Γρίφος: Πανέρια με φρούτα

 

Έχουμε τρία κλειστά πανέρια με μία ετικέτα κρεμασμένη πάνω στο καθένα. Η πρώτη γράφει "ΠΟΡΤΟΚΑΛΙΑ", η δεύτερη γράφει "ΜΑΝΤΑΡΙΝΙΑ" και η τρίτη γράφει "ΠΟΡΤΟΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΜΑΝΤΑΡΙΝΙΑ". Ξέρουμε ότι και οι τρεις ετικέτες είναι τοποθετημένες λάθος. Πως μπορούμε, βγάζοντας ένα φρούτο από ένα μόνο πανέρι και χωρίς να κοιτάξουμε μέσα ή να ψαχουλέψουμε, να βάλουμε τις επιγραφές στη σωστή τους θέση;

Η "Επιπεδοχώρα" στον κινηματογράφο

Από το πειραματικό animation των 60’s στο εκπαιδευτικό animation του 21ου αιώνα

 

Η «Επιπεδοχώρα (Flatland: A Romance of Many Dimensions, 1884)» του Edwin A. Abbott είναι ένα από τα ελάχιστα λογοτεχνικά έργα που κατάφεραν να γεφυρώσουν με τόση επιτυχία τα μαθηματικά, τη φιλοσοφία και την κοινωνική σάτιρα. Δεν είναι τυχαίο ότι, παρά τη δυσκολία του θέματος, το έργο ενέπνευσε και τον κινηματογράφο...

Στη συνέχεια παρουσιάζονται τρεις βασικές animated κινηματογραφικές μεταφορές της «Επιπεδοχώρας», που καλύπτουν σχεδόν μισό αιώνα.

Σκηνή από την ταινία animation Flatland: The Movie (2007)

 

1. Flatland (1965) – Ταινία μικρού μήκους

Πρόκειται για μια πειραματική ταινία κινουμένων σχεδίων μικρού μήκους (περίπου 10–11 λεπτά. Η ταινία αποδίδεται σε δημιουργούς του χώρου του εκπαιδευτικού και καλλιτεχνικού animation της εποχής (John Hubley, Eric Martin) και εντάσσεται στο πνεύμα των οπτικοακουστικών πειραματισμών των ’60s.

Η αφήγηση είναι λιτή και αφαιρετική, με έμφαση:

• στη δισδιάστατη φύση της Επιπεδοχώρας,
• στη δυσκολία των κατοίκων να συλλάβουν την έννοια της τρίτης διάστασης,
• και λιγότερο στην κοινωνική σάτιρα του πρωτότυπου έργου.

Αποτελεί περισσότερο ένα οπτικό φιλοσοφικό σχόλιο παρά μια πλήρη αφήγηση της ιστορίας.

 

2. Flatland: The Movie (2007)

Η ταινία του 2007 είναι η πιο ολοκληρωμένη κινηματογραφική μεταφορά της «Επιπεδοχώρας». Πρόκειται για μεγάλου μήκους animation, σκηνοθετημένο από τον Ladd Ehlinger Jr., με στόχο κυρίως την εκπαιδευτική χρήση.

Η ταινία:

• ακολουθεί πιο πιστά την πλοκή του βιβλίου,
• παρουσιάζει καθαρά την κοινωνική ιεραρχία των σχημάτων,
• δίνει έμφαση στη σύγκρουση ανάμεσα στην εμπειρική γνώση και τη νέα, «αδιανόητη» ιδέα της τρίτης διάστασης.

 

3. Flatland 2: Sphereland (2012)

Η ταινία Flatland 2: Sphereland (2012), επίσης σε σκηνοθεσία του Ladd Ehlinger Jr., βασίζεται στο «Sphereland: A Fantasy About Curved Spaces and an Expanding Universe, (1957)» τη συνέχεια του έργου του Abbott.

Σε αυτήν την εκδοχή:

• η κοινωνική αλληγορία υποχωρεί,
• το βάρος μετατοπίζεται στις ανώτερες διαστάσεις,
• και αναδεικνύεται η δυσκολία κατανόησης αφηρημένων μαθηματικών εννοιών, ακόμη και από εκείνους που έχουν ήδη βιώσει μια «αποκάλυψη».

Η ταινία λειτουργεί περισσότερο ως φιλοσοφικό και μαθηματικό συμπλήρωμα της πρώτης.

 

Διδακτική αξιοποίηση των ταινιών

Οι κινηματογραφικές μεταφορές της «Επιπεδοχώρας» μπορούν, πέρα από ψυχαγωγικούς σκοπούς, να ιδωθούν και ως διδακτικά εργαλεία, που επιτρέπουν στους μαθητές να προσεγγίσουν τα μαθηματικά ως τρόπο σκέψης και όχι μόνο ως σύνολο τύπων. Εκπαιδευτικοί και γονείς μπορούν να τις αξιοποιήσουν με πολλούς τρόπους, ανάλογα με την κρίση τους και, φυσικά, τις ηλικίες των παιδιών:

Εισαγωγή στην έννοια των διαστάσεων

Μαθηματικά και κοινωνία

Γεωμετρία και Bauhaus

Μαθηματικά και Σύγχρονη Τέχνη

 

Γνωρίζετε άλλες ταινίες βασισμένες στην «Επιπεδοχώρα»; Εσείς πώς θα αξιοποιούσατε κάποια από αυτές τις ταινίες (ή το μυθιστόρημα) στη διδασκαλία σας/στη δημιουργική απασχόληση των παιδιών;

 

Γρίφος: Οι μπάλες του μπάσκετ

Ο δάσκαλος της γυμναστικής αγόρασε για το σχολείο μερικές μπάλες ποδοσφαίρου που κόστισαν 120€ και κάποιες μπάλες μπάσκετ που κόστιζαν 20€ η κάθε μία. Το ποσό που έδωσε για αυτή την αγορά θα του επέτρεπε να αγοράσει ακριβώς 11 μπάλες μπάσκετ. 

Πόσες μπάλες μπάσκετ αγόρασε ο γυμναστής;

Πηγή: Κινεζικό σχολικό βιβλίο Μαθηματικών

Lewis Carroll: Η χώρα των θαυμάτων και το φάντασμα του Ευκλείδη

 

14 Ιανουαρίου 1898, φεύγει από τη ζωή ο Charles Lutwidge Dodgson, κατά κόσμον γνωστός ως Lewis Carroll (Λιούις Κάρολ).

Ο Lewis Carroll γεννήθηκε το 1832 στο Cheshire της Αγγλίας και στη διάρκεια της ζωής του απέκτησε τις ιδιότητες του συγγραφέα, του μαθηματικού, του ιερέα και του φωτογράφου. Παγκόσμια φήμη όμως έλαβε χάρη στο βιβλίο του “Οι περιπέτειες της Αλίκης στη χώρα των θαυμάτων”, ένα έργο που έχει διαβαστεί από εκατομμύρια ανθρώπους σε όλο τον κόσμο και μέχρι σήμερα συνεχίζει να γοητεύει αναγνώστες κάθε ηλικίας.

 

 

 

Το συγκεκριμένο βιβλίο εκδόθηκε για πρώτη φορά το 1865 για την εντεκάχρονη Alice Liddel και τις αδελφές της και αποτελεί ένα διανοητικό παιδικό παιχνίδι στο οποίο παραβιάζεται η καθιερωμένη λογική των ενηλίκων, ενώ έρχεται πιο κοντά με τον άλογο τρόπο που συνήθως τα μικρά παιδιά σκέφτονται και επιδρούν. Ο Carroll χρησιμοποιεί, με ένα μοναδικό σύστημα σε όλα τα κεφάλαια του βιβλίου, την αλληγορία, τις γνώσεις του στις θετικές επιστήμες και την μαθηματική λογική, αντεστραμμένες όμως και κυρίως με άφθονο χιούμορ και περιπέτεια.

Άλλα δημοφιλή έργα του θεωρούνται το “Κυνήγι του Φιρχαρία“, ένα ποίημα που δεν αναφέρεται στον παιδικό κόσμο, αλλά αποτελεί περισσότερο μια αλλόκοτη περιπέτεια με αρκετές δόσεις μαύρης ειρωνείας και το “Jabberwocky”, που αποτελεί ένα από τα σημαντικότερα δείγματα της παράδοξης λογοτεχνίας.

Ως μαθηματικός δίδαξε στο Christ College της Οξφόρδης, ενώ ήταν και υπότροφος της Christ Church, με την προϋπόθεση να ακολουθεί πιστά τα θρησκευτικά ήθη του κολεγίου, μεταξύ αυτών και την υποχρέωση να μην παντρευτεί, αν και στην εκκλησιαστική ιεραρχία δεν είχε την ανέλιξη που αναμενόταν.

Δημοσίευσε αρκετά βιβλία μαθηματικών που δεν διαβάστηκαν ιδιαίτερα, αφού δεν θεωρήθηκε ότι είχαν κάποια συμβολή στην ανάπτυξη της μαθηματικής επιστήμης, εκτός από ένα που παρουσιάζει κυρίως ιστορικό ενδιαφέρον.

Πρόκειται για το “Euclid and his modern rivals” που αναφέρεται στα "Στοιχεία" του Ευκλείδη και η πρωτοτυπία του είναι πως έχει γραφεί με την μορφή θεατρικού έργου, περιγράφοντας την εμφάνιση του φαντάσματος του Ευκλείδη στους μαθηματικούς της εποχής του, ενώ αποτελεί και σημείο αναφοράς για τα λογοτεχνικά κείμενα ψυχαγωγικών μαθηματικών.

 

Πηγές: FractalArt-Θανάσης Κοπάδης, Lewis Carroll Society

Ο γρίφος του ταχυδρόμου

 

Ένας ταχυδρόμος πρέπει να παραδώσει γράμματα στις εξής οδούς: Άλγεβρας, Γεωμετρίας και Ανάλυσης. Για την Οδό Άλγεβρας υπάρχουν τριπλάσια γράμματα απ’ όσα για την Οδό Γεωμετρίας. Για την Οδό Ανάλυσης υπάρχουν 5 γράμματα λιγότερα απ’ όσα για την Οδό Άλγεβρας. Συνολικά έχει να παραδώσει 100 γράμματα. Πόσα γράμματα θα παραδώσει σε κάθε οδό;

Μαθηματικός έλυσε το «πρόβλημα της μετακίνησης του καναπέ» από τα «Φιλαράκια»

 

Από την κλασική σκηνή της μετακίνησης του καναπέ στη σειρά "Φιλαράκια", με τον Ρος να φωνάζει "Pivot!"
(Warner Bros. Television)

Το «πρόβλημα της μετακίνησης του καναπέ» (Moving Sofa Problem) είναι ένα κλασικό ανοιχτό πρόβλημα της γεωμετρίας, που διατυπώθηκε το 1966 από τον Leo Moser.

Η διατύπωση του προβλήματος:

Φανταζόμαστε έναν καναπέ (ένα επίπεδο σχήμα στο επίπεδο) που πρέπει να μετακινηθεί:

• μέσα από έναν διάδρομο σχήματος Γ με σταθερό πλάτος 1,
• χωρίς να ανασηκωθεί, να παραμορφωθεί ή να περάσει μέσα από τους τοίχους (επιτρέπεται μόνο μεταφορά και περιστροφή στο επίπεδο).

 

Το ερώτημα είναι:

Ποιο είναι το μέγιστο δυνατό εμβαδόν ενός καναπέ που μπορεί να μετακινηθεί επιτυχώς μέσα από έναν τέτοιο διάδρομο;

Εκτός από τη μαθηματική κοινότητα, το πρόβλημα αυτό έχει βρει θέση και στην ποπ κουλτούρα, χάρη στην γνωστή σκηνή από την κωμική σειρά «Τα φιλαράκια», όπου ο Ρος, η Ρέιτσελ και ο Τσάντλερ πασχίζουν να μεταφέρουν έναν καναπέ από τις σκάλες της πολυκατοικίας τους.

Λύνοντας το πρόβλημα...

Ο 31χρονος μαθηματικός δρ. Baek Jineon, ερευνητής στο Κορεατικό Ινστιτούτο Προηγμένων Σπουδών, έδωσε τα τέλη του 2024 οριστική λύση στο πρόβλημα, δημοσιεύοντας μία εργασία 119 σελίδων στη βάση arXiv και κερδίζοντας παγκόσμια αναγνώριση για μια απόδειξη που επιτεύχθηκε χωρίς τη χρήση υπολογιστών. Πώς ξεκίνησαν όμως οι προσπάθειες επίλυσης του Moving Sofa Problem?

 

Ο «καναπές του Gerver»

Το 1992, ο μαθηματικός Joseph Gerver πρότεινε ένα καμπυλόγραμμο σχήμα, γνωστό ως «καναπές του Gerver», με εμβαδόν περίπου 2.2195 τετραγωνικών μονάδων, ως πιθανή λύση. Ωστόσο, μέχρι πρότινος, κανείς δεν είχε καταφέρει να αποδείξει ότι δεν μπορούσε να υπάρχει κάποιο άλλο σχήμα με μεγαλύτερο εμβαδόν.

Ο "καναπές του Gerver"

Σχετικά πρόσφατα, λοιπόν, και έπειτα από επτά χρόνια συστηματικής εργασίας, ο δρ. Baek απέδειξε ότι ο σχεδιασμός του Gerver είναι πράγματι ο βέλτιστος. Κατέληξε στο συμπέρασμα ότι «δεν μπορεί να υπάρξει καναπές μεγαλύτερος από τον καναπέ του Gerver». Σε αντίθεση με πολλές προηγούμενες προσπάθειες, η δουλειά του βασίστηκε αποκλειστικά στη λογική μαθηματική συλλογιστική και όχι σε εκτεταμένες υπολογιστικές προσομοιώσεις.

 

Η έρευνα συμπεριλήφθηκε από το περιοδικό Scientific American στις «10 κορυφαίες μαθηματικές ανακαλύψεις του 2025».

Το περιοδικό σημείωσε ότι «ενώ πολλοί ερευνητές είχαν στηριχθεί σε μεγάλης κλίμακας προσομοιώσεις υπολογιστών για να προσεγγίσουν το μέγιστο μέγεθος του καναπέ, προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η τελική λύση του Baek Jin Eon δεν εξαρτάται καθόλου από υπολογιστές».

Ο Κορεάτης μαθηματικός δρ. Baek Jineon
(Photo Courtesy of KIAS)

Ο δρ. Baek ξεκίνησε να ασχολείται με το "πρόβλημα μετακίνησης του καναπέ" κατά τη διάρκεια της στρατιωτικής του θητείας και συνέχισε τόσο στις διδακτορικές του σπουδές στις Ηνωμένες Πολιτείες Αμερικής, όσο και αργότερα ως μεταδιδακτορικός ερευνητής στη Νότια Κορέα. Σήμερα συνεχίζει να εργάζεται πάνω σε προβλήματα βελτιστοποίησης και προκλήσεις της συνδυαστικής γεωμετρίας. Παρόλο που ακόμη δεν έχει ολοκληρωθεί η διαδικασία peer review και δεν έχει γίνει επίσημη δημοσίευση σε επιστημονικό περιοδικό, πολλοί μαθηματικοί εκφράζουν ήδη υψηλή εμπιστοσύνη στην ορθότητα του αποτελέσματος…

Καλή χρονιά!

Ευχόμαστε το 2026 να είναι γεμάτο με δημιουργική σκέψη, μαθηματική ομορφιά και ιδέες που μας πάνε ένα βήμα πιο πέρα -ίσως και εις το άπειρον! 

Πηγή εικόνας: Μαθημαγικά 

Πηγή εικόνας: Lisari blogspot 

Πηγή εικόνας: Facebook|Matemáticas 

Δείτε εδώ και εδώ όλες τις ιδιότητες του αριθμού 2026.