"Unit Distance Problem": Το μεγαλύτερο μέχρι σήμερα επίτευγμα της ΤΝ στα Μαθηματικά!

 

Η OpenAI προκάλεσε παγκόσμιο θαυμασμό, προσφέροντας πολύτιμη βοήθεια για να απαντηθεί το περίφημο πρόβλημα της μοναδιαίας απόστασης (Unit Distance Problem), ένας γρίφος που είχε μείνει άλυτος για 80 χρόνια. Πάμε όμως να δούμε αναλυτικά περί τίνος πρόκειται.

 

Η λύση ενός… «μαθηματικού μυστηρίου»

Το 1946, ο Paul Erdös, ένας από τους σημαντικότερους μαθηματικούς του 20ού αιώνα διατύπωσε το εξής ερώτημα: Αν τοποθετήσουμε οποιονδήποτε αριθμό κουκκίδων σε μια επίπεδη επιφάνεια, ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός ζευγών που θα μπορούσαν να απέχουν μεταξύ τους μια συγκεκριμένη μοναδιαία απόσταση (π.χ. 1 cm);

Για παράδειγμα, αν διαθέτουμε n=3 κουκκίδες, μπορούμε να τις τοποθετήσουμε στις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου ώστε να σχηματίζονται u(3)=3 ζεύγη που απέχουν μοναδιαία απόσταση. Αν έχουμε n=4 κουκκίδες, τότε η καλύτερη διάταξη είναι όπως στο παρακάτω σχήμα, όπου προκύπτουν u(4)=5 τέτοια ζεύγη, ενώ αν διαθέτουμε n=5 κουκκίδες, στην καλύτερη διάταξη επιτυγχάνονται u(5)=7 ζεύγη, κ.ο.κ.

Βέβαια, καθώς αυξάνεται ο αριθμός των κουκκίδων, τα σχήματα -στα οποία ζητείται να απέχουν μεταξύ τους μοναδιαία απόσταση όσο το δυνατόν περισσότερα ζεύγη- ξεφεύγουν από την παραπάνω συμμετρία και γίνονται όλο και πιο περίπλοκα:

Μια κατασκευή μοναδιαίων αποστάσεων σε τετραγωνικό πλέγμα πολλών κουκκίδων.
Τι συμβαίνει στο παραπάνω σχήμα: αν θεωρήστε π.χ. την κάτω αριστερή γωνία ως αρχή των αξόνων (0,0), τότε η "μοναδιαία απόσταση" (με την οποία θέλουμε να ισαπέχουν οι περισσότερες κουκκίδες, όχι δύο διαδοχικές) ισούται με την απόσταση των κουκκίδων (8,1) ή (1,8) ή (4,7) ή (7,4) από το (0,0).

Ο Erdös υπέθεσε ένα συγκεκριμένο, δισδιάστατο πλέγμα ως την απόλυτα καλύτερη διάταξη που απαντά στο ερώτημα. Οι περισσότεροι μαθηματικοί συμφωνούσαν με την εικασία του Erdös, θεωρώντας ότι ο μέγιστος αριθμός u(n) των ζευγών που ισαπέχουν, διαθέτει ένα κάτω και ένα άνω όριο σύμφωνα με την εξής ανισότητα:

\(c_1 \cdot n^{1+\epsilon(n)} \leq u(n) \leq c_2 \cdot n^{\frac{4}{3}} \)

Η \( \epsilon(n)\) είναι τέτοια, ώστε καθώς το \(n\) αυξάνεται απεριόριστα, το \( \epsilon(n)\) τείνει στο 0. Κανένας μαθηματικός δεν μπόρεσε να βρει μια καλύτερη διάταξη, αλλά ούτε και να αποδείξει ότι ο Erdös είχε όντως δίκιο…

Τι πέτυχε η Τεχνητή Νοημοσύνη

Πριν από μερικές ημέρες, ανακοινώθηκε από την OpenAI ότι το μοντέλο τεχνητής νοημοσύνης της εταιρείας διέψευσε την εικασία του Erdös, ανακαλύπτοντας μια νέα κλάση κατασκευών. Αντί να προσπαθήσει να βελτιώσει τα δισδιάστατα πλέγματα, η ΤΝ έκανε το εξής: Κατασκεύασε ένα εξαιρετικά πολύπλοκο πλέγμα σε πολυδιάστατο χώρο, όπου ειδικές συμμετρίες επέτρεψαν τη δημιουργία πολύ περισσότερων ζευγών στη ζητούμενη απόσταση. Στη συνέχεια, βρήκε έναν μαθηματικό τρόπο να προβάλει αυτό το πολυδιάστατο σχήμα πίσω στις δύο διαστάσεις. Η τελική διάταξη είναι τόσο περίπλοκη, που είναι αδύνατον να σχεδιαστεί με το χέρι.

Eκείνο που κατάφερε η Τεχνητή Νοημοσύνη τελικά ήταν να ανεβάσει το κάτω όριο ώστε: \(c_1 \cdot n^{1,014} \leq u(n) \leq c_2 \cdot n^{\frac{4}{3}} \)

Έτσι, ενώ η εικασία του Erdös έλεγε ότι «δεν μπορεί στο κάτω όριο, \( c_1 \cdot n^{1+\epsilon(n)}\), να υπάρχει σταθερός εκθέτης μεγαλύτερος από το 1», ο υπολογισμός της Τεχνητής Νοημοσύνης έδειξε ότι αυτό δεν ισχύει, αφού μπορεί να πάρει την τιμή 1,014, καταρρίπτοντας έτσι οριστικά την ιστορική εικασία.

Πώς ανταποκρίθηκε η διεθνής επιστημονική κοινότητα

Το αποτέλεσμα αυτό είναι η πρώτη απόδειξη Τεχνητής Νοημοσύνης που πιθανότατα θα δημοσιευόταν σε κορυφαίο μαθηματικό περιοδικό, αν είχε επιτευχθεί αποκλειστικά από ανθρώπους. Οι μαθηματικοί χαρακτήρισαν τη μέθοδο της τεχνητής νοημοσύνης «έξυπνη» και «κομψή» και δημοσίευσαν εδώ την εργασία τους.

«Καμία προηγούμενη απόδειξη που έχει δημιουργηθεί από ΤΝ δεν έχει πλησιάσει στο να ικανοποιεί αυτά τα υψηλά πρότυπα», έγραψε ο Timothy Gowers, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Cambridge και κάτοχος Μετάλλιου Fields, σε σχόλιο που ζητήθηκε από την OpenAI. «Αυτό είναι το μοναδικό ενδιαφέρον αποτέλεσμα που έχει παραχθεί αυτόνομα από την ΤΝ μέχρι στιγμής», λέει ο Daniel Litt, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Τορόντο, ο οποίος κλήθηκε από την OpenAI να επαληθεύσει την απόδειξη, χωρίς να έχει σχέση με την εταιρεία.

 

Το μέλλον εξακολουθεί να εξαρτάται από τον άνθρωπο

Ωστόσο, η ΤΝ δεν απέδειξε ότι η προσέγγισή της είναι η καλύτερη που μπορεί να επιτευχθεί. Μάλιστα, ο μαθηματικός Will Sawin έχει ήδη βελτιώσει το πλέγμα της ΤΝ (Διαβάστε εδώ: An explicit lower bound for the unit distance problem).

Αρκετοί από τους ειδικούς που συμβουλεύτηκε η OpenAI σημείωσαν ότι, αν και το πρόβλημα ήταν ευρέως γνωστό, μια απόδειξη ότι ο Erdős είχε δίκιο θα ήταν μαθηματικά πολύ πιο πλούσια από ένα αντιπαράδειγμα. «Το μοντέλο της ΤΝ δεν εφηύρε κάτι ριζικά νέο, που κανείς δεν είχε προβλέψει», λέει ο Sébastien Bubeck, μαθηματικός που ηγείται των μαθηματικών ερευνών της OpenAI. «Απλώς εκτέλεσε (το πρόβλημα) σαν ένας εκπληκτικός μαθηματικός».

Οι ειδικοί έσπευσαν επίσης να προσθέσουν ότι, χωρίς την παρέμβαση των ανθρώπων για να «συμμαζέψουν» τη δουλειά της ΤΝ, το αποτέλεσμα δεν θα ήταν τόσο πειστικό. «Ο άνθρωπος εξακολουθεί να διαδραματίζει ζωτικό ρόλο στην συζήτηση, την κατανόηση και τη βελτίωση αυτής της απόδειξης, καθώς και στη διερεύνηση των συνεπειών της», έγραψε ο μαθηματικός Thomas Bloom.

Η μαθηματικός του Πανεπιστημίου Harvard, Melanie Matchett Wood, λέει ότι η πρόοδος των ανθρώπων πιθανότατα περιοριζόταν από την πεποίθησή τους ότι η εικασία ήταν αληθής. «Αν όλοι οι ειδικοί είχαν αφιερώσει τον ίδιο χρόνο αναζητώντας ένα αντιπαράδειγμα», σχολιάζει, «θα το είχαν βρει».

Αυτό είναι εύλογο, διότι η λύση της ΤΝ ήταν, εκ των υστέρων, μια άμεση προσέγγιση που κανένας άνθρωπος δεν είχε προσπαθήσει ποτέ να βρει, παρόλο που τα εργαλεία υπήρχαν ήδη. Πραγματικά νέες, πρωτοποριακές ιδέες παραμένουν πέρα από τις δυνατότητες της σημερινής ΤΝ, αφήνοντας αντ’ αυτού τις μηχανές να ερευνήσουν τη βιβλιογραφία για σπάνια «διαμάντια», όπου οι άνθρωποι αγνόησαν μια σχετικά απλή προσέγγιση. Ακόμα κι έτσι, ο Litt προσθέτει, «η μαντεψιά μου είναι ότι σύντομα θα διαπιστώσουμε πως τελικά δεν είναι και τόσο σπάνια».