Ο Ρώσος μαθηματικός που έλυσε ένα πρόβλημα μέσα από τη φυλακή

 

Μπορεί άραγε να γίνει σοβαρή μαθηματική έρευνα μέσα σε μια φυλακή, χωρίς internet, χωρίς πρόσβαση σε επιστημονικά βιβλία και με ελάχιστη δυνατότητα επικοινωνίας με άλλους μαθηματικούς; Θυμόμαστε όλοι τον Αλέξανδρο Γιωτόπουλο, καταδικασμένο ως αρχηγό της «17 Νοέμβρη», που είχε αποκτήσει διδακτορικό στα Μαθηματικά το 2021 ενώ βρισκόταν στη φυλακή. Η πρόσφατη ιστορία του αναρχικού Ρώσου μαθηματικού Azat Miftakhov δείχνει πως η απάντηση μάλλον είναι «ναι».

Πηγή εικόνας: Solidarité FreeAzat

Ο Miftakhov, μαθηματικός και υποψήφιος διδάκτορας του Τμήματος Μηχανικής και Μαθηματικών του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας, βρίσκεται φυλακισμένος στη Ρωσία. Στα τέλη του 2025 ο Γάλλος μαθηματικός Bernard Randé τού έστειλε ένα άλυτο πρόβλημα που σχετιζόταν με την περίφημη εικασία του Chui. Προσπάθησε μάλιστα να διατυπώσει τις μαθηματικές αποδείξεις και τους τύπους με τρόπο που να μπορούν να περάσουν από τη λογοκρισία των φυλακών. Ο Miftakhov εργάστηκε πάνω σε αυτό για περίπου τέσσερις μήνες και τον Μάρτιο του 2026 έστειλε στον Randé τη λύση του, γραμμένη σε χειρόγραφες σελίδες! Μάλιστα, σύμφωνα με τον Randé, ο Ρώσος μαθηματικός δεν περιορίστηκε στην επίλυση του προβλήματος που του είχε τεθεί, αλλά διαπίστωσε ότι η μέθοδός του μπορούσε να οδηγήσει σε ένα γενικότερο αποτέλεσμα.

Ας δούμε, όμως, παρακάτω περί τίνος πρόκειται…

Η εικασία του Chui, που διατυπώθηκε το 1971 από τον μαθηματικό Charles Chui, αφορά την ελαχιστοποίηση της μέσης ισχύος πεδίου ή της νόρμας απλών κλασμάτων στον μοναδιαίο δίσκο. Έστω \(n\) σημεία \(z_1, z_2, \cdots, z_n\) πάνω στον μοναδιαίο κύκλο \(T={z \in \mathbb{C}:\abs{z}=1}\). Εξετάζουμε το ολοκλήρωμα

\[\int_{\mathbb{D}}\left|\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{z-z_k}\right|\,dm(z)\]

όπου \(\mathbb{D}\) είναι ο μοναδιαίος δίσκος. Η ερώτηση είναι: Ποια διάταξη των \(n\) σημείων πάνω στον κύκλο ελαχιστοποιεί αυτή την ποσότητα;

Η εικασία του Chui υποστηρίζει ότι το ελάχιστο επιτυγχάνεται όταν τα σημεία είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα στον κύκλο: \(z_k=e^{2\pi ik/n}\). Με άλλα λόγια, δηλώνει ότι το άθροισμα πυρήνων Cauchy με μοναδιαίους συντελεστές και \(n\) πόλους στον μοναδιαίο κύκλο επιτυγχάνει ελάχιστη νόρμα αν και μόνο αν οι πόλοι ισαπέχουν μεταξύ τους. 

Δηλαδή, αν φανταστούμε τα σημεία ως ίσες σημειακές πηγές πάνω σε έναν κύκλο, η εικασία υποστηρίζει ότι η «πιο ομοιόμορφη» κατανομή τους είναι αυτή που ελαχιστοποιεί ένα συγκεκριμένο μέτρο του συνολικού πεδίου που δημιουργούν.

Η χειρόγραφη λύση του Miftakhov δεν ήταν, φυσικά, έτοιμη για δημοσίευση. Ο Randé συνεργάστηκε με τον Miftakhov για την επεξεργασία της και τη μετατροπή της σε επιστημονικό άρθρο. Το αποτέλεσμα δημοσιεύθηκε τελικά το 2026 στο γαλλικό μαθηματικό περιοδικό RMS, στο τεύχος 136-4, με τίτλο «La conjecture de Chui dans un cadre hilbertien», δηλαδή «Η εικασία του Chui σε ένα πλαίσιο Hilbert».

Η φράση «σε πλαίσιο Hilbert» αναφέρεται στη διατύπωση και μελέτη του προβλήματος μέσα στο πλαίσιο των χώρων Hilbert, οι οποίοι αποτελούν βασικό αντικείμενο της Συναρτησιακής Ανάλυσης. Το πρόβλημα συνδέεται επίσης με τη Μιγαδική Ανάλυση και τη Θεωρία Προσέγγισης.

Η ποσότητα \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{z-z_k}\) είναι ουσιαστικά μια λογαριθμική παράγωγος: αν \(P(z)= \prod_{k=1}^{n}( z-z_k)\), τότε \(\frac{P'(z)}{P(z)}= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{z-z_k}\).

Άρα το πρόβλημα συνδέει τη διάταξη των ριζών ενός πολυωνύμου με το μέγεθος της λογαριθμικής παραγώγου του. Και αυτό εξηγεί γιατί η εικασία του Chui έχει συνδέσεις με τη Θεωρία Προσέγγισης και τη μελέτη ρητών συναρτήσεων.

Εδώ όμως χρειάζεται μια σημαντική διευκρίνιση. Ο Miftakhov δεν έλυσε την αρχική εικασία του Chui. Η εικασία, στην πλήρη γενικότητά της, παραμένει μέχρι σήμερα ανοικτό πρόβλημα. Αυτό που απέδειξε ο Miftakhov ήταν μια τροποποιημένη εκδοχή ενός σχετικού ανοικτού προβλήματος, σε ένα πλαίσιο χώρων Hilbert.

Η ιστορία είναι εντυπωσιακή όχι επειδή ένας φυλακισμένος μαθηματικός «έλυσε» ένα διάσημο άλυτο πρόβλημα, όπως θα μπορούσε να αφήσει να εννοηθεί ένας δημοσιογραφικός τίτλος. Είναι εντυπωσιακή επειδή δείχνει κάτι βαθύτερο: Η μαθηματική σκέψη μπορεί να συνεχίζεται ακόμη και όταν οι συνθήκες εργασίας είναι εξαιρετικά δύσκολες. Τα Μαθηματικά δεν απαιτούν εργαστήριο, ακριβό εξοπλισμό ή υπολογιστές. Μερικές φορές απαιτούν μόνο χαρτί και μολύβι και, πάνω απ’ όλα, την ελευθερία της σκέψης.