Καλώς ήρθατε! Μην περιμένετε να βρείτε φυλλάδια με ασκήσεις μαθηματικών εδώ... Σκοπός του blog "εις το άπειρον" είναι να προσεγγίσει τη μαθηματική γνώση ελεύθερα και με διασκεδαστικό τρόπο, χωρίς τα όρια των σχολικών τάξεων.
Ο σπουδαίος Γερμανός
μαθηματικός Richard Dedekind (1831-1916) είδε με έκπληξή του δώδεκα χρόνια πριν
πεθάνει ότι το "Ημερολόγιο για Μαθηματικούς" του εκδοτικού οίκου
Teubner τον κατέτασσε στους θανόντες μαθηματικούς, με ημερομηνία θανάτου 4
Σεπτεμβρίου 1899! Τότε ο Dedekind, που ήταν γνωστός για το χιούμορ του, έστειλε
στον εκδοτικό οίκο την παρακάτω επιστολή:
«Για την ημέρα του θανάτου μου, την 4η
Σεπτεμβρίου, μπορεί τελικά να αποδειχθεί ότι είναι ορθή, αλλά για το έτος έχετε
σίγουρα λάθος. Σύμφωνα με το προσωπικό μου ημερολόγιο, την ημέρα εκείνη ήμουν
απολύτως υγιής και απολάμβανα μια απολύτως ενδιαφέρουσα συζήτηση για το
"Σύστημα και Θεωρία" με τον ομοτράπεζο και αγαπητό μου φίλο Georg
Cantor».
Ένας επιχειρηματίας ανακοίνωσε στους υπαλλήλους του το παρακάτω συνταξιοδοτικό πρόγραμμα:
"Ο καθένας σας", είπε, "θα πάρει σύνταξη αμέσως μόλις συμπληρώσει 8 καθαρές ώρες στο ταμείο της εταιρείας. Η μόνη προϋπόθεση είναι ότι κανένας δεν επιτρέπεται να εργαστεί κάθε μέρα, περισσότερο από το μισό του χρόνου που του υπολείπεται για να συμπληρώσει αυτές τις 8 ώρες".
Σε πόσες μέρες μπορεί κάποιος υπάλληλος να βγει στη σύνταξη;
Δεν ακούμε συχνά κάποιον να λέει ότι δεν του άρεσε ποτέ η Βιολογία ή Λογοτεχνία. Ασφαλώς αυτά τα αντικείμενα δεν ενθουσιάζουν τους πάντες, αλλά αυτοί που δεν ενθουσιάζονται τείνουν να κατανοούν απόλυτα ότι κάποιους άλλους τους ενθουσιάζουν. Αντιθέτως, τα Μαθηματικά, αλλά και τα αντικείμενα με "υψηλή περιεκτικότητα" σε Μαθηματικά, όπως η Φυσική ή η Χημεία, φαίνεται να προκαλούν όχι απλά αδιαφορία, αλλά πραγματική αντιπάθεια. Σε τι οφείλεται το γεγονός ότι πολλοί άνθρωποι εγκαταλείπουν τα μαθηματικά γνωστικά αντικείμενα με την πρώτη ευκαιρία και τα θυμούνται με τρόμο σε όλη την υπόλοιπη ζωή τους;
Ο Timothy Gowers, μαθηματικός και κάτοχος μετάλλιου Fields, στο βιβλίο του "Μαθηματικα: Μια Συνοπτική Εισαγωγή" τονίζει πως ίσως αυτό που βρίσκουν οι άνθρωποι μη ελκυστικό δεν είναι τόσο τα Μαθηματικά αυτά καθαυτά, όσο η εμπειρία των μαθημάτων Μαθηματικών, κάτι που είναι εύκολο να καταλάβουμε. Επειδή κάθε νέα μαθηματική γνώση χτίζεται πάνω στις προηγούμενες, είναι σημαντικό να μην αφήνονται κενά κατά την εκμάθησή τους. Για παράδειγμα, αν κάποιος δεν έχει εξοικειωθεί αρκετά με τον πολλαπλασιασμό διψήφιων αριθμών, πιθανότατα δεν θα έχει καλή διαισθητική αντίληψη ούτε για την επιμεριστική ιδιότητα. Χωρίς αυτήν, μάλλον δεν θα έχει ευχέρεια με τον πολλαπλασιασμό σε μια αλγεβρική παράσταση που περιέχει παρενθέσεις, όπως στην \( (x+1)(x-3)\) και άρα δεν θα μπορεί να καταλάβει καλά τις εξισώσεις δευτέρου βαθμού. Και τότε, ίσως να μην μπορεί να καταλάβει γιατί η χρυσή τομή είναι \( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \).
Υπάρχουν πολλές αλυσίδες τέτοιου είδους, αλλά για να μην αφήνει κανείς κενά στα μαθηματικά δεν αρκεί να διατηρεί κάποια τεχνική ευχέρεια. Κάθε τόσο, εισάγεται μια καινούρια ιδέα που είναι πολύ σημαντική και αισθητά πιο σύνθετη από τις προηγούμενες και με κάθε τέτοια ιδέα υπάρχει το ενδεχόμενο να μείνει κανείς πίσω. Ένα παράδειγμα είναι η χρήση γραμμάτων (μεταβλητών) στη θέση των αριθμών, κάτι που μπερδεύει πολλούς, αλλά είναι κάτι θεμελιώδες για τα Μαθηματικά. Άλλα παραδείγματα είναι οι αρνητικοί αριθμοί, η τριγωνομετρία, η ύψωση σε δύναμη, οι λογάριθμοι και οι απαρχές του Απειροστικού Λογισμού της Γ΄ Λυκείου. Όσοι δεν είναι έτοιμοι να κάνουν το απαραίτητο εννοιολογικό άλμα, όταν συναντήσουν κάποια από αυτές τις ιδέες θα αισθάνονται στη συνέχεια ανασφάλεια με όλα τα Μαθηματικά που βασίζονται σε αυτή. Δεν είναι περίεργο που τα μαθήματα Μαθηματικών γίνονται, για πολλούς ανθρώπους, ένα είδος βασανιστηρίου.
Είναι όμως αυτή η κατάσταση αναπόφευκτη; Είναι απλώς κάποιοι μαθητές καταδικασμένοι να μισούν τα Μαθηματικά στο σχολείο; Ή μήπως θα ήταν δυνατόν να διδάσκεται το μάθημα διαφορετικά, με τέτοιον τρόπο ώστε να αποκλείονται τελικά από αυτό πολύ λιγότεροι μαθητές; Αν ένα παιδί λάβει από μικρή ηλικία μαθήματα μαθηματικών από κάποιον καλό και παθιασμένο δάσκαλο, θα μεγαλώσει με αγάπη για τα Μαθηματικά. Αν, επιπλέον, ο δάσκαλος είναι ικανός να διακρίνει το βαθμό ετοιμότητας των μαθητών του και να μπορεί να προσαρμόζει τη διδασκαλία του, τότε οι πιθανότητες να μισήσουν τα παιδιά αυτά τα Μαθηματικά, μειώνονται. Από αυτό, βέβαια, δεν προκύπτει άμεσα κάποια εφαρμόσιμη μέθοδος διδασκαλίας, αλλά τουλάχιστον δείχνει ότι υπάρχει περιθώριο βελτίωσης στον τρόπο διδασκαλίας των Μαθηματικών.
Κλείνοντας, ο Manil Suri, μαθηματικός και συγγραφέας, επισημαίνει εύστοχα στο άρθρο του στην εφημερίδα New York Times με τίτλο "Πώς να ερωτευτείτε τα Μαθηματικά" ότι, σε αντίθεση με όσα πιστεύουν οι περισσότεροι για τα Μαθηματικά, πολλές μαθηματικές ιδέες δεν απαιτούν ειδικές γνώσεις για να γίνουν κατανοητές και να εκτιμηθούν. "Σκεφτείτε", αναφέρει, "ότι για να εκτιμήσετε έναν πίνακα ζωγραφικής δεν είναι απαραίτητο να ξέρετε να ζωγραφίζετε, ούτε και για να απολαύσετε τη συμφωνική μουσική είναι απαραίτητο να μπορείτε να διαβάζετε παρτιτούρες".
Πηγές-Αναφορές
Gowers T. (2020). Μαθηματικά: Μια Συνοπτική Εισαγωγή. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Suri M. (2013). How to fall in love with math. New York Times.
«Θέλω τον ζωγράφο να έχει σπουδάσει τις ελεύθερες τέχνες, μα πάνω απ’ όλα, τον θέλω να γνωρίζει γεωμετρία. Συμφωνώ με τον αρχαίο ζωγράφο Πάμφιλο που δίδασκε ζωγραφική στους νέους και συνήθιζε να λέει πως κανένας δεν μπορούσε να γίνει καλός ζωγράφος χωρίς να ξέρει γεωμετρία. Οι αρχές που αναπτύξαμε και αποτελούν τα θεμέλια μιας ολοκληρωμένης ζωγραφικής μπορούν κατανοηθούν εύκολα από ένα γεωμέτρη. Αντίθετα, όσοι είναι ανίδεοι στην γεωμετρία δεν μπορούν να καταλάβουν ούτε τις στοιχειώδεις γνώσεις, ούτε οποιεσδήποτε άλλες αρχές της ζωγραφικής».
Σχηματίστε έναν δεκαψήφιο αριθμό, γράφοντας στις 10 θέσεις του παραπάνω σχήματος τα κατάλληλα ψηφία, ώστε το ψηφίο στη θέση "0" να δείχνει το συνολικό πλήθος των μηδενικών του αριθμού, το ψηφίο στη θέση "1" να δείχνει το συνολικό πλήθος των 1 κλπ, μέχρι τη θέση "9", το ψηφίο της οποίας πρέπει να δείχνει το συνολικό πλήθος των ψηφίων 9 στον αριθμό αυτό.
Η απάντηση είναι μοναδική.
