Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί: Το κόσκινο του Ερατοσθένη και μια απόδειξη του Ευκλείδη

 

Πρώτος καλείται ένας φυσικός αριθμός που διαιρείται μόνο με το 1 και τον εαυτό του. Για παράδειγμα οι αριθμοί 2, 3, 11, 17 είναι πρώτοι. Ένας αριθμός που δεν είναι πρώτος καλείται σύνθετος. Για παράδειγμα, ο αριθμός 9 είναι σύνθετος, αφού εκτός της μονάδας και του εαυτού του έχει διαιρέτη και το 3.

Επειδή το 1 έχει μόνο έναν διαιρέτη (το 1, που είναι και ο εαυτός του), δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος αριθμός. Το 2 είναι ο μοναδικός άρτιος πρώτος, ενώ όλοι οι υπόλοιποι πρώτοι αριθμοί είναι περιττοί.

Μπορούμε να βρούμε όλους τους πρώτους αριθμούς με ένα «κόσκινο»: Το κόσκινο του Ερατοσθένη κρατάει όλους τους σύνθετους αριθμούς και αφήνει να περάσουν όλοι οι πρώτοι.

Το κόσκινο του Ερατοσθένη: Από το βιβλίο Μαθηματικών της Α΄ Γυμνασίου, εκδόσεις Διόφαντος, 2023

Για να βρούμε τους πρώτους αριθμούς, εργαζόμαστε ως εξής:

1. Αφήνουμε απέξω το 1 (είπαμε: δεν είναι ούτε πρώτος, ούτε σύνθετος).

2. Παίρνουμε τον επόμενο αριθμό (το 2). Τον κρατάμε και σβήνουμε όλα τα πολλαπλάσιά του.

3. Παίρνουμε τον επόμενο άσβηστο αριθμό (το 3).
Τον κρατάμε και σβήνουμε όλα τα πολλαπλάσιά του (όσα δεν έχουν σβηστεί από πριν, ως πολλαπλάσια του 2).

​4. Παίρνουμε τον επόμενο άσβηστο αριθμό (το 5).
Τον κρατάμε και σβήνουμε όλα τα πολλαπλάσιά του (όσα έχουν σβηστεί από πριν).

5. Παίρνουμε τον επόμενο αριθμό που έμεινε (το 7).
Τον κρατάμε και σβήνουμε όλα τα πολλαπλάσιά του (όσα δεν είναι σβησμένα από πριν).

Με τον ίδιο τρόπο συνεχίζουμε για πάντα (αφού οι αριθμοί δεν τελειώνουν ποτέ)!

 

Αν όμως θέλουμε να βρούμε τους πρώτους αριθμούς μέχρι το 120 (όπως κάνουμε τώρα), δεν χρειάζεται να προχωρήσουμε παραπάνω από το 7, αφού...
​
...οι αριθμοί που έχουν μείνει, (αυτοί που είναι μέσα στα κυκλάκια) είναι οι πρώτοι αριθμοί.

 

Οι πρώτοι αριθμοί μέχρι το 120 δίνονται παρακάτω:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113.

Γεννάται λοιπόν το ερώτημα: Πόσοι είναι οι πρώτοι αριθμοί; Την απάντηση έδωσε ο Ευκλείδης στα "Στοιχεία" του (Πρόταση ΙΧ.20) αποδεικνύοντας ότι το πλήθος τους είναι άπειρο. Η απόδειξη παραφράζεται εδώ και είναι η εξής:

Εξετάστε οποιαδήποτε πεπερασμένη λίστα πρώτων αριθμών p1, p2 , ... , pn. Θα αποδειχθεί, ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας πρόσθετος πρώτος αριθμός, που δεν υπάρχει στη λίστα. Έστω P το γινόμενο όλων των πρώτων αριθμών στη λίστα, δηλ. 

P =p1 · p2 ·  ... ·  pn 

 Ας είναι q = P + 1. Τότε ο q είναι είτε πρώτος ή όχι:

• Εάν ο q είναι πρώτος, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας ακόμη πρώτος, που δεν περιλαμβάνεται στη λίστα.
• Εάν ο q δεν είναι πρώτος, τότε κάποιος πρώτος παράγοντας p διαιρεί τον q. Εάν αυτός ο παράγοντας p ήταν στη λίστα μας, τότε θα διαιρούσε το P (αφού το P είναι το γινόμενο κάθε αριθμού στη λίστα). Αλλά ο p διαιρεί επίσης το P + 1 = q, όπως μόλις αναφέρθηκε. Εάν ο p διαιρεί το P και το q, τότε το p πρέπει επίσης να διαιρεί τη διαφορά των δύο αριθμών, που είναι  (P + 1) - P = 1. Δεδομένου ότι κανένας πρώτος αριθμός δεν διαιρεί το 1, ο p δεν μπορεί να είναι στη λίστα. Αυτό σημαίνει, ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας ακόμη πρώτος αριθμός πέραν εκείνων της λίστας.

Αυτό αποδεικνύει ότι για κάθε πεπερασμένη λίστα πρώτων αριθμών, υπάρχει ένας πρώτος αριθμός, που δεν βρίσκεται στη λίστα. Άρα οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι σε πλήθος.

Η απόδειξη αυτή του Ευκλείδη θεωρείται από τις κομψότερες αποδείξεις στην ιστορία των μαθηματικών.

 

Ένα κομμάτι παπύρου των Στοιχείων του Ευκλείδη, που χρονολογείται περίπου στο 75-125 μ.Χ.

Πηγές: 

Σημειώσεις Θεωρίας Αριθμών, Α. Θωμά, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων

Wikipedia.org

"Τα αστέρια της Βερενίκης"

Αλεξάνδρεια, εποχή των Πτολεμαίων, 3ος αιώνας π.Χ. Μια Αίγυπτος ισχυρή, κυρίαρχη, κοιτίδα του πολιτισμού. Μια βασίλισσα που θυσιάζει τις χρυσές πλεξούδες της στη θεά Ίσιδα προκειμένου να γυρίσει ο άντρας της ζωντανός από την εκστρατεία. Ένας μονάρχης, στο απόγειο της δύναμής του, που αναζητά τη γνώση στα βιβλία. Κι ένας μαθηματικός, πνεύμα ανήσυχο, πανεπιστήμονας και παιδαγωγός, που αναρωτιέται πόσο μεγάλη είναι η Γη.

Με φόντο τις συνωμοσίες αλλά και τους έρωτες της Αυλής των Πτολεμαίων, και με αφορμή το χρονικό της πρώτης μέτρησης της Γης από τον Ερατοσθένη, ο Ντενί Γκετζ μάς δίνει ένα ιδιοφυές μυθιστόρημα που καθρεφτίζει την αστείρευτη ανάγκη του ανθρώπου για γνώση.

Γιατί ο περιοδικός δεκαδικός 0,999... ισούται με 1;

Στην ταινία γερμανικής παραγωγής "Στο γραφείο των καθηγητών" (Das Lehrerzimmer, 2023), η δασκάλα θέτει το εξής πρόβλημα στους δωδεκάχρονους μαθητές της:

Ο περιοδικός δεκαδικός αριθμός \(0,\bar{9}=0,999...\) (άπειρα εννιάρια) ισούται ή όχι με το \(1\);

Οι περισσότεροι μαθητές πιστεύουν ότι υπάρχει αριθμός μεταξύ του 0,999... και του 1. Μετά από συζήτηση, ο Όσκαρ γράφει στον πίνακα την εξής απάντηση:

Γνωρίζω ότι

\[ \frac{1}{9} = 1:9 = 0,111... \]

Έτσι,

\[0,\bar{1}=\frac{1}{9}\]

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της ισότητας με 9, παίρνουμε:

\[ 0,\bar{9}=9 \cdot \frac{1}{9}\]

άρα

\[ 0,\bar{9}=1\]

Η εξήγηση βασίζεται στο ότι τα εννιάρια στον περιοδικό δεκαδικό 0,999... είναι άπειρα. Δείτε παρακάτω τη μαθηματική απόδειξη.

Θέτουμε \( x=0,999... (1) \)

Πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη της ισότητας με 10, οπότε \( 10x=9,999... (2) \)

Αφαιρούμε κατά μέλη τις ισότητες, \( (2)-(1) \) και έχουμε 

\( 10x - x = 9,999... - 0,999... \Leftrightarrow \)

\( 9x = 9 \Leftrightarrow \)

\( x = 1 \)

Άρα \( 0,999...  = 1 \).

 

Τα κρυμμένα μαθηματικά στην "Έναστρη Νύχτα" του van Gogh

 

Η «Έναστρη Νύχτα» του Vincent van Gogh είναι μια ελαιογραφία σε καμβά η οποία απεικονίζει μια θέα λίγο πριν την ανατολή του ηλίου από το ανατολικό παράθυρο του δωματίου του ασύλου όπου διέμενε ο καλλιτέχνης στο Saint-Rémy-de-Provence στη νότια Γαλλία. Ο βαν Γκογκ είχε  αυτοβούλως ζητήσει τον εγκλεισμό του στο άσυλο μετά τον αυτο-ακρωτηριασμό του αριστερού του αυτιού, τον Δεκέμβριο του 1888.

Εκτιθέμενη από το 1941 στο Μουσείο Μοντέρνας Τέχνης της Νέας Υόρκης, η «Έναστρη Νύχτα» είναι ένα εξαιρετικά δημοφιλές έργο τέχνης.

 

Το αστραφτερό φως των αστεριών και τα στροβιλιζόμενα σύννεφα στον πίνακα αυτό, πιστευόταν παλιότερα ότι αντανακλούν την ταραχώδη ψυχική κατάσταση του καλλιτέχνη όταν ζωγράφιζε το έργο την άνοιξη του 1889. Πλέον, μελέτες από φυσικούς επιστήμονες έχουν δείξει ότι ο καλλιτέχνης είχε μια βαθιά, διαισθητική κατανόηση της μαθηματικής δομής της τυρβώδους ροής.

 

Τι είναι η τυρβώδης ροή;

Η τυρβώδης ροή είναι ένα συγκεκριμένο είδος ροής των ρευστών που μέσα της σχηματίζονται στρόβιλοι. Ως συνηθισμένο φυσικό φαινόμενο που παρατηρείται στα ρευστά –κινούμενο νερό, ωκεάνια ρεύματα, ροή αίματος, ατμοσφαιρικό οριακό στρώμα, διογκούμενα σύννεφα καταιγίδας,  νέφη καπνού και καπνός από τσιγάρο– η τυρβώδης ροή είναι χαοτική, καθώς σχηματίζονται μικρότεροι στρόβιλοι μέσα σε μεγαλύτερους. Είναι κάτι που αποτελεί καθημερινή μας εμπειρία και πρόκληση αξεπέραστη για τους μαθηματικούς φυσικούς.

Μπορεί να φαίνεται τυχαίο στον περιστασιακό παρατηρητή, ωστόσο οι «αναταράξεις» ακολουθούν ένα διαδοχικό μοτίβο που μπορεί να μελετηθεί και, τουλάχιστον εν μέρει, να εξηγηθεί χρησιμοποιώντας μαθηματικές εξισώσεις.

Τα αστέρια του πίνακα, ο πλανήτης Αφροδίτη και το άστρο V838 Mon

«Μέσα από το παράθυρο με τα σιδερένια κάγκελα» γράφει ο Βαν Γκογκ στον αδελφό του Τεό, τον Μάιο του 1889, «μπορώ να διακρίνω ένα τετράγωνο κομμάτι γης με σιτάρι… πάνω από το οποίο, το πρωί, βλέπω τον ήλιο να ανατέλλει σε όλο του το μεγαλείο».

H «Έναστρη Νύχτα» είναι το μόνο νυχτερινό έργο στη σειρά πινάκων με τη θέα από το παράθυρο του υπνοδωματίου του. Στις αρχές Ιουνίου, έγραψε στον Τεό: «Σήμερα το πρωί είδα το τοπίο από το παράθυρό μου για μεγάλο χρονικό διάστημα πριν από την ανατολή με τίποτα άλλο εκτός από το πρωινό άστρο, το οποίο φάνταζε πολύ μεγάλο».

Οι ερευνητές έχουν καταλήξει στο συμπέρασμα ότι η Αφροδίτη ήταν πράγματι ορατή την αυγή, στην Προβηγκία, την άνοιξη του 1889 και την εποχή εκείνη ήταν κοντά στο φωτεινότερο δυνατό της. Έτσι, το πιο λαμπρό «αστέρι» στον πίνακα, δεξιά από το κυπαρίσσι, είναι στην πραγματικότητα η Αφροδίτη.

Μια φωτογραφία από το διαστημικό τηλεσκόπιο Hubble που δημοσιεύθηκε το 2004 έδειχνε ένα μακρινό άστρο, το V838 Mon στον αστερισμό Μονόκερως, να μοιάζει με τα άστρα της «Έναστρης Νύχτας» όπου ο Βαν Γκογκ φαντάζεται το φως τους να στροβιλίζεται. Στο άστρο V838 Mon, που βρίσκεται 20.000 έτη φωτός μακριά από τη Γη, οι φωτεινοί στροβιλισμοί οφείλονται στην σκόνη και στην τυρβώδη ροή των αερίων γύρω από αυτό.

Το 2006, οι ερευνητές J.L. Aragón, Gerardo G. Naumis, M. Bai, M. Torres και P.K. Maini, μετά την δημοσίευση της φωτογραφίας του Hubble, εξέτασαν την μαθηματική συσχέτιση των μοτίβων της τυρβώδους ροής των ρευστών, με τους στροβιλισμούς που απεικόνιζε στους πίνακές του ο Βαν Γκογκ. Σε άρθρο τους με τίτλο «Turbulent luminance in impassioned van Gogh paintings», έδειξαν ότι η συνάρτηση κατανομής της πιθανότητας των στροβιλισμών του φωτός σε ορισμένους πίνακες του μεταϊμπρεσιονιστή ζωγράφου, μοιάζει με την αντίστοιχη κατανομή των μεταβολών της ταχύτητας κατά την τυρβώδη ροή ρευστού, όπως προβλέπει η στατιστική θεωρία του Kolmogorov (που περιγράφει έστω και εν μέρει τη δυναμική των ρευστών). Τη δεκαετία του 1940, ο Σοβιετικός μαθηματικός Αντρέι Κολμογκόροφ περιέγραψε μια μαθηματική σχέση μεταξύ των διακυμάνσεων της ταχύτητας μιας ροής και του ρυθμού με τον οποίο διαχέεται η ενέργειά της, αναπτύσσοντας τη θεωρία της τύρβης του Kolmogorov. 

Το καλλιτεχνικό ενδιαφέρον εδώ είναι ότι η στατιστική υπογραφή της δυναμικής των ρευστών ανιχνεύεται μόνο στους πίνακες που συνέθεσε ο βαν Γκογκ στην ψυχολογικά διαταραγμένη περίοδο της ζωής του και όχι όταν η ζωή του κυλούσε ήρεμα.

Ο van Gogh και οι στροβιλισμοί του πάλι στο προσκήνιο

Φέτος, μια νέα ανάλυση του πίνακα από επιστήμονες από την Κίνα και τη Γαλλία «αποκαλύπτει» τα κρυμμένα μαθηματικά στην «Έναστρη Νύχτα».

«Φανταστείτε ότι στέκεστε σε μια γέφυρα και παρακολουθείτε το ποτάμι να κυλάει. Θα δείτε στροβιλισμούς στην επιφάνεια, και αυτοί οι στροβιλισμοί δεν είναι τυχαίοι. Εντάσσονται σε συγκεκριμένα μοτίβα και αυτά τα είδη μοτίβων μπορούν να προβλεφθούν από φυσικούς νόμους», δήλωσε ο Γιονγκ Τσιάνγκ Χουάνγκ,  επικεφαλής συγγραφέας της μελέτης η οποία δημοσιεύθηκε στο επιστημονικό περιοδικό Physics of Fluids. Ο Huang είναι ερευνητής στο State Key Laboratory of Marine Environmental Science & College of Ocean and Earth Sciences στο Πανεπιστήμιο Xiamen στη νοτιοανατολική Κίνα.

Με τη χρήση ενός ψηφιακού αντιγράφου του πίνακα, ο Χουάνγκ και οι συνάδελφοί του εξέτασαν την κλίμακα των 14 βασικών περιδινούμενων σχηματισμών για να κατανοήσουν αν συμμορφώνονταν με θεωρίες της φυσικής που περιγράφουν τη μεταφορά ενέργειας από μεγάλης σε μικρής κλίμακας περιδινήσεων καθώς συγκρούονται και αλληλεπιδρούν μεταξύ τους.

Ο ουρανός του πίνακα, καθώς είναι φιλοτεχνημένος και δεν κινείται πραγματικά, δεν μπορεί να μετρηθεί άμεσα, οπότε ο Χουάνγκ και οι συνάδελφοί του υπολόγισαν με ακρίβεια τις πινελιές, συγκρίνοντας το μέγεθός τους με μαθηματικές κλίμακες της τυρβώδους ροής.

Για να μετρήσουν τη φυσική κίνηση, χρησιμοποίησαν τη φωτεινότητα των διαφορετικών χρωμάτων που χρησιμοποίησε ο καλλιτέχνης.

Έτσι, ανακάλυψαν πως τα μεγέθη των 14 στροβίλων στην «Έναστρη Νύχτα» και η σχετική απόσταση και έντασή τους ακολουθούν τη θεωρία της τύρβης του Kolmogorov. 

Σύμφωνα με τον Χουάνγκ και την επιστημονική ομάδα του, ο πίνακας, σε μικρότερη κλίμακα, αναμειγνύεται με κάποιες δίνες και στροβιλισμούς υποβάθρου με τρόπο που προβλέπεται από τη θεωρία της τύρβης, ακολουθώντας ένα στατιστικό μοτίβο γνωστό ως κλίμακα του Batchelor (Batchelor’s scaling), που καθορίστηκε από τον George Batchelor και περιγράφει μαθηματικά τον τρόπο με τον οποίο τα μικρά σωματίδια, όπως τα παρασυρόμενα φύκια στον ωκεανό ή τα κομμάτια σκόνης στον άνεμο, αναμειγνύονται παθητικά από την τυρβώδη ροή. 

 

 

Άγνοια των μοντέλων – Μελέτη της φύσης

«Φυσικά», είπε ο Χουάνγκ, «ο βαν Γκογκ δεν θα γνώριζε τέτοιες θεωρίες ή εξισώσεις, αλλά πιθανότατα πέρασε πολύ χρόνο παρατηρώντας την τύρβη στη φύση… Νομίζω ότι αυτή η φυσική σχέση πρέπει να είναι ενσωματωμένη στο μυαλό του, γι’ αυτό όταν έκανε αυτόν τον διάσημο πίνακα "Έναστρη Νύχτα", μιμείται την πραγματική τυρβώδη ροή».

Φράση του καλλιτέχνη... Φωτογραφία αρχείου από την έκθεση "Van Gogh Alive" τον Μάρτιο του 2018 στην Αθήνα

Ο Χουάνγκ είπε ότι οι επιστήμονες προσπαθούν εδώ και πολύ καιρό να περιγράψουν την τυρβώδη ροή στη δυναμική των ρευστών με τρόπο που θα τους επιτρέπει να προβλέψουν το φαινόμενο. Μια διεξοδική κατανόηση της τυρβώδους ροής θα βοηθούσε στην πρόγνωση του καιρού, στις αναταράξεις των πτήσεων και σε πολλές άλλες διαδικασίες, ενώ μια πλήρης εξήγηση παραμένει ένα κυρίαρχο μυστήριο της φυσικής.

Πηγές - Παραπομπές

CNN: Turbulentskies of Vincent Van Gogh’s ‘The Starry Night’ align with a scientific theory,study finds

Phys.uoa.gr|Τύρβη

Physics4u

Physicsgg.me

ScienceDirect

TED-Ed|The unexpected math behind van Gogh's "Starry Night"

Turbulent Luminance in Impassioned van Gogh Paintings

University of Thessaly|Εισαγωγή σε Περιβαλλοντικές Ροές-Υπολογιστική Ρευστομηχανική και Τύρβη

Wikipedia.org

Γρίφος: Βρείτε το PIN

 

Ξέχασα το PIN μου!

Αλλά είναι κρυμμένο ανάμεσα στα παρακάτω νούμερα:

Μπορείτε να βρείτε το 4ψήφιο PIN?

Ξενάγηση στο Μουσείο Γρίφων Μεγίστης!

 

Φέτος το "εις το άπειρον" επισκέφτηκε το Μουσείο Γρίφων Μεγίστης, που βρίσκεται στο πανέμορφο και ακριτικό Καστελλόριζο. Πρόκειται για το πρώτο και μοναδικό μουσείο γρίφων στην Ελλάδα και το τέταρτο σε όλο τον κόσμο. Με τον ιδρυτή του, κ. Πανταζή Χούλη, μαθηματικό και γριφολόγο, ζήσαμε μια όμορφη διαδραστική εμπειρία και σας προσφέρουμε μια ξενάγηση στον κόσμο των γρίφων.

Στην είσοδο μας περιμένει ένας καθρέφτης με οφθαλμαπάτες, προϊόντα 3D εκτύπωσης... 

Όταν ο κ. Πανταζής Χούλης επισκεπτόταν την ιδιαίτερη πατρίδα του, το Καστελλόριζο, είχε πάντα στο πίσω μέρος του μυαλού του ότι κάποτε θα επιστρέψει στο νησί του για να ζήσει μόνιμα. Το Καστελλόριζο, λοιπόν, επέλεξε για να ιδρύσει το Μουσείο Γρίφων Μεγίστης το 2020 και έκτοτε να διοργανώνει εργαστήρια, μέσω των οποίων δίνει την ευκαιρία στα παιδιά να λύνουν γρίφους και να κατασκευάζουν τους δικούς τους. Καθηγητής του Πανεπιστημίου της Δυτικής Αυστραλίας έως και το 2012 και γνωστός στην κοινότητα των γρίφων με πολλές τιμητικές διακρίσεις, κατέχει μια εκτενή συλλογή από 4.000 γρίφους, 700 από τους οποίους είναι δικές του επινοήσεις και πρωτότυπα. 

Ένα μικρό μέρος της συλλογής... 

Ο κ. Χούλης μας εξηγεί ότι υπάρχουν πολλά είδη γρίφων:

✅Οι ταιριαστικοί γρίφοι, που μοιάζουν με παζλ, όπως είναι το τάνγκραμ και το οστομάχιον του Αρχιμήδη.

✅Οι αναδιπλούμενοι γρίφοι, στους οποίους πρέπει να γίνει αναδίπλωση του σχήματος. Τέτοιοι είναι ο "Θρόνος των θεών" και ο "Φατσούλας", που συνδέεται με τη διεδρική ομάδα \(D_4\), με 8 στοιχεία.

Ο "Θρόνος των θεών" πριν και μετά την αναδίπλωση 

Ο "Φατσούλας" και τα μαθηματικά που κρύβονται πίσω από τον γρίφο 

✅Οι διασυνδεδεμένοι γρίφοι, όπου στόχος είναι να τους ανοίξουμε.

✅Οι λαβύρινθοι. Λέγεται ότι ο λαβύρινθος του Δαίδαλου θεωρείται ως το πρώτο escape room στην ανθρωπότητα.

✅Οι ακολουθιακοί γρίφοι, οι οποίοι θέλουν συγκεκριμένη ακολουθία κινήσεων για να επιλυθούν. Τέτοιοι είναι οι κύβοι Rubik, που σχετίζονται με τη Θεωρία Ομάδων και οι "Πυραμίδες μέσα στη Σφαίρα".

Οι συγκεκριμένοι κύβοι Ρούμπικ, επινοημένοι από τον Πανταζή Χούλη, παραμένουν αναλλοίωτοι με τις περιστροφές-μεταθέσεις. 

Οι "Πυραμίδες μέσα στη Σφαίρα"

✅Οι ανοιγόμενοι γρίφοι, όπως το "Σπιτάκι του Καστελλόριζου", ή ο γρίφος που χρησιμοποιεί τη φυγόκεντρο για να ανοιχτεί.

Το "Σπιτάκι του Καστελλόριζου" 

✅Το ανεξήγητο αντικείμενο, όπως το "Καραβάκι μέσα σε μπουκαλάκι". 

✅Οι εκλιπόμενοι ή εξαφανιζόμενοι γρίφοι, όπως ο γρίφος με το κομμάτι σοκολάτας που λείπει. 

...και τόσοι άλλοι... 

Τρισδιάστατο Τέτρις

Το "Γριφοπούλι" 

Τα "Πανταζάρια", ζάρια σχεδιασμένα έτσι, ώστε να κερδίζεις πάντα τον αντίπαλό σου, με βάση τη Θεωρία Πιθανοτήτων. 

Οι κωνικές τομές 

Η "κούπα του Πυθαγόρα". Θεωρείται εφεύρεση του Πυθαγόρα, ο οποίος ήθελε να διδάξει στους μαθητές του την αναγκαιότητα τήρησης του μέτρου στις ζωές τους. Αν γεμίσουμε την κούπα με κρασί (ή κάποιο άλλο υγρό) πάνω από το επιτρεπόμενο όριο, η κούπα θα αδειάσει εντελώς και δεν θα χυθεί μόνο η περιττή ποσοτητα! 
Η λειτουργία της κούπας του Πυθαγόρα βασίζεται στην αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων και στην εξίσωση Bernoulli.  

Ένας αναγραμματισμός της λέξης "ΚΑΣΤΕΛΛΟΡΙΖΟ" είναι το "ΖΕΣΤΟ ΚΟΡΑΛΛΙ".

🧮Θεσμός έχει γίνει πλέον το Φεστιβάλ Γρίφων, που διοργανώνεται από το Μουσείο Γρίφων. Στις 11-13 Οκτωβρίου 2024 θα διεξαχθεί το 4ο Φεστιβάλ Γρίφων στο Καστελλόριζο, όπου μεταξύ των προσκεκλημένων θα είναι και ο εφευρέτης του πασίγνωστου "Κύβου του Ρούμπικ", Έρνο Ρούμπικ.

🌐Μπορείτε να μαθαίνετε τα νέα του Μουσείου Γρίφων μέσα από τη σελίδα του στο Facebook: Ένωση Ιδεών, Γρίφων, Μαθηματικών (ΕΝ.Ι.Γ.ΜΑ.).

 

Καλή σχολική χρονιά!

Έργα μαθηματικής τέχνης από μαθητές του 1ου Γενικού Λυκείου Καλύμνου 

 “Τι είναι λοιπόν τα Μαθηματικά; Φαίνεται ότι έχουμε τρεις επιλογές:

– Τα Μαθηματικά είναι η ανθρωπιστική επιστήμη που υμνεί την αιώνια λογική.

– Είναι η φυσική επιστήμη που μελετά το φαινόμενο λογική.

– Είναι η τέχνη που πλάθει μορφές αιθέριας ομορφιάς από την πρώτη ύλη που ονομάζεται λογική.

Είναι όλα αυτά και άλλα. Πάνω απ’ όλα, όμως, μπορώ να σας διαβεβαιώσω ότι τα Μαθηματικά είναι ευχαρίστηση.”

– W. T. TUTTE

Καλή και δημιουργική σχολική χρονιά!!!

"Το πιστόλι του Νεύτωνα"

Το φθινοπωρινό μεσημέρι της Θεσσαλονίκης παραχώρησε τη θέση του σ' ένα κρύο λονδρέζικο πρωινό, στα μέσα του 17ου αιώνα.  Ο νεαρός Νεύτωνας αναζητά εκδότη για τη "Μέθοδο των Ροών" του σε μια πόλη που προσπαθεί να ξεπεράσει τη μεγάλη πυρκαγιά και να αναγεννηθεί από τις στάχτες της. Στην άλλη πλευρά της Μάγχης, στο κέντρο της ευρωπαϊκής διανόησης, ο διπλωμάτης Λάιμπνιτς, απεσταλμένος ενός Γερμανού βαρόνου, προσπαθεί να πείσει τον Γάλλο βασιλιά να μην επιτεθεί στην Ολλανδία ενώ παράλληλα δίνει διέξοδο στο μαθηματικό πάθος του με τη συγγραφή του "Απειροστικού Λογισμού" του. Λίγα χρόνια αργότερα οι δυο γίγαντες της διανόησης, καθένας ξεχωριστά, δηλώνουν ότι κατέχουν την πατρότητα του "Λογισμού", μια μαθηματική ιδέα που έμελλε να αλλάξει τα πάντα στις επιστήμες.

Ο «Απειροστικός Λογισμός», τον οποίο θα περιγράφαμε συνοπτικά ως ένα σύνολο μαθηματικών εργαλείων ανάλυσης της κίνησης και της μεταβολής των σωμάτων, έχει διαδραματίσει σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη της μαθηματικής επιστήμης και της τεχνολογίας. Η σημασία του αναγνωρίζεται σε μια ευρεία κλίμακα σύγχρονων εφαρμογών που περικλείουν τη μηχανική, τις τροχιές των δορυφόρων του GPS, το Χρηματιστήριο, την ιατρική επιστήμη κ.ά.

Η διαμάχη για τα πνευματικά δικαιώματα της ιδέας του «Απειροστικού Λογισμού», ανάμεσα στον Νεύτωνα και τον Λάιμπνιτς, δίνει το έναυσμα στον συγγραφέα, Ανδρέα Λύκο,  να υφάνει μια σύγχρονη αστυνομική ιστορία με μια σειρά εγκλημάτων.

Κεντρικό πρόσωπο, που ενώνει κατά κάποιον τρόπο όλα τα θέματα που προσεγγίζει το βιβλίο, είναι ο αστυνόμος Γιάννης Λόντσας, ανήσυχη προσωπικότητα με ενδιαφέροντα και προβληματισμούς που υπερβαίνουν κατά πολύ την κυρίαρχη αντίληψη για τους αστυνόμους και την αστυνομική έρευνα. Το γεγονός ότι δύο καθηγητές στη σύγχρονη Θεσσαλονίκη ανακαλύπτουν, σχεδόν ταυτόχρονα, την απόδειξη ενός δύσκολου μαθηματικού προβλήματος, δεν αφήνει αδιάφορο τον αστυνόμο.

Στη διαδικασία διαλεύκανσης των εγκλημάτων που σχετίζονται με πρόσωπα της επιστημονικής κοινότητας, ο Γιάννης Λόντσας θα προσπαθήσει να διερευνήσει όσο μπορεί όλα τα δεδομένα (ακόμα και σύνθετα μαθηματικά προβλήματα), τις κινήσεις των προσώπων που πιστεύει ότι συνδέονται με την υπόθεση και τις μεταβολές των στοιχείων της καθώς εξελίσσεται η έρευνα. Σε αυτή τη διεργασία, η αναζήτηση του δολοφόνου παραπέμπει στην αναζήτηση της λύσης ενός μαθηματικού προβλήματος.

Ο συγγραφέας δεν έχει στόχο να περιορίσει τον ορίζοντα του αναγνώστη σε μια κατεύθυνση. Τη στιγμή που ο τελευταίος θεωρεί ότι ακολουθεί τη ροή μιας αστυνομικής ιστορίας, η αφήγηση αλλάζει χρόνο και τόπο. Η βεβαιότητα, το καθησυχαστικό περιβάλλον μιας οικείας κατάστασης, δεν είναι, άλλωστε, εκείνο που ευνοεί την αναζήτηση της αλήθειας ούτε στην αστυνομική ούτε και στην επιστημονική της διάσταση.

Η ένταση της διαμάχης Νεύτωνα και Λάιμπνιτς είναι παρούσα σε όλο το βιβλίο. Η ανάπτυξή της, με βιογραφικά στοιχεία από την ζωή των κορυφαίων επιστημόνων και αναφορές σε ιστορικά και επιστημονικά γεγονότα της εποχής τους, παρουσιάζεται σε αυτόνομα κεφάλαια, που συνυπάρχουν αντιστικτικά με την αστυνομική ιστορία. Γεγονός που ενισχύει την αίσθηση του ευρύτερου ενδιαφέροντος που έχει ο συγγραφέας για ζητήματα που συνδέονται διαχρονικά με την αναζήτηση της αλήθειας, και τη διεκδίκηση με απόλυτο τρόπο της πατρότητας μιας λαμπρής ιδέας.

Γρίφος... "Survivor": Οι ναύτες, οι καρύδες και ο πίθηκος

Πέντε ναύτες επιζούν από ένα ναυάγιο και καταλήγουν σε ένα μικρό νησί. Ο μοναδικός κάτοικος του νησιού είναι ένας πίθηκος και δεν υπάρχει τίποτα για τροφή, εκτός από καρύδες. Οι ναύτες μαζεύουν όλες τις καρύδες του νησιού κάτω από ένα μεγάλο δέντρο, φτιάχνοντας μία μεγάλη στοίβα. Εξαντλημένοι, συμφωνούν να μοιράσουν δίκαια τις καρύδες το επόμενο πρωί.

Στη 1:00 η ώρα τη νύχτα, ο πρώτος ναύτης ξυπνάει και, σκεπτόμενος ότι δεν μπορεί να εμπιστευτεί τους άλλους, αποφασίζει να πάρει το μερίδιό του νωρίτερα. Διαιρεί τις καρύδες σε 5 ίσα ακριβώς μερίδια, αλλά περισσεύει μία καρύδα. Δίνει την καρύδα που περισσεύει στον πίθηκο, ο οποίος την τρώει, οπότε δεν κάνει και φασαρία για να μην ξυπνήσουν οι άλλοι, κρύβει τις καρύδες του μακριά (μία από τις πέντε στοίβες) και βάζει τις υπόλοιπες καρύδες (τις άλλες 4 στοίβες) όλες μαζί σε μια νέα στοίβα κάτω από το δέντρο. Στις 2:00 η ώρα, σηκώνεται ο δεύτερος ναύτης, έχοντας τις ίδιες υποψίες. Μη γνωρίζοντας ότι ο πρώτος ναύτης είχε ήδη πάρει το μερίδιό του, διαιρεί και αυτός τις καρύδες που βρήκε σε πέντε μερίδια και περισσεύει μία καρύδα την οποία δίνει στον πίθηκο. Μετά κρύβει το μερίδιό του μακριά (μία από τις πέντε, νέες πλέον, στοίβες) και βάζει το υπόλοιπο (τις άλλες 4 στοίβες) όλες μαζί κάτω από το δέντρο.

Στις 3:00, 4:00, και 5:00 η ώρα το πρωί, ο τρίτος, τέταρτος και πέμπτος ναύτης αντίστοιχα, σηκώνεται ο καθένας και κάνει τις ίδιες ακριβώς ενέργειες.

Το πρωί όλοι οι ναύτες ξυπνούν και παρατηρούν ότι η στοίβα με τις καρύδες είναι μικρότερη σε σχέση με το προηγούμενο βράδυ, αλλά δεδομένου ότι ο κάθε ναύτης είναι τόσο ένοχος όσο και οι υπόλοιποι, κανένας δεν λέει τίποτα. Έτσι πράττουν όπως είχαν συμφωνήσει: διαιρούν τις καρύδες που έχουν απομείνει πλέον σε πέντε ίσα μερίδια (για έκτη συνεχόμενη φορά) και βρίσκουν ακόμη μια φορά μία καρύδα να περισσεύει, την οποία την κερνούν στον πίθηκο.

 
ΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑ:

Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος από καρύδες που θα μπορούσαν να υπάρχουν στην αρχική στοίβα, ώστε να μπορεί να υλοποιηθεί η παραπάνω διαδικασία;

"Τα τέσσερα χρώματα του καλοκαιριού"

 

Στη δίνη των γεγονότων του ταραγμένου εικοστού αιώνα, τρεις μεγάλοι έρωτες κι ένα "περιθωριακό" μαθηματικό πρόβλημα συνθέτουν τον καμβά του μυθιστορήματος «Τα τέσσερα χρώματα του καλοκαιριού» του Τεύκρου Μιχαηλίδη. Στο κέντρο του κύκλου, που οι ακτίνες του περνούν απ' το Παρίσι, το Γκέτινγκεν και την Αθήνα, βρίσκεται η Σέριφος: η Σέριφος των πρώτων εργατικών κινητοποιήσεων του 1916, η Σέριφος του οικονομικού μαρασμού που ακολούθησε το κλείσιμο των μεταλλείων το 1963, η Σέριφος της άλογης τουριστικής ανάπτυξης που ζούμε σήμερα. Τρεις Σερφιώτισσες, γιαγιά, μάνα και κόρη, ζουν η καθεμιά το δικό της ερωτικό δράμα με φόντο έναν μαθηματικό γρίφο που, αφού επί ένα περίπου αιώνα παίδεψε μερικές από τις λαμπρότερες μαθηματικές ιδιοφυίες, έβαλε, με τη λύση του, μια μικρή βόμβα στον τρόπο που σκεφτόμαστε τα μαθηματικά: πόσο μπορούμε να εμπιστευτούμε μια λύση που βασίζεται σε δεδομένα ηλεκτρονικού υπολογιστή τα οποία δεν μπορούμε να ελέγξουμε; Άραγε στον αιώνα της πληροφορικής "απόδειξη" σημαίνει το ίδιο που σήμαινε και την εποχή του Ευκλείδη; Κι ακόμα, πόσο μπορεί ένα μαθηματικό πρόβλημα να επηρεάσει τις συγκλίνουσες τροχιές μιας γυναίκας κι ενός άντρα που οι καρδιές τους μοιάζουν να έχουν φτιαχτεί για να χτυπούν συντονισμένα;

 

Ο Τεύκρος Μιχαηλίδης, με αφορμή το πρόβλημα των τεσσάρων χρωμάτων, βρίσκει την ευκαιρία να θέσει ένα άλλο πρόβλημα, αυτό της "απόδειξης" στον αιώνα της πληροφορικής. Αδυνατώντας οι μαθηματικοί να δώσουν μόνοι τους τη λύση κατέφυγαν στη βοήθεια του ηλεκτρονικού υπολογιστή. Άραγε n "απόδειξη" μέσω ηλεκτρονικού υπολογιστή έχει την ίδια αξία όπως στην εποχή του Ευκλείδη; Ο αναγνώστης θα μείνει με ένα σοβαρό φιλοσοφικό ερώτημα, αλλά θα έχει απολαύσει ένα ωραίο μυθιστόρημα. 

📚Αν δεν βρίσκετε το βιβλίο από τις εκδόσεις Πόλις, καθώς έχει εξαντληθεί από τον εκδότη, μπορείτε να αναζητήσετε μία νεότερη έκδοση του βιβλίου από τις εκδόσεις Ψυχογιός.