Στην προηγούμενη ανάρτηση του πρότζεκτ "Τα Μαθηματικά στην Τέχνη" είδαμε τα πέντε κανονικά πολύεδρα, που ονομάστηκαν και πλατωνικά στερεά. Αυτό που τα καθιστά ξεχωριστά είναι το γεγονός ότι οι έδρες τους είναι όλες κανονικά πολύγωνα του ίδιου τύπου. Η επόμενη κατηγορία πολυέδρων είναι τα ημικανονικά πολύεδρα ή αλλιώς αρχιμήδεια στερεά...
 |
| Σχέδια διαφόρων πολυέδρων. Από το βιβλίο του Max Brückner "Πολύγωνα και Πολύεδρα: Θεωρία και Ιστορία", 1900. |
Σύμφωνα με μαρτυρία του Πάππου, ο Αρχιμήδης στη χαμένη πραγματεία του για τα λεγόμενα ημικανονικά πολύεδρα, διακρίνει μια νέα κατηγορία πολυέδρων.
Τα βιβλία γράφουν...
Τα αρχιμήδεια στερεά (ή στερεά του Αρχιμήδη) είναι ημικανονικά κυρτά πολύεδρα, οι έδρες των οποίων είναι κανονικά πολύγωνα, αλλά όχι όλες του ίδιου τύπου. Τα κανονικά πολύγωνα που αποτελούν τις έδρες έχουν όλα ίσες τις πλευρές τους, δηλαδή οι ακμές κάθε αρχιμήδειου πολυέδρου είναι όλες ίσες. Οι έδρες ενώνονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο σε όλες τις κορυφές του πολυέδρου, διαμορφώνοντας ίσες πολυεδρικές γωνίες. Υπάρχουν 13 αρχιμήδεια στερεά:
Κόλουρο Τετράεδρο
Έχει 8 έδρες: 4 τρίγωνα και 4 εξάγωνα.
Ο όρος "κόλουρο" αναφέρεται στη διαδικασία της αποκοπής των κορυφών από ένα αρχικό πολύεδρο. Έτσι, κατασκευαστικά, το κόλουρο τετράεδρο προέρχεται από ένα τετράεδρο, από το οποίο έχουμε αποκόψει τις 4 κορυφές.
 |
| Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509) |
Kυβοκτάεδρο
Έχει 14 έδρες: 8 τρίγωνα και 6 τετράγωνα.
 |
| Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509) |
 |
| Ana Conde (Σύγχρονη ζωγράφος και tattoo artist) - "Cuboctahedron Full of Dust Bunnies" (2018) |
 |
| James Sawyer (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Octahedron Inside a Cuboctahedron" (2010) |
Κόλουρος Κύβος ή Κόλουρο Εξάεδρο
Έχει 14 έδρες: 8 τρίγωνα και 6 οκτάγωνα.
 |
| Άγνωστος καλλιτέχνης από τις Η.Π.Α. - "Truncated Cube, Possibly a Zodiac Instrument" |
Κόλουρο Οκτάεδρο
Έχει 14 έδρες: 6 τετράγωνα και 8 κανονικά εξάγωνα.
Κατασκευαστικά, προέρχεται από το οκτάεδρο, αν αποκοπούν όλες οι κορυφές του στο 1/3 της ακμής, έτσι ώστε από τις έδρες του αρχικού οκτάεδρου να προκύψουν εξάγωνα και στη θέση των αποκομμένων κορυφών του να σχηματιστούν τετράγωνα.
 |
"Octocedron Abscisus Vacuus"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509) |
Ρομβοκυβοκτάεδρο (ή μικρό ρομβοκυβοκτάεδρο)
Έχει 26 έδρες: 8 τρίγωνα και 18 τετράγωνα.
 |
| "Vigintisex Basilum Planus Vacuus" Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509) |
 |
| Η πρώτη τυπωμένη απεικόνιση ενός ρομβοκυβοκτάεδρου. Έργο του Leonardo da Vinci, στο βιβλίο του Luca Paccioli, "De Divina Proportione" (1509) |
 |
| Jacopo de Barbari (1460 - 1516). Ο πίνακας απεικονίζει τον Luca Paccioli και τον μαθητή του Guidobaldo, δούκα του Urbino. Στην πάνω αριστερή γωνία είναι κρεμασμένο ένα ρομβοκυβοκτάεδρο, γεμάτο με νερό μέχρι τη μέση. Στο τραπέζι θα παρατηρήσει κανείς ένα δωδεκάεδρο πάνω σ' ένα αντίγραφο των στοιχείων του Ευκλείδη, έναν διαβήτη, μια πυξίδα, ενώ ο Paccioli παρουσιάζει ένα θεώρημα του Ευκλείδη. |
Κόλουρο Κυβοκτάεδρο (ή μέγα ρομβοκυβοκτάεδρο)
Έχει 26 έδρες: 12 τετράγωνα, 8 εξάγωνα και 6 οκτάγωνα.
 |
| Jim Wrenholt (Σύγχρονος graphic designer) - "Truncated Cuboctahedron" (2014) |
Πεπλατυσμένος κύβος (ή πεπλατυσμένο εξάεδρο)
Ο όρος "πεπλατυσμένος" αναφέρεται στη διαδικασία της "επέκτασης" του αρχικού σχήματος. Κατασκευαστικά, ο πεπλατυσμένος κύβος μπορεί να προέλθει από τον κύβο, αν απομακρύνουμε όλες τις έδρες του προς τα έξω, κατά ορισμένη απόσταση και τις περιστρέψουμε ως προς το κέντρο τους έτσι, ώστε τα κενά που δημιουργούνται να μπορούν να καλυφθούν από ισόπλευρα τρίγωνα.
 |
| Γλυπτό-συντριβάνι σε σχήμα πεπλατυσμένου κύβου. Διακοσμεί τον εξωτερικό χώρο του Caltech στην Καλιφόρνια. |
Εικοσιδωδεκάεδρο
Έχει 32 έδρες: 20 τρίγωνα και 12 πεντάγωνα.
 |
| Η πρώτη τυπωμένη απεικόνιση ενός εικοσιδωδεκάεδρου. Έργο του Leonardo da Vinci, στο βιβλίο του Luca Paccioli, "De Divina Proportione" (1509) |
 |
| P.S. (Σύγχρονος graphic designer) - "Icosidodecahedron 2" |
Κόλουρο δωδεκάεδρο
Έχει 32 έδρες: 20 τρίγωνα και 12 δεκάγωνα.
 |
| Jim Wrenholt (Σύγχρονος graphic designer) - "Truncated Dodecahedron" (2014) |
Κόλουρο εικοσάεδρο
Έχει 32 έδρες: 12 πεντάγωνα και 20 εξάγωνα. Το μοτίβο του κόλουρου εικοσάεδρου χρησιμοποιείται στην κατασκευή της συνηθισμένης μπάλας ποδοσφαίρου.
 |
| "Ycocedron Abscisus Vacuus" Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509) |
 |
| Απόκρυφη Γεωμετρία της Αναγέννησης: Ένα ζευγάρι χέρια στηρίζει ένα κόλουρο εικοσάεδρο. Γλυπτό που διακοσμεί το ταφικό μνημείο του Sir Anthony Ashley, σε έναν ενοριακό ναό κοντά στο Salisbury, Αγγλία. |
Ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο (ή μικρό ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο)
Έχει 62 έδρες: 20 τρίγωνα, 30 τετράγωνα και 12 πεντάγωνα.
 |
| Jim Wrenholt (Σύγχρονος graphic designer) - "Rhombicosidodecahedron" (2014) |
Κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο (ή μέγα ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο )
Έχει 62 έδρες: 30 τετράγωνα, 20 εξάγωνα και 12 δεκάγωνα.
 |
| Lindsey Carr (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Jacques Great Rhombicosidodecahedron" |
Πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο (ή πεπλατυσμένο εικοσιδωδεκάεδρο)
Έχει 92 έδρες: 80 τρίγωνα και 12 πεντάγωνα.
Κατασκευαστικά, το πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο μπορεί να προέλθει με διαδικασία παρόμοια με εκείνη του πεπλατυσμένου κύβου, μόνο που τώρα το αρχικό στερεό είναι ένα δωδεκάεδρο.
 |
| Jim Wrenholt (Σύγχρονος graphic designer) - "Snub Dodecahedron" (2014) |
Τα βιβλία γράφουν...
Ο πρώτος που ασχολήθηκε με την κατασκευή αρχιμήδειων στερεών φαίνεται να ήταν ο Αρχιμήδης, ο οποίος τα διαπραγματευόταν στο (μη σωζόμενο) έργο του "Περί 13 ημικανονικών πολυέδρων" και γι' αυτό φέρουν το όνομά του. Ωστόσο, το όνομα κάθε αρχιμήδειου στερεού οφείλεται στον Kepler, που τα μελέτησε εκτενώς στο βιβλίο του "Αρμονικός Κόσμος" (Harmonices Mundi, 1619) και σήμερα έχουμε τη μεταφρασμένη, από τα λατινικά, ορολογία.
Διάφορα άλλα κυρτά πολύεδρα
Εννεάεδρο - Επιμήκης τετραγωνική πυραμίδα
Οι μικροί μαθητές πολύ ορθά το παρομοιάζουν με σπίτι!
 |
| Sabrina Barrios (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Enneahedron" (2019) |
72εδρη σφαίρα (ή σφαίρα του Κάμπανου)
Το πολύεδρο αυτό προσεγγίζει τη σφαίρα και αποτελεί τη βάση για την κατασκευή αρχιτεκτονικών θόλων.
 |
| "Septuaginta Duarum Basilum Solidum" Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509) |
 |
| "Septuaginta Duarum Basilum Vacuum" Σχέδιο του Leonardo da Vinci για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509) |
Το στερεό του Dürer
Πρόκειται για το στερεό που διακρίνεται στο αριστερό κομμάτι της γκραβούρας του Albrecht Dürer, "Melencolia I":
 |
| Albrecht Dürer (1471-1528) - "Melencolia I" (1514) O Dürer ήταν ζωγράφος, χαράκτης και μαθηματικός της Γερμανικής Αναγέννησης, που ένωσε τη Γεωμετρία με την Τέχνη. Περιέγραψε το στερεό αυτό ως ένα κόλουρο ρομβόεδρο. |
Τα βιβλία γράφουν...
Για κάθε κυρτό πολύεδρο ισχύει ο τύπος του Euler:
K + E = A + 2,
όπου Κ το πλήθος των κορυφών του, Ε το πλήθος των εδρών του και Α το πλήθος των ακμών του.
Με άλλα λόγια, τα κυρτά πολύεδρα έχουν χαρακτηριστική Euler χ = Κ - Α + Ε = 2.
Με άλλα λόγια, τα κυρτά πολύεδρα έχουν χαρακτηριστική Euler χ = Κ - Α + Ε = 2.
Τα αρχιμήδεια στερεά, αλλά και πολλά άλλα πολύεδρα, παρουσιάζουν ποικίλες συμμετρίες και ομάδες συμμετρίας, οι οποίες μελετώνται από τη σύγχρονη Θεωρία Ομάδων. Εικάζεται ότι οι συμμετρίες αυτές είναι ο κύριος λόγος που ενέπνευσαν τόσο έντονα τους καλλιτέχνες, ειδικά κατά την Αναγέννηση. Ο καλλιτέχνης της Αναγέννησης που ασχολήθηκε διεξοδικότερα με τα πολύεδρα ήταν ο Leonardo da Vinci. Ειδικότερα, η τεχνοτροπία αναπαράστασης πολυέδρων που πρώτος χρησιμοποίησε, απεικονίζοντάς τα στέρεα και κοίλα, σαν ξύλινα μοντέλα (που πιθανότατα είχε κατασκευάσει για το σκοπό αυτό ο Luca Paccioli), ώστε να φαίνονται και οι "πίσω" ακμές, επηρέασε καθοριστικά όσους μεταγενέστερους ασχολήθηκαν με τα πολύεδρα στη ζωγραφική και γενικότερα στις εικαστικές τέχνες.
 |
| Αναγεννησιακό ξυλόγλυπτο (Intarsia), έργο του Fra Giovanni da Verona (1457 - 1525). Σκευοφυλάκιο της Αγίας Μαρίνας στο αρμόνιο της Βερόνα (περ. 1494 - 1499). Απεικονίζει, μεταξύ άλλων, ένα κόλουρο εικοσάεδρο και μια 72-εδρη σφαίρα. |
 |
| Σελίδα από το βιβλίο του Lorenzo Sirigatti (1561 - 1614), "Η Πρακτική της Προοπτικής" (La Pratica di Perspettiva, Βενετία, 1596), ένα βιβλίο για καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες. Απεικονίζονται δύο εικοσιδωδεκάεδρα, δύο κόλουρα εικοσάεδρα (με και χωρίς τις έδρες τους), καθώς και ένα μικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο, το οποίο θα αναλυθεί στο επόμενο μέρος. |
.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.
"Τα βασικά στοιχεία των μαθηματικών, οι αριθμοί και η μέτρηση, που ονομάστηκαν αριθμητική και γεωμετρία, χρησιμοποιούνται με υπέρτατη αλήθεια σε διακριτές αλλά και συνεχείς ποσότητες. Εδώ δε συναντάμε διαφωνίες, λόγου χάρη ότι 2 φορές το 3 μας κάνει περισσότερο ή λιγότερο από 6, ή ότι ένα τρίγωνο έχει άθροισμα γωνιών μικρότερο ή μεγαλύτερο από 2 ορθές, αλλά με αιώνια σιωπή, κάθε διαφωνία παύει να υφίσταται και, με ηρεμία, αυτές οι επιστήμες όπως τα μαθηματικά απολαμβάνονται από τους αφοσιωμένους τους ακολούθους".
Leonardo da Vinci
.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.
Πηγές:
- Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
- E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
- Πανεπιστημιακές σημειώσεις "Ιστορίας των Μαθηματικών" καθηγητή Α.Θωμά, 2010
- Flickr: Jim Wrenholt
- David Wade: Geometricism
- Leonardo da Vinci's Polyhedra
- http://www.matematicasvisuales.com/english/html/geometry/space/volcuboctahedron.html
- Wolfram Math World: Truncated Octahedron
- Universal Leonardo: Rule of Mathematics
- wikipedia.org
