Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Κώνος

ΚΩΝΟΣ


Τα βιβλία γράφουν...

Ορθός κώνος ή κώνος εκ περιστροφής ή απλώς κώνος λέγεται το στερεό σχήμα που παράγεται από την περιστροφή ενός ορθογωνίου τριγώνου γύρω από μία κάθετη πλευρά του.

Christofer Andrukiewicz (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Lady in a Cone Hat"

Terry Romero Paul (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Melted Coffee Ice Cream" (2018)

Terry Romero Paul (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Cones and More Cones" (2014)

Wayne Thiebaud (γεν. 1920) - "Clown Cones" (2000)

Gerhard Richter (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Kegel (Cone)" (1985)

Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Cone"

ΚΟΛΟΥΡΟΣ ΚΩΝΟΣ

Τα βιβλία γράφουν...

Κόλουρος κώνος λέγεται το στερεό σχήμα που παράγεται από την περιστροφή ενός ορθογωνίου τραπεζίου γύρω από την κάθετη προς τις βάσεις πλευρά του.

Scott Budgell (a.k.a. Jazzberry Blue) (Σύγχρονος graphic artist) - "Conical Frustum"

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

Τα βιβλία γράφουν...

Κωνική τομή ονομάζεται μια καμπύλη που προκύπτει από την τομή κώνου και επιπέδου, ή ακριβέστερα, από την τομή ενός επιπέδου με δύο ίσες ορθές άπειρες κωνικές επιφάνειες που έχουν κοινό άξονα και συνδέονται στην κορυφή τους. Η θέση του επιπέδου ως προς τον κώνο καθορίζει τη μορφή της κωνικής τομής:

• Αν το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου, η κωνική τομή είναι ένας κύκλος.
• Αν το επίπεδο δεν είναι κάθετο στον άξονα του κώνου και τέμνει όλες τις γενέτειρες αυτού, η κλειστή καμπύλη που δημιουργείται είναι μια έλλειψη.
• Αν το επίπεδο είναι παράλληλο προς μια γενέτειρα του κώνου, η κωνική τομή είναι παραβολή.
• Αν το επίπεδο δεν είναι κάθετο στον άξονα του κώνου και ούτε παράλληλο προς μια γενέτειρα αυτού, τότε η κωνική τομή είναι υπερβολή.
• Τέλος, αν το επίπεδο διέρχεται από την κορυφή του κώνου, η τομή λέγεται εκφυλισμένη κωνική τομή και στην περίπτωση αυτή έχουμε ένα σημείο ή ένα ζεύγος ευθειών που διέρχονται από την κορυφή του κώνου.

Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Conic Sections"

Πηγές:

• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004.
• Apollo Magazine: Geomeytry, Pastries and Paint - An Interview with Wayne Thiebaud
• Art Wanted: Christofer Andrukiewicz
• Jazzberry Blue
• Philipps: Gerhard Richter
• Pixels: Russell Kightley
• Terry Romero Paul
• Wolfram Math World: Cone
• Wolfram Math World: Conical Frustum
• wikipedia.org

Γρίφος: Χρωματίζοντας ένα κανονικό εξάγωνο

(Πηγή)

Η μικρότερη πλευρά του τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς του κανονικού εξαγώνου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ποιο μέρος του εξαγώνου είναι χρωματισμένο;

Εφαρμογές παραγώγισης συναρτήσεων για κινητά!

Οι Νέες Τεχνολογίες είναι αναπόσπαστο κομμάτι της σύγχρονης σχολικής πραγματικότητας και της καθημερινότητας των παιδιών, γενικότερα. Στο πλαίσιο του m-Learning, του εκπαιδευτικού εργαλείου  που προάγει τη μάθηση μέσω κινητών τηλεφώνων, πληθώρα μαθηματικών εφαρμογών είναι διαθέσιμη δωρεάν στο ίντερνετ και, αν χρησιμοποιηθεί σωστά, μπορεί να συνοδεύσει αποτελεσματικά τη διδασκαλία.

Για σήμερα, έχω συγκεντρώσει τις καλύτερες εφαρμογές παραγώγισης συναρτήσεων για συσκευές android και iOS. Θα πρότεινα να τις χρησιμοποιούν οι μαθητές του Λυκείου μόλις διδαχθούν την παράγωγο συνάρτησης, προς επιβεβαίωση των πράξεών τους. Και αυτό για μικρό χρονικό διάστημα, μέχρι να μάθουν να παραγωγίζουν σωστά. 

Μια αρκετά καλή δωρεάν εφαρμογή παραγώγισης συναρτήσεων είναι η "Derivatives". Λειτουργεί σε android κινητά και tablet. Μπορείτε να την κατεβάσετε δωρεάν από εδώ.

Εισάγετε τη συνάρτηση που θέλετε και η εφαρμογή εμφανίζει την παράγωγό της. Το μόνο που χρειάζεται λίγη προσοχή, είναι ο τρόπος γραφής του τύπου μιας συνάρτησης. Παρακάτω έχω παραθέσει μερικά παραδείγματα.

  

Ακόμη καλύτερη εφαρμογή είναι η "Derivatives Calculator", που όμως δεν είναι δωρεάν. Μπορείτε να την κατεβάσετε από εδώ.

Για iPhone και iPad, είναι πολύ εύχρηστη η εφαρμογή "Math Derivatives". Μπορείτε να την κατεβάσετε δωρεάν από εδώ.

Σε αντίθεση με την εφαρμογή "Derivatives" για android, η "Math Derivatives" για συσκευές iOS δεν υποστηρίζει την εισαγωγή οποιασδήποτε συνάρτησης από τον χρήστη. Περιλαμβάνει, όμως, τις παραγώγους όλων των βασικών συναρτήσεων και τους κανόνες παραγώγισης.

Ελπίζω να σας φάνηκε χρήσιμο το άρθρο! Υπάρχουν άλλες σχετικές εφαρμογές που εσείς προτιμάτε περισσότερο ή τις βρίσκετε πιο αποτελεσματικές; Γράψτε τό μου κάτω στα σχόλια!

Ρομαντισμός για... μαθηματικούς...

Ο Ben Orlin, μαθηματικός και σκιτσογράφος, διατηρεί μια απίστευτη αίσθηση του χιούμορ, όπως θα διαπιστώσει κανείς έπειτα από μια επίσκεψη στο blog του "Math with Bad Drawings", ή μια ανάγνωση του ομώνυμου βιβλίου του. Ένεκα της ημέρας... διαβάστε εδώ πώς προτείνει ο Ben Orlin να εκφράσετε τα συναισθήματά σας σε έναν μαθηματικό!!!

Μαγικά ή μαθηματικά;

Ένας καθηγητής Μαθηματικών είπε στους μαθητές του:

• Σκεφτείτε έναν αριθμό.
• Τώρα διπλασιάστε τον.
• Στο αποτέλεσμα, να προσθέσετε τον αριθμό 10.
• Το άθροισμα που βρήκατε να το διαιρέσετε με το 2.
• Από το πηλίκο, να αφαιρέσετε τον αριθμό που σκεφτήκατε αρχικά.

Κάθε μαθητής πρέπει να έχει βρει αποτέλεσμα τον αριθμό 5, ανεξάρτητα από ποιον αριθμό σκέφτηκε αρχικά.

Ο μαθηματικός δεν διάβαζε το μυαλό των μαθητών του... Πώς εξηγείται όμως το ότι ήξερε το τελικό αποτέλεσμα;

Έστω ότι x είναι ο αριθμός που σκέφτηκε κάποιος μαθητής. 

Τότε, αν τον διπλασιάσει γίνεται 2x. 

Στο αποτέλεσμα προσθέτει το 10 και προκύπτει το 2x + 10. 

Τον αριθμό που βρίσκει τον διαιρεί με το 2, οπότε βρίσκει (2x + 10):2. 

Αφαιρεί τον αριθμό που σκέφτηκε αρχικά και βρίσκει αποτέλεσμα (2x + 10):2 - x. 

O μαθηματικός ισχυρίζεται ότι το αποτέλεσμα πρέπει να είναι ίσο με 5, οπότε προκύπτει η εξίσωση:

(2x + 10):2 - x = 5 ⇔

2x + 10 - 2x = 10 ⇔

2x - 2x = 10 - 10 ⇔

0x = 0

H εξίσωση είναι ταυτότητα, άρα επαληθεύεται για κάθε αριθμό που μπορεί να σκέφτηκαν οι μαθητές.

Δεν είναι μαγικά... είναι απλά μαθηματικά!

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Στερεά εκ περιστροφής - Κύλινδρος

Στο πλαίσιο του πρότζεκτ "Τα Μαθηματικά στην Τέχνη" γνωρίσαμε μέσω της τέχνης την πρώτη οικογένεια γεωμετρικών στερεών, που ήταν τα πολύεδρα. Συγκεκριμένα, είδαμε τον κύβο, το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, τις πυραμίδες, τα πρίσματα, τα πλατωνικά στερεά, τα αρχιμήδεια στερεά, διάφορα επιπλέον κυρτά πολύεδρα και τέλος διάφορα μη κυρτά και αστεροειδή πολύεδρα. Τα στερεά εκ περιστροφής είναι η δεύτερη οικογένεια στερεών που θα μάθουμε μέσα από το πρότζεκτ αυτό. 

ΣΤΕΡΕΑ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ

Τα βιβλία γράφουν...

Τα στερεά εκ περιστροφής δημιουργούνται κατά την περιστροφή ενός επίπεδου σχήματος γύρω από άξονα περιστροφής (μια ευθεία) ο οποίος βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με το αρχικό επίπεδο σχήμα.

Όμοια, οι επιφάνειες εκ περιστροφής δημιουργούνται κατά την περιστροφή μιας επίπεδης γραμμής γύρω από άξονα περιστροφής που βρίσκεται στο επίπεδο της γραμμής. Τα σημεία της γραμμής αυτής, που λέγεται γενέτειρα, κατά την περιστροφή γράφουν κύκλους που βρίσκονται σε επίπεδα κάθετα στον άξονα περιστροφής και έχουν τα κέντρα τους στον άξονα αυτό.
Δηλαδή όταν μιλάμε για επιφάνεια εκ περιστροφής, εννοούμε την εξωτερική επιφάνεια του στερεού.

Δείτε εδώ ένα παράδειγμα δημιουργίας στερεού εκ περιστροφής στο Geogebra.

Στα επόμενα θα γνωρίσουμε τα σημαντικότερα στερεά εκ περιστροφής.


ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ

Andy Warhol (1928 - 1987) - "Cambell's Soup Can" (Μέρος της σειράς "Cambell's Soup Cans" από 32 πίνακες του 1962)

Terrie Lombardi (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Mashine Shop in Taos"

Wayne Thiebaud (γεν. 1920) - "Candies" (1966)

Wayne Thiebaud (γεν. 1920)

Wayne Thiebaud (γεν. 1920) - "Two Paint Cans" (1987)

Robbie Allen (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Burning the Midnight Oil" (2017)

Serhiy Naberezhnykh (γεν. 1956) - "Cylinders"

Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Cylinder Equations"

Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Cylinder Equations"

Scott Budgell (a.k.a. Jazzberry Blue) (Σύγχρονος graphic artist) - "Cylinder"

Τα βιβλία γράφουν...

Ορθός κυκλικός κύλινδρος ή κύλινδρος εκ περιστροφής ή απλώς κύλινδρος λέγεται το σχήμα που παράγεται από ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, το οποίο εκτελεί μία πλήρη περιστροφή στο χώρο γύρω από τη μία πλευρά του.

Πηγές:

• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004.
• Apollo Magazine: Geomeytry, Pastries and Paint - An Interview with Wayne Thiebaud
• Artsy
• Jazzberry Blue
• Pixels: Russell Kightley
• Wolfram Math World: Cylinder
• wikipedia.org

Γρίφος: Χρωματίζοντας ένα τετράγωνο επ' άπειρον...

(Πηγή)

Διαιρούμε ένα τετράγωνο σε τέσσερα ίσα τετράγωνα και χρωματίζουμε το ένα από αυτά. Ένα από τα τρία που δεν χρωματίσαμε το ξαναδιαιρούμε σε τέσσερα ίσα τετράγωνα και χρωματίζουμε το ένα, σύμφωνα με το παραπάνω μοτίβο. 

Αν συνεχίσουμε αυτή τη διαδικασία επ' άπειρον, ποιο μέρος του αρχικού τετραγώνου θα έχει χρωματιστεί τελικά;

Ο Gowers χρωματίζει αριθμούς...

Ο Timothy Gowers είναι ένας από τους σπουδαιότερους εν ζωή μαθηματικούς, ο οποίος για την έρευνά του που συνέδεσε τη Συναρτησιακή Ανάλυση με τη Συνδυαστική, κέρδισε το 1998 το μετάλιο Fields. Στο βίντεο που ανέβηκε σήμερα στο YouTube από το κανάλι Numberphile, o Gowers εξηγεί το Θεώρημα Van der Waerden από τη Θεωρία Ramsey της Συνδυαστικής, χρωματίζοντας αριθμούς... Αξίζει να το δείτε!

Το Θεώρημα Van der Waerden

Για οποιουσδήποτε θετικούς ακεραίους r και k υπάρχει θετικός ακέραιος Ν τέτοιος, ώστε αν οι ακέραιοι {1, 2, ... , Ν} χρωματιστούν, ο καθένας με r διαφορετικά χρώματα, τότε θα υπάρχουν τουλάχιστον k ακέραιοι, όροι αριθμητικής προόδου, της οποίας οι όροι είναι του ίδιου χρώματος.
Ο ελάχιστος τέτοιος Ν ονομάζεται αριθμός Van der Waerden.

Κριτήρια Διαιρετότητας για τους αριθμούς από το 1 ως το 18!

Κάθε ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 1.

π.χ. Ο αριθμός 6.254 διαιρείται με το 1.

Ο αριθμός 1.234.567.890 διαιρείται με το 1.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 2:

-Αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8
ή αλλιώς:

-Αν είναι άρτιος αριθμός.

π.χ. Ο αριθμός 5.358 διαιρείται με το 2, αφού τελειώνει σε 8, είναι, δηλαδή άρτιος.

Ο αριθμός 5.357 δεν διαιρείται με το 2, διότι τελειώνει σε 7, είναι, δηλαδή περιττός. 

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 3, αν το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3.

π.χ. Ο αριθμός 8.214 διαιρείται με το 3, αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι:

8 + 2 + 1 + 4 = 15

και το 15 είναι πολλαπλάσιο του 3.

Αλλά ο αριθμός 3.245 δεν διαιρείται με το 3, γιατί:

3 + 2 + 4 + 5 = 14

και το 14 δεν είναι πολλαπλάσιο του 3.

Η ιδιότητα αυτή είναι επαναληπτική, δηλαδή:

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 893.654.676. Το άθροισμα των ψηφίων του είναι:

8 + 9 + 3 + 6 + 5 + 4 + 6 + 7 + 6 = 54

5 + 4 = 9

και το 9 είναι πολλαπλάσιο του 3. Άρα ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 3.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 4, αν τα  τελευταία δύο ψηφία του σχηματίζουν διψήφιο αριθμό που διαιρείται με το 4.

π.χ. Ο αριθμός 46.932 διαιρείται με το 4, 

αφού τα 2 τελευταία ψηφία του είναι το 32, που διαιρείται με το 4.

Αλλά ο αριθμός 9.521 δεν διαιρείται με το 4,

γιατί το 21, που είναι στα 2 τελευταία ψηφία του, δεν διαιρείται με το 4.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 5, αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5.

π.χ. Ο αριθμός 3.470 διαιρείται με το 5, αφού τελειώνει σε 0.
Ο αριθμός 12.965 επίσης διαιρείται με το 5, αφού τελειώνει σε 5.
Αλλά ο 85.457 δεν διαιρείται με το 5, γιατί δεν τελειώνει ούτε σε 0, ούτε σε 5.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 6:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 2 και με το 3.

ή, συνδυάζοντας τα κριτήρια διαιρετότητας του 2 και του 3:

-Αν είναι άρτιος αριθμός και το άθροισμά των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3.

π.χ. Ο αριθμός 5.472 διαιρείται με το 6, γιατί:

-τελειώνει σε 2, δηλαδή είναι άρτιος, άρα διαιρείται με το 2

και

-το άθροισμα των ψηφίων του είναι 5 + 4 + 7 + 2 = 18

και το 18 είναι πολλαπλάσιο του 3, επομένως διαιρείται και με το 3.

Αλλά ο αριθμός 65.385 δεν διαιρείται με το 6, αφού δεν διαιρείται με το 2.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 7:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του. 

2. Αφαιρούμε από τον αριθμό που μένει το διπλάσιο του ψηφίου που έχουμε διαγράψει.

3. Αν ο αριθμός που προκύψει διαιρείται με το 7 (συμπεριλαμβανομένου και του 0), τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 7.
4. Αν δεν μπορούμε να αποφασίσουμε, επαναλαμβάνουμε τα τρία προηγούμενα βήματα μέχρι να καταλήξουμε σε διψήφιο αριθμό, όπου από την προπαίδεια θα ξέρουμε αν είναι ή όχι πολλαπλάσιο του 7.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 5.964.

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού, που είναι το 4 και μένει ο αριθμός 596.

2. Αφαιρούμε από το 596 το διπλάσιο του ψηφίου που διαγράψαμε, δηλαδή το 2 x 4 = 8.

596 - 2*4 = 596 - 8 = 588

Δεν μπορούμε εύκολα να αποφασίσουμε αν το 588 διαιρείται με το 7, οπότε επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 588 και μένει ο αριθμός 58.

2. Αφαιρούμε από το 58 το διπλάσιο του ψηφίου που διαγράψαμε.

58 - 2*8 = 58 - 16 =42

3. To 42 διαιρείται με το 7. Άρα και ο αρχικός αριθμός, 5.964 διαιρείται με το 7.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 8:

-Αν τα τρία τελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 8

ή

-Αν το ψηφίο των εκατοντάδων του είναι άρτιος αριθμός και τα τελευταία 2 ψηφία σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 8

ή
-Αν το ψηφίο των εκατοντάδων του είναι περιττός αριθμός και τα τελευταία 2 ψηφία συν 4
σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 8.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 34.808.
Τα τρία τελευταία ψηφία του δίνουν τον αριθμό 808, που προφανώς διαιρείται με το 8, γιατί 808 = 8*101. Άρα και ο 34.808 διαιρείται με το 8.

Συνήθως, όμως, δεν είναι εύκολο να κρίνουμε αν ένας τριψήφιος είναι πολλαπλάσιο του 8. Οπότε χρησιμοποιούμε τα δύο τελευταία κριτήρια: 

π.χ. Ο αριθμός 472 διαιρείται με το 8, γιατί το ψηφίο των εκατοντάδων (4) είναι άρτιος αριθμός και τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 72, που διαιρείται με το 8.
Ο αριθμός 720 διαιρείται με το 8, διότι το ψηφίο των εκατοντάδων (7) είναι περιττός αριθμός και τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 20, ο οποίος αν αυξηθεί κατά 4, έχουμε 20 + 4 = 24 και το 24 διαιρείται με το 8.
Ενώ για τον αριθμό 84.673 έχουμε: Τα τρία τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 673.
Ελέγχουμε αν ο 673 διαιρείται με το 8.
Το ψηφίο των εκατοντάδων (6) είναι άρτιος αριθμός. Τα δύο τελευταία ψηφία  δίνουν τον αριθμό 73, που δεν διαιρείται με το 8.
Άρα ο 84.673 δεν διαιρείται με το 8.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 9.

π.χ. Ο αριθμός 2.907 διαιρείται με το 9, αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι:
2 + 9 + 0 + 7 = 18
και το 18 είναι πολλαπλάσιο του 9.
Ενώ ο αριθμός 5.109 δεν διαιρείται με το 9, διότι το άθροισμα των ψηφίων του είναι:
5 + 1 + 0 + 9 = 15, που δεν διαιρείται με το 9.

Η ιδιότητα αυτή, εντελώς όμοια με το κριτήριο διαιρετότητας του 3, είναι επαναληπτική.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 10, αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0.

π.χ. Οι αριθμοί 50, 300, 2.580, 6.000, 3.545.710 κλπ διαιρούνται με το 10.

Οι αριθμοί 506, 4.237, 5.921 κλπ δεν διαιρούνται ακριβώς με το 10.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 11:

1. Προσθέτουμε τα ψηφία του αριθμού που είναι στις περιττές θέσεις (1^ο  + 3^ο  + 5^ο  + ... ψηφίο).

2. Στη συνέχεια, προσθέτουμε τα ψηφία του αριθμού που είναι στις άρτιες θέσεις (2^ο  + 4^ο  + 6^ο  + ... ψηφίο).

3. Αφαιρούμε το ένα άθροισμα από το άλλο.

4. Αν η απόλυτη τιμή της διαφοράς των δυο αθροισμάτων είναι πολλαπλάσιο του 11 (συμπεριλαμβανομένου και του 0), τότε ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 11.

π.χ. Έστω ο αριθμός 357.346
1. Προσθέτουμε τα ψηφία που βρίσκονται στις περιττές θέσεις: 3 + 7 + 4 = 14
2. Προσθέτουμε τα ψηφία που βρίσκονται στις άρτιες θέσεις: 5 + 3 + 6 = 14
3. Αφαιρούμε το ένα άθροισμα από το άλλο: 14 - 14 = 0
4. Αφού η διαφορά είναι 0, ο αριθμός 357.346 διαιρείται με το 11.

Έστω ο αριθμός 7.503.617
1. Προσθέτουμε τα ψηφία που βρίσκονται στις περιττές θέσεις: 7 + 0 + 6 + 7 = 20
2. Προσθέτουμε τα ψηφία που βρίσκονται στις άρτιες θέσεις: 5 + 3 + 1 = 9
3. Αφαιρούμε το ένα άθροισμα από το άλλο: 20 - 9 = 11
4. Αφού η διαφορά είναι 11, ο αριθμός 7.503.617 διαιρείται με το 11.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 12:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 3 και με το 4.

ή αλλιώς:

-Αν το άθροισμα όλων των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3 και τα δύο τελευταία του ψηφία σχηματίζουν πολλαπλάσιο του 4.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 660. 

Διαιρείται με το 3, αφού: 6 + 6 + 0 = 12, που είναι πολλαπλάσιο του 3.

Διαιρείται με το 4, αφού τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 60, που διαιρείται με το 4.

Οπότε διαιρείται με το 12. 

Αλλά ο αριθμός 735 δεν διαιρείται με το 12, διότι δεν διαιρείται με το 4. 

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 13: 

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.

2. Από τον αριθμό που προκύπτει αφαιρούμε 9 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Αν το αποτέλεσμα (συμπεριλαμβανομένου του 0) διαιρείται με το 13, τότε και ο αρχικός αριθμός θα διαιρείται με το 13.

4. Αν δεν μπορούμε να αποφασίσουμε, επαναλαμβάνουμε τα τρία προηγούμενα βήματα μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός. 

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 32.435.

1. Διαγράφουμε το τελευταίο του ψηφίο, οπότε μένει ο αριθμός 3.243. 
2. Αφαιρούμε από το 3.243 το 9*5 = 45. Είναι 3.243 - 9*5 = 3.243 - 45 = 3.198
3. Επειδή δεν μπορούμε να κρίνουμε αν ο 3.198 διαιρείται με το 13, επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 3.198 και προκύπτει ο αριθμός 319.
2. Αφαιρούμε: 319 - 9*8 = 319 - 72 = 247.
3. Επειδή δεν μπορούμε να κρίνουμε αν ο 247 διαιρείται με το 13, επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 247 και προκύπτει ο αριθμός 24.
2. Αφαιρούμε: 24 - 9*7 = 24 - 63 = -39.
3. Ο -39, όπως και ο 39, διαιρείται με το 13. Άρα και ο αρχικός αριθμός, 32.435 διαιρείται με το 13.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 14:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 2 και με το 7.

ή αλλιώς:

1. Αν είναι άρτιος αριθμός και 2. ικανοποιεί το κριτήριο διαιρετότητας του 7.

π.χ. Εξετάζουμε αν ο αριθμός 658 διαιρείται με το 14.

1. Διαιρείται με το 2, αφού τελειώνει σε 8.

2. Από το κριτήριο διαιρετότητας του 7, έχουμε: 

65 -2*8 = 65 - 16 = 49, που διαιρείται με το 7

Άρα ο 658 διαιρείται με το 14.

Ενώ για τον αριθμό 97.335 δεν χρειάζεται να ελέγξουμε αν διαιρείται με το 7.
Σίγουρα δεν διαιρείται με το 14, αφού δεν διαιρείται με το 2.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 15:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 3 και με το 5.

ή αλλιώς:

-Αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5 και το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3.

π.χ. Ο αριθμός 9.360 διαιρείται με το 15 διότι:

-Τελειώνει σε 0, οπότε διαιρείται με το 5 και

-Το άθροισμα των ψηφίων του είναι 9 + 3 + 6 + 0 = 18, (=πολλαπλάσιο του 3), επομένως διαιρείται με το 3.

Αλλά: Ο αριθμός 312.672 δεν διαιρείται με το 15, αφού δεν διαιρείται με το 5.

Ο αριθμός 4.780 δεν διαιρείται με το 15, αφού δεν διαιρείται με το 3.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 16:

-Αν ο αριθμός είναι τριψήφιος, τότε:

1. Πολλαπλασιάζουμε το ψηφίο των εκατοντάδων με 4.

2. Προσθέτουμε το αποτέλεσμα στα τελευταία δύο ψηφία.

3. Αν ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται με το 16, τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 16.

-Αν ο αριθμός έχει τουλάχιστον 4 ψηφία, τότε: Ο αριθμός διαιρείται με το 16 αν τα τελευταία τέσσερα ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 16. 

Και πώς θα το ελέγξουμε αυτό;;;

• Αν το ψηφίο των χιλιάδων είναι άρτιος αριθμός, αρκεί να ελέγξουμε αν τα τελευταία 3 ψηφία σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 16.
• Αν το ψηφίο των χιλιάδων είναι περιττός αριθμός, αρκεί να ελέγξουμε αν τα τελευταία 3 ψηφία του συν 8, σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 16.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 4.672. Επειδή είναι τετραψήφιος και το ψηφίο των χιλιάδων είναι άρτιος αριθμός, αρκεί να ελέγξουμε αν τα τρία τελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 16.

Για να ελέγξουμε, τώρα, αν ο αριθμός 672 διαιρείται με το 16, πάμε στο πρώτο κριτήριο:

1. Πολλαπλασιάζουμε  το ψηφίο των εκατοντάδων με 4, άρα 6 * 4 =24.

2. Προσθέτουμε το αποτέλεσμα στα δύο τελευταία ψηφία: 72 + 24 = 96.

3. Διαπιστώνεται εύκολα ότι ο 96 διαιρείται με το 16, άρα και ο 4.672 διαιρείται με το 16.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 53.488. Επειδή είναι πενταψήφιος και το ψηφίο των χιλιάδων είναι περιττός αριθμός, κρατάμε τα τρία τελευταία του ψηφία και προσθέτουμε το 8:

488 + 8 = 496.

Για να ελέγξουμε, τώρα, αν ο 496 διαιρείται με το 16, πάμε στο πρώτο κριτήριο:

1. Πολλαπλασιάζουμε το ψηφίο των εκατοντάδων με 4, άρα 4 * 4 = 16.

2. Προσθέτουμε το αποτέλεσμα στα δύο τελευταία ψηφία: 96 + 16 = 112, που είναι πάλι τριψήφιος, άρα επαναλαμβάνουμε:

1. 4 x 1 = 4

2. 12 + 4 = 16

3. Προκύπτει το 16 που -προφανώς- διαιρείται με το 16. Άρα και ο 53.488 διαιρείται με το 16.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 17:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.

2. Από τον αριθμό που προκύπτει αφαιρούμε 5 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Αν το αποτέλεσμα (συμπεριλαμβανομένου του 0) διαιρείται με το 17, τότε και ο αρχικός αριθμός θα διαιρείται με το 17.

4. Αν δεν μπορούμε να αποφασίσουμε, επαναλαμβάνουμε τα τρία προηγούμενα βήματα μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός. 

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 357. 
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 7 και μένει ο αριθμός 35.
2. Από το 35 αφαιρούμε το πενταπλάσιο του 7:
35 - 5*7 = 35 - 35 = 0
3. To 0 διαιρείται με το 17, άρα και ο 357 διαιρείται με το 17.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 18:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 2 και με το 9.

ή, συνδυάζοντας τα κριτήρια διαιρετότητας του 2 και του 9:

-Αν είναι άρτιος αριθμός και το άθροισμά των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 9.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 450.
-Ο 450 τελειώνει σε 0, οπότε διαιρείται με το 2 και
-Το άθροισμα των ψηφίων του είναι 4 + 5 + 0 = 9, που είναι πολλαπλάσιο του 9, οπότε διαιρείται και με το 9.
Άρα ο 450 διαιρείται με το 18.

Αλλά ο αριθμός 4.329 δεν διαιρείται με το 18, γιατί δεν διαιρείται με το 2.
Ο αριθμός 3.562, αν και άρτιος, δεν μπορεί να διαιρείται με το 18, διότι δεν διαιρείται με το 9.
(Είναι 3 + 5 + 6 + 2 = 16, που δεν είναι πολλαπλάσιο του 9).

Στο επόμενο βίντεο μπορείτε να δείτε τις απλουστευμένες αποδείξεις ορισμένων από τα παραπάνω κριτήρια: