Foster Reichstag
• Todd Eberle: Brazilia
• Wolfram Mathworld: Elliptic Paraboloid

Απλά... μαθηματικά!

Ο Θανάσης Βέγγος δείχνει πώς μπορείς να βγάλεις χρήματα εύκολα, με απλά... μαθηματικά!!!