Ο Paul Halmos και οι χειραψίες της... γυναίκας του

Το 1991, ο Paul Halmos στο βιβλίο του "Problems for Mathematicians, Young and Old", που όπως χαρακτηριστικά ανέφερε "έγραψε για το κέφι του", θέτει -μεταξύ πολλών άλλων- το παρακάτω πρόβλημα συνδυαστικής:

Η γυναίκα μου κι εγώ ήμασταν προσκεκλημένοι σε ένα πάρτι με άλλα τέσσερα ζευγάρια, συνολικά δέκα άτομα. Σε κάθε άφιξη είχαμε χειραψίες απρόβλεπτες σε αριθμό, με τις εξής δύο προφανείς προϋποθέσεις: κανένα πρόσωπο δεν ανταλλάσσει χειραψίες με τον εαυτό του ή με το ταίρι του. Στο τέλος, μου κινήθηκε η περιέργεια και ρώτησα το ίδιο πράγμα σε όλους τους παρόντες. "Πόσα χέρια έσφιξες; ... Κι εσύ; ... Κι εσύ"; Ρώτησα εννέα άτομα (όλους, συμπεριλαμβανομένης της γυναίκας μου) και δηλώνω υπευθύνως ότι έλαβα εννέα διαφορετικές απαντήσεις.

Πόσες χειραψίες αντάλλαξε η γυναίκα μου;

Ο Paul Halmos γύρω στο 1980

Για τους φίλους που αγαπάνε να λύνουν γρίφους και προβλήματα, περιμένω τις απαντήσεις στα σχόλια!

"Ο Θεός κρατάει μυστικά από εμάς
και έχει πλάκα να προσπαθούμε να μάθουμε μερικά από αυτά".
Paul Halmos (1916 - 2006)

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Μη κυρτά και αστεροειδή πολύεδρα

Αστεροειδή Πολύεδρα ή Αστέρες Πολύεδρα

Συνεχίζουμε, μέσω της τέχνης, την περιήγηση στον κόσμο των πολυέδρων, αυτή τη φορά με αστεροειδή (ή αστρόμορφα) πολύεδρα. Πρόκειται για μη κυρτά πολύεδρα, είναι δηλαδή αυτοτεμνόμενα.

Στο βιβλίο του Welzel Jamnitzer "Perspectiva Corporum Regularium" ("Προοπτική Κανονικών Στερεών", 1568), απεικονίζονται διάφορα αστεροειδή πολύεδρα.

Πολύεδρα Kepler-Poinsot

Τα βιβλία γράφουν...

Υπάρχουν τέσσερα κανονικά αστεροειδή πολύεδρα, των οποίων οι έδρες τέμνουν το πολύεδρο, γνωστά ως πολύεδρα των Kepler-Poinsot.

Μικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο

Το μικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο πρωτοεμφανίστηκε περίπου το 1430 σε ένα μωσαϊκό του Paolo Uccello (1397 - 1475) στο πάτωμα του καθεδρικού του Σαν Μάρκο στη Βιέννη (Muraro, 1955). Αναλύθηκε  από τον Kepler στο έργο του "Harmonice Mundi" ("Αρμονικός Κόσμος", 1619) και ξανά από τον Poinsot το 1809.

M.C. Escher (1898 - 1972) - "Gravitation" (1952)

Γλυπτό εμπνευσμένο από το μικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο του πίνακα "Gravitation" του Maurits Cornellis Escher.

Διακοσμεί το χώρο του Πανεπιστημίου του Twente της Ολλανδίας.

Richard Starks (Σύγχρονος γλύπτης) - "Small Stellated Dodecahedron" (2016)

Μεγάλο αστεροειδές δωδεκάεδρο

Στο βιβλίο του Welzel Jamnitzer "Perspectiva Corporum Regularium" ("Προοπτική Κανονικών Στερεών", 1568), υπάρχει ένα σκίτσο του μεγάλου αστεροειδούς δωδεκαέδρου.

The Playful Geometer (σύγχρονος μηχανικός και καλλιτέχνης) - "Great Stellated Dodecahedron" (2009)
Γλυπτό-φωτιστικό

Vebjørn Sand (γεν. 1966) - "The Kepler Star" (2000)

Γλυπτό που διακοσμεί το αεροδρόμιο του Όσλο, Νορβηγία, γνωστό και ως "Norwegian Peace Star". Αποτελείται από ένα εικοσάεδρο και ένα δωδεκάεδρο μέσα σε ένα μεγάλο αστεροειδές δωδεκάεδρο.

Μεγάλο αστεροειδές δωδεκάεδρο εγγεγραμμένο σ' ένα οκταγωνικό πρίσμα, στο βιβλίο "Harmonice Mundi" ("Αρμονικός Κόσμος", 1619)  του Johannes Kepler

Μεγάλα και μικρά αστεροειδή δωδεκάεδρα στο βιβλίο "Harmonice Mundi" ("Αρμονικός Κόσμος", 1619)  του Johannes Kepler

Μεγάλο δωδεκάεδρο

Στο βιβλίο του Welzel Jamnitzer "Perspectiva Corporum Regularium" ("Προοπτική Κανονικών Στερεών", 1568), συναντάμε ένα σκίτσο του μεγάλου δωδεκαέδρου.

Μεγάλο εικοσάεδρο

Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", 1509)

"Ycocedron Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", 1509)

Amber Brookman (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Great Icosahedron"

Σελίδα από το βιβλίο του Lorenzo Sirigatti (1561 - 1614), "La Pratica di Perspettiva" ("Η Πρακτική της Προοπτικής", Βενετία, 1596), ένα βιβλίο για καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες.  Απεικονίζονται, από πάνω προς τα κάτω: Μικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο, 72εδρη σφαίρα και Μεγάλο εικοσάεδρο.

Διάφορα άλλα αστεροειδή πολύεδρα

Εκτός από τα πολύεδρα των Kepler-Poinsot, έχουμε και άλλα γνωστά αστεροειδή πολύεδρα.


Πρώτο αστεροειδές ρομβικό δωδεκάεδρο ή στερεό του Escher

Το στερεό του Escher είναι το στερεό που απεικονίζεται στην κορυφή του δεξιού βάθρου στην ξυλογραφία "Waterfalls" του M.C. Escher:

M.C. Escher (1898 - 1972) - "Waterfalls" (1961)

M.C. Escher (1898 - 1972) - "Stars" (1948)

Υπάρχει μια ομοιότητα μεταξύ αυτών των πολυέδρων και εκείνων του Leonardo da Vinci στο βιβλίο του Luca Paccioli.

Τριάκις Οκτάεδρο ή Αστεροειδές/αστερώδες οκτάεδρο


Αποτελεί σύνθεση δύο τετραέδρων. Επίσης είναι ο μοναδικός αστερισμός του οκταέδρου.

"Octocedron Elevatus Solidus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", τρίτο βιβλίο, 1509).
Αργότερα (1611), ο Kepler ονόμασε το στερεό αυτό Stella Octangula.

"Octocedron Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", τρίτο βιβλίο, 1509)

Διακοσμητική λεπτομέρεια στο Υπαίθριο Μουσείο Πολιτισμού και Ιστορίας στο Μέλανα Δρυμό της Γερμανίας
(Swarzwælder Freilichtmuseum Vogtsbauernhof)

Πολυεδρική ένωση κύβου και οκταέδρου


Αποτελεί σύνθεση ενός κύβου και ενός οκταέδρου. Είναι επίσης ο πρώτος αστερισμός του κυβοκταέδρου. Τέλος, μπορεί να κατασκευαστεί από ένα κυβοκτάεδρο, με προσθήκη τριγωνικών και τετραγωνικών πυραμίδων σε κάθε έδρα του.

Vincent Fink (Σύγχρονος ζωγράφος)

Vincent Fink (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Mr. Octahedron Iteration 1"
Εκτός από το κυβο-οκτάεδρο στο πάνω-δεξιά μέρος του πίνακα, ο ζωγράφος έχει απεικονίσει κύβους και οκτάεδρα σε διάφορα μεγέθη.

Πρώτος σύνθετος αστερισμός του εικοσιδωδεκαέδρου (Πολυεδρική ένωση πέντε οκταέδρων)

"Vigintisex Basilum Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", 1509)

Τα βιβλία γράφουν...

Ένα επαυξημένο πολύεδρο προκύπτει, αν στο αρχικό πολύεδρο προσαρτήσουμε σε κάθε κάθε έδρα του μια πυραμίδα με βάση την έδρα αυτή.


Τριάκις Τετράεδρο ή Επαυξημένο Τετράεδρο


Μπορεί να προκύψει από ένα τετράεδρο αν σε κάθε έδρα του "κολλήσουμε" μια τριγωνική πυραμίδα.

"Tetracedron Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", 1509)

"Tetracedron Elevatus Vacuus - Tetracedron Elevatus Solidus"
Αφίσα για το Μουσείο Leonardo da Vinci στην πόλη Vinci της Ιταλίας, πρότζεκτ με τον Dirk Huylebrouck

Oliver Gustav (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Elevated Tetrahedron"

Επαυξημένος Κύβος ή Επαυξημένο Εξάεδρο

Μπορεί να προκύψει από έναν κύβο αν σε κάθε έδρα του "κολλήσουμε" μια τετραγωνική πυραμίδα.

"Hexacedron Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci στο βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", τρίτο βιβλίο, 1509)

Επαυξημένος Κόλουρος Κύβος ή Επαυξημένο Κόλουρο Εξάεδρο

Μπορεί να προκύψει από έναν κόλουρο κύβο αν σε κάθε έδρα του "κολλήσουμε" οκταγωνικές ή τριγωνικές πυραμίδες.

"Exacedron Abscisus Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", τρίτο βιβλίο, 1509)

"Exacedron Abscisus Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", τρίτο βιβλίο, 1509)

"Exacedron Abscisus Elevatus Vacuus - Exacedron Abscisus Elevatus Solidus"
Αφίσα για το Μουσείο Leonardo da Vinci στην πόλη Vinci της Ιταλίας, πρότζεκτ με τον Dirk Huylebrouck

Πεντάκις δωδεκάεδρο

Μπορεί να προκύψει από ένα δωδεκάεδρο αν σε κάθε έδρα του "κολλήσουμε" πενταγωνικές πυραμίδες. Έχει 5x12 = 60 έδρες, εξ' ου και το όνομά του.

"Duodecedron Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", 1509)

Επαυξημένο εικοσιδωδεκάεδρο

Μπορεί να προκύψει από ένα εικοσιδωδεκάεδρο αν σε κάθε έδρα του "κολλήσουμε" πενταγωνικές ή τριγωνικές πυραμίδες.

"Duodecedron Abscisus Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας, 1509)

"Duodecedron Abscisus Elevatus Vacuus"
Πιστή αναπαραγωγή της κατασκευής του da Vinci από τον σύγχρονο μαθηματικό και καλλιτέχνη, George Hart (1999)

"Duodecedron Abscisus Elevatus Vacuus - Duodecedron Abscisus Elevatus Solidus"
Αφίσα για το Μουσείο Leonardo da Vinci στην πόλη Vinci της Ιταλίας, πρότζεκτ με τον Dirk Huylebrouck

Πρόκειται για το αστεροειδές πολύεδρο στο κάτω μέρος του ξυλόγλυπτου της εικόνας:

Αναγεννησιακό ξυλόγλυπτο (Intarsia), έργο του Fra Giovanni da Verona (1457 - 1525). Σκευοφυλάκιο της Αγίας Μαρίνας στο αρμόνιο της Βερόνα 
(περ. 1494 - 1499).
Απεικονίζονται με τη σειρά, από πάνω προς τα κάτω: Επαυξημένος κύβος, κυβοκτάεδρο και επαυξημένο εικοσιδωδεκάεδρο. 

Αναγεννησιακό ξυλόγλυπτο (Intarsia), έργο του Fra Giovanni da Verona (1457 - 1525). Μοναστήρι του Monte Olivetto, κοντά στη Siena (περ. 1503 - 1506).

Παρατηρούμε ότι όλες οι απεικονίσεις των πολυέδρων είναι επηρεασμένες από την τεχνοτροπία του Leonardo da Vinci στο βιβλίο του Luca Pacioli, "De Divina Proportione" (1509). Ο τελευταίος ήταν δάσκαλος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας για τον da Vinci και τον βοήθησε στις κατασκευές του ως μηχανικός.

Διάφορα μη κυρτά πολύεδρα

Σελίδα από το βιβλίο του Lorenz Stoer "Geometria et Perspectiva ("Γεωμετρία και Προοπτική", Νυρεμβέργη, 1567). Το βιβλίο αυτό περιείχε μια σειρά τυπωμάτων με σχέδια για ξυλόγλυπτα, με φανταστικά τοπία και μη κυρτά πολύεδρα, όπως αυτό της εικόνας.

Τα βιβλία γράφουν...

Οι επιφάνειες των μη κυρτών πολυέδρων -σε αντίθεση με τα κυρτά- μπορεί να έχουν χαρακτηριστική Euler διάφορους αριθμούς.


Τα αστεροειδή πολύεδρα παρουσιάζουν ποικίλες συμμετρίες και ομάδες συμμετριών, οι οποίες μελετώνται από τη σύγχρονη Θεωρία Ομάδων. Πιστεύεται ότι οι συμμετρίες αυτές είναι ο κύριος λόγος που τα αστεροειδή πολύεδρα ενέπνευσαν τόσο έντονα τους καλλιτέχνες, ειδικά κατά την Αναγέννηση.

Πηγές:

• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Πανεπιστημιακές σημειώσεις "Ιστορίας των Μαθηματικών" καθηγητή Α.Θωμά, 2010
• Geometricism by David Wade
• George Hart: Leonardo Project
• Matematicas Visuales
• Richard Starks Sculptures
• The Playful Geometer: Star Ring Attractions
• The Polyhedra of M.C. Escher
• Universal Leonardo: Rule of Mathematics
• Vincent Fink
• Wolfram Math World: Escher's Solid
• Wolfram Math World: Small Stellated Dodecahedron
• Wolfram Math World: Stella Octangula
• Wolfram Math World: Truncated Octahedron
• wikipedia.org

Καλώς όρισες 2020!

Το ιστολόγιο "eis to apeiron" εύχεται με... τον δικό του τρόπο... Καλή Χρονιά και ευτυχισμένο το 2020!!!

"Αν δεν είναι όμορφοι οι αριθμοί, τότε δεν ξέρω τι είναι όμορφο..."
Paul Erdos (1913 - 1996)

Καλά Χριστούγεννα! (+Γρίφος)

Καλά Χριστούγεννα σε όλους!!!

Δυσαριθμησία: Μέρος 3º - Αποτελεσματική παρέμβαση

Στο πρώτο μέρος αυτής της σειράς άρθρων, περιγράφεται η δυσαριθμησία ως ειδική μαθησιακή δυσκολία και τονίζεται η σημασία της προληπτικής διδασκαλίας. Στο δεύτερο μέρος αναλύονται τα προειδοποιητικά σημάδια σχετικά με την πιθανή ύπαρξη δυσαριθμησίας και δίνονται κάποιες πληροφορίες σχετικά με τη διαδικασία της διάγνωσης. Αυτό είναι το τρίτο και τελευταίο μέρος, όπου θα προσπαθήσω να περιγράψω, χωρίς να γίνω κουραστική, διάφορες μεθόδους παρέμβασης που εφαρμόζονται προκειμένου να καταφέρει ο μαθητής με δυσαριθμησία να υπερβεί τις δυσκολίες του. Πολλές από τις μεθόδους που αναφέρονται, είμαι σίγουρη ότι βοηθάνε όλα τα παιδιά να μάθουν μαθηματικά, είτε έχουν μαθησιακές δυσκολίες είτε όχι.

Αποτελεσματική παρέμβαση

Μετά την οικεία διάγνωση, πρέπει να παρέχεται στο παιδί με δυσαριθμησία ένα πρόγραμμα παρέμβασης ειδικά σχεδιασμένο για αυτό. Επειδή το παρόν τυπικό εκπαιδευτικό σύστημα δεν είναι συμβατό με τον τρόπο με τον οποίο μαθαίνουν τα παιδιά με δυσαριθμησία, χρειάζεται εξατομικευμένη μεταχείριση από ειδικό, φιλική προς το μαθησιακό στυλ του παιδιού. Αξίζει να τονιστεί ότι η δυσαριθμησία δεν είναι ένα πρόβλημα ή μια πάθηση ώστε να ψάχνουμε θεραπεία. Δεν περιμένουμε η δυσαριθμησία να "φύγει", αλλά βοηθάμε το παιδί να συμφιλιωθεί μαζί της, του διδάσκουμε τρόπους να την υπερβεί και να αναπτύξει τους δικούς του μηχανισμούς ώστε να κάνει σωστά τις μαθηματικές πράξεις και να επιλύει προβλήματα μαθηματικής φύσεως.

Μέσα από το εξατομικευμένο πρόγραμμα παρέμβασης:

• Γίνεται αγωγή προσανατολισμού. Μόλις οι μαθητές βεβαιωθούν μέσω του προσανατολισμού ότι η αντίληψή τους είναι σωστή, θα είναι σε θέση να υπερβαίνουν τις αριθμητικές τους δυσκολίες με μη παραδοσιακές μεθόδους, οι οποίες θα βασίζονται στις οπτικοχωρικές τους δεξιότητες, στη φαντασία τους και στη δημιουργικότητά τους.
• Αξιοποιείται η πολυαισθητηριακή μέθοδος διδασκαλίας, σύμφωνα με την οποία το παιδί πρέπει να δει, να ακούσει και να αισθανθεί έναν αριθμό. 
• Διδάσκονται οι τέσσερις βασικές πράξεις με χρήση αντικειμένων, όπως μεζούρα, κέρματα, τραπουλόχαρτα, ξυλομπογιές, πλαστελίνη κλπ. βάση του οπτικού και του κιναισθητικού στυλ μάθησης που έχουν πολλά παιδιά.
• Πραγματοποιείται ουσιαστική εκμάθηση της προπαίδειας με μη συμβατικούς τρόπους.
• Επιλύονται τα μαθηματικά προβλήματα αφού πρώτα οπτικοποιηθούν σε μια εικόνα ή ένα σχήμα.
• Τονώνεται η αυτοπεποίθηση του παιδιού μέσα από διαρκείς επιβραβεύσεις των προσπαθειών του.
• Γίνεται διδασκαλία των Μαθηματικών μέσα από εφαρμογές στη σύγχρονη καθημερινότητα (ίντερνετ, βιντεοπαιχνίδια, GPS κλπ) και με χρήση των Νέων Τεχνολογιών.
• Μέσα από το παιχνίδι, μπορούμε πολύ συχνά να πάρουμε αφορμή για τη διδασκαλία μιας μαθηματικής έννοιας. 

Διδάσκουμε στο παιδί ότι μια πρόσθεση έχει δύο αντίστοιχες αφαιρέσεις, όχι με τον κλασικό γραπτό τρόπο, αλλά με αριθμούς από μαγνητάκια πάνω σε μεταλλικό πίνακα. Σύμφωνα με την πολυαισθητηριακή μέθοδο, το παιδί αγγίζει τους αριθμούς και τους αισθάνεται ως κάτι απτό και όχι ως μια αφηρημένη έννοια. Έτσι, αντιλαμβάνεται ότι ο ίδιος αριθμός που ήταν στο ρόλο του αθροίσματος (το 15) γίνεται έπειτα αφαιρετέος.  

Σύμφωνα πάλι με την πολυαισθητηριακή μέθοδο, διδάσκουμε τον πολλαπλασιασμό χρησιμοποιώντας ένα πλήθος όμοιων αντικειμένων (εδώ: 12 χάντρες). Σ' αυτή την περίπτωση οι αριθμοί μπορούν να μη γράφονται με τα σύμβολά τους, αλλά να παριστάνονται μόνο μέσα από το πλήθος των χαντρών. Έτσι, το παιδί με δυσαριθμησία δεν θα μπερδεύεται. Το παιδί, αξιοποιώντας τις οπτικοχωρικές του δεξιότητες, πρέπει να τοποθετήσει τις χάντρες με μια συγκεκριμένη σειρά (3x4 ή 2x6) και έπειτα να διαπιστώσει ότι καθένα από τα δύο γινόμενα ισούται με 12.

Αναγωγή στην κλασματική μονάδα με τις ξυλομπογιές;
Για να υπολογίσει ο μικρός μαθητής πόσο είναι το 1/4 του 20, χωρίζουμε τις 20 ξυλομπογιές του σε 4 ομάδες, με την κάθε ομάδα να αποτελείται από 5 ξυλομπογιές. 

Αυτή η εξατομίκευση της διδασκαλίας, η καθημερινή εξάσκηση και οι στοχευμένες διδακτικές εμπειρίες εφοδιάζουν το παιδί με τα κατάλληλα εργαλεία που το βοηθούν να μάθει να χειρίζεται σωστά τους αριθμούς με τον δικό του, μοναδικό τρόπο.

"Κάθε παιδί μπορεί να μάθει και να αγαπήσει τα μαθηματικά, αρκεί να τα διδαχτεί με τον τρόπο που του ταιριάζει,αξιοποιώντας τα δυνατά του σημεία".

(Ιωάννης Καραγιαννάκης) 

Βιβλιογραφία

Αγαλιώτης, Ι. (2000). Μαθησιακές Δυσκολίες στα Μαθηματικά. Αιτιολογία, αξιολόγηση, αντιμετώπιση. Αθήνα: Ελληνικά Γράμματα.
Hannel, G. (2013) (2nd edition). Dyscalculia: Action plans for successful learning in Mathematics. New York: Routledge.
Karagiannakis, G., & Baccaglini-Frank, A. (2014). The De-Di-Ma battery: A tool for identifying students' mathematical learning profiles. Health Psychology Review, 2(4), 291-297.
Rousselle, L., & Noel. M. P. (2007). Basic numerical skills in children with mathematics learning disabilities: A comparison of symbolic vs non-symbolic number magnitude processing. Cognition, 102(3), 361-395.
Στασινός, Δ. (2003) (Επιμ). Μαθησιακές δυσκολίες του παιδιού και του εφήβου. Η εμπειρία της σύγχρονης Ευρώπης. Αθήνα: Gutenberg.
Shams. L. & Seitz, A. R. (2008). Benefits of Multisensory Learning. Trends in Cognitive Sciences, 12(11), 411-417.
Wilson, A. J., & Dehaene, S. (2007). Number sense and developmental dyscalculia. Human behavior, learning and the developing brain: Atypical development, 2, 212-237.
Σημειώσεις από τα βιωματικά σεμινάρια του δρ. Καραγιαννάκη Ιωάννη: "Δυσαριθμησία: Στρατηγικές αντιμετώπισης των μαθησιακών δυσκολιών στα Μαθηματικά μαθητών πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης" (17/10/2015) & "Αντιμετώπιση των δυσκολιών στα Μαθηματικά με έξυπνο τρόπο" (20/05/2017), Διεπιστημονικό Κέντρο Ηπείρου, Ιωάννινα.

Παράγωγοι του... καφέ!

Καλημέρα σε όλους και καλή εβδομάδα! Θα ήθελα μια δεύτερη παράγωγο της f(x) παρακαλώ! Σκέτη!

Δυσαριθμησία: Μέρος 2º - Προειδοποιητικά σημάδια και έγκαιρη διάγνωση

Για να διαβάσετε το πρώτο μέρος σχετικά με το τι είναι η δυσαριθμησία, πατήστε εδώ.

Τα "ύποπτα" σημάδια

Παλιότερα, εξαιτίας της άγνοιας γύρω από τη δυσαριθμησία, πολλά παιδιά αποτύγχαναν στα Μαθηματικά στο σχολείο και, σαν να μην έφτανε αυτό, συχνά νόμιζαν ότι έφταιγαν εκείνα για τις αποτυχίες τους. Στη σύγχρονη εποχή, γονείς και εκπαιδευτικοί έχουμε συνεχώς τα μάτια μας ανοιχτά για την πρώιμη ανίχνευση "ύποπτων" συμπτωμάτων, ώστε να απευθυνθούμε έγκαιρα στους ειδικούς. Κάποια από τα σημάδια που προειδοποιούν για την πιθανή ύπαρξη δυσαριθμησίας είναι τα εξής:

Για ένα παιδί ηλικίας έως 6 ετών:

• Δυσκολεύεται στο να μαθαίνει να μετρά.
• Δυσκολεύεται στο να αναγνωρίζει τα σύμβολα των αριθμών, π.χ. αδυνατεί να αντιστοιχίσει το σύμβολο "4" με τη λέξη "τέσσερα".
• Δυσκολεύεται να ακολουθήσει οδηγίες που περιλαμβάνουν αριθμούς, π.χ. "Δώσε μου δύο καραμέλες" ή "Φέρε τρεις μαρκαδόρους".
• Δυσκολεύεται να κατανοήσει την αξία των μονοψήφιων αριθμών, δηλαδή να αντιστοιχίζει το πλήθος κάποιων αντικειμένων με έναν αριθμό. Π.χ. δεν μπορεί με ευκολία να απαντήσει στην ερώτηση "Πόσα μπισκότα έμειναν;" ή απαντά συχνά λανθασμένα.
• Δυσκολεύεται στη χρήση χρονικών εννοιών, π.χ. σήμερα, αύριο, χθες.
• Δυσκολεύεται στη χρήση χωρικών εννοιών, π.χ. μπροστά, πίσω, πάνω, κάτω.

Για έναν μαθητή Δημοτικού:

• Συχνά λέει τους αριθμούς με λανθασμένη σειρά.
• Δυσκολεύεται στην εκτέλεση των τεσσάρων βασικών πράξεων (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση). Πιθανόν να μπερδεύει τα σύμβολα των πράξεων μεταξύ τους, όπως το + με το x, γεγονός που μπορεί να σχετίζεται με την ύπαρξη δυσλεξίας. Δυσκολεύεται να κατανοήσει τη διαφορά μεταξύ της πρόσθεσης και της αφαίρεσης.
• Δυσκολεύεται στην εκμάθηση της προπαίδειας με τον παραδοσιακό τρόπο. Αυτό επίσης σχετίζεται με τη δυσλεξία, γιατί το "ποίημα" της προπαίδειας είναι περισσότερο λεκτικό παρά αριθμητικό.
• Αποφεύγει τη χρήση των αριθμητικών συμβόλων, κάνοντας πρόσθεση ή αφαίρεση με τα δάχτυλα -ενώ οι συμμαθητές του έχουν σταματήσει να χρησιμοποιούν τη μέθοδο αυτή, χρησιμοποιώντας αντικείμενα ή ζωγραφίζοντας μικρές γραμμές στο χαρτί. Αυτές είναι στρατηγικές που πολλές φορές αναπτύσσουν μόνα τους τα παιδιά στην προσπάθειά τους να υπερβούν τις δυσκολίες τους και καλό είναι να μην αποθαρρύνονται από εμάς όταν τις εφαρμόζουν.
• Δυσκολεύεται στην κατανόηση μαθηματικών προβλημάτων και στη διαδικασία επίλυσής τους.
• Ακόμη κι αν γνωρίζει τη λύση σε ένα πρόβλημα, ίσως είναι αργό στην εκτέλεση των πράξεων με χαρτί και μολύβι. Αυτό πιθανόν να σχετίζεται με τη δυσλεξία και συμβαίνει διότι το παιδί δεν βασίζεται στον τυπικό χειρισμό των αριθμών, αλλά προτιμά έναν "δικό του" τρόπο συλλογισμού, όπου χρησιμοποιεί τις οπτικοχωρικές του δεξιότητες για να οπτικοποιήσει το πρόβλημα. Στην περίπτωση αυτή, το παιδί πρέπει να ενθαρρύνεται στη χρήση των οπτικοχωρικών του δεξιοτήτων. Οι δεξιότητες αυτές μπορούν αργότερα, κατά τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, να το βοηθήσουν να υπερέχει στα ανώτερα μαθηματικά όπως η τριγωνομετρία και η Ευκλείδεια Γεωμετρία.
• Δυσκολεύεται να μάθει τη μαθηματική ορολογία, π.χ. άθροισμα, γινόμενο, πηλίκο, εκατοστό.
• Παρουσιάζει ελλείμματα στη μνήμη εργασίας και στη βραχύχρονη μνήμη. Έχει, για παράδειγμα, τη δυσκολία να μην ενθυμείται το είδος της μαθηματικής πράξης που βρίσκεται σε εξέλιξη (π.χ. πρόσθεση), με αποτέλεσμα να τη μετατρέπει σε άλλη (π.χ. αφαίρεση). 
• Δυσκολεύεται στη σειροθέτηση, π.χ. να λέει τις ημέρες της εβδομάδας ή τους μήνες με τη σειρά.
• Δυσκολεύεται να θυμάται γεγονότα με τη σειρά κατά την οποία συνέβησαν.
• Δυσκολεύεται να μάθει να λέει την ώρα κοιτώντας το αναλογικό ρολόι.
• Δυσκολεύεται στο να κρατάει το σκορ κατά τη διάρκεια ενός παιχνιδιού.
• Δυσκολεύεται στη χρήση χωρικών εννοιών, π.χ. δεξιά, αριστερά.
• Δυσκολεύεται να μάθει τα σημεία του ορίζοντα (Βορράς, Νότος, Δύση, Ανατολή) και γενικότερα να προσανατολίζεται.
• Δυσκολεύεται στο να ταξινομεί αντικείμενα ως προς το σχήμα ή το χρώμα ή το μέγεθός τους.
• Παρουσιάζει άγχος και μαθηματική φοβία εξαιτίας των δυσκολιών του με τους αριθμούς, παραπονιέται ότι δεν νιώθει καλά όταν έχει να λύσει ασκήσεις Μαθηματικών.

Για έναν έφηβο ή ενήλικα:

• Δυσκολεύεται στην εκτίμηση του κόστους ενός προϊόντος.
• Δυσκολεύεται στην κατανόηση και στη χρήση των ποσοστών.
• Δυσκολεύεται να εφαρμόσει τα κλάσματα στην καθημερινή ζωή, π.χ. τα 10 λεπτά του ευρώ είναι το ένα δέκατο του ευρώ ή 6 μήνες είναι μισό έτος.
• Δυσκολεύεται στη διαχείριση των χρημάτων, π.χ. να υπολογίσει σωστά τα ρέστα και στην κατανόηση της αξίας τους.
• Δυσκολεύεται στη διαχείριση και στην οργάνωση του χρόνου του.
• Αντιμετωπίζει πρόβλημα συνέπειας στην ώρα.
• Δυσκολεύεται στην οργάνωση του χώρου.
• Δυσκολεύεται στον προσανατολισμό και να ακολουθεί χάρτες. Ενδεχόμενες δυσκολίες στον προσανατολισμό και στη διαχείριση των χωρικών εννοιών μπορούν να επηρεάσουν αρνητικά την οδήγηση ενός οχήματος.
• Δυσκολεύεται να διαβάσει μια γραφική παράσταση ή ένα στατιστικό διάγραμμα, π.χ. ένα ραβδόγραμμα.
• Δυσκολεύεται στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων και γενικότερα προβλημάτων που περιλαμβάνουν αριθμούς.

Διάγνωση της δυσαριθμησίας

Πρέπει να τονιστεί ότι οι παραπάνω ενδείξεις είναι απλώς προειδοποιητικά σημάδια και σε καμία περίπτωση δεν αποτελούν διαγνωστικά κριτήρια για τη δυσαριθμησία, η διάγνωση/διαφοροδιάγνωση της οποίας γίνεται αποκλειστικά από τον αρμόδιο διαγνωστικό φορέα. Σήμερα στη χώρα μας, ο αρμόδιος κρατικός φορέας είναι τα Κέντρα Εκπαιδευτικής και Συμβουλευτικής Υποστήριξης (Κ.Ε.Σ.Υ.). Σε περίπτωση διάγνωσης δυσαριθμησίας ή άλλης ειδικής μαθησιακής δυσκολίας, οι γονείς καταθέτουν τη διάγνωση στο σχολείο όπου φοιτά το παιδί, ώστε να εξετάζεται με τον τρόπο που του ταιριάζει. Εκτός από τα Κ.Ε.Σ.Υ., υπάρχει και πληθώρα ιδιωτικών κέντρων για διάγνωση και παρέμβαση. Στα ιδιωτικά κέντρα, σε αντίθεση με τα Κ.Ε.Σ.Υ., οι γονείς έχουν άμεσα μια αξιολόγηση για το παιδί τους. Η ιδιωτική, όμως, διάγνωση δεν μπορεί να κατατεθεί στο σχολείο του παιδιού.

Μια ακριβής διάγνωση γίνεται μόνο μέσω μιας κλινικής αξιολόγησης από τη διεπιστημονική ομάδα, η οποία χορηγεί στο παιδί ειδικά τεστ (WISC, Αθηνά-Test κ.ά.), σταθμισμένα για την εκάστοτε ηλικία. Όσο πιο νωρίς γίνεται η διάγνωση, τόσο το καλύτερο, γιατί δεν περιμένουμε τη σχολική αποτυχία ώστε να κινητοποιηθούμε, αλλά δρούμε προληπτικά και παρεμβαίνουμε πρώιμα στις δυσκολίες του παιδιού.

Βιβλιογραφία

Αγαλιώτης, Ι. (2000). Μαθησιακές Δυσκολίες στα Μαθηματικά. Αιτιολογία, αξιολόγηση, αντιμετώπιση. Αθήνα: Ελληνικά Γράμματα.
Hannel, G. (2013) (2nd edition). Dyscalculia: Action plans for successful learning in Mathematics. New York: Routledge.
Karagiannakis, G., & Baccaglini-Frank, A. (2014). The De-Di-Ma battery: A tool for identifying students' mathematical learning profiles. Health Psychology Review, 2(4), 291-297.
Κουλάκογλου, Κ. (2017). Ψυχομετρία και Ψυχολογική Αξιολόγηση. Αθήνα: Πατάκη.
Rousselle, L., & Noel. M. P. (2007). Basic numerical skills in children with mathematics learning disabilities: A comparison of symbolic vs non-symbolic number magnitude processing. Cognition, 102(3), 361-395.
Στασινός, Δ. (2003) (Επιμ). Μαθησιακές δυσκολίες του παιδιού και του εφήβου. Η εμπειρία της σύγχρονης Ευρώπης. Αθήνα: Gutenberg.
Wilson, A. J., & Dehaene, S. (2007). Number sense and developmental dyscalculia. Human behavior, learning and the developing brain: Atypical development, 2, 212-237.
Σημειώσεις από τα βιωματικά σεμινάρια του δρ. Καραγιαννάκη Ιωάννη: "Δυσαριθμησία: Στρατηγικές αντιμετώπισης των μαθησιακών δυσκολιών στα Μαθηματικά μαθητών πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης" (17/10/2015) & "Αντιμετώπιση των δυσκολιών στα Μαθηματικά με έξυπνο τρόπο" (20/05/2017), Διεπιστημονικό Κέντρο Ηπείρου, Ιωάννινα.

Δυσαριθμησία: Μέρος 1º - Τι είναι η δυσαριθμησία; Ο ρόλος της προληπτικής διδασκαλίας

Αποφάσισα να δημοσιεύσω στο ιστολόγιο μια σειρά άρθρων σχετικά με τη δυσαριθμησία, επειδή είναι ένα θέμα που απασχολεί πολλούς γονείς και εκπαιδευτικούς. Ελπίζω να φανούν χρήσιμα σε όσους ενδιαφέρονται.

Τι είναι η δυσαριθμησία;

Η δυσαριθμησία αποτελεί μια ειδική μαθησιακή δυσκολία που αναφέρεται στην εκμάθηση και την κατανόηση της αριθμητικής και της περαιτέρω ανάπτυξης των μαθηματικών δεξιοτήτων. Συμπεριλαμβάνεται στην "ομπρέλα" του γενικότερου όρου της δυσλεξίας. Συγκεκριμένα, ένας μαθητής με δυσαριθμησία δυσκολεύεται στην εκμάθηση της χρήσης των αριθμών και στην εκτέλεση μαθηματικών πράξεων. Επιπλέον, μπορεί να αντιμετωπίζει δυσκολίες όσον αφορά την έκφραση των σχέσεων μεταξύ ποσοτήτων, οι οποίες εκπροσωπούνται από αριθμούς, μεταβλητές ή άλλα σύμβολα.

Η ιδιαίτερη φύση της δυσαριθμησίας

Η δυσαριθμησία και γενικότερα οι ειδικές μαθησιακές δυσκολίες δεν πρέπει να συγχέονται με τις λεγόμενες δυσκολίες στη μάθηση που ενδέχεται να αντιμετωπίζει ένα παιδί που δεν έχει διδαχτεί κατάλληλα και επαρκώς κάποιες μαθηματικές έννοιες και που παρουσιάζει ορισμένα "κενά" στην ύλη που θα έπρεπε να γνωρίζει. Οι τελευταίες μπορούν να ξεπεραστούν πολύ εύκολα με λίγες επιπλέον ώρες διδασκαλίας και λίγη επιπλέον προσπάθεια από το παιδί, σε αντίθεση με τις ειδικές μαθησιακές δυσκολίες που απαιτούν το κατάλληλο πρόγραμμα παρέμβασης από ειδικό εκπαιδευτικό, έπειτα από τη σχετική διάγνωση/διαφοροδιάγνωση από τον αρμόδιο διαγνωστικό φορέα.

Όπως για όλες τις ειδικές μαθησιακές δυσκολίες, έτσι και για τη δυσαριθμησία, δεν υπάρχει κάποια "θεραπεία". Η δυσαριθμησία δεν είναι μια "φάση" την οποία το παιδί θα ξεπεράσει. Είναι ο τρόπος με τον οποίο ο εγκέφαλός του δημιουργεί συνδέσεις και επεξεργάζεται τα Μαθηματικά. Όπως και το χρώμα των ματιών του, αποτελεί ένα κομμάτι του εαυτού του και θα το συντροφεύει σε όλη του τη ζωή. Ο σκοπός της έγκαιρης διάγνωσης και παρέμβασης είναι να γεμίσουμε όσο το δυνατόν περισσότερα κενά και να το βοηθήσουμε να υπερβεί τις δυσκολίες του, αναπτύσσοντας τους δικούς του μηχανισμούς που θα χρησιμοποιεί, όχι μόνο στα σχολικά του χρόνια, αλλά και σε οποιαδήποτε κατάσταση χρειάζεται τα Μαθηματικά στη ζωή του.

Δυστυχώς, εξαιτίας της άγνοιας περί ειδικών μαθησιακών δυσκολιών που επικρατούσε παλιότερα, ούτε και οι εκπαιδευτικοί ήταν ενήμεροι για τη δυσαριθμησία. Απέδιδαν τις δυσκολίες του παιδιού και την αδυναμία του να διεκπεραιώσει μια άσκηση σε αδιαφορία, τεμπελιά ή απλώς σε μειωμένη μαθηματική ικανότητα! Παρόλα αυτά, σύμφωνα με σχετικές έρευνες, ο δείκτης νοημοσύνης ενός παιδιού με δυσαριθμησία είναι συνήθως κανονικός, ή ακόμη και σε ανώτερο επίπεδο, γεγονός που καταρρίπτει τους παλιότερους μύθους.

Ο ρόλος της προληπτικής διδασκαλίας

Προσωπικά, δεν είχα ακούσει ποτέ για τη δυσαριθμησία και για τους τρόπους παρέμβασης όσο το παιδί μου ήταν στην προσχολική ηλικία. Όμως, ως μια μαμά που λατρεύει τα Μαθηματικά, άρπαζα κάθε ευκαιρία να ενθέσω μια μικρή μαθηματική διδασκαλία κατά τη διάρκεια του παιχνιδιού, από το μέτρημα των μαρκαδόρων μας και την "ανακάλυψη" γεωμετρικών σχημάτων παντού, μέχρι τραγούδια με αριθμούς! Κατά τα σχολικά χρόνια, μαθαίναμε την πρόσθεση μέσα από χειροτεχνίες και παίζαμε με την προπαίδεια. Τελικά, ίσως αυτό είναι που χρειάζονται τα παιδιά, με ή χωρίς δυσαριθμησία -να διδάσκονται τα μαθηματικά με εναλλακτικούς, μη συμβατικούς τρόπους. Μέσα από εκπαιδευτικά παιχνίδια, από την προσχολική ηλικία, μπορούμε να δρούμε προληπτικά απέναντι σε όποια ειδική μαθησιακή δυσκολία μπορεί να υπάρχει, χωρίς να περιμένουμε να δούμε το παιδί να αποτυγχάνει στο σχολείο για να αποφασίσουμε να απευθυνθούμε στους ειδικούς. Αντιμετωπίζουμε, έτσι, τυχόντα προβλήματα προτού αυτά επιδεινωθούν. Χάρη στην προληπτική διδασκαλία, επωφελούνται τελικά όλα τα παιδιά, όχι μόνο εκείνα με δυσαριθμησία, αφού κάθε παιδί έχει τις προσωπικές του προτιμήσεις, ανάγκες και επιθυμίες, ικανότητες και αδυναμίες. Έχει τον δικό του, εξατομικευμένο τρόπο μάθησης.

Βιβλιογραφία

Αγαλιώτης, Ι. (2000). Μαθησιακές Δυσκολίες στα Μαθηματικά. Αιτιολογία, αξιολόγηση, αντιμετώπιση. Αθήνα: Ελληνικά Γράμματα.
Hannel, G. (2013) (2nd edition). Dyscalculia: Action plans for successful learning in Mathematics. New York: Routledge.
Karagiannakis, G., & Baccaglini-Frank, A. (2014). The De-Di-Ma battery: A tool for identifying students' mathematical learning profiles. Health Psychology Review, 2(4), 291-297.
Rousselle, L., & Noel. M. P. (2007). Basic numerical skills in children with mathematics learning disabilities: A comparison of symbolic vs non-symbolic number magnitude processing. Cognition, 102(3), 361-395.
Στασινός, Δ. (2003) (Επιμ). Μαθησιακές δυσκολίες του παιδιού και του εφήβου. Η εμπειρία της σύγχρονης Ευρώπης. Αθήνα: Gutenberg.
Wilson, A. J., & Dehaene, S. (2007). Number sense and developmental dyscalculia. Human behavior, learning and the developing brain: Atypical development, 2, 212-237.
Σημειώσεις από τα βιωματικά σεμινάρια του δρ. Καραγιαννάκη Ιωάννη: "Δυσαριθμησία: Στρατηγικές αντιμετώπισης των μαθησιακών δυσκολιών στα Μαθηματικά μαθητών πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης" (17/10/2015) & "Αντιμετώπιση των δυσκολιών στα Μαθηματικά με έξυπνο τρόπο" (20/05/2017), Διεπιστημονικό Κέντρο Ηπείρου, Ιωάννινα.

Γρίφος: Η κάτοψη της πυραμίδας

Παρατηρήστε την πυραμίδα της εικόνας και προσπαθήστε να φανταστείτε πώς θα φαίνεται κοιτώντας την ακριβώς από πάνω...

Για να μάθετε περισσότερα για την πυραμίδα, πατήστε εδώ...