"Το παράθυρο του Ευκλείδη"

Μέσα από το Παράθυρο του Ευκλείδη, ο Leonard Mlodinow μάς ταξιδεύει με τρόπο απολαυστικό διαμέσου πέντε επαναστάσεων στη γεωμετρία —από την έννοια των παράλληλων ευθειών μέχρι τις τελευταίες ιδέες για τον υπερχώρο. Εδώ έχουμε μια εντελώς νέα, φρέσκια, εναλλακτική ιστορία των Μαθηματικών, της Φυσικής και της Κοσμολογίας, η οποία αποκαλύπτει πώς απλά ερωτήματα σχετικά με το χώρο, τα οποία θα μπορούσε να θέσει ο οποιοσδήποτε, υπήρξαν η κρυφή κινητήρια δύναμη για τα υψηλότερα επιτεύγματα της επιστήμης και της τεχνολογίας.

Βασισμένο στην εκτεταμένη ιστορική έρευνα τού Mlodinow, στις μελέτες του δίπλα σε συναδέλφους (όπως ο Richard Feynman και ο Kip Thorne) και σε συνεντεύξεις με εξέχοντες φυσικούς και μαθηματικούς (όπως ο Murray Gell-Mann, ο Edward Witten και ο Brian Greene), το Παράθυρο του Ευκλείδη είναι ένα εξαιρετικό μείγμα αυστηρής, έγκυρης έρευνας και προσιτής, ευχάριστης αφήγησης, το οποίο συνιστά ένα εκπληκτικά πρωτότυπο επιχείρημα υπέρ της προτεραιότητας της γεωμετρίας. Για όσους κοιτάξουν μέσα από το παράθυρο του Ευκλείδη, κανένας χώρος, κανένα πράγμα και κανένας χρόνος δεν θα είναι πλέον ο ίδιος.

«Η πορεία της επιστήμης είναι εκείνη που χάραξαν οι Έλληνες γεωμέτρες με εργαλείο τους τα μαθηματικά. Από τους αρχαίους Έλληνες και μετά, τα μαθηματικά βρίσκονται στην καρδιά της επιστήμης και η γεωμετρία στην καρδιά των μαθηματικών. Μέσα από το παράθυρο του Ευκλείδη έχουμε ανακαλύψει πολλά, εκείνος ωστόσο δεν μπορούσε να φανταστεί πού θα μας οδηγούσαν. Το να γνωρίσουμε τα άστρα, να φανταστούμε το άτομο και να αρχίσουμε να κατανοούμε πώς αυτά τα κομμάτια τού παζλ ταιριάζουν στο κοσμικό σχέδιο, αποτελεί για το είδος μας μια ιδιαίτερη ευχαρίστηση, ίσως την υπέρτατη. […] Η έρευνά μας για βαθύτερες αλήθειες συνεχίζεται. Οφείλουμε ευγνωμοσύνη στον Ευκλείδη και στις μεγαλοφυΐες που ακολούθησαν, στον Καρτέσιο, στον Gauss στον Αϊνστάιν και —ίσως, ο χρόνος θα δείξει— στον Witten, καθώς και σε όλους εκείνους επάνω στους ώμους των οποίων αυτοί στάθηκαν. Εκείνοι δοκίμασαν τη χαρά της ανακάλυψης. Σε εμάς τους υπόλοιπους πρόσφεραν μια εξίσου σημαντική χαρά, τη χαρά της κατανόησης.»

—Από τον Επίλογο του βιβλίου.

Γρίφος: Το λιοντάρι και ο μονόκερος

Πηγή εικόνας

 

Ένα κορίτσι συναντά στο δάσος ένα λιοντάρι και έναν μονόκερο. 

Το λιοντάρι λέει ψέματα κάθε Δευτέρα, Τρίτη και Τετάρτη, ενώ τις άλλες μέρες λέει την αλήθεια.

Ο μονόκερος λέει ψέματα τις Πέμπτες, τις Παρασκευές και τα Σάββατα, ενώ τις υπόλοιπες μέρες της εβδομάδας λέει την αλήθεια.

"Χθες έλεγα ψέματα", είπε το λιοντάρι στο κορίτσι. "Κι εγώ το ίδιο", είπε ο μονόκερος. 

Τι μέρα είναι σήμερα; 

Καλή επιτυχία!!!

Καλή επιτυχία σε όλους τους μαθητές! Ευχόμαστε οι κόποι σας να ανταμειφθούν στο πολλαπλάσιο! 

"Amat victoria curam" ~ "Η νίκη αγαπά την προετοιμασία"

"Ο αγαπημένος μαθηματικός τύπος του καθηγητή"

 

Αυτός είναι ένας λαμπρός εξηντάχρονος καθηγητής μαθηματικών που, ύστερα από ένα αυτοκινητιστικό ατύχημα, ζει με μια βραχεία μνήμη μόλις ογδόντα λεπτών. Αυτή είναι μια ευαίσθητη και πανέξυπνη οικονόμος που αφοσιώνεται στη φροντίδα του. Κάθε πρωί, όταν ο καθηγητής και η οικονόμος συστήνονται εκ νέου ο ένας στον άλλον, ανθίζει μια παράξενη, όμορφη σχέση μεταξύ τους. Ο καθηγητής μπορεί να μη θυμάται τι έφαγε για πρωινό, άλλα στο μυαλό του είναι ακόμα ζωντανές οι κομψές εξισώσεις από το παρελθόν. Μετά από δική του προτροπή, η οικονόμος τού γνωρίζει τον δεκάχρονο γιό της. Έτσι ξεκινά μεταξύ τους μια θαυμάσια σχέση. Ο καθηγητής σκαρώνει έξυπνους μαθηματικούς γρίφους -βασιζόμενος άλλοτε στο νούμερο του παπουτσιού της και άλλοτε στην ημερομηνία γέννησής της- και οι αριθμοί αποκαλύπτουν έναν κόσμο ποίησης και καταφυγής, τόσο στην οικονόμο όσο και στο γιο της. Με κάθε νέα εξίσωση, οι τρεις χαμένες ψυχές σφυρηλατούν μια στοργή πιο μυστήρια από τους νοητούς αριθμούς και ένα δεσμό που διατρέχει βαθύτερα τη μνήμη.

Η Yoko Ogawa γι' αυτό το βιβλίο, που κυκλοφόρησε στην Ιαπωνία το 2004, τιμήθηκε με το λογοτεχνικό βραβείο Γιομιούρι, το Μεγάλο Βραβείο των Βιβλιοπωλών και, πρόσφατα, το βραβείο της Εταιρείας Μαθηματικών, επειδή αποκάλυψε στον αναγνώστη την ομορφιά αυτού του επιστημονικού κλάδου.

To 2006 το μυθιστόρημα μεταφέρθηκε στη μεγάλη οθόνη από τον Ιάπωνα σκηνοθέτη Takashi Koizumi, με τον τίτλο «The Professor and his Beloved Equation». Την ταινία αυτή, όπως και άλλες αξιόλογες ταινίες με μαθηματικό περιεχόμενο, την είχαμε αναφέρει εδώ.

Γρίφος... τετράγωνης λογικής

Βρείτε το μήκος x της πλευράς του τετραγώνου.

Πηγή: mathematicsart.com 

"Αναμνήσεις συμμετρίας"

 

Το βιβλίο "Αναμνήσεις Συμμετρίας" του μαθηματικού Ανδρέα Λύκου είναι «μία μυθιστορηματική περιήγηση στο έργο του χαράκτη Μ. Κ. Έσερ», όπως το χαρακτηρίζει ο ίδιος ο συγγραφέας. Ο Ανδρέας Λύκος κατάφερε να ισορροπήσει με αξιοθαύμαστο τρόπο στην αφήγηση της ιστορίας του διαφορετικούς και σύνθετους κόσμους: την πολυδιάστατη ομορφιά της τέχνης του Ολλανδού χαράκτη Έσερ, τη μαθηματική επιστήμη και την αναζήτηση της συμμετρίας, με την παλαιότερη από τις ανθρώπινες περιπέτειες, εκείνη του έρωτα και της ένωσης των ανθρώπων.

Βασικοί ήρωες αυτού του επιστολογραφικού μυθιστορήματος, με τις υποκειμενικές αφηγήσεις των ηρώων, είναι η Ραφαέλα, φοιτήτρια Ιστορίας της Τέχνης, και ο Θωμάς, διδακτορικός φοιτητής μαθηματικών, οι οποίοι παρατηρούν, ο ένας στη Ρώμη και ο άλλος στη Χάγη, το ίδιο έργο του χαράκτη Μ.Κ. Έσερ, την περίφημη λιθογραφία «Πινακοθήκη» (1956). Ο πίνακας που κοιτούν γοητευμένοι οι δύο ήρωες σε διαφορετικές τοποθεσίες αποτελεί και το όχημα που θα τους μεταφέρει, με απρόβλεπτο τρόπο, στην ίδια πόλη. Το Ατράνι, μια μικρή ιταλική πόλη, που έχει απεικονίσει πολλές φορές ο Έσερ στα χαρακτικά του, θα γίνει ο τόπος στον οποίο θα βιώσουν ένα πρωτόγνωρο συναίσθημα, εκείνο της βιωματικής προσέγγισης ενός έργου τέχνης. Εκεί θα γνωρίσουν τους "ανέφικτους κόσμους" του, καθώς και τα έργα του που διέπονται από τους κανόνες της συμμετρίας. Οι ήρωες του βιβλίου περπατούν δίπλα στους «Καταρράκτες», τους «Βυθισμένους Καθεδρικούς ναούς» και στις αδύνατες κατασκευές του χαράκτη, προσπερνώντας παράξενα συμμετρικά πτηνά, σαύρες ή περίτεχνα γεωμετρικά σχήματα. Ξεναγός τους θα είναι ο ίδιος ο χαράκτης. 

Το έργο «Πινακοθήκη» (1956) του Μ.Κ. Έσερ

Πώς, όμως, μία ιστορία στα Γιάννενα του δευτέρου παγκοσμίου πολέμου και ένας έλληνας μαθηματικός του 20ού αιώνα θα επηρεάσουν τη μετέπειτα ζωή τους; Μία επιδέξια ακροβασία ανάμεσα στο υπαρκτό και το νοητό, μία ευτυχισμένη συνάντηση του ορθολογισμού με το συναίσθημα, μία ερωτική περιπέτεια όπου πρωταγωνιστούν τα μαθηματικά και η τέχνη.

Το βιβλίο από τις Εκδόσεις Γαβριηλίδης

Μπορείτε να διαβάσετε το βιβλίο σε ηλεκτρονική μορφή, καθώς διατίθεται δωρεάν εδώ. 

"Ιστορίες Μαθηματικής Φαντασίας"

 Έντεκα διηγήματα από τον εξωτικό κόσμο των μαθηματικών

Τα μαθηματικά ως επιστήμη αποκαλύπτουν τα ορθολογικά θεμέλια του κόσμου μας και, παράλληλα, δίνουν έρεισμα για φιλοσοφικές προεκτάσεις. Ήταν επόμενο να γοητεύσουν τον Ζήνωνα, τον Άμποτ και τον Μπόρχες, δίνοντας έμπνευση και μέθοδο για ιστορίες και πειράματα σκέψης που εξετάζουν τον κόσμο μας από το μηδέν ως το άπειρο, από τον άνθρωπο ως το σύμπαν.

Χιούμορ και δράμα, ευφάνταστες αφηγήσεις και νοητικές αναζητήσεις. Τα διηγήματα που φιλοξενούνται σ' αυτή την ανθολογία μάς προσφέρουν μαθηματικά λογοπαίγνια, τοπολογικούς λαβύρινθους, γεωμετρικές περιπέτειες: ένας άνθρωπος που παγιδεύεται σε μια χώρα δύο διαστάσεων... ένας φοιτητής που πρέπει να βρει τρόπο να ξεφύγει από μια συμφωνία με το διάβολο... ένας πόλεμος με εξωγήινους που διεξάγεται αποκλειστικά με την απόδειξη μαθηματικών θεωρημάτων... ένα τρένο που εξαφανίζεται από τις ράγες του... και τι κάνουμε όταν χαλάσει ο υπολογιστής του διαστημοπλοίου μας...

Γράφουν μερικοί από τους κορυφαίους συγγραφείς του είδους: Άρθουρ Κλαρκ, Λάρι Νίβεν, Γκρέγκορι Μπένφορντ, Ρόμπερτ Χάινλαϊν, Ρούντι Ράκερ, Γκρεγκ Ίγκαν, Μάρτιν Γκάρντνερ, Άρμιν Γιόζεφ Ντόιτς, Χένρι Γκρος, Τζορτζ Ζιμπρόφσκι και Άλφρεντ Μπέστερ.

Επιλογή κειμένων και μετάφραση: Χριστόδουλος Λιθαρής.

Μαθηματικός γρίφος: Διατεταγμένες τετράδες

 

Να βρείτε όλες τις διατεταγμένες τετράδες \( (x, y, p, q) \) θετικών ακεραίων, όπου \( p, q \) πρώτοι, τέτοιες, ώστε \( \big(\frac{1}{x}\big)^2 + \big(\frac{1}{y}\big)^2 = \frac{1}{pq} \)

Ευχαριστώ τον συνάδελφο Μιχάλη Ζαρτούλα, που μου έστειλε τον γρίφο!

Ο Άγιος Βαλεντίνος πάει Λύκειο...

Κάθε γραμμή στο επίπεδο είναι μια γεωμετρική οντότητα, η οποία "συνοδεύεται" και από τη δική της εξίσωση, που είναι η αλγεβρική της "υπόσταση". Αυτή είναι η βασική σύνδεση της Άλγεβρας με τη Γεωμετρία. Για παράδειγμα, η εξίσωση της μορφής \( αx + βy = γ \), με \( α \neq 0 \) ή \( β \neq 0 \) παριστάνει ευθεία. Η εξίσωση της μορφής \( x^2 + y^2 = ρ^2 \) παριστάνει κύκλο. 

Αν θέλεις να ζωγραφίσεις μία καρδιά, μπορείς να χρησιμοποιήσεις μία από τις παρακάτω εξισώσεις. Η πρώτη καμπύλη (πάνω αριστερά) ονομάζεται καρδιοειδής καμπύλη.

Πηγή εικόνας: Wolfram MathWorld

Στο σχολείο μας, είπαμε να αφήσουμε για μια στιγμή την ευθεία και τον κύκλο των Μαθηματικών Κατεύθυνσης της Β΄ και να σχεδιάσουμε, χρησιμοποιώντας το Geogebra, τη δική μας καρδιά... 

"Σε φάση μετάβασης"

 

Ιστορίες (συν)εργασίας στην τάξη των γυμνασιακών μαθηματικών 

Δίχως αμφιβολία το Γυμνάσιο είναι μια από τις πιο σημαντικές, ίσως η σημαντικότερη, βαθμίδα της εκπαίδευσης. Άλλωστε και ηλικιακά αντιστοιχεί στο πέρασμα στην εφηβεία, ένα πέρασμα, που όπως λένε οι επαΐοντες, μπορεί να καθορίσει σε μεγάλο βαθμό όλη την υπόλοιπη ζωή μας... Για τα μαθηματικά πάντως, είναι βέβαιο πως πρόκειται για ένα κρίσιμο σημείο καμπής.

...Δύσκολο έργο για ένα πιτσιρίκι –που νιώθει τα μέλη του να μεγαλώνουν ανεξέλεγκτα, τους χυμούς και τις ορμόνες να κάνουν μέσα στο σώμα του γιορτή– να κατανοήσει τις πρώτες ανατροπές σ’ αυτά που ως τότε ήταν οι ακλόνητες (μαθηματικές) πεποιθήσεις του. Δύσκολο έργο όμως και για το δάσκαλο, που μπαίνοντας μέσα στην τάξη έχει να αντιμετωπίσει «ένα μελίσσι που ορμά στη γύρη... και άλλοτε του αφήνει μια γλυκιά γεύση στα χείλη κι άλλοτε ένα ηχηρό βουητό στα μηνίγγια».

Πέρα όμως από τις δυσκολίες που πρέπει να είναι έτοιμος και πρόθυμος να αντιμετωπίσει κάποιος που επέλεξε να γίνει δάσκαλος, υπάρχουν κι άλλες, απροσδόκητες και πολύ πιο σύνθετες: η «πατρομητρότης» που βασανίζει τη γυμνασιακή βαθμίδα όταν, θεωρώντας πως το βλαστάρι της δικαιούται τον «καλυτερότερο» βαθμό, προσλαμβάνει ειδικούς και επεμβαίνει στη διδασκαλία. η πολιτεία με τα ακατάλληλα, απηρχαιωμένα βιβλία και προγράμματά της. η δυσπιστία του μέσου πολίτη –που ενίοτε είναι και συνάδελφος άλλης ειδικότητας, για να μην πω της ίδιας– απέναντι στα μαθηματικά...

Τούτο το υπέροχο μπουκέτο από εμπειρίες, πρωτοβουλίες, απογοητεύσεις και θριάμβους, ζωντανό, γλαφυρό και μεθοδικό, μας ταξιδεύει στον φριχτό και υπέροχο συνάμα κόσμο της εκπαίδευσης. Μέσα από τις σελίδες του ανακαλύπτουμε ιστορίες που όλοι ζήσαμε και που τις ζωγράφισε για χάρη μας, νομίζοντας πως φωτογραφίζει μονάχα τον εαυτό της, η μοναδική, υπέροχη Κατερίνα Καλφοπούλου.

(Το κείμενο είναι του Τεύκρου Μιχαηλίδη, από την παρουσίαση στο οπισθόφυλλο του βιβλίου)