Γρίφος: Από την περίμετρο στο εμβαδόν!

Εξισώσεις Navier–Stokes: Πώς η ΤΝ έφτασε στη λύση ενός από τα Προβλήματα της Χιλιετίας

 

Στις 8 Σεπτεμβρίου 2026, η OpenAI ανακοίνωσε μια λύση στο περίφημο πρόβλημα ύπαρξης και ομαλότητας των εξισώσεων Navier–Stokes, ένα από τα επτά Προβλήματα της Χιλιετίας του Clay Mathematics Institute.

Πηγή εικόνας: Wikimedia Commons, C. Fukushima and J. Westerweel, Technical University of Delft, The Netherlands

Για τις εξισώσεις Navier–Stokes και τη σημασία τους έχουμε μιλήσει αναλυτικά εδώ. Το πρόβλημα, σε πολύ συμπυκνωμένη μορφή, ήταν αν μια ομαλή τρισδιάστατη ροή μπορεί να χάσει την ομαλότητά της σε πεπερασμένο χρόνο. Η OpenAI κατασκεύασε μια λύση που αναπτύσσει singularity σε πεπερασμένο χρόνο.

Υπάρχει εδώ μια σημαντική λεπτομέρεια. Η κατασκευή αφορά τις forced Navier–Stokes, δηλαδή επιτρέπεται η παρουσία μιας εξωτερικής δύναμης \(f\). Για κάθε \(\nu >0\) κατασκευάζεται μια δύναμη \(f \in C_c^{\infty} \) λεία και με συμπαγή φορέα στο χώρο και στο χρόνο, καθώς και μια λύση που ξεκινά από ακινησία, \(u(x,0)=0 \), έχει πεπερασμένη κινητική ενέργεια, \( \sup_{0 \leq t <1} \| u(t)\|_{L^2} < \infty\), αλλά ταυτόχρονα \( \limsup_{t \to 1^{-}} \|u(t)\|_{L^{\infty}}=\infty \).

Με άλλα λόγια, η μέγιστη ταχύτητα γίνεται απεριόριστη σε πεπερασμένο χρόνο, ενώ η συνολική ενέργεια παραμένει πεπερασμένη. Η περίπτωση αυτή περιλαμβάνεται στην επίσημη διατύπωση του Προβλήματος της Χιλιετίας.

 

Μια δίνη που καταρρέει σε όλο και μικρότερες κλίμακες

Η βασική κατασκευή είναι μια δίνη συμμετρική ως προς έναν άξονα και η οποία, όσο πλησιάζει ο χρόνος της ανωμαλίας, γίνεται ολοένα στενότερη και περιστρέφεται ολοένα ταχύτερα.

Αν θέσουμε \(\tau = 1-t \), δηλαδή τον χρόνο που απομένει μέχρι το blow-up, τότε στον πυρήνα της δίνης εμφανίζονται διαφορετικές χωρικές κλίμακες:

\( \ell_r \sim \tau^{1/2}, \qquad \ell_z \sim \tau^{1/2-h}\), 

ενώ η χαρακτηριστική ταχύτητα αυξάνεται ως \(U \sim \tau^{-1/2-h}\).

Καθώς λοιπόν ο χρόνος \(\tau\) τείνει στο 0, η ταχύτητα τείνει στο άπειρο. Ταυτόχρονα, όμως, η περιοχή όπου συμβαίνει αυτό συρρικνώνεται τόσο γρήγορα, ώστε η ενέργειά της παραμένει πεπερασμένη και μάλιστα, για κατάλληλα μικρό \(h\), τείνει στο μηδέν.

Έτσι προκύπτει το φαινομενικά παράδοξο: Η μέγιστη ταχύτητα τείνει στο άπειρο, ενώ η ενέργεια του πυρήνα τείνει στο μηδέν. Δεν «εκρήγνυται» λοιπόν η ενέργεια. Αυτό που καταρρέει είναι η ομαλότητα της λύσης, καθώς η κίνηση συγκεντρώνεται σε όλο και μικρότερη περιοχή.

 

Γιατί η εξωτερική δύναμη είναι το δύσκολο σημείο

Θα μπορούσε κάποιος να αναρωτηθεί: αφού επιτρέπεται μια εξωτερική δύναμη \(f\), γιατί να μην επιλέξουμε απλώς μια ταχύτητα \(u\) που γίνεται άπειρη και κατόπιν να ορίσουμε την \(f\) ώστε να ικανοποιείται η εξίσωση;

Το πρόβλημα είναι ότι, αν η επιλεγμένη \(u\) γίνεται singular, συνήθως singular γίνεται και η απαιτούμενη δύναμη. Τότε ουσιαστικά θα είχαμε «κρύψει» την ανωμαλία μέσα στην ίδια την εξωτερική δύναμη.

Εδώ βρίσκεται ένα από τα βασικά τεχνικά επιτεύγματα της απόδειξης: η ταχύτητα απειρίζεται, αλλά η εξωτερική δύναμη παραμένει απολύτως λεία. Για να επιτευχθεί αυτό, η κατασκευή χρησιμοποιεί, μεταξύ άλλων, μικρούς ταλαντωτικούς παλμούς υψηλής συχνότητας. Η ιδέα τους μπορεί να φανεί σε ένα απλό παράδειγμα. Αν \(u_r = a sin (kx) \) και \(u_{\theta}=b sin (kx)\), τότε οι δύο ταλαντώσεις έχουν μηδενικό μέσο όρο, \(\langle u_r \rangle = \langle u_{\theta}\rangle =0\), αλλά το εσωτερικό γινόμενό τους όχι:\(\langle u_r , u_{\theta}\rangle = \frac{ab}{2}\).

Έτσι, μια ταλάντωση μπορεί να έχει μηδενική μέση ταχύτητα και παρ' όλα αυτά να παράγει μη μηδενική μέση ροή ορμής. Η κατασκευή εκμεταλλεύεται αυτή την ιδιότητα για να διορθώνει τους όρους που διαφορετικά θα έκαναν την εξωτερική δύναμη singular.

 

Τι ακριβώς έκανε η Τεχνητή Νοημοσύνη;

Εξίσου ενδιαφέρον με το αποτέλεσμα είναι ο τρόπος με τον οποίο βρέθηκε. Η OpenAI δημιούργησε ένα σύστημα με περίπου 10.000 AI agents, οι οποίοι εργάζονταν παράλληλα πάνω σε διαφορετικές μαθηματικές προσεγγίσεις, αντάλλασσαν ενδιάμεσα αποτελέσματα και αξιοποιούσαν τις πιο υποσχόμενες ιδέες άλλων ομάδων. Προηγήθηκε μάλιστα εργασία σε ένα συγγενικό πρόβλημα για τις εξισώσεις Euler. Ιδέες που προέκυψαν εκεί μεταφέρθηκαν στη συνέχεια στις Navier–Stokes.

Σύμφωνα με την OpenAI, η λύση προέκυψε έπειτα από περίπου 88 ώρες. Στο διάστημα αυτό οι agents αντάλλαξαν περίπου 2,7 εκατομμύρια μηνύματα και παρήγαγαν περίπου 130 δισεκατομμύρια tokens. Ακολούθησε διαδικασία τυπικής επαλήθευσης με το Lean. Το τελικό αποτέλεσμα είναι μια μαθηματική εργασία 166 σελίδων.

Έχει λυθεί οριστικά το πρόβλημα;

Μια απόδειξη τέτοιου μεγέθους και σημασίας δεν γίνεται, φυσικά, αποδεκτή απλώς και μόνο επειδή ανακοινώθηκε από μια μεγάλη εταιρεία. Χρειάζεται να μελετηθεί προσεκτικά, να ελεγχθεί ανεξάρτητα και τελικά να γίνει αποδεκτή από τη μαθηματική κοινότητα.

Η διαδικασία αυτή βρίσκεται ήδη σε εξέλιξη και οι πρώτες αντιδράσεις είναι ιδιαίτερα θετικές. Το Clay Mathematics Institute δεν έχει ακόμη ολοκληρώσει την επίσημη διαδικασία αναγνώρισης της λύσης ούτε έχει απονείμει το προβλεπόμενο έπαθλο του 1 εκατομμυρίου δολαρίων —το οποίο, άλλωστε, η OpenAI έχει δηλώσει ότι δεν προτίθεται να διεκδικήσει. Στις 11 Σεπτεμβρίου, ωστόσο, το Ινστιτούτο ανέφερε ότι το πρόβλημα «φαίνεται ότι έχει επιλυθεί», επισημαίνοντας παράλληλα ότι η αξιολόγηση και η απόδοση της επιστημονικής αναγνώρισης θα γίνουν χωρίς βιασύνη.

Για την ώρα, λοιπόν, βρισκόμαστε μπροστά σε μια πολύ ισχυρή υποψήφια λύση ενός Προβλήματος της Χιλιετίας, η οποία έχει ήδη περάσει σημαντικούς ελέγχους, αλλά αναμένει ακόμη την οριστική αποδοχή της μαθηματικής κοινότητας. Αν αυτή έρθει, οι Navier–Stokes θα γίνουν το δεύτερο από τα επτά Προβλήματα της Χιλιετίας που βρίσκει τη λύση του —και το πρώτο στο οποίο η ΤΝ είχε πρωταγωνιστικό ρόλο.

Bertrand Russell: Ποιος είναι ο σκοπός της εκπαίδευσης;

«Πιστεύω ότι o κύριος στόχος της εκπαίδευσης πρέπει να είναι να ωθεί τους νέους να ερευνούν και να αμφιβάλλουν για όλα τα πράγματα που θεωρούνται γενικώς αποδεκτά. Εκείνο που έχει σημασία είναι η ανεξαρτησία της σκέψης. Το χειρότερο στην εκπαίδευση είναι η απροθυμία των νέων να θέτουν εν αμφιβόλω τις παραδεδεγμένες απόψεις και τους ανθρώπους που κατέχουν την εξουσία. Για να αναφανούν νέες ιδέες, είναι απαραίτητο να ενθαρρύνονται με κάθε τρόπο οι νέοι στο να διαφωνούν ριζικά με τις ηλιθιότητες της εποχής τους. Πολλοί από τους ανθρώπους που θεωρούνται αξιοσέβαστοι και πολλές από τις ιδέες που θεωρούνται θεμελιώδεις αποτελούν φραγμούς στις ανθρώπινες επιτεύξεις. Νομίζω ότι το σημαντικότερο δεν είναι να μαθαίνουμε πολλά πράγματα, όσο το να πιστεύουμε με πάθος ότι έχουμε το δικαίωμα να διαφωνούμε και την υποχρέωση να διατυπώνουμε καινούργιες ιδέες...»

(Bertrand Russell, 1872-1970)

Καλή σχολική χρονιά!

Ας διδάξουμε στα παιδιά, όχι μόνο να λύνουν προβλήματα, αλλά κυρίως να τολμούν να θέτουν νέα ερωτήματα! 

Mary Tsingou Menzel: Η Ελληνίδα μαθηματικός πίσω από ένα από τα πρώτα πειράματα της Ιστορίας των Υπολογιστών

 

Στις 27 Αυγούστου 2026 έφυγε από τη ζωή, σε ηλικία 97 ετών, η Mary Tsingou Menzel, μια μαθηματικός ελληνικής καταγωγής που συνέδεσε το όνομά της με ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα της σύγχρονης μη γραμμικής δυναμικής.

Για πολλές δεκαετίες, όμως, το όνομά της έλειπε από την ίδια την ονομασία του προβλήματος. Ήταν το περίφημο “Fermi–Pasta–Ulam problem”, γνωστό ως “FPU”. Σήμερα όλο και συχνότερα αναφέρεται ως “Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou problem” (FPUT), αποκαθιστώντας έτσι μια μαθηματικό που, ενώ στην αρχική δημοσίευση περιορίστηκε σε μια ευχαριστία, είχε στην  πραγματικότητα ουσιαστικό ρόλο στο ιστορικό υπολογιστικό πείραμα.

Η ιστορία της έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, γιατί μας μεταφέρει σε μια εποχή κατά την οποία οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές άρχιζαν για πρώτη φορά να χρησιμοποιούνται ως εργαλεία μαθηματικού πειραματισμού.

Από τα μαθηματικά στους πρώτους υπολογιστές

Η Mary Tsingou γεννήθηκε το 1928 στο Milwaukee των Ηνωμένων Πολιτειών από Έλληνες γονείς, οι οποίοι μετανάστευσαν στις ΗΠΑ από τη Βουλγαρία. Σπούδασε Μαθηματικά στο University of Wisconsin με αρχικό στόχο να γίνει εκπαιδευτικός. Στις αρχές της δεκαετίας του 1950 άρχισε να εργάζεται στο Los Alamos Scientific Laboratory. Αργότερα παντρεύτηκε τον Joseph Menzel και εξειδικεύτηκε στη FORTRAN, αναπτύσσοντας αλγορίθμους που χρησιμοποιήθηκαν σε προσομοιώσεις των επιπτώσεων των πυρηνικών όπλων, εκρήξεων και ρευστομηχανικής.

Εκείνη την εποχή οι γυναίκες προσλαμβάνονταν ως «ανθρώπινοι υπολογιστές» για να εκτελούν περίπλοκους υπολογισμούς με το χέρι. Πληρώνονταν λιγότερο από τους άνδρες και συνήθως περιορίζονταν στις πιο μονότονες εργασίες. «Ως γυναίκες περίμεναν από εμάς να είμαστε δεύτερης κατηγορίας», είχε πει. «Οι άνδρες έπαιρναν πάντοτε τα πιο ενδιαφέροντα προβλήματα και οι γυναίκες αναλαμβάναμε τις καθημερινές δουλειές, όπως να κρατάμε το μηχάνημα σε λειτουργία».

Ήταν μια εντελώς διαφορετική εποχή για την πληροφορική. Οι υπολογιστές δεν βρίσκονταν φυσικά πάνω σε ένα γραφείο και ο προγραμματισμός δεν είχε σχεδόν καμία σχέση με ό,τι εννοούμε σήμερα με τη λέξη. Οι ερευνητές έπρεπε να μετατρέπουν βήμα προς βήμα τα μαθηματικά ενός προβλήματος σε εντολές που μπορούσε να εκτελέσει η μηχανή.

Στο Los Alamos η Tsingou εργάστηκε με τον MANIAC I (Mathematical Analyzer Numerical Integrator and Automatic Computer), έναν από τους πρώτους ηλεκτρονικούς υπολογιστές που χρησιμοποιήθηκαν συστηματικά για επιστημονικούς υπολογισμούς.

Και εκεί γεννήθηκε ένα ερώτημα που φαινόταν σχετικά απλό: Τι θα συμβεί αν αφήσουμε έναν υπολογιστή να παρακολουθήσει την κίνηση ενός συστήματος που αποτελείται από πολλά σώματα συνδεδεμένα μεταξύ τους;

Η απάντηση αποδείχθηκε πολύ πιο παράξενη από όσο περίμεναν…

Μια σειρά από μάζες και ελατήρια

Ας φανταστούμε μια σειρά από μικρές ίσες μάζες:

●━●━●━●━●━●━●━●

Κάθε μάζα συνδέεται με τις διπλανές της μέσω ενός ελατηρίου. Αν μετακινήσουμε κάποια από τις μάζες από τη θέση ισορροπίας της και την αφήσουμε ελεύθερη, αρχίζει να ταλαντώνεται. Επειδή όμως είναι συνδεδεμένη με τις υπόλοιπες, η κίνησή της επηρεάζει και τις γειτονικές μάζες.

Το αποτέλεσμα είναι ένα σύστημα πολλών συζευγμένων ταλαντωτών. Στην απλούστερη περίπτωση τα ελατήρια ακολουθούν τον νόμο του Hooke:
\(F=-kx\), όπου F είναι η δύναμη και x είναι η μετατόπιση από τη θέση ισορροπίας.

Πρόκειται για μια γραμμική σχέση: αν διπλασιάσουμε τη μετατόπιση, διπλασιάζεται και η δύναμη. Οι Fermi, Pasta και Ulam θέλησαν όμως να μελετήσουν κάτι πιο ενδιαφέρον. Τι θα συνέβαινε αν η δύναμη δεν ήταν απολύτως γραμμική;

Πρόσθεσαν λοιπόν έναν μικρό μη γραμμικό όρο. Σε μία από τις εκδοχές του πειράματος η δύναμη είχε ουσιαστικά τη μορφή: \(F=-kx-\alpha x^2\).

Η αλλαγή μπορεί να φαίνεται μικρή, αλλά στην πραγματικότητα έχει μεγάλες συνέπειες.

Τι περίμεναν να συμβεί;

Ένα σύστημα πολλών ταλαντωτών μπορεί να πάλλεται με διαφορετικούς τρόπους, τους λεγόμενους κανονικούς τρόπους ταλάντωσης. Μπορούμε να φανταστούμε αυτούς τους τρόπους σαν διαφορετικά «μοτίβα» με τα οποία κινείται ολόκληρη η αλυσίδα.

Οι ερευνητές έδωσαν αρχικά σχεδόν όλη την ενέργεια σε έναν μόνο τρόπο ταλάντωσης. Επειδή όμως το σύστημα ήταν μη γραμμικό, περίμεναν ότι η ενέργεια θα άρχιζε σταδιακά να μεταφέρεται στους υπόλοιπους τρόπους.

Μετά από αρκετό χρόνο, σύμφωνα με τη φυσική διαίσθηση της εποχής, η ενέργεια θα έπρεπε να έχει περίπου κατανεμηθεί σε πολλούς διαφορετικούς τρόπους ταλάντωσης. Κάπως σαν να ρίχνουμε μια σταγόνα μελάνι μέσα σε ένα ποτήρι νερό. Στην αρχή το μελάνι βρίσκεται συγκεντρωμένο σε ένα σημείο, ύστερα όμως διαχέεται και τελικά απλώνεται παντού.

Αυτό περίπου περίμεναν να δουν και με την ενέργεια. Ο MANIAC όμως είχε άλλη γνώμη.

Η έκπληξη στην οθόνη του υπολογιστή

Στην αρχή όλα έμοιαζαν να εξελίσσονται όπως αναμενόταν. Η ενέργεια άρχισε πράγματι να εγκαταλείπει τον αρχικό τρόπο ταλάντωσης και να περνά σε άλλους. Ύστερα όμως συνέβη κάτι απροσδόκητο. Αντί να συνεχίσει να διασκορπίζεται μέχρι να κατανεμηθεί περίπου ομοιόμορφα, άρχισε να επιστρέφει. Έπειτα από κάποιο χρονικό διάστημα, μεγάλο μέρος της ενέργειας είχε συγκεντρωθεί ξανά στον αρχικό τρόπο ταλάντωσης. Το σύστημα φαινόταν να θυμάται από πού είχε ξεκινήσει. Και το φαινόμενο επαναλαμβανόταν.

Αυτή η εντυπωσιακή συμπεριφορά ονομάστηκε αργότερα “FPU recurrence”, ενώ πλέον σήμερα συχνότερα “FPUT recurrence”. Σύγχρονες εργασίες εξακολουθούν να μελετούν ακριβώς αυτή την απροσδόκητη επανεμφάνιση καταστάσεων σε μη γραμμικά συστήματα.

Γιατί ήταν τόσο παράξενο;

Η μεγάλη έκπληξη βρισκόταν σε μια φαινομενικά λογική υπόθεση:

"μη γραμμικότητα ⟶ ανάμειξη των κινήσεων ⟶ κατανομή της ενέργειας".

Το πείραμα έδειξε ότι τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά. Η ύπαρξη μη γραμμικότητας από μόνη της δεν αρκεί για να οδηγήσει γρήγορα ένα σύστημα στην αναμενόμενη ισοκατανομή της ενέργειας. Το σύστημα μπορεί να εμφανίζει εξαιρετικά οργανωμένη και σχεδόν περιοδική συμπεριφορά για μεγάλο χρονικό διάστημα.

Αυτό που ξεκίνησε ως ένα αριθμητικό πείραμα σε έναν πρωτόγονο, με τα σημερινά δεδομένα, υπολογιστή άνοιξε έναν ολόκληρο κόσμο ερωτημάτων: Πότε ένα δυναμικό σύστημα γίνεται χαοτικό; Πότε η ενέργεια κατανέμεται στους διαφορετικούς τρόπους κίνησης; Πώς μπορεί ένα μη γραμμικό σύστημα να παρουσιάζει τόσο οργανωμένη συμπεριφορά; Και πόσο καλά μπορούμε τελικά να προβλέψουμε την εξέλιξη ενός πολύπλοκου συστήματος;

Το FPUT έγινε έτσι ένα από τα κλασικά προβλήματα της μη γραμμικής δυναμικής, της στατιστικής μηχανικής και της υπολογιστικής φυσικής. Ακόμη και εβδομήντα χρόνια αργότερα εξακολουθεί να αποτελεί αντικείμενο ερευνητικών εργασιών.

Το διάγραμμα ροής για τον αλγόριθμο της Mary Tsingou. Παρατηρήστε την ημερομηνία της αναφοράς πάνω δεξιά: 20 Μαΐου 1955.

Πού ήταν όμως η Mary Tsingou;

Εδώ βρίσκεται ίσως το πιο ανθρώπινο μέρος της ιστορίας. Το 1955 τα αποτελέσματα παρουσιάστηκαν στην περίφημη αναφορά του Los Alamos: E. Fermi, J. Pasta & S. Ulam, Studies of Nonlinear Problems I, LA-1940. Στην πρώτη σελίδα υπήρχε μια σύντομη αναφορά στη Mary Tsingou, η οποία είχε πραγματοποιήσει τους υπολογισμούς στον MANIAC. Το όνομά της όμως δεν εμφανίστηκε μεταξύ των συγγραφέων.

Έτσι το πρόβλημα πέρασε στην ιστορία ως “Fermi–Pasta–Ulam problem” και για δεκαετίες χιλιάδες επιστημονικές εργασίες αναφέρονταν απλώς στο “FPU problem”. Η Tsingou είχε μείνει, σχεδόν κυριολεκτικά, σε μια υποσημείωση της ιστορίας.

Το 2008 ο Γάλλος φυσικός Thierry Dauxois δημοσίευσε στο Physics Today το άρθρο “Fermi, Pasta, Ulam, and a Mysterious Lady”, αναδεικνύοντας τον ουσιαστικό ρόλο της. Όπως τόνιζε, η Mary Tsingou δεν ήταν απλώς κάποια που πάτησε ένα κουμπί για να «τρέξει» έναν έτοιμο υπολογισμό. Σε μια εποχή όπου ο επιστημονικός προγραμματισμός βρισκόταν ακόμη στα πρώτα του βήματα, ήταν εκείνη που μετέτρεψε το μαθηματικό πρόβλημα σε πρόγραμμα που μπορούσε να εκτελέσει ο MANIAC.

Σταδιακά άρχισε να χρησιμοποιείται όλο και περισσότερο η ονομασία “Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou (FPUT) problem”. Σήμερα η ίδια ονομασία εμφανίζεται κανονικά στη σύγχρονη επιστημονική βιβλιογραφία, ακόμη και σε περιοδικά της AmericanPhysical Society.

Όταν ο υπολογιστής γίνεται εργαστήριο μαθηματικών

Οι Fermi, Pasta, Ulam και Tsingou δεν χρησιμοποίησαν τον υπολογιστή απλώς για να κάνουν γρηγορότερα έναν μεγάλο αριθμό πράξεων. Τον χρησιμοποίησαν για να πειραματιστούν. Έθεσαν ένα μαθηματικό μοντέλο, επέλεξαν αρχικές συνθήκες, άφησαν τη μηχανή να εξελίξει αριθμητικά το σύστημα και παρατήρησαν τι συνέβη.

Και ο υπολογιστής αποκάλυψε κάτι που δεν περίμεναν. Αυτή είναι μια ιδέα που σήμερα θεωρούμε σχεδόν αυτονόητη: ο υπολογιστής μπορεί να λειτουργήσει ως ένα είδος πειραματικού εργαστηρίου για τα μαθηματικά. Μπορούμε να αλλάζουμε παραμέτρους, να εξετάζουμε χιλιάδες περιπτώσεις, να σχεδιάζουμε γραφικές παραστάσεις, να παρακολουθούμε δυναμικά συστήματα και να αναζητούμε μοτίβα που ίσως δεν είχαμε προβλέψει θεωρητικά.

Το πείραμα FPUT βρίσκεται στις απαρχές αυτής της νέας σχέσης ανάμεσα στα μαθηματικά και τον υπολογισμό. Για τον λόγο αυτό θεωρείται ορόσημο στην ιστορία της υπολογιστικής και μη γραμμικής επιστήμης.

Ένα από τα πιο γνωστά προβλήματα της μη γραμμικής επιστήμης μάς δίδαξε ότι ένα σύστημα μπορεί, ύστερα από μια μακρά και πολύπλοκη διαδρομή, να επιστρέψει εκεί από όπου ξεκίνησε. Χρειάστηκε να περάσουν περισσότερα από πενήντα χρόνια για να επιστρέψει εκεί όπου ίσως θα έπρεπε να βρίσκεται εξαρχής: δίπλα στα ονόματα των Fermi, Pasta και Ulam. Και έτσι το γράμμα T στο σημερινό “FPUT problem” αποτέλεσε μια μικρή αποκατάσταση της ιστορίας…

Πηγές:

Athens Voice: Πέθανε στα  97 η Μαίρη Τσίγκου Μένζελ, η ξεχασμένη πρωτοπόρος του Λος Άλαμος

Physics Today: Fermi, Pasta, Ulam and a mysterious lady

Wikipedia|Mary Tsingou

"Ο Σατανάς, ο Cantor και το Άπειρο": Γρίφοι μαθηματικής λογικής!

🧠 Με περισσότερους από 200 γρίφους μαθηματικής λογικής, ο κορυφαίος αριστοτέχνης του είδους, Raymond Smullyan μας προκαλεί να δοκιμάσουμε την οξύνοιά μας!

📚 Οδηγός στις περιπέτειες του βιβλίου «Ο Σατανάς, ο Cantor και το Άπειρο» είναι ο Μάγος, ένας σπεσιαλίστας της λογικής ο οποίος κατοικεί στο Νησί των Ιπποτών και των Απατεώνων και μας μαθαίνει τα τεχνάσματα να ανακαλύπτουμε ποιοι κάτοικοι του νησιού λένε αλήθεια και ποιοι ψέματα. Κατόπιν, μας παίρνει μαζί του στους Τόπους της Λογικής, στον πλανήτη Ογκ, στο Νησί της Μερικής Σιωπής και σε μια χώρα όπου νοήμονα ρομπότ ανακατασκευάζουν θορυβωδώς τον εαυτό τους και άλλα νοήμονα ρομπότ. Έπονται μερικά αινίγματα σχετικά με το περίφημο Θεώρημα του Gödel και κάποια παράδοξα για τις πιθανότητες, την τύχη και το χρόνο. Στη συνέχεια, ο Μάγος μάς ξεναγεί σε ένα ταξίδι στο Άπειρο και μας παρουσιάζει τις νοητικές συλλήψεις του μεγάλου μαθηματικού Georg Cantor. Στο τέλος του ταξιδιού -και του βιβλίου- ο Σατανάς καταστρώνει έναν «διαβολικό» γρίφο, ελπίζοντας ότι έτσι θα εξαπατήσει κάποιον μαθητή του Cantor.

 

🧮 Το βιβλίο φαίνεται από το ξεκίνημά του ότι θα ενθουσιάσει τους αναγνώστες κάθε ηλικίας και ανεξαρτήτως ικανότητας επίλυσης γρίφων, αφού στον πρόλογο της ελληνικής έκδοσης ξεκινά έτσι: «Γεια σας και πάλι! Να ένας μικρός γρίφος για σας. Ας υποθέσουμε πως σας δίνω δύο χαρτονομίσματα των δέκα δολαρίων και ότι συμφωνείτε με το ακόλουθο: Θα κάνω μια δήλωση. Εάν η δήλωση είναι ψευδής, τότε υπόσχεστε να μου επιστρέψετε το ένα χαρτονόμισμα και να κρατήσετε το άλλο. Και αν η δήλωση είναι αληθής, τότε θα κρατήσετε και τα δύο χαρτονομίσματα. Δέχεστε; Φαίνεται να σας συμφέρει, έτσι δεν είναι; Θα πάρετε τουλάχιστον το ένα από τα χαρτονομίσματα, μπορεί και τα δύο! Τι καλύτερο; Λοιπόν, θα δεχόσασταν την προσφορά μου; Η απάντηση είναι "όχι"! Γιατί; Διότι, αν τη δεχόσασταν, θα μπορούσα να κάνω μια δήλωση τέτοια, ώστε ο μόνος τρόπος που θα είχατε για να κρατήσετε το λόγο σας θα ήταν να μου δίνατε οποιοδήποτε ποσό -ένα δισεκατομμύριο δολάρια, ας πούμε! Ποια δήλωση θα μπορούσα να κάνω ώστε να σας εξαναγκάσω να μου δώσετε ένα δισεκατομμύριο δολάρια; Θα σας δώσω την απάντηση αργότερα. (Παρεμπιπτόντως, αυτός είναι ο πιο διαβολεμένος γρίφος που έχω ποτέ επινοήσει!)».

❓ Μπορείτε να λύσετε το γρίφο αυτό; Αν όχι...

δείτε τη λύση εδώ.

Ο Raymond Smullyan γράφει: «Μια τέτοια δήλωση είναι: “Ή θα μου επιστρέψετε ένα από τα δύο χαρτονομίσματα των δέκα δολαρίων, ή θα μου δώσετε ένα δισεκατομμύριο δολάρια”. Αν η δήλωση ήταν ψευδής, θα έπρεπε να μου επιστρέψετε ένα από τα δύο χαρτονομίσματα, όπως συμφωνήσαμε. Αλλά, πράττοντας αυτό, θα καθιστούσατε αληθές το ότι “ή θα μου επιστρέφατε ένα από τα χαρτονομίσματα ή θα μου δίνατε ένα δισεκατομμύριο δολάρια”, οπότε η υπόθεση πως η δήλωση είναι ψευδής καταλήγει σε αντίφαση. Άρα η δήλωση πρέπει να είναι αληθής, οπότε ισχύει αυτό που λέει: Δηλαδή ή μου επιστρέφετε ένα χαρτονόμισμα ή μου δίνετε ένα δισεκατομμύριο δολάρια. Αλλά έχουμε συμφωνήσει ότι, αν η δήλωση είναι αληθής, δεν πρέπει να μου επιστρέψετε κανένα χαρτονόμισμα -πρέπει να τα κρατήσετε και τα δύο! Οπότε δεν έχετε άλλη λύση από το να μου δώσετε ένα δισεκατομμύριο δολάρια. Πονηρό, έτσι;».

 

👉 Δείτε παρακάτω κι άλλους γρίφους του Raymond Smullyan (ελαφρώς διασκευασμένους από εμένα) που δημοσιεύτηκαν στο «εις το άπειρον»:

• Τον θησαυρό ή την τίγρη;
• Πόσο κέρδος;
• Ταΐζοντας 10 κατοικίδια