Σάββατο 7 Μαρτίου 2020

Παρεμβαίνοντας δημιουργικά στη Δυσαριθμησία


Πηγή εικόνας


Η σημερινή ανάρτηση απευθύνεται κυρίως σε εκπαιδευτικούς αλλά και γονείς παιδιών που έχουν διαγνωσθεί με δυσαριθμησία. Στο άρθρο που παρατίθεται, διερευνώνται εναλλακτικές μέθοδοι διδασκαλίας των Μαθηματικών σε μαθητές με δυσαριθμησία. Η μάθηση μέσα από το παιχνίδι και διάφορες δημιουργικές δραστηριότητες αποτελεί τον βασικό άξονα των μεθόδων που παρουσιάζονται.





Πέμπτη 5 Μαρτίου 2020

Η μαθηματική εφαρμογή RESOLF (ή πώς να εθίσεις έναν μαθηματικό!)


Την ανακάλυψα στο LinkedIn πριν από ένα μήνα και με ενθουσίασε τόσο, που αμέσως την εγκατέστησα στο κινητό μου. Ο λόγος για τη RESOLF, μια μαθηματική εφαρμογή με κουίζ-ασκήσεις που ανέπτυξαν οι Ολλανδοί διαδικτυακοί φίλοι μου, Rolf Doets και Jeroen Carolus. Σκέφτηκα να τη μοιραστώ μαζί σας, επειδή πιστεύω πως όσοι αγαπούν να εξασκούν το μυαλό τους θα τη βρουν ενδιαφέρουσα...

Διαθέτει κουίζ-ασκήσεις σε διαφορετικά επίπεδα, χρησιμοποιώντας από φυσικούς και θετικούς ρητούς αριθμούς, μέχρι λογάριθμους και μιγαδικούς αριθμούς, και από αλγεβρικές παραστάσεις, μέχρι διανύσματα και συναρτήσεις. Αυτό την κάνει κατάλληλη για όλες τις ηλικίες. Πάρτε μια γεύση από τα κουίζ που θα κληθεί κανείς να επιλύσει:



Για τους μαθητές, που σήμερα ασχολούνται όσο ποτέ άλλοτε με κινητά, tablet και iPad, τέτοιου είδους εκπαιδευτικές εφαρμογές είναι ιδανικές και συστήνω τη RESOLF ανεπιφύλακτα! Είναι διαθέσιμη δωρεάν σε PlayStore και AppStore.

Κυριακή 1 Μαρτίου 2020

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Κώνος


ΚΩΝΟΣ


Τα βιβλία γράφουν...

Ορθός κώνος ή κώνος εκ περιστροφής ή απλώς κώνος λέγεται το στερεό σχήμα που παράγεται από την περιστροφή ενός ορθογωνίου τριγώνου γύρω από μία κάθετη πλευρά του.

Christofer Andrukiewicz (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Lady in a Cone Hat"

Terry Romero Paul (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Melted Coffee Ice Cream" (2018)

Terry Romero Paul (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Cones and More Cones" (2014)

Wayne Thiebaud (γεν. 1920) - "Clown Cones" (2000)

Gerhard Richter (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Kegel (Cone)" (1985)

Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Cone"


ΚΟΛΟΥΡΟΣ ΚΩΝΟΣ


Τα βιβλία γράφουν...

Κόλουρος κώνος λέγεται το στερεό σχήμα που παράγεται από την περιστροφή ενός ορθογωνίου τραπεζίου γύρω από την κάθετη προς τις βάσεις πλευρά του.

Scott Budgell (a.k.a. Jazzberry Blue) (Σύγχρονος graphic artist) - "Conical Frustum"


ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

Τα βιβλία γράφουν...

Κωνική τομή ονομάζεται μια καμπύλη που προκύπτει από την τομή κώνου και επιπέδου, ή ακριβέστερα, από την τομή ενός επιπέδου με δύο ίσες ορθές άπειρες κωνικές επιφάνειες που έχουν κοινό άξονα και συνδέονται στην κορυφή τους. Η θέση του επιπέδου ως προς τον κώνο καθορίζει τη μορφή της κωνικής τομής:

  • Αν το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου, η κωνική τομή είναι ένας κύκλος.
  • Αν το επίπεδο δεν είναι κάθετο στον άξονα του κώνου και τέμνει όλες τις γενέτειρες αυτού, η κλειστή καμπύλη που δημιουργείται είναι μια έλλειψη.
  • Αν το επίπεδο είναι παράλληλο προς μια γενέτειρα του κώνου, η κωνική τομή είναι παραβολή.
  • Αν το επίπεδο δεν είναι κάθετο στον άξονα του κώνου και ούτε παράλληλο προς μια γενέτειρα αυτού, τότε η κωνική τομή είναι υπερβολή.
  • Τέλος, αν το επίπεδο διέρχεται από την κορυφή του κώνου, η τομή λέγεται εκφυλισμένη κωνική τομή και στην περίπτωση αυτή έχουμε ένα σημείο ή ένα ζεύγος ευθειών που διέρχονται από την κορυφή του κώνου.



Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Conic Sections"


Πηγές:

Δευτέρα 24 Φεβρουαρίου 2020

Γρίφος: Χρωματίζοντας ένα κανονικό εξάγωνο


(Πηγή)

Η μικρότερη πλευρά του τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς του κανονικού εξαγώνου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ποιο μέρος του εξαγώνου είναι χρωματισμένο;

Τρίτη 18 Φεβρουαρίου 2020

Εφαρμογές παραγώγισης συναρτήσεων για κινητά!


Οι Νέες Τεχνολογίες είναι αναπόσπαστο κομμάτι της σύγχρονης σχολικής πραγματικότητας και της καθημερινότητας των παιδιών, γενικότερα. Στο πλαίσιο του m-Learning, του εκπαιδευτικού εργαλείου  που προάγει τη μάθηση μέσω κινητών τηλεφώνων, πληθώρα μαθηματικών εφαρμογών είναι διαθέσιμη δωρεάν στο ίντερνετ και, αν χρησιμοποιηθεί σωστά, μπορεί να συνοδεύσει αποτελεσματικά τη διδασκαλία.

Για σήμερα, έχω συγκεντρώσει τις καλύτερες εφαρμογές παραγώγισης συναρτήσεων για συσκευές android και iOS. Θα πρότεινα να τις χρησιμοποιούν οι μαθητές του Λυκείου μόλις διδαχθούν την παράγωγο συνάρτησης, προς επιβεβαίωση των πράξεών τους. Και αυτό για μικρό χρονικό διάστημα, μέχρι να μάθουν να παραγωγίζουν σωστά. 



Μια αρκετά καλή δωρεάν εφαρμογή παραγώγισης συναρτήσεων είναι η "Derivatives". Λειτουργεί σε android κινητά και tablet. Μπορείτε να την κατεβάσετε δωρεάν από εδώ.

Εισάγετε τη συνάρτηση που θέλετε και η εφαρμογή εμφανίζει την παράγωγό της. Το μόνο που χρειάζεται λίγη προσοχή, είναι ο τρόπος γραφής του τύπου μιας συνάρτησης. Παρακάτω έχω παραθέσει μερικά παραδείγματα.



  








Ακόμη καλύτερη εφαρμογή είναι η "Derivatives Calculator", που όμως δεν είναι δωρεάν. Μπορείτε να την κατεβάσετε από εδώ.



Για iPhone και iPad, είναι πολύ εύχρηστη η εφαρμογή "Math Derivatives". Μπορείτε να την κατεβάσετε δωρεάν από εδώ.

Σε αντίθεση με την εφαρμογή "Derivatives" για android, η "Math Derivatives" για συσκευές iOS δεν υποστηρίζει την εισαγωγή οποιασδήποτε συνάρτησης από τον χρήστη. Περιλαμβάνει, όμως, τις παραγώγους όλων των βασικών συναρτήσεων και τους κανόνες παραγώγισης.





Ελπίζω να σας φάνηκε χρήσιμο το άρθρο! Υπάρχουν άλλες σχετικές εφαρμογές που εσείς προτιμάτε περισσότερο ή τις βρίσκετε πιο αποτελεσματικές; Γράψτε τό μου κάτω στα σχόλια!

Παρασκευή 14 Φεβρουαρίου 2020

Ρομαντισμός για... μαθηματικούς...





Ο Ben Orlin, μαθηματικός και σκιτσογράφος, διατηρεί μια απίστευτη αίσθηση του χιούμορ, όπως θα διαπιστώσει κανείς έπειτα από μια επίσκεψη στο blog του "Math with Bad Drawings", ή μια ανάγνωση του ομώνυμου βιβλίου του. Ένεκα της ημέρας... διαβάστε εδώ πώς προτείνει ο Ben Orlin να εκφράσετε τα συναισθήματά σας σε έναν μαθηματικό!!!

Σάββατο 8 Φεβρουαρίου 2020

Μαγικά ή μαθηματικά;


Ένας καθηγητής Μαθηματικών είπε στους μαθητές του:

  • Σκεφτείτε έναν αριθμό.
  • Τώρα διπλασιάστε τον.
  • Στο αποτέλεσμα, να προσθέσετε τον αριθμό 10.
  • Το άθροισμα που βρήκατε να το διαιρέσετε με το 2.
  • Από το πηλίκο, να αφαιρέσετε τον αριθμό που σκεφτήκατε αρχικά.
Κάθε μαθητής πρέπει να έχει βρει αποτέλεσμα τον αριθμό 5, ανεξάρτητα από ποιον αριθμό σκέφτηκε αρχικά.

Ο μαθηματικός δεν διάβαζε το μυαλό των μαθητών του... Πώς εξηγείται όμως το ότι ήξερε το τελικό αποτέλεσμα;



Έστω ότι x είναι ο αριθμός που σκέφτηκε κάποιος μαθητής. 
Τότε, αν τον διπλασιάσει γίνεται 2x. 
Στο αποτέλεσμα προσθέτει το 10 και προκύπτει το 2x + 10. 
Τον αριθμό που βρίσκει τον διαιρεί με το 2, οπότε βρίσκει (2x + 10):2. 
Αφαιρεί τον αριθμό που σκέφτηκε αρχικά και βρίσκει αποτέλεσμα (2x + 10):2 - x. 
O μαθηματικός ισχυρίζεται ότι το αποτέλεσμα πρέπει να είναι ίσο με 5, οπότε προκύπτει η εξίσωση:

(2x + 10):2 - x = 5 ⇔
2x + 10 - 2x = 10 ⇔
2x - 2x = 10 - 10 ⇔
0x = 0

H εξίσωση είναι ταυτότητα, άρα επαληθεύεται για κάθε αριθμό που μπορεί να σκέφτηκαν οι μαθητές.


Δεν είναι μαγικά... είναι απλά μαθηματικά!

Σάββατο 1 Φεβρουαρίου 2020

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Στερεά εκ περιστροφής - Κύλινδρος


Στο πλαίσιο του πρότζεκτ "Τα Μαθηματικά στην Τέχνη" γνωρίσαμε μέσω της τέχνης την πρώτη οικογένεια γεωμετρικών στερεών, που ήταν τα πολύεδρα. Συγκεκριμένα, είδαμε τον κύβο, το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, τις πυραμίδες, τα πρίσματα, τα πλατωνικά στερεά, τα αρχιμήδεια στερεά, διάφορα επιπλέον κυρτά πολύεδρα και τέλος διάφορα μη κυρτά και αστεροειδή πολύεδρα. Τα στερεά εκ περιστροφής είναι η δεύτερη οικογένεια στερεών που θα μάθουμε μέσα από το πρότζεκτ αυτό. 


ΣΤΕΡΕΑ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ


Τα βιβλία γράφουν...

Τα στερεά εκ περιστροφής δημιουργούνται κατά την περιστροφή ενός επίπεδου σχήματος γύρω από άξονα περιστροφής (μια ευθεία) ο οποίος βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με το αρχικό επίπεδο σχήμα.

Όμοια, οι επιφάνειες εκ περιστροφής δημιουργούνται κατά την περιστροφή μιας επίπεδης γραμμής γύρω από άξονα περιστροφής που βρίσκεται στο επίπεδο της γραμμής. Τα σημεία της γραμμής αυτής, που λέγεται γενέτειρα, κατά την περιστροφή γράφουν κύκλους που βρίσκονται σε επίπεδα κάθετα στον άξονα περιστροφής και έχουν τα κέντρα τους στον άξονα αυτό.
Δηλαδή όταν μιλάμε για επιφάνεια εκ περιστροφής, εννοούμε την εξωτερική επιφάνεια του στερεού.

Δείτε εδώ ένα παράδειγμα δημιουργίας στερεού εκ περιστροφής στο Geogebra.

Στα επόμενα θα γνωρίσουμε τα σημαντικότερα στερεά εκ περιστροφής.


ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ

Andy Warhol (1928 - 1987) - "Cambell's Soup Can" (Μέρος της σειράς "Cambell's Soup Cans" από 32 πίνακες του 1962)

Terrie Lombardi (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Mashine Shop in Taos"

Wayne Thiebaud (γεν. 1920) - "Candies" (1966)

Wayne Thiebaud (γεν. 1920)

Wayne Thiebaud (γεν. 1920) - "Two Paint Cans" (1987)

Robbie Allen (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Burning the Midnight Oil" (2017)

Serhiy Naberezhnykh (γεν. 1956) - "Cylinders"

Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Cylinder Equations"

Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Cylinder Equations"

Scott Budgell (a.k.a. Jazzberry Blue) (Σύγχρονος graphic artist) - "Cylinder"


Τα βιβλία γράφουν...

Ορθός κυκλικός κύλινδρος ή κύλινδρος εκ περιστροφής ή απλώς κύλινδρος λέγεται το σχήμα που παράγεται από ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, το οποίο εκτελεί μία πλήρη περιστροφή στο χώρο γύρω από τη μία πλευρά του.


Πηγές:

Δευτέρα 27 Ιανουαρίου 2020

Γρίφος: Χρωματίζοντας ένα τετράγωνο επ' άπειρον...


γρίφος
(Πηγή)

Διαιρούμε ένα τετράγωνο σε τέσσερα ίσα τετράγωνα και χρωματίζουμε το ένα από αυτά. Ένα από τα τρία που δεν χρωματίσαμε το ξαναδιαιρούμε σε τέσσερα ίσα τετράγωνα και χρωματίζουμε το ένα, σύμφωνα με το παραπάνω μοτίβο. 
Αν συνεχίσουμε αυτή τη διαδικασία επ' άπειρον, ποιο μέρος του αρχικού τετραγώνου θα έχει χρωματιστεί τελικά;

Τρίτη 21 Ιανουαρίου 2020

Ο Gowers χρωματίζει αριθμούς...

Ο Timothy Gowers είναι ένας από τους σπουδαιότερους εν ζωή μαθηματικούς, ο οποίος για την έρευνά του που συνέδεσε τη Συναρτησιακή Ανάλυση με τη Συνδυαστική, κέρδισε το 1998 το μετάλιο Fields. Στο βίντεο που ανέβηκε σήμερα στο YouTube από το κανάλι Numberphile, o Gowers εξηγεί το Θεώρημα Van der Waerden από τη Θεωρία Ramsey της Συνδυαστικής, χρωματίζοντας αριθμούς... Αξίζει να το δείτε!



Για οποιουσδήποτε θετικούς ακεραίους r και k υπάρχει θετικός ακέραιος Ν τέτοιος, ώστε αν οι ακέραιοι {1, 2, ... , Ν} χρωματιστούν, ο καθένας με r διαφορετικά χρώματα, τότε θα υπάρχουν τουλάχιστον k ακέραιοι, όροι αριθμητικής προόδου, της οποίας οι όροι είναι του ίδιου χρώματος.
Ο ελάχιστος τέτοιος Ν ονομάζεται αριθμός Van der Waerden.