Απλά... μαθηματικά!

Ο Θανάσης Βέγγος δείχνει πώς μπορείς να βγάλεις χρήματα εύκολα, με απλά... μαθηματικά!!!

Προσεταιριστική ιδιότητα: Πόσο προφανής είναι;

Είναι προφανές ότι ισχύει

63 + 48 = 27 + 84 ;

Πρόκειται για μια ορθή μαθηματική πρόταση, χωρίς ενδιαφέρον, που επαληθεύεται σε δευτερόλεπτα. Είναι όμως προφανής; Αν "προφανής" σημαίνει ότι ο λόγος για τον οποίο ισχύει είναι σαφώς κατανοητός, χωρίς ανάγκη επαλήθευσης, τότε οι περισσότεροι θα απαντούσαν αρνητικά.

Είναι, τώρα, προφανές ότι

(27 + 36) + 48 = 27 + (36 + 48) ;

Ασφαλώς, για την πλειοψηφία: η ενστικτώδης (και ορθή) αντίδραση είναι ότι ο τρόπος με τον οποίο "συμμαζεύουμε" τους όρους ενός αθροίσματος δεν μπορεί να επηρεάσει το αποτέλεσμα. Ο έγκυρος μαθηματικός όρος για το συμμάζεμα αυτό και την τοποθέτηση των αριθμών σε "παρέες" είναι "προσεταιρίζουμε" και η ενστικτώδης αντίδραση είναι η αποδοχή της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης για πραγματικούς αριθμούς:

Την προσεταιριστική ιδιότητα διαθέτει και η πράξη του πολλαπλασιασμού στους πραγματικούς αριθμούς:

Εκτός, όμως, από το σύνολο των πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με τις πράξεις τις πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, οι μαθηματικοί ενδιαφέρθηκαν να ορίσουν και άλλα σύνολα, πιο αφηρημένα, για πολλούς και διάφορους σκοπούς. Η Γραμμική Άλγεβρα ασχολείται με διάφορα είδη πράξεων (όπως η πρόσθεση ή ο πολλαπλασιασμός) για διάφορα είδη αντικειμένων (όχι αναγκαστικά πραγματικούς αριθμούς). Μας ενδιαφέρει αν η πράξη με την οποία έχει εφοδιαστεί ένα σύνολο είναι, μεταξύ άλλων, προσεταιριστική. 

Προσεταιριστική πράξη

Μια διμελής πράξη ✱ σ' ένα σύνολο S λέγεται προσεταιριστική, αν (α ✱ β) ✱ γ = α ✱ (β ✱ γ), για κάθε α, β, γ ∈ S.

Είναι άδικο να παραβλέψουμε την προσεταιριστική ιδιότητα ως κάτι τετριμμένο. Η προσεταιριστικότητα της πράξης μπορεί να μην ισχύει πάντα, αλλά, ακόμη κι αν ισχύει, δεν είναι και τόσο προφανής. Στον κόσμο της Γραμμικής Άλγεβρας, αν και οι μη προσεταιριστικές πράξεις είναι σπάνιες, πράξεις για τις οποίες η προσεταιριστικότητα δεν είναι αυτονόητη, συναντώνται συχνότερα.

Κουίζ:

1. Ορίζουμε μια νέα πρόσθεση στους πραγματικούς αριθμούς, συμβολιζόμενη ως ⊕, όπου:

α⊕β = 2α + 2β

Είναι η ⊕ προσεταιριστική;

Σχόλιο: Το + στο δεύτερο μέλος σημαίνει τη συνήθη πρόσθεση.

2. Στο σύνολο {0, 1, 2} που αποτελείται από τρία στοιχεία, ορίζουμε έναν νέο πολλαπλασιασμό, που τον συμβολίζουμε με ⊗. Στον παρακάτω πίνακα πολλαπλασιασμού βλέπουμε πώς ορίζεται ο πολλαπλασιασμός ⊗:

⊗	0	1	2
0	0	0	0
1	0	1	2
2	0	2	1

Είναι η ⊗ προσεταιριστική;

Σχόλιο: Η πράξη αυτή καλείται στη Γραμμική Άλγεβρα "πολλαπλασιασμός modulo 3" (mod3, μοδίω 3), ενώ το σύνολο {0, 1, 2} καλείται "οι ακέραιοι modulo 3" και συμβολίζεται ως  ℤ3 .

Πηγές:

John B. Fraleigh (2003, 4η έκδοση). Εισαγωγή στην Άλγεβρα (μετ. Γιαννόπουλος). Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο (Το πρωτότυπο έργο δημοσιεύθηκε το 1967).

Paul Halmos (2012). Προβλήματα Γραμμικής Άλγεβρας (μετ. Τουμάσης & Γραμματίκας). Ευρύαλος Απόλλων, Τρίκαλα (Το πρωτότυπο έργο δημοσιεύθηκε το 1995).

Αν οι βαθμολογητές των Πανελλαδικών 2020 βαθμολογούσαν τα γραπτά των Μαθηματικών με αντιδράσεις του facebook

Αν φέτος οι βαθμολογητές των Πανελλαδικών Εξετάσεων αποφάσιζαν να μη βάλουν βαθμούς, αλλά να αξιολογήσουν τα γραπτά στα Μαθηματικά με αντιδράσεις του facebook... τα αποτελέσματα θα ήταν κάπως έτσι: 

• Σωστή απάντηση / Παράθεση σωστού αντιπαραδείγματος στη Θεωρία:

Μου αρέσει!

• Ευφυής απόδειξη του ζητούμενου:

Τέλειο!

• Υπολογισμός ορίου με Κριτήριο Παρεμβολής:

Νοιάζομαι

• Λανθασμένη παραγώγιση:

Χαχα

• Απόδειξη ανισότητας με χρήση Θεωρήματος Μέσης Τιμής και μονοτονίας:

Ουάου!

• Λάθος στην εύρεση προσήμων, με αποτέλεσμα να μην μπορεί ο μαθητής να εφαρμόσει Θεώρημα Bolzano:

Λυπάμαι...

• Ανεπίτρεπτα / Θανάσιμα λάθη:

Έλεος!

Ο γρίφος του Einstein

Ο γρίφος του Einstein αποτελεί έναν από τους διασημότερους γρίφους μαθηματικής λογικής. Πήρε το όνομά του από τον θεμελιωτή της Θεωρίας της Σχετικότητας Albert Einstein, είτε επειδή ήταν εκείνος που τον εμπνεύστηκε, ή - το πιθανότερο- απλώς επειδή είναι ένας τόσο έξυπνος γρίφος, ώστε θυμίζει κατά κάποιον τρόπο το μυαλό του Einstein... Για να τον λύσει κανείς, δεν απαιτείται κάποιο μαθηματικό υπόβαθρο, παρά μόνο μαθηματική λογική!

Υπάρχουν πέντε σπίτια, με πέντε διαφορετικά χρώματα στη σειρά. Σε κάθε σπίτι κατοικεί ένας άνθρωπος με διαφορετική εθνικότητα. Ο κάθε ένας από τους πέντε ιδιοκτήτες των σπιτιών πίνει διαφορετικό ποτό, καπνίζει διαφορετική μάρκα τσιγάρων και έχει στην κατοχή του ένα διαφορετικό κατοικίδιο. Κανένας από τους ιδιοκτήτες δεν έχει το ίδιο κατοικίδιο με τον άλλον, δεν καπνίζει την ίδια μάρκα τσιγάρων με τον άλλο ή πίνει το ίδιο ποτό με τον άλλον.

Τα στοιχεία:

1. Ο Βρετανός κατοικεί στο κόκκινο σπίτι.
2. Ο Σουηδός έχει στην κατοχή του ένα σκύλο.
3. Ο Δανός πίνει τσάι.
4. Το πράσινο σπίτι βρίσκεται ακριβώς στα αριστερά του λευκού σπιτιού.
5. Ο ιδιοκτήτης του πράσινου σπιτιού πίνει καφέ.
6. Ο ιδιοκτήτης που έχει στην κατοχή του πουλιά, καπνίζει Pall Mall.
7. Ο ιδιοκτήτης του κίτρινου σπιτιού καπνίζει Dunhill.
8. Ο ιδιοκτήτης που κατοικεί στο μεσαίο σπίτι πίνει γάλα.
9. Ο Νορβηγός κατοικεί στο πρώτο σπίτι.
10. Ο ιδιοκτήτης που καπνίζει Blends κατοικεί δίπλα σε αυτόν που έχει για κατοικίδιο γάτα.
11. Ο ιδιοκτήτης που έχει στην κατοχή του άλογο, κατοικεί δίπλα σε αυτόν που καπνίζει Dunhill.
12. Ο ιδιοκτήτης που καπνίζει Bluemasters πίνει μπύρα.
13. Ο Γερμανός καπνίζει Prince.
14. Ο Νορβηγός κατοικεί δίπλα στο μπλε σπίτι.
15. Αυτός που καπνίζει Blends κατοικεί δίπλα σε αυτόν που πίνει νερό.

Η ερώτηση είναι: Ποιος έχει το ψάρι;

Μπορείτε να δείτε την απάντηση εδώ...

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Μονόχωνο Υπερβολοειδές

Τα βιβλία γράφουν...

Το μονόχωνο υπερβολοειδές εκ περιστροφής είναι τετραγωνική επιφάνεια και παράγεται από την περιστροφή ευθείας γύρω από άξονα, ασύμβατο προς την ευθεία. Ο άξονας αυτός λέγεται άξονας του μονόχωνου υπερβολοειδούς και είναι άξονας συμμετρίας του. Το μονόχωνο υπερβολοειδές εκ περιστροφής έχει επίσης κέντρο συμμετρίας. Κάθε ευθεία του μονόχωνου υπερβολοειδούς είναι γενέτειρα της επιφάνειας.
Κάθε επίπεδο κάθετο στον άξονα του μονόχωνου υπερβολοειδούς εκ περιστροφής, το τέμνει σε κύκλο. Κάθε επίπεδο που περιέχει τον άξονα του μονόχωνου υπερβολοειδούς, το τέμνει σε υπερβολή. Έτσι,το μονόχωνο υπερβολοειδές εκ περιστροφής μπορεί να προκύψει δια περιστροφής μιας υπερβολής γύρω από τον άξονα αυτό.

Connelly Barnes (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Hyperbola"

Don Barrett (Σύγχρονος γραφίστας) - "Apocalypse Soon" 

Το μονόχωνο υπερβολοειδές έχει χρησιμοποιηθεί πολύ συχνά στη σύγχρονη αρχιτεκτονική, δημιουργώντας ενδιαφέρουσες φόρμες.

Πύργος ελέγχου εναέριας κυκλοφορίας, Διεθνής Αερολιμένας Newcastle, Ηνωμένο Βασίλειο

Πλανητάριο James McDonnell, Μισσούρι, Η.Π.Α.

Ο Πύργος του Canton, Guangdong, Κίνα.

Καθεδρικός Ναός της Μπραζίλια, Βραζιλία. Σχεδιάστηκε από τον αρχιτέκτονα Oscar Niemeyer και ολοκληρώθηκε το 1970. 
  

Γέφυρα μεταξύ κτιρίων στο Manchester της Αγγλίας

 

Ο πρώτος πύργος σε σχήμα μονόχωνου υπερβολοειδούς ήταν ένας πύργος νερού που κατασκευάστηκε το 1896 στη Ρωσία, από τον αρχιτέκτονα Vladimir Shukhov.

Πηγές:

• Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
• H.L.C. Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Connelly Barnes
• Pixels: Don Barrett art
• Wikipedia: Hyperboloid
• Wikipedia: Hyperboloid Structure
• Wolfram Mathworld: One-Sheeted Hyperboloid