Καλώς ήρθατε! Μην περιμένετε να βρείτε φυλλάδια με ασκήσεις μαθηματικών εδώ... Σκοπός του blog "εις το άπειρον" είναι να προσεγγίσει τη μαθηματική γνώση ελεύθερα και με διασκεδαστικό τρόπο, χωρίς τα όρια των σχολικών τάξεων.
Ο γρίφος του Einstein αποτελεί έναν από τους διασημότερους γρίφους μαθηματικής λογικής. Πήρε το όνομά του από τον θεμελιωτή της Θεωρίας της Σχετικότητας Albert Einstein, είτε επειδή ήταν εκείνος που τον εμπνεύστηκε, ή - το πιθανότερο- απλώς επειδή είναι ένας τόσο έξυπνος γρίφος, ώστε θυμίζει κατά κάποιον τρόπο το μυαλό του Einstein... Για να τον λύσει κανείς, δεν απαιτείται κάποιο μαθηματικό υπόβαθρο, παρά μόνο μαθηματική λογική!
Υπάρχουν πέντε σπίτια, με πέντε
διαφορετικά χρώματα στη σειρά. Σε κάθε σπίτι κατοικεί ένας άνθρωπος με
διαφορετική εθνικότητα. Ο κάθε ένας από τους πέντε ιδιοκτήτες των σπιτιών πίνει
διαφορετικό ποτό, καπνίζει διαφορετική μάρκα τσιγάρων και έχει στην κατοχή
του ένα διαφορετικό κατοικίδιο. Κανένας από τους ιδιοκτήτες δεν έχει το ίδιο
κατοικίδιο με τον άλλον, δεν καπνίζει την ίδια μάρκα τσιγάρων με τον άλλο ή
πίνει το ίδιο ποτό με τον άλλον.
Τα στοιχεία:
Ο Βρετανός κατοικεί στο κόκκινο
σπίτι.
Ο Σουηδός έχει στην κατοχή του
ένα σκύλο.
Ο Δανός πίνει τσάι.
Το πράσινο σπίτι βρίσκεται
ακριβώς στα αριστερά του λευκού σπιτιού.
Ο ιδιοκτήτης του πράσινου
σπιτιού πίνει καφέ.
Ο ιδιοκτήτης που έχει
στην κατοχή του πουλιά, καπνίζει Pall Mall.
Ο ιδιοκτήτης του κίτρινου
σπιτιού καπνίζει Dunhill.
Ο ιδιοκτήτης που κατοικεί στο μεσαίο σπίτι πίνει γάλα.
Ο Νορβηγός κατοικεί στο πρώτο
σπίτι.
Ο ιδιοκτήτης που καπνίζει Blends κατοικεί δίπλα σε αυτόν που έχει για κατοικίδιο γάτα.
Ο ιδιοκτήτης που έχει στην
κατοχή του άλογο, κατοικεί δίπλα σε αυτόν που καπνίζει Dunhill.
Ο ιδιοκτήτης που καπνίζει
Bluemasters πίνει μπύρα.
Ο Γερμανός καπνίζει Prince.
Ο Νορβηγός κατοικεί δίπλα στο
μπλε σπίτι.
Αυτός που καπνίζει
Blends κατοικεί δίπλα σε αυτόν που πίνει νερό.
Το μονόχωνο υπερβολοειδές εκ περιστροφής είναι τετραγωνική επιφάνεια και παράγεται από την περιστροφή ευθείας γύρω από άξονα, ασύμβατο προς την ευθεία. Ο άξονας αυτός λέγεται άξονας του μονόχωνου υπερβολοειδούς και είναι άξονας συμμετρίας του. Το μονόχωνο υπερβολοειδές εκ περιστροφής έχει επίσης κέντρο συμμετρίας. Κάθε ευθεία του μονόχωνου υπερβολοειδούς είναι γενέτειρα της επιφάνειας.
Κάθε επίπεδο κάθετο στον άξονα του μονόχωνου υπερβολοειδούς εκ περιστροφής, το τέμνει σε κύκλο. Κάθε επίπεδο που περιέχει τον άξονα του μονόχωνου υπερβολοειδούς, το τέμνει σε υπερβολή. Έτσι,το μονόχωνο υπερβολοειδές εκ περιστροφής μπορεί να προκύψει δια περιστροφής μιας υπερβολής γύρω από τον άξονα αυτό.
"Δεν μπορείτε να μάθετε μαθηματικά
βλέποντας κάποιον άλλο να ασχολείται με αυτά. Μια ενεργή διαδικασία μάθησης
εμπεριέχει την επίλυση προβλημάτων αυξανόμενης δυσκολίας, αν λύνετε συνεχώς
προβλήματα της ίδιας πάντα δυσκολίας αυτά καταλήγουν απλώς ασκήσεις ρουτίνας. Αν ένα
συγκεκριμένο πρόβλημα σας αντιστέκεται επίμονα, μπορείτε μεν να κοιτάτε το
ταβάνι ή να συνοφρυώνεστε (δεν υπάρχει κανείς νόμος να το
απαγορεύει), αλλά το καλύτερο που έχετε να κάνετε είναι να
πάρετε χαρτί και μολύβι και να αρχίσετε να πειραματίζεστε: προβείτε
σε κάποιες εκτιμήσεις, θεωρήστε ειδικές περιπτώσεις, περιγράψτε τις ιδέες σας και
ούτω καθεξής. Ο Leonard Euler είπε κάποτε:
«Το μολύβι μου μερικές φόρες κατεβάζει καλύτερες ιδέες από το
κεφάλι μου».
Για να
αντιμετωπίσετε το πρόβλημα, πρέπει να συγκεντρώσετε την προσοχή σας στις
συνθήκες του και στην διατύπωση του έως ότου εμφανιστεί η πρώτη αναλαμπή μιας
ιδέας και η ελπίδα της επιτυχίας. Η επίλυση ενός προβλήματος δεν αποτελεί μόνο
διανοητική πρόκληση αλλά και δοκιμασία της θέλησης, απαιτεί «μαχητικό πνεύμα».
Δεν είναι
απαραίτητο (ούτε καν εφικτό) να λύσετε όλα τα γνωστά μαθηματικά
προβλήματα. Πρέπει, επομένως, να διαλέξετε ό,τι θεωρείτε ευχάριστο, διδακτικό
ενδιαφέρον και στα πλαίσια των δυνατοτήτων σας. Μέσα από αυτήν την
διαδικασία θα καλλιεργήσετε τα κριτήρια σας και θα
αποκτήσετε ευρύτερη μαθηματική «κουλτούρα».
Τα μαθηματικά,
έκτος των άλλων, σας διδάσκουν να είστε ειλικρινείς και με τον εαυτό σας και με
τους άλλους. Όταν απαντάτε σε ένα μαθηματικό πρόβλημα δεν είναι
δυνατές οι υπεκφυγές. Και επιπλέον, η ειλικρίνεια αποτελεί απαραίτητη
προϋπόθεση του συνεπούς τρόπου σκέψης. Έκτος αυτού, όταν λύνουμε
προβλήματα δεν μαθαίνουμε μόνο πώς να
αποδεικνύουμε αληθείς προτάσεις, αλλά και πώς να μαντεύουμε ποιες
είναι οι αληθείς. Και η ικανότητα να μαντεύουμε
αποτελεί αναπόσπαστο κομμάτι της παραγωγικής σκέψης.
Ο όμορφος κόσμος των
μαθηματικών προβλημάτων αυξάνεται και πληθύνεται συνεχώς, γεγονός
που αποδεικνύει ότι τα μαθηματικά είναι πράγματι μια ζωντανή επιστήμη".
Ο Πέτρος λέει την αλήθεια μόνο κάθε Κυριακή, ενώ όλες τις άλλες ημέρες λέει μόνο ψέματα. Η γυναίκα του, Μαρία, λέει ψέματα την Παρασκευή και την Κυριακή, ενώ όλες τις υπόλοιπες ημέρες λέει αλήθεια.
1. Μια μέρα, τηλεφωνήσαμε στη Μαρία και τη ρωτήσαμε "τι μέρα είναι σήμερα;" και εκείνη μας απάντησε: "Σήμερα είναι Παρασκευή".
Τι μέρα την τηλεφωνήσαμε;
2. Μετά από λίγες μέρες, συναντήσαμε τη Μαρία μαζί με τον Πέτρο έξω και τους ρωτήσαμε: "Τι μέρα είναι σήμερα"; Η Μαρία απάντησε: "Σήμερα είναι Σάββατο" και ο Πέτρος συμφώνησε μαζί της, απαντώντας "ναι, σήμερα είναι Σάββατο".
"Μια μεγάλη ανακάλυψη λύνει ίσως ένα μεγάλο πρόβλημα, μπορούμε να πούμε όμως ότι πίσω από τη λύση κάθε προβλήματος κρύβεται και μια μικρή ανακάλυψη. Το πρόβλημά σας μπορεί να είναι απλό. Αλλά αν προκαλεί την περιέργειά σας και ενεργοποιεί τις εφευρετικές σας ικανότητες και, αν το λύσετε μόνοι σας, τότε ίσως να δοκιμάσετε την ένταση και να απολαύσετε τον θρίαμβο της ανακάλυψης..."
Ο George Polya έφερε στο φως αγνοημένες αντιλήψεις, μοντέλα και στρατηγικές και, απευθυνόμενος ταυτόχρονα στο δάσκαλο και τον μαθητή, περιέγραψε τα στάδια επίλυσης ενός προβλήματος και έδωσε μεγάλο πλήθος μεθόδων επίλυσης προβλημάτων.
Τα 4 στάδια επίλυσης προβλήματος κατά τον Polya είναι:
1. Κατανόηση προβλήματος
Καθορίζονται τα δεδομένα, οι συνθήκες και ο άγνωστος του προβλήματος.
2. Κατάστρωση σχεδίου επίλυσης
Το στάδιο αυτό είναι ιδιαίτερα κρίσιμο, καθώς η κατάστρωση ενός σχεδίου ενδέχεται να είναι μια χρονοβόρα διαδικασία. Συχνά οι προσπάθειες μπορεί να αποτύχουν και θα χρειαστεί οι μαθητές να δοκιμάσουν αρκετά διαφορετικά σχέδια επίλυσης μέχρι να καταλήξουν σε μια αποτελεσματική μέθοδο.
3. Εφαρμογή του σχεδίου
Το στάδιο αυτό θεωρείται από τον Polya πιο εύκολο από τα προηγούμενα. Οι μαθητές χρειάζονται κυρίως υπομονή, ώστε να εφαρμόσουν σωστά το σχέδιό τους.
4. Κοιτάζοντας πίσω
Το τελευταίο στάδιο θεωρείται πολύ σημαντικό, καθώς συμβάλλει στην ικανότητα επίλυσης προβλημάτων και δεν πρέπει να παραλείπεται.
Αναστοχαστικές δράσεις των μαθητών ανά στάδιο επίλυσης προβλήματος
1.
Ξέρω ποιος είναι ο άγνωστος του προβλήματος;
Ξέρω ποια είναι τα δεδομένα και οι συνθήκες που εμπλέκονται στο πρόβλημα;
2.
Μπορώ να κάνω ένα σχήμα ή κάποιο σχέδιο;
Έχω ξαναδεί το ίδιο ή παρόμοιο ή σχετικό πρόβλημα προηγουμένως;
Ξέρω ένα σχετικό θεώρημα/μαθηματικό τύπο που μπορώ να χρησιμοποιήσω;
Θα μπορούσα να λύσω ένα ανάλογο απλούστερο πρόβλημα;
3.
Είναι η σωστή η πορεία μου μέχρι τώρα;
Πώς μπορώ να ελέγξω αν αυτό που έκανα είναι σωστό;
4.
Τι έμαθα λύνοντας αυτό το πρόβλημα;
Αναστοχαστικές δράσεις του εκπαιδευτικού ανά στάδιο επίλυσης προβλήματος
1.
Κατανόησε ο μαθητής τα δεδομένα και τα ζητούμενα του προβλήματος;
Μπορεί ο μαθητής να επαναδιατυπώσει το πρόβλημα με δικά του λόγια;
Υπάρχουν παρερμηνείες ή αδυναμίες σχετικά με το περιεχόμενο του προβλήματος;
2.
Έχει αναπτύξει ο μαθητής κάποιο σχέδιο;
Πώς μπορώ να τον συμβουλεύσω χωρίς να του δώσω την απάντηση;
Υπάρχουν πληροφορίες που θα μπορούσα να του συστήσω να αναζητήσει;
Πώς θα μπορούσα να τον βοηθήσω να κάνει συνδέσεις με ένα παρόμοιο ή σχετικό πρόβλημα;
Πώς θα μπορούσα να τον βοηθήσω να λάβει υπόψη του όλα τα δεδομένα αλλά και τις βασικές έννοιες που εμπλέκονται;
Μπορώ να τον βοηθήσω να κάνει εικασίες σχετικά με τη λύση;
Μπορώ να του ζητήσω να σχεδιάσει μια πορεία λύσης;
3.
Τι ερωτήσεις θα μπορούσα να του απευθύνω κατά την εκτέλεση του σχεδίου, ώστε να βεβαιωθώ ότι το σχέδιό του μπορεί να τον οδηγήσει στη λύση;
Έχει ελέγξει ο μαθητής το αποτέλεσμα που βρήκε με έναν κατάλληλο και πειστικό τρόπο;
4.
Πώς θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει το αποτέλεσμα, την κεντρική ιδέα, τη μέθοδο ή τη στρατηγική για ένα μελλοντικό πρόβλημα;
Πώς μπορώ να κάνω το πρόβλημα πιο γενικό;
Πώς μπορώ να κάνω το πρόβλημα πιο ρεαλιστικό;
Μπορεί ο μαθητής να βρει και άλλους τρόπους λύσης;
Τι έμαθε ο μαθητής λύνοντας αυτό το πρόβλημα;
Μερικές από τις στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων, σύμφωνα με τη διδασκαλία του Polya, είναι οι παρακάτω:
Στο βίντεο που ακολουθεί, που τραβήχτηκε γύρω στο 1975 με 1980, ο Polya εξηγεί στους φοιτητές τις παραπάνω στρατηγικές μέσα από την προσπάθεια επίλυσης ενός γεωμετρικού προβλήματος στον τρισδιάστατο χώρο. Μας παροτρύνει να προσπαθούμε να απλουστεύσουμε το πρόβλημα, να παρατηρούμε, να φτιάχνουμε σχήματα, να εντοπίζουμε αναλογίες, να βρίσκουμε μοτίβα και να κάνουμε αιτιολογημένες εικασίες, έπειτα να ελέγχουμε αν οι εικασίες μας είναι ορθές και αν δεν είναι να συνεχίζουμε με άλλο τρόπο... Αξίζει να το παρακολουθήσει κάθε εκπαιδευτικός που διδάσκει Μαθηματικά!
.~*~.~*~.~*~.~*~.~*~.~*~
"Διδασκαλία είναι το να δίνεις την ευκαιρία στους μαθητές να ανακαλύπτουν πράγματα μόνοι τους". George Polya (1887-1985)
.~*~.~*~.~*~.~*~.~*~.~*~
Πηγές
Polya, G. (1998). Πώς να το λύσω; (3η έκδ.) Αθήνα: Καρδαμίτσα (Το πρωτότυπο έργο δημοσιεύθηκε το 1945).
Schoenfeld, H. (1992). Learning to think mathematically: Problem-solving, metacognition and sense making in mathematics. Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 334-368). New York: MacMillan.
Το ελλειψοειδές είναι μια τετραγωνική επιφάνεια, δηλαδή αλγεβρική επιφάνεια 2ου βαθμού. Είναι κλειστή και πεπερασμένη επιφάνεια, με τρία επίπεδα συμμετρίας, που είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους. Στη γενική περίπτωση, κάθε επίπεδο συμμετρίας τέμνει την επιφάνεια σε έλλειψη, γεγονός που δικαιολογεί και το όνομα "ελλειψοειδές". Στην περίπτωση που ένα από τα επίπεδα συμμετρίας τέμνει την επιφάνεια κατά κύκλο, τότε η επιφάνεια λέγεται ελλειψοειδές εκ περιστροφής, δηλαδή προκύπτει από την περιστροφή μιας έλλειψης γύρω από άξονα. Ο άξονας περιστροφής του ελλειψοειδούς θα είναι ευθεία κάθετη στο επίπεδο του κύκλου και θα διέρχεται από το κέντρο του. Όταν και τα τρία επίπεδα συμμετρίας τέμνουν το ελλειψοειδές κατά κύκλους, τότε το ελλειψοειδές είναι η σφαίρα.
Το ελλειψοειδές εκ περιστροφής είναι το σχήμα της Γης, με άξονα περιστροφής τον άξονα Βορρά-Νότου και μέγιστο κύκλο τον Ισημερινό.
Το κτίριο "αβγό του δεινοσαύρου", σχεδιασμένο από τον αρχιτέκτονα Kisho Kurokawa αποτελεί μέρος του Μουσείου Δεινοσαύρων στο Fukui της Ιαπωνίας.
Το "αβγό του δεινοσαύρου" έχει σχήμα ελλειψοειδούς και το όνομα που του δόθηκε είναι απόλυτα εύστοχο!
Το "Fuefukigawa Fruits Park Museum" στην Ιαπωνία, σχεδιάστηκε από τους αρχιτέκτονες Itsuko Hasegawa και Kenchiku Keikaku Kobo και χτίστηκε το 1995.
.*.~.*.~.*.~.*.~.*.~.*
"Τα μοτίβα των μαθηματικών, όπως των ζωγράφων ή των ποιητών, πρέπει να είναι όμορφα. Οι ιδέες, όπως τα χρώματα και οι λέξεις, πρέπει να συνδέονται μεταξύ τους με έναν αρμονικό τρόπο". G.H. Hardy
Διαβάσαμε στα Κριτήρια Διαιρετότητας των αριθμών από το 1 ως το 18 και των αριθμών από το 19 ως το 32 πώς ελέγχουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με καθέναν από τους αριθμούς 1 έως και 32. Για αρκετούς από αυτούς τους αριθμούς, το κριτήριο διαιρετότητας προέκυψε άμεσα και αβίαστα, καθώς από πίσω "κρύβεται" το παρακάτω θεώρημα της Θεωρίας Αριθμών, μαζί με το πόρισμά του:
Θεώρημα
Αν Μ.Κ.Δ.(b,c)=1, τότε Μ.Κ.Δ.(a,bc) = Μ.Κ.Δ.(a,b)*Μ.Κ.Δ.(a,c)
Πόρισμα
Αν οι αριθμοί b και c, με Μ.Κ.Δ.(b,c)=1, διαιρούν τον a, τότε και το γινόμενό τους bc διαιρεί επίσης τον a.
Δηλαδή, αν ένας αριθμός a διαιρείται από δύο αριθμούς b και c οι οποίοι είναι πρώτοι μεταξύ τους, τότε διαιρείται και από το γινόμενο των b και c.
Σελίδα από το χειρόγραφο βιβλίο του Φυραρίδη Ανέστη (1998), Θεωρία Αριθμών, Πανεπιστημιακό Τυπογραφείο Ιωαννίνων (Επανέκδοση 2007)
Το παραπάνω πόρισμα γενικεύεται και για περισσότερους από δύο αριθμούς:
Αν οι ακέραιοι b1,b2, ... bn είναι πρώτοι μεταξύ τους ανά δύο και ο καθένας τους διαιρεί τον a, τότε και το γινόμενό τους
b1b2…bn
διαιρεί επίσης τον a.
Από το παραπάνω πόρισμα προκύπτει ένα σημαντικό και εύχρηστο Κριτήριο Διαιρετότητας για σύνθετους αριθμούς. Αρκεί ο σύνθετος αριθμός να μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δύο ή περισσότερων αριθμών που είναι πρώτοι μεταξύ τους ανά δύο.
Παραδείγματα 1. Είδαμε εδώ ότι ένας αριθμός διαιρείται με το 6 αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 2 και το 3. Αυτό ισχύει σύμφωνα με το παραπάνω πόρισμα, αφού 6 = 2*3 και Μ.Κ.Δ.(2,3)=1.
2. Για να εξετάσουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 12, αρκεί να εξετάσουμε αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 3 και το 4. Αυτό ισχύει σύμφωνα με το παραπάνω πόρισμα, αφού 12 = 3*4 και Μ.Κ.Δ.(3,4)=1. Προσοχή! Για να εξετάσουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 12, γράφουμε το 12 ως 12 = 3*4 γιατί οι αριθμοί 3 και 4 είναι πρώτοι μεταξύ τους και όχι 12 = 2*6, αφού οι αριθμοί 2 και 6 δεν είναι πρώτοι μεταξύ τους. Για παράδειγμα, ο αριθμός 18 διαιρείται ταυτόχρονα από το 2 και από το 6. Δεν διαιρείται όμως και από το 12. 3. Είδαμε εδώ ότι ένας αριθμός διαιρείται με το 30 αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 3 και το 10, δηλαδή αν τελειώνει σε 0 και το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3. Αυτό επίσης βασίζεται στο ανωτέρω πόρισμα, καθώς 30=3*10 και Μ.Κ.Δ.(3,10)=1. Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να πούμε ότι 30=5*6 και Μ.Κ.Δ.(5,6)=1. Επομένως, για να εξετάσουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 30, αρκεί να εξετάσουμε αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 5 και το 6. Ο έλεγχος αυτός όμως θα ήταν λίγο πιο χρονοβόρος, μιας και το κριτήριο διαιρετότητας του 6 απαιτεί να ελέγξουμε αν ο αριθμός διαιρείται ταυτόχρονα με το 2 και το 3.
Και δηλαδή αυτό το πόρισμα μας έχει λύσει τα χέρια; Ισχύει για κάθε σύνθετο αριθμό;
Για το 8, το 16, το 27 ή το 32 δεν μπορεί να εφαρμοστεί αυτή η μέθοδος, αφού κανένας τους δεν μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δύο ή περισσότερων αριθμών που είναι πρώτοι μεταξύ τους ανά δύο. Για την εύρεση των Κριτηρίων Διαιρετότητας των αριθμών αυτών, ακολουθήθηκε άλλο μονοπάτι...
