Τα 7 Προβλήματα της Χιλιετίας!

 

Πέρασαν ήδη 25 χρόνια από τότε που, το 2000, το Ινστιτούτο Clay παρουσίασε τα περίφημα 7 Προβλήματα της Χιλιετίας: επτά μαθηματικά προβλήματα τόσο βαθιά και δύσκολα, ώστε η λύση καθενός συνοδεύεται από έπαθλο 1 εκατομμυρίου δολαρίων.

Στο διάστημα αυτό, γράφτηκε μια μικρή αλλά σημαντική σελίδα στην Ιστορία των Μαθηματικών. Το 2003, ο Ρώσος μαθηματικός Grigori Perelman έδωσε την απόδειξη της Εικασίας του Poincaré, του μοναδικού μέχρι σήμερα προβλήματος της λίστας που έχει λυθεί, αρνούμενος μάλιστα τόσο το χρηματικό έπαθλο όσο και το Μετάλλιο Fields.

Τα υπόλοιπα έξι προβλήματα εξακολουθούν να παραμένουν ανοιχτά εδώ και πάνω από έναν αιώνα. Παρά τις τεράστιες προόδους των τελευταίων δεκαετιών, τις νέες μαθηματικές θεωρίες, την εκρηκτική ανάπτυξη των υπολογιστών και, πιο πρόσφατα, την αξιοποίηση της τεχνητής νοημοσύνης στην έρευνα, κανένα δεν έχει βρει ακόμη οριστική λύση.

Και ίσως αυτό είναι το πιο συναρπαστικό στοιχείο. Τα Προβλήματα της Χιλιετίας δεν αποτελούν απλώς επτά άλυτους γρίφους. Είναι επτά πύλες προς άγνωστες περιοχές των μαθηματικών, που εδώ και δεκαετίες εμπνέουν τους σπουδαιότερους μαθηματικούς του κόσμου και οδηγούν σε νέες ιδέες, ακόμη κι όταν η τελική απάντηση παραμένει άπιαστη.

Ας γνωρίσουμε λοιπόν ένα προς ένα τα Επτά Προβλήματα της Χιλιετίας!

1️⃣ Εικασία του Poincaré: Ποια είναι η μορφή του τρισδιάστατου χώρου;

Η Εικασία του Poincaré, που διατυπώθηκε το 1904 από τον Γάλλο μαθηματικό Henri Poincaré, θεωρήθηκε για περισσότερο από έναν αιώνα ένα από τα σημαντικότερα άλυτα προβλήματα της Τοπολογίας. Η Τοπολογία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που μελετά τα σχήματα όχι ως προς τα μήκη και τις γωνίες τους, αλλά ως προς τις ιδιότητες που παραμένουν αναλλοίωτες όταν τα παραμορφώνουμε χωρίς να τα σκίσουμε ή να τα κολλήσουμε. Ένα από τα βασικά ερωτήματα της τοπολογίας είναι πότε δύο χώροι θεωρούνται ουσιαστικά ίδιοι. Για παράδειγμα, μια σφαίρα μπορεί να παραμορφωθεί σε οποιοδήποτε λείο, κλειστό σχήμα χωρίς τρύπες, αλλά ποτέ σε έναν δακτύλιο, αφού αυτός διαθέτει μια θεμελιώδη «τρύπα».

Φανταστείτε τώρα ότι τεντώνουμε ένα λαστιχάκι γύρω από την επιφάνεια ενός μήλου. Μπορούμε να το μετακινούμε συνεχώς πάνω στην επιφάνεια, χωρίς να το κόψουμε και χωρίς να το αφήσουμε να ξεκολλήσει από αυτήν, μέχρι να συρρικνωθεί τελικά σε ένα και μόνο σημείο. Αν όμως κάνουμε το ίδιο πάνω στην επιφάνεια ενός ντόνατ (ή ενός σωσίβιου), το αποτέλεσμα είναι εντελώς διαφορετικό. Αν το λαστιχάκι αγκαλιάζει την κεντρική τρύπα, δεν υπάρχει τρόπος να συρρικνωθεί σε σημείο χωρίς να κοπεί το ίδιο ή να τρυπηθεί το ντόνατ. Οι μαθηματικοί λένε ότι η επιφάνεια της σφαίρας είναι απλά συνεκτική, ενώ η επιφάνεια του τόρου δεν είναι.

Ο Henri Poincaré γνώριζε ότι αυτή η ιδιότητα χαρακτηρίζει πλήρως τη δισδιάστατη σφαίρα. Το 1904 διατύπωσε το φυσικό επόμενο ερώτημα: ισχύει άραγε το ίδιο και για την τρισδιάστατη σφαίρα; Δηλαδή, αν ένας κλειστός τρισδιάστατος χώρος είναι απλά συνεκτικός, είναι κατ' ανάγκη τοπολογικά ισοδύναμος με την τρισδιάστατη σφαίρα; Η εικασία του Poincaré, λοιπόν, υποστηρίζει ότι κάθε κλειστός, τρισδιάστατος χώρος χωρίς «τρύπες», στον οποίο κάθε κλειστή καμπύλη μπορεί να συρρικνωθεί συνεχώς σε ένα σημείο, είναι τοπολογικά ισοδύναμος με την τρισδιάστατη σφαίρα (\(S^3\), 3-σφαίρα). Αν και η διατύπωσή της είναι σχετικά απλή, η απόδειξή της αποδείχθηκε εξαιρετικά δύσκολη, επειδή οι τρισδιάστατοι χώροι είναι πολύ πιο περίπλοκοι από τις επιφάνειες που μπορούμε να οπτικοποιήσουμε.

Η καθοριστική πρόοδος έγινε τη δεκαετία του 1980 από τον Αμερικανό μαθηματικό Richard Hamilton, ο οποίος εισήγαγε τη ροή Ricci (Ricci flow). Η ιδέα της είναι να αντιμετωπίσει κανείς τη γεωμετρία ενός χώρου σαν να «ρέει» με τον χρόνο, εξομαλύνοντας σταδιακά τις ανωμαλίες του, όπως η θερμότητα εξισορροπεί τις διαφορές θερμοκρασίας πάνω σε ένα σώμα. Το μεγάλο εμπόδιο ήταν ότι κατά τη διάρκεια αυτής της ροής εμφανίζονταν ιδιομορφίες, όπου η μέθοδος κατέρρεε. Το 2002 και το 2003, ο Ρώσος μαθηματικός Grigori Perelman κατάφερε να αναλύσει αυτές τις ιδιομορφίες, να δείξει πώς μπορούν να αντιμετωπιστούν και να ολοκληρώσει το πρόγραμμα που είχε ξεκινήσει ο Hamilton. Έτσι απέδειξε την Εικασία του Poincaré, λύνοντας το μοναδικό μέχρι σήμερα από τα επτά Προβλήματα της Χιλιετίας. Η απόδειξή του επιβεβαιώθηκε από τη μαθηματική κοινότητα λίγα χρόνια αργότερα, ενώ ο ίδιος αρνήθηκε τόσο το Μετάλλιο Fields όσο και το χρηματικό έπαθλο του ενός εκατομμυρίου δολαρίων που είχε θεσπίσει το Ινστιτούτο Clay.

Ο Grigori Perelman

2️⃣ Υπόθεση του Riemann: Υπάρχει συστηματικότητα στην κατανομή των πρώτων αριθμών (παραμένει άλυτη από το 1859)

Η ακολουθία των πρώτων αριθμών αρχίζει με τους 2, 3, 5, 7, 11, 13... Όσο προχωράει κανείς στην ακολουθία, η συχνότητα τους μειώνεται, αλλά η κατανομή τους δεν παύει να παρουσιάζει μια συστηματοποίηση, που είναι γνωστή εδώ και αιώνες. Υπάρχουν, ωστόσο, μικρές παρεκκλίσεις, και το 1859 ο Bernard Riemann υπέθεσε ότι θα μπορούσε να τις περιγράψει επακριβώς, αν κατάφερνε να αποδείξει την ύπαρξη μιας ξεχωριστής ιδιότητας για τις τιμές που μηδενίζουν μια συγκεκριμένη συνάρτηση. Πιο συγκεκριμένα, μια μιγαδική συνάρτηση που λέγεται συνάρτηση ζήτα τουRiemann, ζ(s), ορίζεται για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς που είναι διάφοροι του 1. Η συνάρτηση αυτή μηδενίζεται για όλους τους άρτιους αρνητικούς αριθμούς. Δηλαδή για s=-2, s=-4, s=-6 κλπ. Οι τιμές αυτές μηδενισμού είναι οι τετριμμένες της λύσεις. H υπόθεση του Riemann αφορά τις μη τετριμμένες λύσεις και ισχυρίζεται ότι το πραγματικό μέρος όλων των μη τετριμμένων λύσεων που μηδενίζουν τη συνάρτηση ζήτα είναι το \(\frac{1}{2}\).  Η υπόθεση έχει επαληθευτεί για τις πρώτες 1.500.000.001 λύσεις, αλλά εξακολουθεί να λείπει η τελική απόδειξη.

 

Η Υπόθεση του Riemann έχει γίνει ακόμη και... αντικείμενο χιούμορ! 

3️⃣ Εικασία του Hodge: Μπορούν τα σχήματα να εξηγηθούν γεωμετρικά; (παραμένει άλυτη από τη δεκαετία του 1930)

Τον 20^ο αιώνα οι μαθηματικοί ανακάλυψαν κάποιους δυναμικούς τρόπους για να ερευνήσουν τα σχήματα που είχαν κάποια πολύπλοκα αντικείμενα. Για παράδειγμα, στην τεχνολογία τρισδιάστατων γραφικών χρησιμοποιούνται απλά γεωμετρικά δομικά στοιχεία (κύκλοι, τρίγωνα και τετράγωνα) για να δημιουργηθούν πολύπλοκες γραφικές παραστάσεις. Η βασική ιδέα που είχε τη δεκαετία του 1930 (πολύ πριν εμφανιστούν τα ηλεκτρονικά παιχνίδια) ο Σκωτσέζος μαθηματικός William Hodge, ήταν να αναρωτηθεί μέχρι ποιο σημείο μπορούμε να προσεγγίσουμε το σχήμα ενός δεδομένου αντικειμένου, συγκολλώντας απλά γεωμετρικά δομικά στοιχεία με όλο και μεγαλύτερο μέγεθος. Το ερώτημα, μάλιστα, αυτό τέθηκε όχι μόνο για τον τρισδιάστατο κόσμο, αλλά και για περισσότερες διαστάσεις. Η τεχνική αυτή της συγκόλλησης (ομολογία-homology) αποδείχτηκε μεγάλης χρησιμότητας, ώστε να γενικευτεί κατά πολλούς τρόπους και να μας δώσει προοδευτικά ισχυρά εργαλεία με τα οποία οι μαθηματικοί πέτυχαν την ταξινόμηση των διαφόρων σχημάτων που συναντούσαν κατά τις έρευνές τους. Ατυχώς, οι γεωμετρικές καταβολές αυτής της διαδικασίας έγιναν τελείως δυσδιάκριτες καθώς εξελισσόταν η γενίκευση αυτή. Κατά κάποια έννοια, χρειαζόταν να προσθέσουμε κομμάτια που δεν είχαν καμιά γεωμετρική σημασία. Η διαδικασία αυτή οδήγησε τους μαθηματικούς στην ανάπτυξη ολοένα και πιο αφηρημένων εργαλείων για την ταξινόμηση των σχημάτων. Με τον καιρό, όμως, η άμεση γεωμετρική ερμηνεία αυτών των εργαλείων άρχισε να χάνεται. Έτσι γεννήθηκε το ερώτημα: μήπως πίσω από αυτές τις αφηρημένες μαθηματικές περιγραφές κρύβονται πάντοτε πραγματικά γεωμετρικά αντικείμενα;

Η Εικασία του Hodge αφορά μια ιδιαίτερα σημαντική κατηγορία χώρων της αλγεβρικής γεωμετρίας, τις μιγαδικές προβολικές αλγεβρικές ποικιλίες. (συνομολογία-cohomology). Σε αυτούς τους χώρους οι μαθηματικοί μπορούν να μελετήσουν το σχήμα τους μέσω ορισμένων αφηρημένων αντικειμένων, που ονομάζονται κλάσεις Hodge. Το μεγάλο ερώτημα είναι αν όλες αυτές οι κλάσεις έχουν πραγματική γεωμετρική προέλευση, δηλαδή αν μπορούν να εκφραστούν ως ρητοί γραμμικοί συνδυασμοί αλγεβρικών κύκλων, οι οποίοι είναι γνήσια γεωμετρικά υποσύνολα του χώρου. Αν αυτό ισχύει, τότε κάθε αφηρημένη πληροφορία που περιγράφει η θεωρία θα αντιστοιχεί σε ένα πραγματικό γεωμετρικό αντικείμενο.

4️⃣ P versus NP: Κάθε πρόβλημα που ελέγχεται εύκολα, είναι και εύκολο να λυθεί; (παραμένει άλυτο από το 1971)

Υποθέστε ότι πρέπει να κάνετε μια λίστα για το πώς θα καθίσουν οι καλεσμένοι σε ένα μεγάλο εορταστικό δείπνο. Έχετε 400 άτομα στον κατάλογο σας, αλλά πρέπει να επιλέξετε μόνο 100 από αυτούς, καθώς δεν υπάρχει χώρος για περισσότερους. Επίσης, έχετε άλλη μια λίστα από ζεύγη αυτών των ανθρώπων, κι έτσι κανένα από αυτά τα ζευγάρια δεν πρέπει να εμφανιστεί στον τελικό κατάλογο των καλεσμένων που θα καθίσουν στο τραπέζι.

Το πρόβλημα αυτό είναι ένα παράδειγμα από αυτά που η πληροφορική αποκαλεί ΝΡ προβλήματα. Είναι εύκολο να ελέγξουμε αν μια συγκεκριμένη λίστα 100 ατόμων από τους 400 ικανοποιεί το κριτήριό μας να μην υπάρχουν ασύμβατα μεταξύ τους ζευγάρια στο τραπέζι. Το να δημιουργήσουμε όμως εμείς μια τέτοια λίστα από τους 400 είναι τόσο δύσκολο που μοιάζει να μην  είναι πρακτικά δυνατόν. Μάλιστα, ο αριθμός των εναλλακτικών τρόπων που μπορούμε να πάρουμε 100 καλεσμένους από τους 400 είναι μεγαλύτερος από το σύνολο των ατόμων που υπάρχουν στο σύμπαν, γι’ αυτό και το πρόβλημα δε θα μπορούσε να λυθεί ούτε καν με τη βοήθεια του ισχυρότερου υπερυπολογιστή στον κόσμο.

Μπορεί, όμως, η δυσκολία αυτή να δείχνει απλά ότι προσεγγίζουμε προγραμματιστικά το πρόβλημα με λάθος μέθοδο. Υπάρχει, άραγε, ένας έξυπνος τρόπος να λυθεί το πρόβλημα; Το πρόβλημα αυτού του τύπου, «Ρ versus ΝΡ» όπως λέγεται, εμφανίστηκε τη δεκαετία του 1970.  Οι Stephen Cook και Leonid Levin, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, διατύπωσαν κατά το 1971 αυτό το πρόβλημα, όπου το Ρ σημαίνει εύκολο να βρεθεί λύση και το ΝΡ σημαίνει εύκολο να ελεγχθεί. Γενικά, έχει να κάνει με το αν όντως υπάρχουν προβλήματα τα οποία είναι εύκολο να ελεγχθούν αλλά πρακτικά αδύνατο να λυθούν με άμεσες αλγοριθμικές διαδικασίες.

Για περισσότερο από πενήντα χρόνια, κανείς δεν έχει καταφέρει να αποδείξει αν οι δύο κλάσεις προβλημάτων P και NP είναι ίδιες ή διαφορετικές. Με άλλα λόγια, δεν γνωρίζουμε αν κάθε πρόβλημα του οποίου η λύση μπορεί να επαληθευτεί γρήγορα, μπορεί και να λυθεί εξίσου γρήγορα από έναν κατάλληλο αλγόριθμο.

Το ερώτημα αυτό δεν είναι απλώς θεωρητικό. Πολλά σύγχρονα συστήματα κρυπτογράφησης βασίζονται ακριβώς στην υπόθεση ότι ορισμένα μαθηματικά προβλήματα είναι εξαιρετικά δύσκολο να λυθούν, παρότι είναι εύκολο να ελέγξει κανείς αν μια προτεινόμενη λύση είναι σωστή. Αν αποδεικνυόταν ότι P = NP, τότε θα μπορούσαν να υπάρξουν αποδοτικοί αλγόριθμοι για προβλήματα που σήμερα θεωρούνται πρακτικά άλυτα, με τεράστιες συνέπειες στην κρυπτογραφία, την ασφάλεια των υπολογιστών, τη βελτιστοποίηση, την τεχνητή νοημοσύνη και πολλούς ακόμη τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας. Αντίθετα, αν αποδειχθεί ότι P ≠ NP, θα γνωρίζουμε οριστικά ότι υπάρχουν προβλήματα για τα οποία η εύρεση λύσης είναι εγγενώς πολύ δυσκολότερη από την επαλήθευσή της.

 

5️⃣ Εικασία των Birch και Swinnerton-Dyer: Πόσες ακέραιες λύσεις έχει π.χ. η εξίσωση y² = x² - x + 1; (Παραμένει άλυτη από το 1970)

Οι μαθηματικοί γοητεύονταν πάντα από την εύρεση όλων των λύσεων στο σύνολο των ακεραίων αριθμών, εξισώσεων όπως η παρακάτω  x² + y² = z²,   όπου οι x, y και z είναι ακέραιοι αριθμοί. Μια λύση είναι η τριάδα (x,y,z)=(3,4,5), αφού 3² + 4² = 5². Εδώ και πάνω από 2.000 χρόνια, ο Ευκλείδης βρήκε ένα γενικό τύπο που δίνει όλες τις πιθανές λύσεις (είναι άπειρες), αλλά σε πιο περίπλοκες εξισώσεις η εύρεση όλων των λύσεων είναι πράγμα εξαιρετικά δύσκολο. Στα 1970, ο Yuri V.Matiyasevich έδειξε ότι το 10^ο πρόβλημα του Hilbert είναι αδύνατο. Δηλαδή έδειξε ότι δεν υπάρχει γενική μέθοδος που να μας δείχνει πότε οι εξισώσεις αυτές έχουν λύση στο σύνολο των ακεραίων αριθμών.

Ωστόσο, είναι σημαντικό να μπορεί κανείς να εκτιμήσει αν υπάρχει ένας πεπερασμένος ή άπειρος αριθμός λύσεων με ακέραιους αριθμούς για μια δεδομένη εξίσωση. Ας πάρουμε για παράδειγμα τις λεγόμενες ελλειπτικές καμπύλες. Βασικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι πρόκειται για αλγεβρικές εξισώσεις σαν την παρακάτω  y² = x³ + αx + β, που ορίζουν επιφάνειες στο χώρο με μορφή σαμπρέλας.

Κάθε ελλειπτική καμπύλη είναι στην ουσία μια αβελιανή ομάδα και τα σημεία πάνω σ’ αυτήν με συντεταγμένες ρητούς αριθμούς σχηματίζουν μια υποομάδα. Πότε υπάρχουν άπειρα τέτοια ρητά σημεία; Στα 1965 οι Birch και Swinnerton-Dyer ισχυρίστηκαν ότι υπάρχει ένα κριτήριο που περιλαμβάνει ένα μαθηματικό αντικείμενο που λέγεται L-συνάρτηση της ελλειπτικής καμπύλης.  Η εικασία των  Birch-Swinnerton-Dyer λέει ότι L(1) = 0 αν και μόνο αν η ελλειπτική καμπύλη έχει άπειρα ρητά σημεία. Αν δηλαδή L(1) = 0 τότε υπάρχουν άπειρα ρητά σημεία επί της καμπύλης ή με άλλα λόγια άπειρες λύσεις της παραπάνω εξίσωσης. Ενώ, αντίστροφα, αν L(1) δεν ισούται με μηδέν τότε υπάρχει μόνο πεπερασμένος αριθμός ρητών λύσεων της εξίσωσης.

Αν μπορούσε να αποδειχτεί αυτή η εικασία, θα έριχνε πολύ φως και στη λύση των Διοφαντικών εξισώσεων, μία από τις οποίες ανάγεται στον 10^ο αιώνα μ.Χ. και στην οποία ζητείται να βρεθούν ποιοι ακέραιοι αριθμοί μπορούν να εμφανιστούν ως εμβαδά ορθογωνίων τριγώνων, των οποίων οι πλευρές έχουν ως μήκη ρητούς αριθμούς.

 

6️⃣ Το χάσμα μάζας στη θεωρία Yang-Mills: Γιατί τα σωματίδια έχουν μάζα; (Παραμένει μαθηματικά αναπόδεικτο από το 1954)

Οι νόμοι της κβαντικής φυσικής παίζουν για τον μικρόκοσμο των στοιχειωδών σωματιδίων έναν ρόλο αντίστοιχο με αυτόν που έχουν οι νόμοι του Νεύτωνα για τον μακροσκοπικό κόσμο. Το 1954, οι φυσικοί Chen Ning Yang και Robert Mills ανέπτυξαν μια νέα μαθηματική θεωρία για την περιγραφή των θεμελιωδών αλληλεπιδράσεων της φύσης, αξιοποιώντας έννοιες που προέρχονται από τη γεωμετρία και τη θεωρία συμμετρίας.

Σήμερα, η θεωρία Yang–Mills αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο του Καθιερωμένου Προτύπου της σωματιδιακής φυσικής. Χάρη σε αυτήν περιγράφονται με εξαιρετική ακρίβεια οι ισχυρές, οι ασθενείς και οι ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις, ενώ οι προβλέψεις της έχουν επιβεβαιωθεί επανειλημμένα σε πειράματα υψηλής ακρίβειας. Παρά τη θεαματική αυτή επιτυχία, λείπει ακόμη μια αυστηρή μαθηματική απόδειξη ότι η θεωρία είναι πλήρως συνεπής.

Το Πρόβλημα της Χιλιετίας αφορά τη λεγόμενη ύπαρξη χάσματος μάζας (mass gap). Με απλά λόγια, η θεωρία προβλέπει ότι ακόμη και αν τα θεμελιώδη πεδία ξεκινούν χωρίς μάζα, τα σωματίδια που παρατηρούμε πρέπει να εμφανίζουν μια ελάχιστη, αυστηρά θετική μάζα. Δεν μπορούν δηλαδή να έχουν οποιαδήποτε απειροελάχιστη ενέργεια. Η ιδιότητα αυτή είναι απαραίτητη για να εξηγηθεί η συμπεριφορά των ισχυρών πυρηνικών αλληλεπιδράσεων και συμφωνεί με όλα τα πειραματικά δεδομένα. Ωστόσο, μέχρι σήμερα κανείς δεν έχει καταφέρει να αποδείξει μαθηματικά ότι οι εξισώσεις της θεωρίας Yang–Mills πράγματι οδηγούν αναγκαστικά στην ύπαρξη αυτού του χάσματος μάζας. Η αυστηρή απόδειξη αυτής της ιδιότητας εκκρεμεί ακόμη.

 

7️⃣ Εξισώσεις Navier-Stokes: Μπορούν να περιγραφούν πλήρως τα ρευστά; (παραμένει άλυτη εδώ και 150 χρόνια)

Οι εξισώσεις Navier-Stokes είναι ένα σύνολο εξισώσεων οι οποίες περιγράφουν την κίνηση των ρευστών όπως είναι τα υγρά και τα αέρια. Οι εξισώσεις αυτές μας λένε πως οι μεταβολές στην ορμή ενός απειροστού όγκου του ρευστού είναι απλά το αθροιστικό αποτέλεσμα των δυνάμεων ιξώδους του ρευστού, των μεταβολών της πίεσης, της βαρύτητας και των άλλων δυνάμεων που δρουν εντός του ρευστού. Πρόκειται στην ουσία για εφαρμογή του 2^ου νόμου του Νεύτωνα στα ρευστά. Αφορούν, δηλαδή, τη δυναμική της αλληλεπίδρασης της αδράνειας του ρευστού με τις διάφορες δυνάμεις που δρουν σε μια περιοχή του ρευστού.
Είναι από τα πιο χρήσιμα σύνολα εξισώσεων γιατί εφαρμόζονται σε μοντέλα καιρού, μοντέλα ωκεάνιων ρευμάτων, ροή ρευστών σε σωλήνες, ροή αέρα γύρω από πτέρυγες αεροπλάνων και ανεμογεννητριών, κίνηση άστρων μέσα στο γαλαξία κ.ο.κ.  Σε συνδυασμό, εξάλλου, με τις εξισώσεις Maxwell μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να κάνουμε εξομοιώσεις και να μελετήσουμε μοντέλα μαγνητοϋδροδυναμικής.

Οι εξισώσεις Navier-Stokes είναι διαφορικές εξισώσεις. Σε αντίθεση δηλαδή με τις αλγεβρικές εξισώσεις, δεν μας δείχνουν εκπεφρασμένα μια σχέση μεταξύ των μεγεθών που μας ενδιαφέρουν (π.χ. μεταξύ ταχύτητας και πίεσης) αλλά περιγράφουν σχέσεις μεταξύ των ρυθμών μεταβολής ή μεταξύ των ροών των διαφόρων μεγεθών. Με όρους μαθηματικούς, λέμε ότι οι εξισώσεις αυτές περιέχουν σχέσεις μεταξύ των παραγώγων των διαφόρων μεγεθών. Για παράδειγμα, οι εξισώσεις Navier-Stokes για την πιο απλή περίπτωση ενός ιδανικού ρευστού (χωρίς ιξώδες) μας λέει ότι η επιτάχυνση, δηλαδή η παράγωγος της ταχύτητας, είναι ανάλογη με τη βαθμίδα (δηλ. την παράγωγο ως προς τις 3 χωρικές συντεταγμένες) της εσωτερικής πίεσης του ρευστού.

Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι μόνο οι πιο απλές περιπτώσεις αυτών των εξισώσεων μπορούν να λυθούν μέσα στα πλαίσια του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού και να μας οδηγήσουν σε ακριβείς λύσεις. Οι περιπτώσεις αυτές γενικά περιλαμβάνουν μόνο ροή χωρίς στροβίλους σε μόνιμες καταστάσεις. Δηλαδή καταστάσεις που δεν αλλάζουν με τον χρόνο. Στις καταστάσεις αυτές είτε το ιξώδες του ρευστού είναι πολύ μεγάλο, είτε η ταχύτητα ροής πολύ μικρή.

Για πιο περίπλοκες καταστάσεις, όπως είναι τα παγκόσμια συστήματα καιρού σαν το φαινόμενο El Niño, οι λύσεις των εξισώσεων Navier-Stokes πρέπει να βρεθούν με τη βοήθεια υπολογιστών. Πράγματι, έχει αναπτυχθεί μια ποικιλία υπολογιστικών προγραμμάτων που χρησιμοποιούν αριθμητικές μεθόδους για τη λύση των εξισώσεων Navier-Stokes.  Η προσέγγιση αυτή της αντιμετώπισης του ζητήματος είναι γνωστή ως Υπολογιστική Δυναμική των Ρευστών (CFD). Αν και θεωρητικά η CFD δουλεύει σε κάθε περίπτωση ροής, πολλές συνηθισμένες περιπτώσεις ροής όπως είναι η ροή γύρω από μια πτέρυγα αεροπλάνου, περιέχει τόσο πολλές λεπτομέρειες που κανένα πρόγραμμα υπολογιστή δεν μπορεί να λύσει το πρόβλημα σε λογικό χρονικό διάστημα.

Παρότι οι εξισώσεις Navier–Stokes χρησιμοποιούνται καθημερινά στη μηχανική, τη μετεωρολογία, την αεροναυπηγική και την αστροφυσική, το θεμελιώδες μαθηματικό ερώτημα παραμένει αναπάντητο: αν ξεκινήσουμε από ομαλές αρχικές συνθήκες, οι λύσεις των τρισδιάστατων εξισώσεων θα παραμείνουν πάντοτε ομαλές ή μπορεί κάποια στιγμή να εμφανίσουν μια ιδιομορφία (singularity), όπου ορισμένα φυσικά μεγέθη γίνονται άπειρα;

Τις τελευταίες δεκαετίες έχουν σημειωθεί σημαντικές πρόοδοι. Έχουν αποδειχθεί αποτελέσματα για ειδικές περιπτώσεις, έχουν αναπτυχθεί νέα θεωρητικά εργαλεία και έχουν αποκλειστεί πολλά πιθανά σενάρια εμφάνισης ιδιομορφιών. Ιδιαίτερα σημαντική υπήρξε η συμβολή του Louis Nirenberg, ο οποίος μαζί με τους LuisCaffarelli και Robert Kohn απέδειξε το 1982 ότι, ακόμη και αν υπάρχουν ιδιομορφίες, αυτές είναι εξαιρετικά περιορισμένες και δεν μπορούν να εμφανίζονται αυθαίρετα στον χώρο και στον χρόνο. Η εργασία αυτή θεωρείται ένα από τα σημαντικότερα επιτεύγματα στη θεωρία των εξισώσεων Navier–Stokes και συνέβαλε καθοριστικά στη βράβευση του Nirenberg με το Βραβείο Abel το 2015.

Παρά τις συνεχείς εξελίξεις, το βασικό ερώτημα εξακολουθεί να παραμένει ανοιχτό. Μέχρι σήμερα, κανείς δεν έχει αποδείξει αν οι λύσεις των τρισδιάστατων εξισώσεων Navier–Stokes παραμένουν πάντοτε ομαλές ή αν είναι δυνατόν να εμφανίσουν ιδιομορφίες σε πεπερασμένο χρόνο. Η επίλυση αυτού του προβλήματος εξακολουθεί να αποτελεί ένα από τα έξι εναπομείναντα Προβλήματα της Χιλιετίας και συνοδεύεται από το έπαθλο του ενός εκατομμυρίου δολαρίων του Ινστιτούτου Clay.

Εδώ και περισσότερες από δύο δεκαετίες, τα Προβλήματα της Χιλιετίας εξακολουθούν να προκαλούν τους κορυφαίους μαθηματικούς του κόσμου. Αν και η Εικασία του Poincaré βρήκε τελικά τη λύση της, τα υπόλοιπα έξι προβλήματα παραμένουν ανοιχτά, υπενθυμίζοντάς μας ότι ακόμη και σήμερα υπάρχουν θεμελιώδη ερωτήματα που περιμένουν την απάντησή τους. Ίσως κάποια από αυτές τις απαντήσεις να αλλάξει όχι μόνο τα μαθηματικά, αλλά και τον τρόπο με τον οποίο κατανοούμε τον κόσμο γύρω μας.