1729: Ο αριθμός Hardy-Ramanujan και τα... ταξί!

 

Πόσο «ξεχωριστός» μπορεί να είναι ένας αριθμός; Για τους περισσότερους, το 1729 ίσως μοιάζει με μια χρονολογία. Για όσους, όμως, αγαπούν την ιστορία των μαθηματικών, το 1729 είναι κάτι πολύ περισσότερο: είναι ο πρώτος «αδιάφορος» αριθμός που αποδείχθηκε… καθόλου αδιάφορος!

 

Η ιστορία του αριθμού 1729

Όλα ξεκίνησαν σε μια συνάντηση δύο σπουδαίων μαθηματικών, σε ένα νοσοκομείο στις αρχές του 20^ού αιώνα: του Άγγλου μαθηματικού Godfrey Harold Hardy και του Ινδού μαθηματικού Srinivasa Ramanujan, που θεωρείται ένας από τους πιο ιδιοφυείς μαθηματικούς όλων των εποχών. Συγκεκριμένα, ο Hardy γράφει:

Θυμάμαι μια φορά που πήγαινα να τον επισκεφτώ στο Putney επειδή ήταν άρρωστος. Είχα πάρει ένα ταξί με το νούμερο 1729 και σχολίασα πως ο αριθμός αυτός μου φαινόταν αρκετά βαρετός και πως ήλπιζα αυτό να μην αποτελούσε κάποιον άσχημο οιωνό. "Όχι", μου απάντησε "είναι ένας πολύ ενδιαφέρων αριθμός. Είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα δύο κύβων με δύο διαφορετικούς τρόπους."

 

Και ο Ramanujan είχε δίκιο, αφού:

\(1729=1^3+12^3=9^3+10^3\)

Ο αριθμός 1729 έμεινε από τότε στην ιστορία ως ο αριθμός Hardy-Ramanujan.

 

Οι «αριθμοί ταξί»

Η γενίκευση αυτής της ιδέας οδήγησε στην ιδέα των αριθμών ταξί (ή "taxicab numbers"), από την ιστορία του ταξί του Hardy.  Αυτοί είναι οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως άθροισμα δύο κύβων με περισσότερους από έναν τρόπους.

Ο πρώτος τέτοιος αριθμός είναι ακριβώς το 1729.

Ο επόμενος είναι αρκετά μεγαλύτερος:

\(4104=2^3+16^3=9^3+15^3\)

Το πλήθος αυτών των αριθμών είναι άπειρο.

 

Μαθηματική στάση ζωής

Η ιστορία του 1729 μας θυμίζει ότι ακόμα και ένας «τυχαίος» αριθμός μπορεί να κρύβει κάτι εξαιρετικό. Δεν είναι μόνο ο αριθμός 1729 που αξίζει να τον θυμόμαστε, αλλά και η μαθηματική στάση ζωής του Ramanujan: να βλέπεις το ενδιαφέρον μέσα στο φαινομενικά ασήμαντο!

 

Διαβάστε ακόμα στο «εις το άπειρον»:

• G.H. Hardy, «Η Απολογία ενός Μαθηματικού»
• Robert Kanigel, «Ραμανουτζάν»

Γρίφος: Ξοδεύοντας το χαρτζιλίκι...

Ο Γιάννης επισκέφτηκε το Σάββατο πρωί τη γιαγιά του, η οποία του έδωσε 50€. Έπειτα πήγε στο εμπορικό κέντρο και ξόδεψε κάποια χρήματα. Το βράδυ μέτρησε τα χρήματα που του είχαν μείνει και είδε ότι είχε 37€ λιγότερα από αυτά που είχε το πρωί, πριν επισκεφτεί τη γιαγιά του. Πόσα χρήματα ξόδεψε ο Γιάννης στο εμπορικό κέντρο;

"Ο άνθρωπος των αριθμών"

Ο Φιμπονάτσι και η επανάσταση στην αριθμητική

Ας φανταστούμε μια μέρα σ' έναν κόσμο δίχως καθόλου αριθμούς. Ή, έστω, την αρχή μιας κοινής μέρας: δεν θα 'χαμε ρολόι, ξυπνητήρι, ραδιόφωνο και τηλεόραση, ούτε σκορ στους ποδοσφαιρικούς αγώνες, μετεωρολογικά δελτία, πορτοφόλια ή τραπεζικούς λογαριασμούς. Τι να τα κάναμε, άλλωστε, στο ετοιμόρροπο καλύβι μας; Γιατί, βέβαια, χωρίς στοιχειώδεις αριθμητικούς υπολογισμούς, δεν θα 'χαμε ούτε σύγχρονες κατοικίες... Όμως πώς εξοικειωθήκαμε με τούτες τις αφηρημένες επινοήσεις των προγόνων μας ώστε να αναπτύξουμε τέτοια εξάρτηση απ' αυτές; Το 1202, ο 32χρονος Λεονάρντο από την Πίζα, γνωστός και ως Fibonacci, ολοκλήρωσε το Liber abacci, ένα από τα πιο σημαντικά βιβλία όλων των εποχών, το οποίο εισήγαγε τους ινδοαραβικούς αριθμούς και το ινδοαραβικό αριθμητικό σύστημα στην Ευρώπη. Το «βιβλίο των υπολογισμών» συνέβαλε καθοριστικά στην εκρηκτική ανάπτυξη του εμπορίου, της επιστήμης και της τεχνολογίας στους αιώνες που ακολούθησαν. Ο Λεονάρντο, ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του Μεσαίωνα, έχει θέση δίπλα στον Κοπέρνικο, τον Κέπλερ και τον συμπατριώτη του, Γαλιλαίο. Όμως, ο ίδιος αργότερα ξεχάστηκε και παραμένει μέχρι σήμερα ένα αίνιγμα. Ο Keith Devlin, βραβευμένος εκλαϊκευτής των μαθηματικών, φιλοτεχνεί ένα αριστοτεχνικό ψηφιδωτό του Λεονάρντο, της εποχής του και του πνευματικού κλίματος στο οποίο έζησε. Κι ακόμα, μας λέει γιατί ο αλγόριθμος λέγεται αλγόριθμος και το ψηφίο ψηφίο, θυμίζοντάς μας αλλόκοτα προβλήματα με πτηνά και κουνέλια, τη ρητορική άλγεβρα και -κυρίως!- τα ψυχαγωγικά μαθηματικά. 

Συναρτήσεις της... καρδιάς

Για τη σημερινή μέρα, σχεδιάσαμε με το desmos στην τάξη (με κόκκινο, φυσικά) τη γραφική παράσταση της παρακάτω συνάρτησης:

Πηγή: Facebook | Μαθηματικές Αναζητήσεις 

Οι μαθητές μου, που είχαν κληθεί να βρουν στο ίντερνετ κατάλληλες εξισώσεις ή τύπους συνάρτησης ως άσκηση για το σπίτι, ενθουσιάστηκαν από το αποτέλεσμα! Αναρωτήθηκαν μάλιστα:

Κάθε κατακόρυφη ευθεία την τέμνει πράγματι σε ένα το πολύ σημείο, ώστε να είναι γραφική παράσταση συνάρτησης;

Πού οφείλεται η "ταλάντωση" που κάνει η γραφική παράσταση;

Η συνάρτηση της... καρδιάς.
1ο ΓΕΛ Καλύμνου

Καρδιά που προέκυψε, μετά από δοκιμές, από την ένωση 5 γραφικών παραστάσεων.
1ο ΓΕΛ Καλύμνου

🖥️ Βρείτε εδώ πληροφορίες για την δημιουργία της "συνάρτησης της καρδιάς" στο MATLAB. 

❤️ Δείτε εδώ διάφορες άλλες εξισώσεις που παριστάνουν καρδιές.

Γρίφος: Πανέρια με φρούτα

 

Έχουμε τρία κλειστά πανέρια με μία ετικέτα κρεμασμένη πάνω στο καθένα. Η πρώτη γράφει "ΠΟΡΤΟΚΑΛΙΑ", η δεύτερη γράφει "ΜΑΝΤΑΡΙΝΙΑ" και η τρίτη γράφει "ΠΟΡΤΟΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΜΑΝΤΑΡΙΝΙΑ". Ξέρουμε ότι και οι τρεις ετικέτες είναι τοποθετημένες λάθος. Πως μπορούμε, βγάζοντας ένα φρούτο από ένα μόνο πανέρι και χωρίς να κοιτάξουμε μέσα ή να ψαχουλέψουμε, να βάλουμε τις επιγραφές στη σωστή τους θέση;