Κριτήρια Διαιρετότητας για τους αριθμούς από το 1 ως το 18!

Κάθε ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 1.

π.χ. Ο αριθμός 6.254 διαιρείται με το 1.

Ο αριθμός 1.234.567.890 διαιρείται με το 1.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 2:

-Αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8
ή αλλιώς:

-Αν είναι άρτιος αριθμός.

π.χ. Ο αριθμός 5.358 διαιρείται με το 2, αφού τελειώνει σε 8, είναι, δηλαδή άρτιος.

Ο αριθμός 5.357 δεν διαιρείται με το 2, διότι τελειώνει σε 7, είναι, δηλαδή περιττός. 

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 3, αν το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3.

π.χ. Ο αριθμός 8.214 διαιρείται με το 3, αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι:

8 + 2 + 1 + 4 = 15

και το 15 είναι πολλαπλάσιο του 3.

Αλλά ο αριθμός 3.245 δεν διαιρείται με το 3, γιατί:

3 + 2 + 4 + 5 = 14

και το 14 δεν είναι πολλαπλάσιο του 3.

Η ιδιότητα αυτή είναι επαναληπτική, δηλαδή:

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 893.654.676. Το άθροισμα των ψηφίων του είναι:

8 + 9 + 3 + 6 + 5 + 4 + 6 + 7 + 6 = 54

5 + 4 = 9

και το 9 είναι πολλαπλάσιο του 3. Άρα ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 3.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 4, αν τα  τελευταία δύο ψηφία του σχηματίζουν διψήφιο αριθμό που διαιρείται με το 4.

π.χ. Ο αριθμός 46.932 διαιρείται με το 4, 

αφού τα 2 τελευταία ψηφία του είναι το 32, που διαιρείται με το 4.

Αλλά ο αριθμός 9.521 δεν διαιρείται με το 4,

γιατί το 21, που είναι στα 2 τελευταία ψηφία του, δεν διαιρείται με το 4.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 5, αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5.

π.χ. Ο αριθμός 3.470 διαιρείται με το 5, αφού τελειώνει σε 0.
Ο αριθμός 12.965 επίσης διαιρείται με το 5, αφού τελειώνει σε 5.
Αλλά ο 85.457 δεν διαιρείται με το 5, γιατί δεν τελειώνει ούτε σε 0, ούτε σε 5.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 6:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 2 και με το 3.

ή, συνδυάζοντας τα κριτήρια διαιρετότητας του 2 και του 3:

-Αν είναι άρτιος αριθμός και το άθροισμά των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3.

π.χ. Ο αριθμός 5.472 διαιρείται με το 6, γιατί:

-τελειώνει σε 2, δηλαδή είναι άρτιος, άρα διαιρείται με το 2

και

-το άθροισμα των ψηφίων του είναι 5 + 4 + 7 + 2 = 18

και το 18 είναι πολλαπλάσιο του 3, επομένως διαιρείται και με το 3.

Αλλά ο αριθμός 65.385 δεν διαιρείται με το 6, αφού δεν διαιρείται με το 2.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 7:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του. 

2. Αφαιρούμε από τον αριθμό που μένει το διπλάσιο του ψηφίου που έχουμε διαγράψει.

3. Αν ο αριθμός που προκύψει διαιρείται με το 7 (συμπεριλαμβανομένου και του 0), τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 7.
4. Αν δεν μπορούμε να αποφασίσουμε, επαναλαμβάνουμε τα τρία προηγούμενα βήματα μέχρι να καταλήξουμε σε διψήφιο αριθμό, όπου από την προπαίδεια θα ξέρουμε αν είναι ή όχι πολλαπλάσιο του 7.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 5.964.

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού, που είναι το 4 και μένει ο αριθμός 596.

2. Αφαιρούμε από το 596 το διπλάσιο του ψηφίου που διαγράψαμε, δηλαδή το 2 x 4 = 8.

596 - 2*4 = 596 - 8 = 588

Δεν μπορούμε εύκολα να αποφασίσουμε αν το 588 διαιρείται με το 7, οπότε επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 588 και μένει ο αριθμός 58.

2. Αφαιρούμε από το 58 το διπλάσιο του ψηφίου που διαγράψαμε.

58 - 2*8 = 58 - 16 =42

3. To 42 διαιρείται με το 7. Άρα και ο αρχικός αριθμός, 5.964 διαιρείται με το 7.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 8:

-Αν τα τρία τελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 8

ή

-Αν το ψηφίο των εκατοντάδων του είναι άρτιος αριθμός και τα τελευταία 2 ψηφία σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 8

ή
-Αν το ψηφίο των εκατοντάδων του είναι περιττός αριθμός και τα τελευταία 2 ψηφία συν 4
σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 8.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 34.808.
Τα τρία τελευταία ψηφία του δίνουν τον αριθμό 808, που προφανώς διαιρείται με το 8, γιατί 808 = 8*101. Άρα και ο 34.808 διαιρείται με το 8.

Συνήθως, όμως, δεν είναι εύκολο να κρίνουμε αν ένας τριψήφιος είναι πολλαπλάσιο του 8. Οπότε χρησιμοποιούμε τα δύο τελευταία κριτήρια: 

π.χ. Ο αριθμός 472 διαιρείται με το 8, γιατί το ψηφίο των εκατοντάδων (4) είναι άρτιος αριθμός και τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 72, που διαιρείται με το 8.
Ο αριθμός 720 διαιρείται με το 8, διότι το ψηφίο των εκατοντάδων (7) είναι περιττός αριθμός και τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 20, ο οποίος αν αυξηθεί κατά 4, έχουμε 20 + 4 = 24 και το 24 διαιρείται με το 8.
Ενώ για τον αριθμό 84.673 έχουμε: Τα τρία τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 673.
Ελέγχουμε αν ο 673 διαιρείται με το 8.
Το ψηφίο των εκατοντάδων (6) είναι άρτιος αριθμός. Τα δύο τελευταία ψηφία  δίνουν τον αριθμό 73, που δεν διαιρείται με το 8.
Άρα ο 84.673 δεν διαιρείται με το 8.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 9.

π.χ. Ο αριθμός 2.907 διαιρείται με το 9, αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι:
2 + 9 + 0 + 7 = 18
και το 18 είναι πολλαπλάσιο του 9.
Ενώ ο αριθμός 5.109 δεν διαιρείται με το 9, διότι το άθροισμα των ψηφίων του είναι:
5 + 1 + 0 + 9 = 15, που δεν διαιρείται με το 9.

Η ιδιότητα αυτή, εντελώς όμοια με το κριτήριο διαιρετότητας του 3, είναι επαναληπτική.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 10, αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0.

π.χ. Οι αριθμοί 50, 300, 2.580, 6.000, 3.545.710 κλπ διαιρούνται με το 10.

Οι αριθμοί 506, 4.237, 5.921 κλπ δεν διαιρούνται ακριβώς με το 10.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 11:

1. Προσθέτουμε τα ψηφία του αριθμού που είναι στις περιττές θέσεις (1^ο  + 3^ο  + 5^ο  + ... ψηφίο).

2. Στη συνέχεια, προσθέτουμε τα ψηφία του αριθμού που είναι στις άρτιες θέσεις (2^ο  + 4^ο  + 6^ο  + ... ψηφίο).

3. Αφαιρούμε το ένα άθροισμα από το άλλο.

4. Αν η απόλυτη τιμή της διαφοράς των δυο αθροισμάτων είναι πολλαπλάσιο του 11 (συμπεριλαμβανομένου και του 0), τότε ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 11.

π.χ. Έστω ο αριθμός 357.346
1. Προσθέτουμε τα ψηφία που βρίσκονται στις περιττές θέσεις: 3 + 7 + 4 = 14
2. Προσθέτουμε τα ψηφία που βρίσκονται στις άρτιες θέσεις: 5 + 3 + 6 = 14
3. Αφαιρούμε το ένα άθροισμα από το άλλο: 14 - 14 = 0
4. Αφού η διαφορά είναι 0, ο αριθμός 357.346 διαιρείται με το 11.

Έστω ο αριθμός 7.503.617
1. Προσθέτουμε τα ψηφία που βρίσκονται στις περιττές θέσεις: 7 + 0 + 6 + 7 = 20
2. Προσθέτουμε τα ψηφία που βρίσκονται στις άρτιες θέσεις: 5 + 3 + 1 = 9
3. Αφαιρούμε το ένα άθροισμα από το άλλο: 20 - 9 = 11
4. Αφού η διαφορά είναι 11, ο αριθμός 7.503.617 διαιρείται με το 11.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 12:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 3 και με το 4.

ή αλλιώς:

-Αν το άθροισμα όλων των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3 και τα δύο τελευταία του ψηφία σχηματίζουν πολλαπλάσιο του 4.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 660. 

Διαιρείται με το 3, αφού: 6 + 6 + 0 = 12, που είναι πολλαπλάσιο του 3.

Διαιρείται με το 4, αφού τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 60, που διαιρείται με το 4.

Οπότε διαιρείται με το 12. 

Αλλά ο αριθμός 735 δεν διαιρείται με το 12, διότι δεν διαιρείται με το 4. 

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 13: 

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.

2. Από τον αριθμό που προκύπτει αφαιρούμε 9 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Αν το αποτέλεσμα (συμπεριλαμβανομένου του 0) διαιρείται με το 13, τότε και ο αρχικός αριθμός θα διαιρείται με το 13.

4. Αν δεν μπορούμε να αποφασίσουμε, επαναλαμβάνουμε τα τρία προηγούμενα βήματα μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός. 

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 32.435.

1. Διαγράφουμε το τελευταίο του ψηφίο, οπότε μένει ο αριθμός 3.243. 
2. Αφαιρούμε από το 3.243 το 9*5 = 45. Είναι 3.243 - 9*5 = 3.243 - 45 = 3.198
3. Επειδή δεν μπορούμε να κρίνουμε αν ο 3.198 διαιρείται με το 13, επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 3.198 και προκύπτει ο αριθμός 319.
2. Αφαιρούμε: 319 - 9*8 = 319 - 72 = 247.
3. Επειδή δεν μπορούμε να κρίνουμε αν ο 247 διαιρείται με το 13, επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 247 και προκύπτει ο αριθμός 24.
2. Αφαιρούμε: 24 - 9*7 = 24 - 63 = -39.
3. Ο -39, όπως και ο 39, διαιρείται με το 13. Άρα και ο αρχικός αριθμός, 32.435 διαιρείται με το 13.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 14:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 2 και με το 7.

ή αλλιώς:

1. Αν είναι άρτιος αριθμός και 2. ικανοποιεί το κριτήριο διαιρετότητας του 7.

π.χ. Εξετάζουμε αν ο αριθμός 658 διαιρείται με το 14.

1. Διαιρείται με το 2, αφού τελειώνει σε 8.

2. Από το κριτήριο διαιρετότητας του 7, έχουμε: 

65 -2*8 = 65 - 16 = 49, που διαιρείται με το 7

Άρα ο 658 διαιρείται με το 14.

Ενώ για τον αριθμό 97.335 δεν χρειάζεται να ελέγξουμε αν διαιρείται με το 7.
Σίγουρα δεν διαιρείται με το 14, αφού δεν διαιρείται με το 2.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 15:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 3 και με το 5.

ή αλλιώς:

-Αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5 και το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3.

π.χ. Ο αριθμός 9.360 διαιρείται με το 15 διότι:

-Τελειώνει σε 0, οπότε διαιρείται με το 5 και

-Το άθροισμα των ψηφίων του είναι 9 + 3 + 6 + 0 = 18, (=πολλαπλάσιο του 3), επομένως διαιρείται με το 3.

Αλλά: Ο αριθμός 312.672 δεν διαιρείται με το 15, αφού δεν διαιρείται με το 5.

Ο αριθμός 4.780 δεν διαιρείται με το 15, αφού δεν διαιρείται με το 3.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 16:

-Αν ο αριθμός είναι τριψήφιος, τότε:

1. Πολλαπλασιάζουμε το ψηφίο των εκατοντάδων με 4.

2. Προσθέτουμε το αποτέλεσμα στα τελευταία δύο ψηφία.

3. Αν ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται με το 16, τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 16.

-Αν ο αριθμός έχει τουλάχιστον 4 ψηφία, τότε: Ο αριθμός διαιρείται με το 16 αν τα τελευταία τέσσερα ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 16. 

Και πώς θα το ελέγξουμε αυτό;;;

• Αν το ψηφίο των χιλιάδων είναι άρτιος αριθμός, αρκεί να ελέγξουμε αν τα τελευταία 3 ψηφία σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 16.
• Αν το ψηφίο των χιλιάδων είναι περιττός αριθμός, αρκεί να ελέγξουμε αν τα τελευταία 3 ψηφία του συν 8, σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 16.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 4.672. Επειδή είναι τετραψήφιος και το ψηφίο των χιλιάδων είναι άρτιος αριθμός, αρκεί να ελέγξουμε αν τα τρία τελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 16.

Για να ελέγξουμε, τώρα, αν ο αριθμός 672 διαιρείται με το 16, πάμε στο πρώτο κριτήριο:

1. Πολλαπλασιάζουμε  το ψηφίο των εκατοντάδων με 4, άρα 6 * 4 =24.

2. Προσθέτουμε το αποτέλεσμα στα δύο τελευταία ψηφία: 72 + 24 = 96.

3. Διαπιστώνεται εύκολα ότι ο 96 διαιρείται με το 16, άρα και ο 4.672 διαιρείται με το 16.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 53.488. Επειδή είναι πενταψήφιος και το ψηφίο των χιλιάδων είναι περιττός αριθμός, κρατάμε τα τρία τελευταία του ψηφία και προσθέτουμε το 8:

488 + 8 = 496.

Για να ελέγξουμε, τώρα, αν ο 496 διαιρείται με το 16, πάμε στο πρώτο κριτήριο:

1. Πολλαπλασιάζουμε το ψηφίο των εκατοντάδων με 4, άρα 4 * 4 = 16.

2. Προσθέτουμε το αποτέλεσμα στα δύο τελευταία ψηφία: 96 + 16 = 112, που είναι πάλι τριψήφιος, άρα επαναλαμβάνουμε:

1. 4 x 1 = 4

2. 12 + 4 = 16

3. Προκύπτει το 16 που -προφανώς- διαιρείται με το 16. Άρα και ο 53.488 διαιρείται με το 16.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 17:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.

2. Από τον αριθμό που προκύπτει αφαιρούμε 5 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Αν το αποτέλεσμα (συμπεριλαμβανομένου του 0) διαιρείται με το 17, τότε και ο αρχικός αριθμός θα διαιρείται με το 17.

4. Αν δεν μπορούμε να αποφασίσουμε, επαναλαμβάνουμε τα τρία προηγούμενα βήματα μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός. 

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 357. 
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 7 και μένει ο αριθμός 35.
2. Από το 35 αφαιρούμε το πενταπλάσιο του 7:
35 - 5*7 = 35 - 35 = 0
3. To 0 διαιρείται με το 17, άρα και ο 357 διαιρείται με το 17.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 18:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 2 και με το 9.

ή, συνδυάζοντας τα κριτήρια διαιρετότητας του 2 και του 9:

-Αν είναι άρτιος αριθμός και το άθροισμά των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 9.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 450.
-Ο 450 τελειώνει σε 0, οπότε διαιρείται με το 2 και
-Το άθροισμα των ψηφίων του είναι 4 + 5 + 0 = 9, που είναι πολλαπλάσιο του 9, οπότε διαιρείται και με το 9.
Άρα ο 450 διαιρείται με το 18.

Αλλά ο αριθμός 4.329 δεν διαιρείται με το 18, γιατί δεν διαιρείται με το 2.
Ο αριθμός 3.562, αν και άρτιος, δεν μπορεί να διαιρείται με το 18, διότι δεν διαιρείται με το 9.
(Είναι 3 + 5 + 6 + 2 = 16, που δεν είναι πολλαπλάσιο του 9).

Στο επόμενο βίντεο μπορείτε να δείτε τις απλουστευμένες αποδείξεις ορισμένων από τα παραπάνω κριτήρια:

Ο Paul Halmos και οι χειραψίες της... γυναίκας του

Το 1991, ο Paul Halmos στο βιβλίο του "Problems for Mathematicians, Young and Old", που όπως χαρακτηριστικά ανέφερε "έγραψε για το κέφι του", θέτει -μεταξύ πολλών άλλων- το παρακάτω πρόβλημα συνδυαστικής:

Η γυναίκα μου κι εγώ ήμασταν προσκεκλημένοι σε ένα πάρτι με άλλα τέσσερα ζευγάρια, συνολικά δέκα άτομα. Σε κάθε άφιξη είχαμε χειραψίες απρόβλεπτες σε αριθμό, με τις εξής δύο προφανείς προϋποθέσεις: κανένα πρόσωπο δεν ανταλλάσσει χειραψίες με τον εαυτό του ή με το ταίρι του. Στο τέλος, μου κινήθηκε η περιέργεια και ρώτησα το ίδιο πράγμα σε όλους τους παρόντες. "Πόσα χέρια έσφιξες; ... Κι εσύ; ... Κι εσύ"; Ρώτησα εννέα άτομα (όλους, συμπεριλαμβανομένης της γυναίκας μου) και δηλώνω υπευθύνως ότι έλαβα εννέα διαφορετικές απαντήσεις.

Πόσες χειραψίες αντάλλαξε η γυναίκα μου;

Ο Paul Halmos γύρω στο 1980

Για τους φίλους που αγαπάνε να λύνουν γρίφους και προβλήματα, περιμένω τις απαντήσεις στα σχόλια!

"Ο Θεός κρατάει μυστικά από εμάς
και έχει πλάκα να προσπαθούμε να μάθουμε μερικά από αυτά".
Paul Halmos (1916 - 2006)

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Μη κυρτά και αστεροειδή πολύεδρα

Αστεροειδή Πολύεδρα ή Αστέρες Πολύεδρα

Συνεχίζουμε, μέσω της τέχνης, την περιήγηση στον κόσμο των πολυέδρων, αυτή τη φορά με αστεροειδή (ή αστρόμορφα) πολύεδρα. Πρόκειται για μη κυρτά πολύεδρα, είναι δηλαδή αυτοτεμνόμενα.

Στο βιβλίο του Welzel Jamnitzer "Perspectiva Corporum Regularium" ("Προοπτική Κανονικών Στερεών", 1568), απεικονίζονται διάφορα αστεροειδή πολύεδρα.

Πολύεδρα Kepler-Poinsot

Τα βιβλία γράφουν...

Υπάρχουν τέσσερα κανονικά αστεροειδή πολύεδρα, των οποίων οι έδρες τέμνουν το πολύεδρο, γνωστά ως πολύεδρα των Kepler-Poinsot.

Μικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο

Το μικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο πρωτοεμφανίστηκε περίπου το 1430 σε ένα μωσαϊκό του Paolo Uccello (1397 - 1475) στο πάτωμα του καθεδρικού του Σαν Μάρκο στη Βιέννη (Muraro, 1955). Αναλύθηκε  από τον Kepler στο έργο του "Harmonice Mundi" ("Αρμονικός Κόσμος", 1619) και ξανά από τον Poinsot το 1809.

M.C. Escher (1898 - 1972) - "Gravitation" (1952)

Γλυπτό εμπνευσμένο από το μικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο του πίνακα "Gravitation" του Maurits Cornellis Escher.

Διακοσμεί το χώρο του Πανεπιστημίου του Twente της Ολλανδίας.

Richard Starks (Σύγχρονος γλύπτης) - "Small Stellated Dodecahedron" (2016)

Μεγάλο αστεροειδές δωδεκάεδρο

Στο βιβλίο του Welzel Jamnitzer "Perspectiva Corporum Regularium" ("Προοπτική Κανονικών Στερεών", 1568), υπάρχει ένα σκίτσο του μεγάλου αστεροειδούς δωδεκαέδρου.

The Playful Geometer (σύγχρονος μηχανικός και καλλιτέχνης) - "Great Stellated Dodecahedron" (2009)
Γλυπτό-φωτιστικό

Vebjørn Sand (γεν. 1966) - "The Kepler Star" (2000)

Γλυπτό που διακοσμεί το αεροδρόμιο του Όσλο, Νορβηγία, γνωστό και ως "Norwegian Peace Star". Αποτελείται από ένα εικοσάεδρο και ένα δωδεκάεδρο μέσα σε ένα μεγάλο αστεροειδές δωδεκάεδρο.

Μεγάλο αστεροειδές δωδεκάεδρο εγγεγραμμένο σ' ένα οκταγωνικό πρίσμα, στο βιβλίο "Harmonice Mundi" ("Αρμονικός Κόσμος", 1619)  του Johannes Kepler

Μεγάλα και μικρά αστεροειδή δωδεκάεδρα στο βιβλίο "Harmonice Mundi" ("Αρμονικός Κόσμος", 1619)  του Johannes Kepler

Μεγάλο δωδεκάεδρο

Στο βιβλίο του Welzel Jamnitzer "Perspectiva Corporum Regularium" ("Προοπτική Κανονικών Στερεών", 1568), συναντάμε ένα σκίτσο του μεγάλου δωδεκαέδρου.

Μεγάλο εικοσάεδρο

Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", 1509)

"Ycocedron Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", 1509)

Amber Brookman (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Great Icosahedron"

Σελίδα από το βιβλίο του Lorenzo Sirigatti (1561 - 1614), "La Pratica di Perspettiva" ("Η Πρακτική της Προοπτικής", Βενετία, 1596), ένα βιβλίο για καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες.  Απεικονίζονται, από πάνω προς τα κάτω: Μικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο, 72εδρη σφαίρα και Μεγάλο εικοσάεδρο.

Διάφορα άλλα αστεροειδή πολύεδρα

Εκτός από τα πολύεδρα των Kepler-Poinsot, έχουμε και άλλα γνωστά αστεροειδή πολύεδρα.


Πρώτο αστεροειδές ρομβικό δωδεκάεδρο ή στερεό του Escher

Το στερεό του Escher είναι το στερεό που απεικονίζεται στην κορυφή του δεξιού βάθρου στην ξυλογραφία "Waterfalls" του M.C. Escher:

M.C. Escher (1898 - 1972) - "Waterfalls" (1961)

M.C. Escher (1898 - 1972) - "Stars" (1948)

Υπάρχει μια ομοιότητα μεταξύ αυτών των πολυέδρων και εκείνων του Leonardo da Vinci στο βιβλίο του Luca Paccioli.

Τριάκις Οκτάεδρο ή Αστεροειδές/αστερώδες οκτάεδρο


Αποτελεί σύνθεση δύο τετραέδρων. Επίσης είναι ο μοναδικός αστερισμός του οκταέδρου.

"Octocedron Elevatus Solidus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", τρίτο βιβλίο, 1509).
Αργότερα (1611), ο Kepler ονόμασε το στερεό αυτό Stella Octangula.

"Octocedron Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", τρίτο βιβλίο, 1509)

Διακοσμητική λεπτομέρεια στο Υπαίθριο Μουσείο Πολιτισμού και Ιστορίας στο Μέλανα Δρυμό της Γερμανίας
(Swarzwælder Freilichtmuseum Vogtsbauernhof)

Πολυεδρική ένωση κύβου και οκταέδρου


Αποτελεί σύνθεση ενός κύβου και ενός οκταέδρου. Είναι επίσης ο πρώτος αστερισμός του κυβοκταέδρου. Τέλος, μπορεί να κατασκευαστεί από ένα κυβοκτάεδρο, με προσθήκη τριγωνικών και τετραγωνικών πυραμίδων σε κάθε έδρα του.

Vincent Fink (Σύγχρονος ζωγράφος)

Vincent Fink (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Mr. Octahedron Iteration 1"
Εκτός από το κυβο-οκτάεδρο στο πάνω-δεξιά μέρος του πίνακα, ο ζωγράφος έχει απεικονίσει κύβους και οκτάεδρα σε διάφορα μεγέθη.

Πρώτος σύνθετος αστερισμός του εικοσιδωδεκαέδρου (Πολυεδρική ένωση πέντε οκταέδρων)

"Vigintisex Basilum Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", 1509)

Τα βιβλία γράφουν...

Ένα επαυξημένο πολύεδρο προκύπτει, αν στο αρχικό πολύεδρο προσαρτήσουμε σε κάθε κάθε έδρα του μια πυραμίδα με βάση την έδρα αυτή.


Τριάκις Τετράεδρο ή Επαυξημένο Τετράεδρο


Μπορεί να προκύψει από ένα τετράεδρο αν σε κάθε έδρα του "κολλήσουμε" μια τριγωνική πυραμίδα.

"Tetracedron Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", 1509)

"Tetracedron Elevatus Vacuus - Tetracedron Elevatus Solidus"
Αφίσα για το Μουσείο Leonardo da Vinci στην πόλη Vinci της Ιταλίας, πρότζεκτ με τον Dirk Huylebrouck

Oliver Gustav (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Elevated Tetrahedron"

Επαυξημένος Κύβος ή Επαυξημένο Εξάεδρο

Μπορεί να προκύψει από έναν κύβο αν σε κάθε έδρα του "κολλήσουμε" μια τετραγωνική πυραμίδα.

"Hexacedron Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci στο βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", τρίτο βιβλίο, 1509)

Επαυξημένος Κόλουρος Κύβος ή Επαυξημένο Κόλουρο Εξάεδρο

Μπορεί να προκύψει από έναν κόλουρο κύβο αν σε κάθε έδρα του "κολλήσουμε" οκταγωνικές ή τριγωνικές πυραμίδες.

"Exacedron Abscisus Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", τρίτο βιβλίο, 1509)

"Exacedron Abscisus Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", τρίτο βιβλίο, 1509)

"Exacedron Abscisus Elevatus Vacuus - Exacedron Abscisus Elevatus Solidus"
Αφίσα για το Μουσείο Leonardo da Vinci στην πόλη Vinci της Ιταλίας, πρότζεκτ με τον Dirk Huylebrouck

Πεντάκις δωδεκάεδρο

Μπορεί να προκύψει από ένα δωδεκάεδρο αν σε κάθε έδρα του "κολλήσουμε" πενταγωνικές πυραμίδες. Έχει 5x12 = 60 έδρες, εξ' ου και το όνομά του.

"Duodecedron Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", 1509)

Επαυξημένο εικοσιδωδεκάεδρο

Μπορεί να προκύψει από ένα εικοσιδωδεκάεδρο αν σε κάθε έδρα του "κολλήσουμε" πενταγωνικές ή τριγωνικές πυραμίδες.

"Duodecedron Abscisus Elevatus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας, 1509)

"Duodecedron Abscisus Elevatus Vacuus"
Πιστή αναπαραγωγή της κατασκευής του da Vinci από τον σύγχρονο μαθηματικό και καλλιτέχνη, George Hart (1999)

"Duodecedron Abscisus Elevatus Vacuus - Duodecedron Abscisus Elevatus Solidus"
Αφίσα για το Μουσείο Leonardo da Vinci στην πόλη Vinci της Ιταλίας, πρότζεκτ με τον Dirk Huylebrouck

Πρόκειται για το αστεροειδές πολύεδρο στο κάτω μέρος του ξυλόγλυπτου της εικόνας:

Αναγεννησιακό ξυλόγλυπτο (Intarsia), έργο του Fra Giovanni da Verona (1457 - 1525). Σκευοφυλάκιο της Αγίας Μαρίνας στο αρμόνιο της Βερόνα 
(περ. 1494 - 1499).
Απεικονίζονται με τη σειρά, από πάνω προς τα κάτω: Επαυξημένος κύβος, κυβοκτάεδρο και επαυξημένο εικοσιδωδεκάεδρο. 

Αναγεννησιακό ξυλόγλυπτο (Intarsia), έργο του Fra Giovanni da Verona (1457 - 1525). Μοναστήρι του Monte Olivetto, κοντά στη Siena (περ. 1503 - 1506).

Παρατηρούμε ότι όλες οι απεικονίσεις των πολυέδρων είναι επηρεασμένες από την τεχνοτροπία του Leonardo da Vinci στο βιβλίο του Luca Pacioli, "De Divina Proportione" (1509). Ο τελευταίος ήταν δάσκαλος της Ευκλείδειας Γεωμετρίας για τον da Vinci και τον βοήθησε στις κατασκευές του ως μηχανικός.

Διάφορα μη κυρτά πολύεδρα

Σελίδα από το βιβλίο του Lorenz Stoer "Geometria et Perspectiva ("Γεωμετρία και Προοπτική", Νυρεμβέργη, 1567). Το βιβλίο αυτό περιείχε μια σειρά τυπωμάτων με σχέδια για ξυλόγλυπτα, με φανταστικά τοπία και μη κυρτά πολύεδρα, όπως αυτό της εικόνας.

Τα βιβλία γράφουν...

Οι επιφάνειες των μη κυρτών πολυέδρων -σε αντίθεση με τα κυρτά- μπορεί να έχουν χαρακτηριστική Euler διάφορους αριθμούς.


Τα αστεροειδή πολύεδρα παρουσιάζουν ποικίλες συμμετρίες και ομάδες συμμετριών, οι οποίες μελετώνται από τη σύγχρονη Θεωρία Ομάδων. Πιστεύεται ότι οι συμμετρίες αυτές είναι ο κύριος λόγος που τα αστεροειδή πολύεδρα ενέπνευσαν τόσο έντονα τους καλλιτέχνες, ειδικά κατά την Αναγέννηση.

Πηγές:

• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Πανεπιστημιακές σημειώσεις "Ιστορίας των Μαθηματικών" καθηγητή Α.Θωμά, 2010
• Geometricism by David Wade
• George Hart: Leonardo Project
• Matematicas Visuales
• Richard Starks Sculptures
• The Playful Geometer: Star Ring Attractions
• The Polyhedra of M.C. Escher
• Universal Leonardo: Rule of Mathematics
• Vincent Fink
• Wolfram Math World: Escher's Solid
• Wolfram Math World: Small Stellated Dodecahedron
• Wolfram Math World: Stella Octangula
• Wolfram Math World: Truncated Octahedron
• wikipedia.org

Καλώς όρισες 2020!

Το ιστολόγιο "eis to apeiron" εύχεται με... τον δικό του τρόπο... Καλή Χρονιά και ευτυχισμένο το 2020!!!

"Αν δεν είναι όμορφοι οι αριθμοί, τότε δεν ξέρω τι είναι όμορφο..."
Paul Erdos (1913 - 1996)

Καλά Χριστούγεννα! (+Γρίφος)

Καλά Χριστούγεννα σε όλους!!!

Δυσαριθμησία: Μέρος 3º - Αποτελεσματική παρέμβαση

Στο πρώτο μέρος αυτής της σειράς άρθρων, περιγράφεται η δυσαριθμησία ως ειδική μαθησιακή δυσκολία και τονίζεται η σημασία της προληπτικής διδασκαλίας. Στο δεύτερο μέρος αναλύονται τα προειδοποιητικά σημάδια σχετικά με την πιθανή ύπαρξη δυσαριθμησίας και δίνονται κάποιες πληροφορίες σχετικά με τη διαδικασία της διάγνωσης. Αυτό είναι το τρίτο και τελευταίο μέρος, όπου θα προσπαθήσω να περιγράψω, χωρίς να γίνω κουραστική, διάφορες μεθόδους παρέμβασης που εφαρμόζονται προκειμένου να καταφέρει ο μαθητής με δυσαριθμησία να υπερβεί τις δυσκολίες του. Πολλές από τις μεθόδους που αναφέρονται, είμαι σίγουρη ότι βοηθάνε όλα τα παιδιά να μάθουν μαθηματικά, είτε έχουν μαθησιακές δυσκολίες είτε όχι.

Αποτελεσματική παρέμβαση

Μετά την οικεία διάγνωση, πρέπει να παρέχεται στο παιδί με δυσαριθμησία ένα πρόγραμμα παρέμβασης ειδικά σχεδιασμένο για αυτό. Επειδή το παρόν τυπικό εκπαιδευτικό σύστημα δεν είναι συμβατό με τον τρόπο με τον οποίο μαθαίνουν τα παιδιά με δυσαριθμησία, χρειάζεται εξατομικευμένη μεταχείριση από ειδικό, φιλική προς το μαθησιακό στυλ του παιδιού. Αξίζει να τονιστεί ότι η δυσαριθμησία δεν είναι ένα πρόβλημα ή μια πάθηση ώστε να ψάχνουμε θεραπεία. Δεν περιμένουμε η δυσαριθμησία να "φύγει", αλλά βοηθάμε το παιδί να συμφιλιωθεί μαζί της, του διδάσκουμε τρόπους να την υπερβεί και να αναπτύξει τους δικούς του μηχανισμούς ώστε να κάνει σωστά τις μαθηματικές πράξεις και να επιλύει προβλήματα μαθηματικής φύσεως.

Μέσα από το εξατομικευμένο πρόγραμμα παρέμβασης:

• Γίνεται αγωγή προσανατολισμού. Μόλις οι μαθητές βεβαιωθούν μέσω του προσανατολισμού ότι η αντίληψή τους είναι σωστή, θα είναι σε θέση να υπερβαίνουν τις αριθμητικές τους δυσκολίες με μη παραδοσιακές μεθόδους, οι οποίες θα βασίζονται στις οπτικοχωρικές τους δεξιότητες, στη φαντασία τους και στη δημιουργικότητά τους.
• Αξιοποιείται η πολυαισθητηριακή μέθοδος διδασκαλίας, σύμφωνα με την οποία το παιδί πρέπει να δει, να ακούσει και να αισθανθεί έναν αριθμό. 
• Διδάσκονται οι τέσσερις βασικές πράξεις με χρήση αντικειμένων, όπως μεζούρα, κέρματα, τραπουλόχαρτα, ξυλομπογιές, πλαστελίνη κλπ. βάση του οπτικού και του κιναισθητικού στυλ μάθησης που έχουν πολλά παιδιά.
• Πραγματοποιείται ουσιαστική εκμάθηση της προπαίδειας με μη συμβατικούς τρόπους.
• Επιλύονται τα μαθηματικά προβλήματα αφού πρώτα οπτικοποιηθούν σε μια εικόνα ή ένα σχήμα.
• Τονώνεται η αυτοπεποίθηση του παιδιού μέσα από διαρκείς επιβραβεύσεις των προσπαθειών του.
• Γίνεται διδασκαλία των Μαθηματικών μέσα από εφαρμογές στη σύγχρονη καθημερινότητα (ίντερνετ, βιντεοπαιχνίδια, GPS κλπ) και με χρήση των Νέων Τεχνολογιών.
• Μέσα από το παιχνίδι, μπορούμε πολύ συχνά να πάρουμε αφορμή για τη διδασκαλία μιας μαθηματικής έννοιας. 

Διδάσκουμε στο παιδί ότι μια πρόσθεση έχει δύο αντίστοιχες αφαιρέσεις, όχι με τον κλασικό γραπτό τρόπο, αλλά με αριθμούς από μαγνητάκια πάνω σε μεταλλικό πίνακα. Σύμφωνα με την πολυαισθητηριακή μέθοδο, το παιδί αγγίζει τους αριθμούς και τους αισθάνεται ως κάτι απτό και όχι ως μια αφηρημένη έννοια. Έτσι, αντιλαμβάνεται ότι ο ίδιος αριθμός που ήταν στο ρόλο του αθροίσματος (το 15) γίνεται έπειτα αφαιρετέος.  

Σύμφωνα πάλι με την πολυαισθητηριακή μέθοδο, διδάσκουμε τον πολλαπλασιασμό χρησιμοποιώντας ένα πλήθος όμοιων αντικειμένων (εδώ: 12 χάντρες). Σ' αυτή την περίπτωση οι αριθμοί μπορούν να μη γράφονται με τα σύμβολά τους, αλλά να παριστάνονται μόνο μέσα από το πλήθος των χαντρών. Έτσι, το παιδί με δυσαριθμησία δεν θα μπερδεύεται. Το παιδί, αξιοποιώντας τις οπτικοχωρικές του δεξιότητες, πρέπει να τοποθετήσει τις χάντρες με μια συγκεκριμένη σειρά (3x4 ή 2x6) και έπειτα να διαπιστώσει ότι καθένα από τα δύο γινόμενα ισούται με 12.

Αναγωγή στην κλασματική μονάδα με τις ξυλομπογιές;
Για να υπολογίσει ο μικρός μαθητής πόσο είναι το 1/4 του 20, χωρίζουμε τις 20 ξυλομπογιές του σε 4 ομάδες, με την κάθε ομάδα να αποτελείται από 5 ξυλομπογιές. 

Αυτή η εξατομίκευση της διδασκαλίας, η καθημερινή εξάσκηση και οι στοχευμένες διδακτικές εμπειρίες εφοδιάζουν το παιδί με τα κατάλληλα εργαλεία που το βοηθούν να μάθει να χειρίζεται σωστά τους αριθμούς με τον δικό του, μοναδικό τρόπο.

"Κάθε παιδί μπορεί να μάθει και να αγαπήσει τα μαθηματικά, αρκεί να τα διδαχτεί με τον τρόπο που του ταιριάζει,αξιοποιώντας τα δυνατά του σημεία".

(Ιωάννης Καραγιαννάκης) 

Βιβλιογραφία

Αγαλιώτης, Ι. (2000). Μαθησιακές Δυσκολίες στα Μαθηματικά. Αιτιολογία, αξιολόγηση, αντιμετώπιση. Αθήνα: Ελληνικά Γράμματα.
Hannel, G. (2013) (2nd edition). Dyscalculia: Action plans for successful learning in Mathematics. New York: Routledge.
Karagiannakis, G., & Baccaglini-Frank, A. (2014). The De-Di-Ma battery: A tool for identifying students' mathematical learning profiles. Health Psychology Review, 2(4), 291-297.
Rousselle, L., & Noel. M. P. (2007). Basic numerical skills in children with mathematics learning disabilities: A comparison of symbolic vs non-symbolic number magnitude processing. Cognition, 102(3), 361-395.
Στασινός, Δ. (2003) (Επιμ). Μαθησιακές δυσκολίες του παιδιού και του εφήβου. Η εμπειρία της σύγχρονης Ευρώπης. Αθήνα: Gutenberg.
Shams. L. & Seitz, A. R. (2008). Benefits of Multisensory Learning. Trends in Cognitive Sciences, 12(11), 411-417.
Wilson, A. J., & Dehaene, S. (2007). Number sense and developmental dyscalculia. Human behavior, learning and the developing brain: Atypical development, 2, 212-237.
Σημειώσεις από τα βιωματικά σεμινάρια του δρ. Καραγιαννάκη Ιωάννη: "Δυσαριθμησία: Στρατηγικές αντιμετώπισης των μαθησιακών δυσκολιών στα Μαθηματικά μαθητών πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης" (17/10/2015) & "Αντιμετώπιση των δυσκολιών στα Μαθηματικά με έξυπνο τρόπο" (20/05/2017), Διεπιστημονικό Κέντρο Ηπείρου, Ιωάννινα.

Παράγωγοι του... καφέ!

Καλημέρα σε όλους και καλή εβδομάδα! Θα ήθελα μια δεύτερη παράγωγο της f(x) παρακαλώ! Σκέτη!