Εις το άπειρον: Γρίφος: Πρωτάθλημα σκακιού

Σάββατο 11 Μαρτίου 2023

Γρίφος: Πρωτάθλημα σκακιού

Δύο μαθητές δημοτικού, εξαιρετικά ταλαντούχοι στο σκάκι, έλαβαν μέρος σε ένα πρωτάθλημα που διοργανώθηκε στο πανεπιστήμιο της πόλης τους και ανταγωνίστηκαν με τους φοιτητές. Κάθε παίκτης που συμμετείχε στο πρωτάθλημα έπαιξε με όλους τους άλλους μία μόνο παρτίδα. Με κάθε νίκη κέρδιζε ένα βαθμό, με κάθε ισοπαλία μισό, ενώ στην περίπτωση ήττας ο παίκτης δεν έπαιρνε βαθμούς. Όλοι οι φοιτητές είχαν στο τέλος την ίδια βαθμολογία, ενώ οι δύο μαθητές μαζί συγκέντρωσαν συνολικά 6,5 βαθμούς.

Πόσοι φοιτητές συμμετείχαν στο πρωτάθλημα σκακιού;

4 σχόλια:

Ανώνυμος11 Μαρτίου 2023 στις 11:38 μ.μ.
κ=11. (κ+1)(κ+2)/2=6,5+κλ⇒κ=(2λ-3+√((2λ-3)²+44))/2⇒λ=6,5, κ=11. Όλοι (και οι 11 μεγάλοι) από 6,5 βαθμούς (ενώ οι δύο μικροί συνολικά 6,5 βαθμούς οι δυο τους).
ΑπάντησηΔιαγραφή
Απαντήσεις
Fotini Kouzoumi12 Μαρτίου 2023 στις 1:57 μ.μ.
Αυτή είναι η σωστή απάντηση!
ΑπάντησηΔιαγραφή
Απαντήσεις
Fotini Kouzoumi18 Μαρτίου 2023 στις 9:47 μ.μ.
Παραθέτω και την αναλυτική λύση:
Έστω $x$ το πλήθος των φοιτητών.
Τότε έχουμε $x + 2$ παίκτες.
Κάθε παίκτης έπαιξε $x + 1$ παρτίδες.
Συνολικά παίχτηκαν $\frac{(x + 2) (x + 1)}{2}$ παρτίδες.
Η συνολική βαθμολογία των $x + 2$ παικτών είναι ίση με το πλήθος των παρτίδων, γιατί:
-Αν σε 1 παρτίδα υπάρχει νικητής+ηττημένος, το άθροισμα των βαθμολογιών των 2 παικτών είναι $1 + 0 = 1$ .
-Αν έχουμε ισοπαλία , το άθροισμα των βαθμολογιών των 2 παικτών είναι $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .
Άρα η συνολική βαθμολογία των $x + 2$ παικτών είναι: $\frac{(x + 2) (x + 1)}{2}$
Τότε η συνολική βαθμολογία των φοιτητών είναι:
$\frac{(x + 2) (x + 1)}{2} - 6, 5 = \frac{x^{2} + 3 x - 11}{2}$
Όλοι οι φοιτητές έχουν την ίδια βαθμολογία, άρα κάθε φοιτητής έχει $\frac{x^{2} + 3 x - 11}{2 x}$ βαθμούς.
Αλλά από τον τρόπο που γίνεται η βαθμολόγηση, η βαθμολογία κάθε παίκτη θα είναι της μορφής $\frac{1}{2} \cdot k$ , όπου $k \in N$ .
Οπότε πρέπει ο $\frac{x^{2} + 3 x - 11}{x} = x + 3 - \frac{11}{x}$ να είναι φυσικός. Δηλ. πρέπει ο $11$ να διαιρείται με το $x$ , επομένως $x = 1$ ή $x = 11$ .
Η $x = 1$ απορρίπτεται γιατί δίνει αρνητική συνολική βαθμολογία των φοιτητών.
Η $x = 11$ δεκτή.
ΑπάντησηΔιαγραφή
Απαντήσεις
PAPAVERI4819 Μαρτίου 2023 στις 12:47 π.μ.
Φωτεινή, σ' ευχαριστώ.
ΑπάντησηΔιαγραφή
Απαντήσεις