Καλώς ήρθατε! Μην περιμένετε να βρείτε φυλλάδια με ασκήσεις μαθηματικών εδώ... Σκοπός του blog "εις το άπειρον" είναι να προσεγγίσει τη μαθηματική γνώση ελεύθερα και με διασκεδαστικό τρόπο, χωρίς τα όρια των σχολικών τάξεων.
Στις προπτυχιακές τους σπουδές, όχι μόνο στο Μαθηματικό, αλλά και σε πάρα πολλά τμήματα θετικών επιστημών ή μηχανικών, οι φοιτητές διδάσκονται το μάθημα της Γραμμικής Άλγεβρας.
Ο Gilbert Strang (γεν. 1934) δίδαξε Γραμμική Άλγεβρα για 61 χρόνια και εκατομμύρια άνθρωποι στον κόσμο έμαθαν από αυτόν τον σπουδαίο καθηγητή, είτε μέσω των όμορφων διαλέξεών του, ή μελετώντας τα βιβλία του. Οι βιντεοσκοπημένες διαλέξεις του είναι πολύ δημοφιλείς στο YouTube και το κανάλι MIT OpenCourseWare. Αυτή είναι η τελευταία διάλεξη που δίνει (Μάιος 2023), στο MIT της Μασαχουσέτης, σε ηλικία 88(!) ετών.
Το βιβλίο του Gilbert Strang "Γραμμική Άλγεβρα και εφαρμογές", σε μετάφραση Π. Πάμφιλου από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Μπορείτε να παρακολουθήσετε μια πλήρη playlist διαλέξεων του Gilbert Strang πάνω σε όλη σχεδόν τη Γραμμική Άλγεβρα εδώ...
Ταξίδι στον κόσμο των Μαθηματικών με τα παιδικά βιβλία του Δημήτρη Παναγάκου
Το καλοκαίρι έχει φτάσει και τα σχολεία σύντομα κλείνουν για τους μικρούς μαθητές. Για τις καλοκαιρινές διακοπές, το "εις το άπειρον", που αγαπά την ψυχαγωγική προσέγγιση των Μαθηματικών, προτείνει τρία παιδικά βιβλία από τον μαθηματικό και συγγραφέα Δημήτρη Παναγάκο. Τρία μικρά βιβλία, που υπόσχονται ένα συναρπαστικό ταξίδι στον κόσμο των Μαθηματικών αλλά και του διαστήματος... Με ευφάνταστο και διασκεδαστικό τρόπο, ο συγγραφέας βοηθά τα παιδιά να εξοικειωθούν με μαθηματικές έννοιες, ιδέες και θεωρίες. Στα βιβλία αυτά, που είναι ιδανικά για μαθητές Δημοτικού και Γυμνασίου, κρύβεται πολλή από τη μαγεία των Μαθηματικών. Μέσα στις σελίδες τους παρελαύνουν σπουδαίοι επιστήμονες, ενώ τα παιδιά καταλήγουν να μαθαίνουν Μαθηματικά χωρίς να συνειδητοποιήσουν ότι διαβάζουν Μαθηματικά!
Τα Μαθηματικά Αινίγματα του Θείου Αριστοτέλη
Υπάρχουν στ' αλήθεια αδελφοί αριθμοί; Μήπως υπάρχουν και δίδυμοι; Τι είναι οι αριθμητικές ακολουθίες και τι σχέση έχουν με τα κουνέλια; Γιατί το 15 είναι τρίγωνος αριθμός και το 16 τετράγωνος; Τι σχέση έχουν οι μέλισσες με τα εξάγωνα; Από πότε μας είναι γνωστά τα μαγικά τετράγωνα; Αυτά και πολλά ακόμη μαθηματικά αινίγματα θα ανακαλύψει ο μικρός Αλέξανδρος κατά τη διάρκεια ενός ξεχωριστού ταξιδιού παρέα με τον αγαπημένο του θείο. Ο "αινιγματικός" θείος Αριστοτέλης θα κάνει ευχάριστη τη διαδρομή με μαθηματικά παιχνίδια και θα δώσει στον Αλέξανδρο, εύκολα και με διασκεδαστικό τρόπο, όλα τα κίνητρα που χρειάζεται για να ξεκινήσει το υπέροχο ταξίδι του στον μαγικό κόσμο των Μαθηματικών!
Τα Έξυπνα Παιχνίδια του Κυρίου Πλάτωνα
Είναι τα Μαθηματικά διασκεδαστικά; Για τον Χρίστο η απάντηση ήταν "σίγουρα όχι", ώσπου ξεκίνησαν οι καλοκαιρινές του διακοπές και συνάντησε έναν παλιό του γνώριμο. Ο κύριος Πλάτωνας, ο παράξενος και καλοσυνάτος γείτονας, ήταν έτοιμος να αλλάξει για πάντα τη γνώμη του Χρίστου. "Όταν μαθαίνεις παίζοντας, το πράγμα αποκτά ενδιαφέρον", συνηθίζει να λέει ο κύριος Πλάτωνας και μας παρουσιάζει έναν υπέροχο κόσμο που κρύβεται πίσω από έξυπνα παιχνίδια σκέψης, όπως ο Μοναχικός, το Τάνγκραμ, ο Κύβος του Ρούμπικ, το Ντόμινο, το σκάκι κ.ά. Τα έξυπνα παιχνίδια του κυρίου Πλάτωνα κάνουν την αριθμητική και τη γεωμετρία να μοιάζουν με παιχνίδι και ο συνδυασμός στρατηγικής και μαθηματικής σκέψης μάς επιτρέπει να ανακαλύψουμε τη διασκεδαστική πλευρά των μαθηματικών... παίζοντας!
Τα Διαστημικά Ταξίδια του Σωκράτη
"Τι ζώδιο είσαι;" ήταν η ερώτηση που την έκανε να γελάσει. Έπρεπε να το είχε φανταστεί πως ένα μαθηματικό μυαλό σαν το δικό της δεν θα έδειχνε κανένα ενδιαφέρον για τα ζώδια... Ο μικρός Σωκράτης προσπάθησε να παραμείνει ψύχραιμος όταν ανακάλυψε πως το αγαπημένο χόμπι της Νεφέλης ήταν η Αστρονομία. Οι γνώσεις που είχε μέχρι εκείνη τη στιγμή για το διάστημα ήταν ελάχιστες και έπρεπε γρήγορα να τις εμπλουτίσει. Η αναπάντεχη επίσκεψη του παππού του για τις γιορτές των Χριστουγέννων έμοιαζε με σανίδα σωτηρίας. Σίγουρα ο παππούς Σωκράτης ήταν ο κατάλληλος άνθρωπος για να τον βοηθήσει, και μάλιστα με εύκολο και διασκεδαστικό τρόπο. Με οδηγό τον αγαπημένο του παππού, ο μικρός Σωκράτης θα ξεκινήσει τα διαστημικά του ταξίδια ανακαλύπτοντας τους πλανήτες του ηλιακού μας συστήματος, ενώ παράλληλα θα παίζει παιχνίδια με γεωμετρικά σχήματα και θα συζητάει για τους σπουδαίους εξερευνητές του διαστήματος, όπως ο Κέπλερ, ο Νεύτωνας και ο Γαλιλαίος...
Έτος 2013. Ερώτηση της 8χρονης, τότε, κόρης μου, που είχε τύχει να μείνει μαζί μου εν ώρα μαθήματος: "Μαμά, τι είναι παράγωγος";
"Θα σου το μάθω όταν μεγαλώσεις", της υποσχέθηκα, λες και ήταν δεδομένο ότι θα είχε Μαθηματικά Προσανατολισμού στη Γ' Λυκείου ή ότι θα κάναμε μαζί την προετοιμασία των Μαθηματικών για τις Πανελλήνιες...
10 χρόνια μετά και... εδώ είμαστε! Τώρα που το σκέφτομαι, θα μπορούσα να είχα χρησιμοποιήσει ένα απλό παράδειγμα από την καθημερινή ζωή για να εξηγήσω με πολύ-πολύ απλά λόγια την έννοια του ρυθμού μεταβολής. Πάντως, μπορώ να πω ότι την υπόσχεσή μου την τήρησα!
Θέλω να ευχηθώ καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά που ολοκληρώνουν το ετήσιο ταξίδι των Πανελλαδικών Εξετάσεων! Καλή επιτυχία και στους μαθητές/μαθήτριές μου, που με κάνουν να αγαπώ το επάγγελμα που έχω επιλέξει! Να θυμάστε ότι ευτυχισμένος είναι αυτός που πάει με χαρά στη δουλειά του, όποια κι αν είναι αυτή!
Εικαστική... παρέμβαση μαθήτριας σε διαγώνισμα
✨
Σελίδα από το βιβλίο του Charlie Mackesy, "Το αγόρι, ο τυφλοποντικας, η αλεπού και το άλογο", 2019.
✨
"Βάλε ως στόχο το φεγγάρι... ακόμη κι αν αποτύχεις, θα έχεις βρεθεί κάπου ανάμεσα στ' αστέρια!"
Το εκπαιδευτικό πρότζεκτ που θα παρουσιάσω σήμερα δεν είναι νέο, αλλά υλοποιήθηκε τον Μάιο του 2021, πριν δύο χρόνια τέτοια εποχή. Ήταν μια ιδιαίτερη περίοδος, αφενός λόγω της πανδημίας του κορωνοϊού και αφετέρου εξαιτίας των σεισμών στην περιοχή. Έτσι, κάναμε με τους μαθητές της Β΄ τάξης (Β5) του 3ου Γυμνασίου Λάρισας κάτι πιο διασκεδαστικό και δημιουργικό, αξιοποιώντας την βιωματική μάθηση.
Στο πλαίσιο του μαθήματος των Μαθηματικών και το Κεφάλαιο της Στατιστικής, αποφασίσαμε να διερευνήσουμε τη σχέση των μαθητών του σχολείου τους με τον αθλητισμό και να μάθουμε ποιο ήταν το πιο δημοφιλές άθλημα. Αφού προσδιορίσαμε τον πληθυσμό, το δείγμα και τις μεταβλητές, ετοιμάσαμε ένα ερωτηματολόγιο με ερωτήσεις κλειστού αλλά και ανοικτού τύπου, το οποίο μοιράστηκε σε 200 μαθητές του σχολείου (επέλεξα το μέγεθος του δείγματος ν=200 για να διευκολυνθούμε στους υπολογισμούς). Τα παιδιά, χωρισμένα σε ομάδες στη βάση της ομαδοσυνεργατικής μάθησης, συνέλεξαν τα δεδομένα από κάθε τμήμα του σχολείου και έκαναν την καταμέτρηση. Έπειτα, όλοι μαζί "ένωσαν" τις παρατηρήσεις τους, υπολογίσαμε τις συχνότητες και σχετικές συχνότητες % (τα ποσοστά των μαθητών που ασχολούνται ή όχι με τον αθλητισμό και τα ποσοστά των προτιμήσεων για κάθε άθλημα) και κάναμε τις γραφικές παραστάσεις (με το χέρι αλλά και με υπολογιστή).
Το μάθημά μας δεν έμεινε στη θεωρία ή τις ασκήσεις της Στατιστικής. Οι μαθητές έμαθαν εμπειρικά για τους πίνακες συχνοτήτων, εξασκήθηκαν στον υπολογισμό ποσοστών, σχεδίασαν ραβδογράμματα και κυκλικά διαγράμματα, κατανόησαν τη σημασία της δειγματοληψίας, αφού δεν ρωτήθηκαν όλοι οι μαθητές του σχολείου και πήραν μία μικρή "γεύση" από τη δουλειά που κάνει ένας ερευνητής όσον αφορά το στατιστικό κομμάτι.
Ρίχνοντας μια ματιά στα νέα Προγράμματα Σπουδών, βλέπουμε ότι η Στατιστική θα διδάσκεται σε όλες τις τάξεις της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, οπότε μια δραστηριότητα σαν αυτή ίσως συνηθίζεται μελλοντικά. Επιπλέον, η αξιοποίηση εύχρηστων λογισμικών όπως το πρόγραμμα λογιστικών φύλλων Microsoft Excel, θεωρώ ότι θα είναι από χρήσιμη έως και αναγκαία για τη διδασκαλία της Στατιστικής.
ℹ️ Το ερωτηματολόγιο που χρησιμοποιήθηκε ήταν το παρακάτω.
Για την επανάληψη στα Μαθηματικά πριν τις Πανελλήνιες Εξετάσεις, κυκλοφόρησε από τον εξαίρετο μαθηματικό και συγγραφέα, Βασίλη Γατσινάρη, το βιβλίο "Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επαναληπτικά Θέματα". Πρόκειται για ένα βιβλίο αξιόλογο, όπως και τα προηγούμενα βιβλία του! Μπορείτε να δείτε την πλήρη δουλειά του συγγραφέα εδώ.
Λίγα λόγια για το βιβλίο από τον συγγραφέα...
"Μετά από πολύχρονη ενασχόληση με τα μαθηματικά, επειδή το
σημερινό ύφος των θεμάτων εξετάσεων απαιτεί καλή γνώση όλης της ύλης
μαθηματικών του λυκείου, ολοκληρώσαμε το παρόν βοήθημα στα πρότυπα των
εξετάσεων. Το βιβλίο είναι χωρισμένο στα: Θέματα Α, Θέματα Β,
Θέματα Γ, Θέματα Δ. Τα θέματα είναι δομημένα στο νέο πνεύμα των
εξετάσεων. Εύχομαι να γίνει απαραίτητο σε κάθε υποψήφιο μαθητή".
Ένας τυχερός/τυχερή μπορεί τώρα να αποκτήσει δωρεάν ένα αντίτυπο του βιβλίου του Βασίλη Γατσινάρη, "Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επαναληπτικά Θέματα", προσφορά του συγγραφέα, μέσα από το 2ο giveaway που διοργανώνει το "εις το άπειρον"...
Για να πάρετε μέρος στην κλήρωση πρέπει και αρκεί:
Να είστε ακόλουθοι του blog "εις το άπειρον" (η εγγραφή γίνεται με χρήση gmail)
Να αφήσετε ένα σχόλιο σ' αυτή την ανάρτηση, δηλώνοντας ότι συμμετέχετε στο giveaway και γράφοντας το e-mail σας.
Προσοχή: αν στο σχόλιο φαίνεστε ως ανώνυμοι, φροντίστε να γράψετε το όνομά σας (δυστυχώς ανώνυμα σχόλια δεν μπορούν να ληφθούν υπόψη).
Ο διαγωνισμός λήγει την Παρασκευή 19 Μαΐου 2023 στις 23:59. Το Σάββατο 20 Μαΐου 2023 θα ανακοινωθεί στην παρούσα ανάρτηση ο τυχερός/τυχερή που θα αναδείξει η κλήρωση μέσω του random name picker από το commentpicker.com και θα ειδοποιηθεί μέσω e-mail (στο e-mail που έχει δηλώσει)! Το δώρο θα σταλεί από τον συγγραφέα στο νικητή μόλις έχω τη διεύθυνσή του. Αν δεν επικοινωνήσει εντός μιας εβδομάδας, η κλήρωση θα επαναληφθεί.
Καλή επιτυχία σε όλους!!!
____________________________
EDIT (20/5/2023):Σας ευχαριστούμε όλους/όλες για τη συμμετοχή σας! Μετά από κλήρωση των έγκυρων συμμετοχών μέσω του random name picker από το commentpicker.com, ο νικητής που κερδίζει το βιβλίο του Βασίλη Γατσινάρη, "Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επαναληπτικά Θέματα" είναι ο Γιαννάκαρος Σπύρος. Συγχαρητήρια! Ευχόμαστε να είσαι πάντα τυχερός!
Έχουμε 56 μπισκότα για να ταΐσουμε 10 κατοικίδια ζώα, καθένα από τα οποία είναι είτε σκύλος ή γάτα. Στον κάθε σκύλο αναλογούν 6 μπισκότα, ενώ στην κάθε γάτα 5 μπισκότα. Πόσοι είναι οι σκύλοι και πόσες οι γάτες;
🔍Πηγή γρίφου: Raymond Smullyan: "Την κυρία ή την τίγρη; & άλλα αινίγματα μαθηματικής λογικής". Εκδόσεις Κάτοπτρο, 2010.
Άνοιξη του 1191. Σ' ένα επιταγμένο αρχοντικό της Λεμεσού, ο νεόνυμφος βασιλιάς Ριχάρδος, που τον είπαν και Λεοντόκαρδο, απολαμβάνει τους καρπούς από την πρόσφατη κατάκτηση της Κύπρου. Γύρω του όμως μαίνεται ένας άλλος, αθέατος πόλεμος. Μηχανορραφίες, δολοπλοκίες, συμμαχίες που συνάπτονται και διαλύονται στη στιγμή και, ως επιστέγασμα, μια δολοφονία. Θύμα η σατανική Λωρ, έμπιστη της βασιλομήτορος Ελεονώρας και συγχρόνως παλλακίδα του γιου της. Βασικός ύποπτος η δόνα Εστεφάνα, παλιά μαθήτρια του Αβερρόη και γιάτρισσα της νιόπαντρης βασίλισσας Βερεγγάριας.
Μέσα της δεκαετίας του 1950. Μια Εγγλέζα βυζαντινολόγος, ένας Γάλλος παλαιογράφος κι ένας νεαρός Έλληνας μαθηματικός καλούνται επειγόντως στην Κύπρο, όπου μαίνεται ο αντιαποικιακός αγώνας, για να αξιολογήσουν ένα χειρόγραφο που χρονολογείται από την περίοδο της Τρίτης Σταυροφορίας. Μέσα στο κείμενο υπάρχουν αναφορές σ΄ ένα δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα που παρέμενε άλυτο από την εποχή του Πτολεμαίου, αλλά και σ΄ έναν μυστηριώδη φόνο. Τα πράγματα περιπλέκονται όταν οι τρεις εμπειρογνώμονες γίνονται μάρτυρες, οκτακόσια χρόνια αργότερα, ενός ακόμη φόνου...
Το βιβλίο του Τεύκρου Μιχαηλίδη από τις εκδόσεις Πόλις
Μέσα από την αφήγηση της γοητευτικής δόνας Εστεφάνα, το βιβλίο μάς ταξιδεύει στην Κύπρο των Σταυροφόρων, μας ξεναγεί στις μεσαιωνικές ιατρικές συνταγές και μελετά μαζί μας σπάνια αραβικά χειρόγραφα που περιέχουν λύσεις σε δύσκολα μαθηματικά προβλήματα. Κι ύστερα, μερικούς αιώνες αργότερα, με καινούργια συντροφιά, μας οδηγεί ξανά στον ίδιο τόπο για ν΄ αντιμετωπίσουμε ένα νέο μυστήριο, του οποίου η λύση κρύβεται στο ίδιο παλιό χειρόγραφο. Φτάνει να μπορέσουμε να το διαβάσουμε σωστά...
Αυτό που με είχε ενθουσιάσει περισσότερο στα Μαθηματικά ως μαθήτρια και αποφάσισα, τελικά, να γίνω μαθηματικός, δεν ήταν οι υπολογισμοί, αλλά η λογική σκέψη. Όταν γνωρίζω ότι κάτι ισχύει, τι μπορώ να συμπεράνω με ασφάλεια; Μεγάλη πρόκληση αποτελούσε -και αποτελεί- για τους μαθητές η Ευκλείδεια Γεωμετρία, όπου καλείσαι να αποδείξεις μια πρόταση χρησιμοποιώντας λογικά επιχειρήματα και ουαί κι αλίμονό σου αν πεις ότι "φαίνεται από το σχήμα"... Μεγαλώνοντας, καταλαβαίνεις καλύτερα ότι, πολλές φορές, "τα φαινόμενα απατούν".
Με την κατάλληλη εκπαίδευση -συμπεριλαμβανομένης και της διδασκαλίας των Μαθηματικών- μπορούμε να μάθουμε πώς να σκεφτόμαστε λογικά, πώς να εξάγουμε σωστά συμπεράσματα και να μην πέφτουμε σε λογικές πλάνες, εφόδιο χρήσιμο για τη ζωή μας αφού τελειώσουμε το σχολείο.
Τι είναι, όμως, οι λογικές πλάνες;
Είναι, στην ουσία, λανθασμένοι συλλογισμοί που φέρνουν και άκυρα συμπεράσματα, ή συμπεράσματα για τα οποία δεν μπορούμε να είμαστε βέβαιοι. Ένα παράδειγμα λογικής πλάνης είναι το εξής: "Τα δίδυμα αδέρφια έχουν γενέθλια την ίδια μέρα. Ο Βασίλης και ο Κώστας έχουν γενέθλια την ίδια μέρα, άρα είναι δίδυμοι". Καταλαβαίνουμε ότι αν δύο άτομα έχουν γενέθλια την ίδια μέρα, δεν είναι αναγκαστικά δίδυμα αδέρφια! Είναι έγκυρος όμως ο εξής συλλογισμός: "Τα δίδυμα αδέρφια έχουν γενέθλια την ίδια μέρα. Ο Κώστας και ο Βασίλης είναι δίδυμοι, άρα έχουν γενέθλια την ίδια μέρα". Σύμφωνα, επίσης, με τον κανόνα της αντιθετοαντιστροφής, είναι έγκυρο και το εξής: "Ο Κώστας και ο Βασίλης δεν έχουν γενέθλια την ίδια μέρα, άρα δεν είναι δίδυμοι".
Προσωπικά, προσπαθώ να μεταδώσω τον ορθολογικό τρόπο σκέψης στους μαθητές μου μέσα από το μάθημα που διδάσκω και να τους μάθω, όχι μόνο πώς να σκέφτονται, αλλά και πώς να επιχειρηματολογούν σωστά (μέσα στην τάξη ή έξω από αυτήν). Ο Άκης από το κανάλι του YouTube The Skeptic Theory εξηγεί σε πέντε βίντεο όλα όσα θέλω να πω εδώ για τις λογικές πλάνες, με τον πιο ευχάριστο τρόπο (προτείνω να τα δείτε με αυτή τη σειρά).
Μόνο με τέσσερα τριάρια (3) και χρησιμοποιώντας όποιες και όσες αριθμητικές πράξεις θέλετε (χωρίς περιορισμό μαθηματικών συμβόλων), να κατασκευάσετε καθέναν από τους μονοψήφιους αριθμούς.
💻Η φόρμα για τα σχόλια επιτρέπει και τη χρήση LaTeX. Δείτε εδώ πώς μπορείτε να γράψετε τις αριθμητικές πράξεις σας.
