Fraction Calculator: Μια αριθμομηχανή Κλασμάτων για Android!

Οι Νέες Τεχνολογίες είναι πλέον αναπόσπαστο κομμάτι της σύγχρονης σχολικής πραγματικότητας και, εφόσον τα κινητά τηλέφωνα δεν λείπουν από κανέναν μαθητή, εμείς αποφασίσαμε να τα εκμεταλλευτούμε προς όφελος της μάθησης! Αυτός είναι και ο στόχος του m-Learning (ή mobile learning, κινητή μάθηση).

Αυτή τη φορά έχω να προτείνω την εφαρμογή για κινητά android, Fraction Calculator, που ανέπτυξε ο μαθηματικός Παντελής Μπουμπούλης. Πρόκειται για μια απλή και εύχρηστη αριθμομηχανή για πράξεις μεταξύ κλασμάτων. Ο μαθητής εισάγει την κλασματική παράσταση που θέλει να υπολογίσει και η εφαρμογή δίνει το τελικό αποτέλεσμα, τόσο σε κλασματική μορφή, όσο και ως δεκαδικό αριθμό. Επιπρόσθετα, ο μαθητής μπορεί να δει πολύ αναλυτικά όλα τα βήματα των υπολογισμών, ώστε να κατανοήσει τη διαδικασία. Μπορεί, επίσης, να επιλέξει αν θέλει να δει το τελικό αποτέλεσμα ως απλό κλάσμα ή ως μεικτό αριθμό (η μορφή του μεικτού αριθμού χρησιμοποιείται πολύ στο δημοτικό αλλά και στο γυμνάσιο).

Είναι διαθέσιμη δωρεάν στο Play Store και μπορείτε να την κατεβάσετε πατώντας εδώ.  

Το παράδοξο του ψεύτη... Από τον Επιμενίδη στο Star Trek και ο γρίφος του γελωτοποιού

O Επιμενίδης από την Κρήτη (6ος αιώνας π.Χ.) ήταν θρησκευτικός διδάσκαλος, προφήτης και μάντης και είναι περισσότερο γνωστός για ένα λογικό παράδοξο που έχει συνδεθεί με το όνομά του. Η λέξη "παράδοξο" (παρά την δόξα) σημαίνει ό,τι είναι αντίθετο με την κοινή λογική, την καθιερωμένη άποψη και τη λογική συνέπεια. Ο Επιμενίδης, λοιπόν, έγραψε κάποτε:

"Οι Κρητικοί λένε πάντα ψέματα".

Αν σκεφτείτε καλά την παραπάνω πρόταση, θα δείτε ότι οδηγεί σε φαύλο κύκλο. Αν οι Κρητικοί λένε πάντα ψέματα, τότε και ο Επιμενίδης, ως Κρητικός λέει ψέματα. Άρα δεν αληθεύει η παραπάνω πρόταση, δηλαδή οι Κρητικοί δεν λένε πάντα ψέματα. Τότε όμως και ο Επιμενίδης δεν ψεύδεται κ.ο.κ. 

Κάποιοι βέβαια θα σκεφτούν ότι το παράδοξο αυτό επιλύεται πολύ εύκολα, αφού στην προηγούμενη πρόταση κάνουμε μια εσφαλμένη γενίκευση. Στη ζωή του ένας άνθρωπος λέει και ψέματα και αλήθειες. Ποτέ όμως ταυτόχρονα. Δεν είναι δυνατόν όλοι οι Κρητικοί να λένε ψέματα και μάλιστα ταυτόχρονα... 

Τα πράγματα, όμως, δεν είναι τόσο απλά, αφού δεν είναι αυτή η ουσία του παραδόξου. Ας ξεχάσουμε τους Κρητικούς και ας δούμε μια πρόταση, όπως οι κλασικές προτάσεις στα Μαθηματικά, που τις χειριζόμαστε με τη δίτιμη λογική των Μαθηματικών (και της Πληροφορικής), αληθής ή ψευδής:

"Αυτή η πρόταση είναι ψευδής".

Έστω ότι η παραπάνω πρόταση είναι αληθής. Τότε, σύμφωνα με αυτήν, είναι ψευδής. 

Έστω ότι η παραπάνω πρόταση είναι ψευδής. Τότε, αφού δεν ισχύει αυτό που λέει, δηλαδή δεν είναι ψευδής, η πρόταση αυτή είναι αληθής. Τελικά τι είναι;

Η πρόταση αυτή είναι ταυτόχρονα αληθής και ψευδής. Το παράδοξο του Επιμενίδη ανήκει σε μια γενικότερη κατηγορία παραδόξων, τα λεγόμενα "παράδοξα του ψεύτη". Οι φιλόσοφοι χρησιμοποίησαν κατά καιρούς τα παράδοξα για να αντικρούσουν την πλάνη των αισθήσεων. Αντιθέτως, οι μαθηματικοί μάλλον τα αντιμετώπιζαν με τρόμο. Ήταν κάτι σαν το κουτί της Πανδώρας, που αν το ανοίξεις μπορεί να καταστραφεί όλο το μαθηματικό οικοδόμημα σε μια στιγμή! Τουλάχιστον αυτό ίσχυε μέχρι τα μέσα του 19ου αιώνα, οπότε και τα παράδοξα άρχισαν να αντιμετωπίζονται με τρόπο περισσότερο εποικοδομητικό. 

Στο επεισόδιο "I, Mudd" του Star Trek - The Original Series (Season 2) γίνεται μια πετυχημένη αναφορά στο παράδοξο του ψεύτη. To πλήρωμα του Εντερπράιζ απάγεται και κρατείται σε έναν πλανήτη έξυπνων ανδροειδών. Με το τέχνασμα μιας έκρηξης, ο Κερκ και ο απατεώνας Χάρι Μαντ μπερδεύουν τον Νόρμαν, τον ηγέτη των ανδροειδών, χρησιμοποιώντας το παράδοξο του ψεύτη:

ΝΟΡΜΑΝ: Μα δεν υπήρξε έκρηξη...

ΜΑΝΤ: Είπα ψέματα.

ΝΟΡΜΑΝ: Τι;

ΚΕΡΚ: Είπε ψέματα. Όλα όσα σου λέει ο Χάρι είναι ψέματα. Να ξέρεις ότι όλα όσα σου λέει ο Χάρι είναι ένα ψέμα.

ΜΑΝΤ: Άκου με προσεκτικά, Νόρμαν. Σου λέω ψέματα.

ΝΟΡΜΑΝ: Λες ότι είσαι ψεύτης, αλλά αν ό,τι λες είναι ψέμα, τότε λες την αλήθεια, αλλά δεν μπορείς να πεις την αλήθεια, επειδή ό,τι λες είναι ψέματα. Λες ψέματα... Λες την αλήθεια... Αλλά δεν μπορείς να... Παράλογο! Παράλογο! Παρακαλώ εξηγήστε... Μόνο οι άνθρωποι μπορούν να το εξηγήσουν...

Επειδή ο Νόρμαν δεν μπορεί να επιλύσει το παράδοξο, το κεφάλι του αρχίζει να βγάζει καπνούς, ώσπου "μένει στον τόπο", αφήνοντας το πλήρωμα του Εντερπράιζ να δραπετεύσει.

Τέλος, ένας γρίφος λογικής που σχετίζεται με το σημερινό θέμα: 

Ένας βασιλιάς, που είχε βαρεθεί το γελωτοποιό του και έψαχνε αφορμή να τον ξεφορτωθεί, τον κάλεσε και του είπε: "Πες κάτι, ό,τι θέλεις. Αν αυτό που θα πεις είναι ψέμα, θα σε κρεμάσω. Αν αυτό που θα πεις είναι αλήθεια, θα σε σφάξω". Ο γελωτοποιός στάθηκε για λίγο σκεπτικός και έπειτα είπε κάτι στον βασιλιά. Και έζησε!

Τι του είπε;;; 

*~*-.-*~*-.-*~*

Πηγές και αναφορές:
Αναπολιτάνος Διονύσιος, Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών, Εκδόσεις Νεφέλη, 1961
Επιμενίδης - Βικιπαίδεια
Θαλής + φίλοι

...and the Abel 2022 goes to...

Ανακοινώθηκε και φέτος η απονομή του Βραβείου Άμπελ, που γίνεται κάθε χρόνο από τη Νορβηγική Ακαδημία Επιστημών και Γραμμάτων.

Αποδέκτης του βραβείου για το 2022 είναι ο Dennis Parnell Sullivan από το Πολιτειακό Πανεπιστήμιο της Νέας Υόρκης στο Στόνι Μπρουκ, "για τις πρωτοποριακές συνεισφορές του στην Τοπολογία με την ευρεία της έννοια και συγκεκριμένα τις αλγεβρικές, γεωμετρικές και δυναμικές πτυχές της". 

Πηγή: The Abel Prize

Γρίφος: Καφές ή τσάι;

 

Έχουμε δύο φλιτζάνια- το ένα από αυτά περιέχει καφέ και το άλλο τσάι, στην ίδια ακριβώς ποσότητα. Παίρνουμε μία κουταλιά τσάι, τη ρίχνουμε στο φλιτζάνι του καφέ και ανακατεύουμε. Μετά παίρνουμε μία κουταλιά από αυτό το μίγμα και τη ρίχνουμε στο φλιτζάνι με το τσάι.

Το φλιτζάνι με το τσάι θα περιέχει περισσότερο καφέ, ή το φλιτζάνι με τον καφέ περισσότερο τσάι;;;

UPDATE #1: Τελικά ισχύει αυτό που λένε ότι κάτι που φαίνεται απλό πολλές φορές είναι δύσκολο, ενώ κάτι που φαίνεται δύσκολο, συχνά είναι πολύ απλό! Διάβασα τα σχόλιά σας -και τα μηνύματα που μου ήρθανε- και σας ευχαριστώ όλους που ασχοληθήκατε! Οι συνάδελφοι από το facebook έδωσαν τόσο κατανοητές εξηγήσεις, που θέλησα να τις μοιραστώ -κατόπιν της άδειάς τους- και εδώ. Ο Νικηφόρος Φιλιππούσης έδωσε μια λύση σχηματικά... O Κωνσταντίνος Παπαδάκης έδωσε ένα αριθμητικό παράδειγμα, μέσα από το οποίο μπορεί να γίνει πιο εύκολα κατανοητή η λύση. 

UPDATE #2: Μια παραλλαγή του γρίφου: 

Έχουμε δύο φλιτζάνια- το ένα από αυτά περιέχει καφέ και το άλλο τσάι. Το τσάι είναι περισσότερο από τον καφέ. Παίρνουμε μία κουταλιά τσάι, τη ρίχνουμε στο φλιτζάνι του καφέ και ανακατεύουμε. Μετά παίρνουμε μία κουταλιά από αυτό το μίγμα και τη ρίχνουμε στο φλιτζάνι με το τσάι. Το φλιτζάνι με το τσάι θα περιέχει περισσότερο καφέ, ή το φλιτζάνι με τον καφέ περισσότερο τσάι;;;

Παγκόσμια ημέρα του αριθμού π: 31,4 τρισεκατομμύρια ψηφία του π στα... "σύννεφα"!

Η 14η Μαρτίου, η οποία στην Αμερική αναγράφεται ως 3-14, έχει καθιερωθεί Παγκόσμια Ημέρα της σταθεράς π. Η μαθηματική σταθερά π ορίζεται ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς την διάμετρό του. Συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα π (από τη λέξη "περιφέρεια"). Είναι μια ποσότητα που προσπαθούσαν οι άνθρωποι να υπολογίσουν από τα αρχαία χρόνια. Αυτό που καθιστά το π τόσο δύσκολο να υπολογιστεί, είναι ότι είναι ένας αριθμός άρρητος και υπερβατικός. Με απλά λόγια, τα δεκαδικά του ψηφία δεν σταματούν σε κάποιο σημείο, είναι άπειρα και δεν επαναλαμβάνονται με κάποιο μοτίβο.

Στον περισσότερο κόσμο είναι γνωστά μόνο τα αρχικά του ψηφία: 3,14. Από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, ο υπολογισμός της τιμής του π απασχολεί χιλιάδες χρόνια την ανθρωπότητα. Για την απομνημόνευση των πρώτων ψηφίων του π έχουν επινοηθεί διάφοροι μνημονικοί κανόνες. Ανάμεσά τους και αυτή η φράση, όπου κάθε ψηφίο της σταθεράς π αντιστοιχεί στον αριθμό των γραμμάτων κάθε λέξης.

  

Βέβαια, το 3,14 αλλά και το 3,141592653589793238462 δεν είναι παρά ρητές προσεγγίσεις του π. Πριν από τον 15ο αιώνα, μαθηματικοί όπως ο Πυθαγόρας, ο Αρχιμήδης και ο κινέζος Liu Hui, χρησιμοποίησαν γεωμετρικές τεχνικές βασισμένες σε πολύγωνα, για υπολογίσουν την τιμή του π. Η πιο συνηθισμένη ρητή προσέγγιση του π ήταν το \(\frac{22}{7}\). Από τον 15ο αιώνα κι έπειτα, μαθηματικοί όπως ο Madhava της Sangamagrama, ο Isaac Newton, o Leonhard Euler, o Carl Friedrich Gauss και ο Σρινιβάσα Ραμανουτζάν χρησιμοποίησαν νέους αλγόριθμους βασισμένους στις άπειρες σειρές και υπολόγιζαν ακριβέστερες προσεγγίσεις του π. 

Ένας από τους τύπους που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του π
(Αδελφοί Chudnovsky, 1988)

Μερικοί επιστήμονες προσπαθούν να επιστρατεύσουν άλλες υπολογιστικές μεθόδους, που θα τους δώσουν κάποια ικανοποιητική προσέγγιση, π.χ. \(\pi = 4 \cdot \arctan(1)\). Τον 20ο και 21ο αιώνα, μαθηματικοί και πληροφορικοί συνδυάζουν τους αλγορίθμους με την αυξημένη υπολογιστική ισχύ και διαρκώς επεκτείνουν την δεκαδική απεικόνιση του π. Καθώς οι επιστημονικές εφαρμογές δεν απαιτούν κατά κανόνα περισσότερα από 40 δεκαδικά ψηφία του π, θα λέγαμε ότι βασικό κίνητρο για αυτούς τους υπολογισμούς είναι η επιθυμία του ανθρώπου να σπάει ρεκόρ... 

 

Στη "μάχη" της ακριβέστερης προσέγγισης του π, ήρθε αρχικά να καταρρίψει τα -μέχρι το 2019 δεδομένα- η Emma Haruka Iwao της Google. Με τη βοήθεια του Google Compute Engine, που ανήκει στο Google Cloud, κατάφερε να μας δώσει την ακριβέστερη μέχρι τότε ρητή προσέγγιση του π, υπολογίζοντας 31.415.926.535.897  (ή \( \pi\cdot 10^{13} \) ) ψηφία του αριθμού αυτού! Η Emma ήταν η πρώτη που χρησιμοποίησε τις δυνατότητες του Cloud για τον υπολογισμό του αριθμού αυτού σε τέτοια τεράστια κλίμακα.

Tον Αύγουστο του 2021, το βιβλίο καταγραφής παγκόσμιων ρεκόρ Guinness ανακοίνωσε πως μια ομάδα μαθηματικών από το Πανεπιστήμιο Εφαρμοσμένης Επιστήμης του Grisnos στην Ελβετία κατάφερε να υπολογίσει την τιμή του π με τη μεγαλύτερη μέχρι στιγμής ακρίβεια. Η νέα τιμή-ρεκόρ απαρτίζεται από 62.831.853.071.796 ψηφία, όπως επιβεβαίωσε ο επικεφαλής της εργασίας, Thomas Keller. Για να ολοκληρωθεί ο υπολογισμός, χρειάστηκαν 108 ημέρες και 9 ώρες , ενώ χρησιμοποιήθηκε ένα σύστημα με δύο AMD EPYC επεξεργαστές των 32 πυρήνων ο καθένας, οι οποίοι ήταν εξοπλισμένοι με 1 TB μνήμης RAM και 510 TB αποθηκευτικού χώρου!  

Οι προσπάθειες των σύγχρονων επιστημόνων είναι κάτι παραπάνω από εντυπωσιακές. Αλλά, όπως υπενθυμίζει και το παραπάνω αρχαιοελληνικό ποίημα, "ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι"...

 

Σας αφήνω με ένα ολοκαίνουργιο... μουσικομαθηματικό βίντεο αφιερωμένο στο π, από την αγαπημένη Vihart.

 

"Υπατία: Η γυναίκα που αγάπησε την επιστήμη"

 

Για αυτόν τον μήνα, έχω να σας προτείνω μια μυθιστορηματική βιογραφία από τον Ισπανό Πέδρο Γκάλβεθ, γιο μαθηματικού... Το θαυμάσιο πορτρέτο μιας έξοχης γυναίκας, της Υπατίας της Αλεξανδρινής, καταδικασμένης να ζήσει σε μια εποχή που ούτε οι θεοί θέλουν να θυμούνται. Ο Πέδρο Γκάλβεθ, που πήρε από τον πατέρα του το πάθος για την επιστήμη και το θαυμασμό για την Υπατία, έγραψε αυτή τη βιογραφία ανασυνθέτοντας τη ζωή της Υπατίας με έναν ευφάνταστο, λογοτεχνικό τρόπο.

Πέδρο Γκάλβεθ: Υπατία, η γυναίκα που αγάπησε την επιστήμη. Εκδόσεις Μεταίχμιο

Η Υπατία, γεννήθηκε γύρω στο 360 ή 370 μ.Χ. στην Αλεξάνδρεια. Ήταν κόρη του αλεξανδρινού μαθηματικού και αστρονόμου Θέωνα, ο οποίος υπήρξε και ο πρώτος της δάσκαλος. Μαζί του συνεργάστηκε στην επιμέλεια και τον σχολιασμό των «Στοιχείων» του Ευκλείδη, του πρώτου ολοκληρωμένου μαθηματικού έργου στην ιστορία της ανθρωπότητας, καθώς και της «Μεγίστης Μαθηματικής Συντάξεως» ή αλλιώς «Αλμαγέστης» του Πτολεμαίου, της Βίβλου της ελληνικής Αστρονομίας. Στην Αθήνα παρακολούθησε μαθήματα στη νεοπλατωνική σχολή του Πλούταρχου του νεότερου και της κόρης του Ασκληπιγένειας, αλλά μαθήτευσε και κοντά στον Ιεροκλή.

Επιστρέφοντας στην Αλεξάνδρεια, γύρω στο 400, ανέλαβε επικεφαλής της νεοπλατωνικής σχολής της πόλης, δίδαξε φιλοσοφία και μαθηματικά, και διακρίθηκε τόσο για το ταλέντο της στη διδασκαλία όσο και για τον μαθηματικό προσανατολισμό που έδωσε στο πρόγραμμα σπουδών. Έκανε εκτενή και ουσιώδη σχόλια στα «Αριθμητικά» του Διόφαντου και τελειοποίησε τα «Κωνικά» του Απολλώνιου. Έγραψε τον «Αστρονομικό Κανόνα», καθώς επεδίωκε να μελετήσει και να εμβαθύνει περισσότερο στους τομείς των μαθηματικών του πατέρα της, απ’ ότι έκανε αυτός. Μερικοί μελετητές πιστεύουν ότι ο «Αστρονομικός Κανών» ήταν απλώς μια συλλογή από αστρονομικούς πίνακες άλλοι πάλι θεωρούν ότι ήταν ένα σχόλιο σχετικά με τον Πτολεμαίο. Επίσης, βοήθησε τον μαθητή της Συνέσιο τον Κυρηναίο στην κατασκευή ενός αστρολάβου και ενός υδρομέτρου.  

Ήταν ένα άτομο άξιο σεβασμού, που ασκούσε επιρροή στους σημαντικούς άρχοντες της Αλεξάνδρειας αλλά και της Μεσογείου. Ένας από αυτούς ήταν και ο Ορέστης, ο Ρωμαίος έπαρχος. Συναντιόντουσαν πολύ συχνά και μιλούσαν κυρίως για πολιτικά ζητήματα. Η Υπατία ασκούσε επιρροή όχι μόνο στην Αλεξάνδρεια, αλλά και στη Κωνσταντινούπολη, στη Συρία και στην Κυρήνη. Δυστυχώς, έργα της Υπατίας δεν έχουν διασωθεί. Ωστόσο, η παράδοση στην οποία εργάστηκε και τα κείμενα που σχολίασε αποδείχτηκε ότι ήταν η ακριβής βάση για το επόμενο βήμα στην ιστορία των μαθηματικών. Όταν τον δέκατο έβδομο αιώνα ο Βιέτ και ο Φερμά άρχισαν να διερευνούν τις κωνικές τομές, τα έργα του Διόφαντου και του Απολλώνιου ήταν ζωτικής σημασίας. Η Υπατία είναι σημαντική για τον ρητορικό κανόνα, γιατί αποδεικνύει ότι και οι γυναίκες συμμετείχαν στις κοινωνικές και πνευματικές δραστηριότητες του αρχαίου κόσμου. Η Υπατία δίδασκε δημόσια για τον Πλάτωνα και τον Αριστοτέλη, αποδεικνύοντας την εκπαίδευσή της στη φιλοσοφία και στη ρητορική. Μάλλον έκανε δύο είδη μαθημάτων: Ένα ιδιαίτερο, για την ελίτ των μαθητών της και τα δημόσια κηρύγματα της, στα οποία ασκούσε επιρροή στους Αλεξανδρινούς υπαλλήλους. Ήταν μια σεβαστή και επιφανής δασκάλα, αρκετά χαρισματική και αγαπητή απ’ όλο τον κόσμο και οι διάφοροι επικεφαλής την συμβουλεύονταν πολύ συχνά. Πηγές αναφέρουν ότι είχε φυσική ομορφιά και φορούσε απλά ρούχα. 

Charles William Mitchell - "Ο θάνατος της Υπατίας" (1885)

Εκείνη την εποχή, στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία υπήρχε ακόμα ανεξιθρησκία, παρόλο που ο  Χριστιανισμός είχε ήδη αρχίσει να επιβάλλεται. Η Υπατία δεν ήταν Χριστιανή, διατηρούσε όμως εξαιρετικές σχέσεις με αρκετούς Χριστιανούς λογίους. Ωστόσο, υπήρχε πολλή ένταση και μίσος μεταξύ των Εβραίων και των Χριστιανών της Αλεξάνδρειας. Ο επίσκοπος Αλεξανδρείας Κύριλλος είχε ως κύριο στόχο του τον εξοβελισμό των εθνικών από την πόλη. Για το σκοπό αυτό είχε οργανώσει ομάδες φανατικών που προσπαθούσαν να τρομοκρατήσουν με κάθε τρόπο τους αλλόδοξους. Μια γυναίκα λοιπόν, εθνική, κάτοχος μιας τόσο σημαντικής θέσης και επιπλέον εξαιρετικά όμορφη αποτελούσε κόκκινο πανί για τον Κύριλλο και τον όχλο του. Ο λαός την θεωρούσε ως την αιτία για τη μη συμφιλίωση του Επισκόπου και του Ορέστη. Έτσι, το 415 το «χριστεπώνυμον πλήρωμα» της Αλεξάνδρειας ξεσηκώθηκε. Αποκαλώντας την ειδωλολατρική μάγισσα και ιέρεια, την διαπόμπευσαν, την έγδυσαν και την έσυραν μέχρι τον Καθεδρικό ναό Caesarium, όπου την κακοποίησαν και την σκότωσαν γδέρνοντάς την και διαμελίζοντας την με κοφτερά όστρακα. Το διαλυμένο σώμα της το μετέφεραν στο Κυνάριον, όπου το έκαψαν. Αυτό ήταν και το τέλος της νεοπλατωνικής σχολής της Αλεξάνδρειας. Πολλοί ερευνητές μάλιστα, χωρίζουν την εποχή του Παγανισμού από την εποχή του Χριστιανισμού σύμφωνα με το έτος του θανάτου της, το 415. Ωστόσο, η Υπατία αναφέρεται με ευλάβεια από χριστιανούς συγγραφείς, από την ύστερη αρχαιότητα μέχρι σήμερα. Το όνομά της διέτρεξε την Ιστορία και τη θυμόμαστε ως σύμβολο μιας προνομιακής ευφυΐας, που αποτέλεσε πρόκληση για τον σκοταδισμό της εποχής της.

I love Maths

Πώς εκφράζουν οι μαθηματικοί την... αγάπη τους σε έναν συγκεκριμένο κλάδο των Μαθηματικών; 

Πηγή εικόνας: Chalkdust Magazine

Έχοντας μια ιδιαίτερη αδυναμία στη Συναρτησιακή Ανάλυση, κλείνω με τη δική μου πρόταση:

I <ε FUNCTIONAL ANALYSIS

Ποιος είναι ο δικός σας αγαπημένος κλάδος των Μαθηματικών;

"ΕΜΕΙΣ"

 

I-330

Αγαπητέ μου, είσαι μαθηματικός. Και ακόμη περισσότερο, είσαι φιλόσοφος λόγω των μαθηματικών. Πες μου, λοιπόν, ποιος είναι ο τελευταίος αριθμός;

 

D-503

Ο ποιος; Δεν… δεν καταλαβαίνω. Ποιος τελευταίος αριθμός;

 

I-330

Να, ο έσχατος, το αποκορύφωμα, ο απόλυτα μεγαλύτερος.

 

D-503

Μα, I, αυτό είναι ηλίθιο. Αφού το σύνολο των αριθμών είναι άπειρο, πώς μπορεί να υπάρξει τελευταίος;

 

I-330

Και πώς μπορεί να υπάρξει τελευταία επανάσταση; Δεν υπάρχει. Οι επαναστάσεις είναι άπειρες. Άκου τελευταία! Αυτό είναι για τα παιδιά. Το άπειρο τρομάζει τα παιδιά και τα παιδιά πρέπει να κοιμούνται καλά το βράδυ…

"Εμείς", του σοβιετικού Γιεβγκιένι Ζαμιάτιν από τις εκδόσεις Νεφέλη

Στο Μονοκράτος του Ευεργέτη, δεν υπάρχουν άτομα, παρά μόνο αριθμοί. Η ζωή εξελίσσεται με μαθηματική ακρίβεια, σαν καλοζυγισμένη εξίσωση. Τα πρωτόγονα πάθη και ένστικτα έχουν υπερνικηθεί. Ακόμη και η φύση έχει εξοστρακιστεί πέρα από ένα Πράσινο Τείχος. Ένα μόνο σύνορο δεν έχει ακόμη κατακτηθεί: το διάστημα. Με την κατασκευή του διαστημοπλοίου «Ολοκλήρωμα», κι αυτό, μαζί με τους άγνωστους κατοίκους του, θα υποταχθεί στον ευεργετικό ζυγό της λογικής. Ένας αριθμός, ο D-503, αρχιμηχανικός του Ολοκληρώματος, αποφασίζει να καταγράψει τις σκέψεις του τις τελευταίες ημέρες πριν την εκτόξευση, προς όφελος των λιγότερο ανεπτυγμένων κοινωνιών. Όμως, μια τυχαία συνάντηση με την όμορφη Ι-330 οδηγεί σε μια αναπάντεχη ανακάλυψη που φαίνεται να απειλεί ό,τι ο D-503 πιστεύει για τον εαυτό του και το Μονοκράτος: την ανακάλυψη εκείνης της ασθένειας που οι αρχαίοι αποκαλούσαν ψυχή... Μια συναρπαστική περιπέτεια επιστημονικής φαντασίας, ένα λογοτεχνικό αριστούργημα που προέβλεψε με ακρίβεια τη φρίκη των ολοκληρωτικών καθεστώτων, το «Εμείς» του Γιεβγκιένι Ζαμιάτιν είναι το κλασικό δυστοπικό μυθιστόρημα, και συνάμα μια βαθιά συγκινητική ανθρώπινη τραγωδία, μια μελέτη των διαφορετικών μορφών που μπορεί να πάρει η ανθρώπινη αγάπη. Και μολονότι οι ήρωές του είναι ανώνυμοι "Αριθμοί", ο καθένας απ' αυτούς δεν παύει να είναι μια ξεχωριστή οντότητα, πειστικά και συγκινητικά ζωντανή. Είναι, επίσης, μια μελέτη της κοινωνίας που ισχυρίζεται ότι βασίζεται αποκλειστικά στον αμιγή ορθολογισμό -και ως εκ τούτου μετατρέπεται σε θανάσιμη, απάνθρωπη, παράλογη. Παρότι προαναγγέλει ένα μέλλον δυσοίωνο, με το μήνυμα ελπίδας που σιωπηλά περνάει, το «Εμείς» είναι σήμερα, στον 21ο αιώνα, τόσο επίκαιρο όσο ήταν και στις αρχές του 20ού. 

Όταν ο 8χρονος Terence Tao εντόπιζε τέλειους αριθμούς με χρήση Basic...

 

Αυτή ήταν η πρώτη εργασία που δημοσίευσε το 1983 ο ιδιοφυής μαθηματικός Terence Tao (Μετάλλιο Fields, 2006), σε ηλικία μόλις 8 ετών!

Στην εργασία αυτή, αναπτύσσει έναν κώδικα σε Basic, ο οποίος εντοπίζει τέλειους αριθμούς.

Τέλειος λέγεται ένας φυσικός αριθμός ν, όταν το άθροισμα των διαιρετών του, εκτός του ν, ισούται με τον αριθμό ν. 

Ο μικρότερος τέλειος αριθμός είναι το 6. Οι διαιρέτες του 6 (εκτός από τον εαυτό του) είναι οι 1, 2, 3.

Το άθροισμα αυτών είναι 1 + 2 + 3 = 6.

Άλλοι τέλειοι αριθμοί είναι οι:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

Ο Ευκλείδης ανακάλυψε ότι οι τέσσερις πρώτοι τέλειοι αριθμοί παράγονται από τον τύπο \(2^{n-1} (2^n -1) \), όπου \(n=2, 3, 5, 7\).

Πράγματι:

Για \(n=2\) είναι: \(2^1(2^2-1) = 6 \)

Για \(n=3\) είναι: \( 2^2(2^3-1) = 28 \)

Για \(n=5\) είναι: \(2^4(2^5-1) = 496\)

Για \(n=7\) είναι: \( 2^6(2^7-1) = 8128\)

Αποδεικνύεται εύκολα ότι αν ο  \(2^n -1 \) είναι πρώτος, τότε και ο  \(n\) είναι πρώτος. (Το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει!)

Παρατηρώντας ότι τα \(n=2, 3, 5, 7\) στον παραπάνω τύπο είναι πρώτοι αριθμοί, ο Ευκλείδης, στο βιβλίο του "Στοιχεία", απέδειξε ότι αν ο \(2^n -1 \) είναι πρώτος, τότε ο αριθμός \(2^{n-1} (2^n -1) \) είναι τέλειος. O Ευκλείδης, λοιπόν, τεκμηρίωσε μια ικανή συνθήκη για να είναι ένας αριθμός τέλειος.  Έτσι, για την εύρεση τέλειων αριθμών αρκεί η εύρεση πρώτων αριθμών της μορφής \(p=2^n-1 \). Δεν ισχυρίστηκε όμως πουθενά ότι αυτή η συνθήκη ήταν επίσης αναγκαία -δηλαδή ότι αν ένας αριθμός είναι τέλειος, τότε θα πρέπει να έχει την παραπάνω μορφή.

Σχεδόν είκοσι αιώνες μετά τον Ευκλείδη, ο Euler απέδειξε ότι ο τύπος  \(2^{n-1} (2^n -1) \) μας δίνει όλους τους άρτιους τέλειους αριθμούς. Δηλαδή ένας άρτιος τέλειος αριθμός έχει τη μορφή \(2^{n-1} (2^n -1) \), όπου ο \(2^n -1\) είναι πρώτος. Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό ως το Θεώρημα Ευκλείδη-Euler.

Είναι άγνωστο μέχρι σήμερα αν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί. Ο υπολογισμός τέλειων αριθμών είναι αρκετά δύσκολος, αν αναλογιστεί κανείς ότι ως το 2016 υπήρχαν 49 γνωστοί τέλειοι αριθμοί.

 

Ο τότε πιτσιρικάς Terence Tao βασίστηκε στο θεώρημα που είχε αποδείξει ο Ευκλείδης και σχεδίασε την εύρεση πρώτων αριθμών της μορφής \(p=2^n-1 \), με σκοπό τη δημιουργία τέλειων αριθμών. Διαβάστε την εργασία του Terence Tao στο Fermat's Library πατώντας εδώ... 

"ΦΛΑΤΕΡΛΑΝΤ, η περιπέτεια των πολλών διαστάσεων"

Όσοι απόλαυσαν την ανάγνωση του "Flatland (Επιπεδοχώρα)", θα λατρέψουν το, κατά κάποιο τρόπο, "σίκουελ" αυτού του μυθιστορήματος, που είναι το "Flaterland". 

Το βιβλίο μεταφρασμένο στα ελληνικά από τις εκδόσεις "Τραυλός"

Η περιπέτεια ξεκινά όταν η ηρωίδα, Βικτώρια Λάιν (Γραμμή), ανακαλύπτει στη σοφίτα του σπιτιού της, το σκοροφαγωμένο ημερολόγιο του προ-προπάππου της Άλμπερτ Σκουέαρ (Τετραγώνου). Η Βίκυ προσβάλλεται από τον ιό της Τρίτης Διάστασης -προς μεγάλη απόγνωση των γονέων της. Χωρίς αυτοί να το γνωρίζουν, ακολουθεί τα βήματα του προγόνου της στο εκτεταμένο σύμπαν της Τρίτης Διάστασης... Βρίσκει έναν ευτραφή κύριο, εξοικειωμένο με μαθηματικούς και φυσικούς χώρους και, κρατώντας τον γερά, "πηδάει" από τον ένα μαθηματικό χώρο στον άλλο, μέχρι που φτάνει στις... δέκα διαστάσεις!

Γεμάτο χιούμορ και λογοπαίγνια, το "Φλάτερλαντ" ακροβατεί στα σύνορα της Φυσικής και των Μαθηματικών του σήμερα. Η ευρυμάθεια και το χαρακτηριστικό στιλ γραφής του Ίαν Στιούαρτ μάς ξεναγούν σε νέα είδη χώρων και διαστάσεων, που δεν θα μπορούσαμε ποτέ να φανταστούμε.

Από τη σαγηνευτική θεωρία των φράκταλς και τις περίπλοκες τοπολογίες έως τις σκουληκότρυπες, τον υπερχώρο, την κοσμολογία, τη θεωρία των χορδών και τις ανώτερες διαστάσεις, ο αναγνώστης διανύει μιαν ατέλειωτη, συναρπαστική διαδρομή ως τα έσχατα όρια του χώρου και του χρόνου. 

Προσδεθείτε! Η βόλτα θα είναι ιλιγγιώδης.