Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Σφαίρα και σφαιρικά πολύεδρα

ΣΦΑΙΡΑ

Τα βιβλία γράφουν...

Σφαίρα είναι το σχήμα που παράγεται από την περιστροφή ενός κύκλου (Ο, ρ) με άξονα περιστροφής μια διάμετρό του.


Τα βιβλία επίσης γράφουν...

Σφαίρα είναι το σύνολο των σημείων Μ του χώρου που απέχουν από ένα σταθερό σημείο Ο σταθερή απόσταση ρ, δηλαδή ισχύει:
ΟΜ = ρ.

Rene Magritte (1898 - 1967)

Rene Magritte (1898 - 1967) - "L'ombre Monumentale" (1932)

Ivan Kliun (1873- 1943) - "Σφαιρική μη αντικειμενική σύνθεση" (1922-25)

A.J. Edwards (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Game Room"

Barbara Fox (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Billiard Balls - Still Life"

Georgi Lechev (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Dialog Between White and Blue" (2011)

Allen Donnelly (Σύγχρονος καλλιτέχνης και συγγραφέας) - "On the beach"

James Pikerton (σύγχρονος ζωγράφος) - "Shadow Spheres" (2015)

James Pikerton (σύγχρονος ζωγράφος) - "Sphere Orb"

James Pikerton (σύγχρονος ζωγράφος) - "Red Sphere"

Katie Morris (Σύγχρονη ζωγράφος και καθηγήτρια καλλιτεχνικών) - "Sports Spheres"
Μέσα από τις καλλιτεχνικές δραστηριότητες στη σχολική τάξη, προσπαθεί να διδάξει στους μαθητές της τα γεωμετρικά σχήματα και τα γεωμετρικά στερεά. 

Katie Morris (Σύγχρονη ζωγράφος και καθηγήτρια καλλιτεχνικών) - "Sports Spheres"

Katie Morris (Σύγχρονη ζωγράφος και καθηγήτρια καλλιτεχνικών) - "Sports Spheres"

Katie Morris (Σύγχρονη ζωγράφος και καθηγήτρια καλλιτεχνικών) - "Sports Spheres"

Katie Morris (Σύγχρονη ζωγράφος και καθηγήτρια καλλιτεχνικών) - "Sports Spheres"

Katie Morris (Σύγχρονη ζωγράφος και καθηγήτρια καλλιτεχνικών) - "Sports Spheres"

Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Sphere Equations"

Τι γίνεται όταν επιτρέψουμε στα πολύεδρα να έχουν καμπυλωτές ακμές και έδρες;


ΣΦΑΙΡΙΚΑ ΠΟΛΥΕΔΡΑ

Τα βιβλία γράφουν...

Η επιφάνεια της σφαίρας μπορεί να χωριστεί με ευθύγραμμα τμήματα σε οριοθετούμενες περιοχές, για να σχηματίσει ένα σφαιρικό πολύεδρο. Μεγάλο μέρος της θεωρίας των συμμετρικών πολυέδρων προκύπτει ευκολότερα με αυτόν τον τρόπο. Τα σφαιρικά πολύεδρα έχουν μια μακρά και αξιοσέβαστη ιστορία. Ο Poinsot, χρησιμοποιώντας σφαιρικά πολύεδρα, ανακάλυψε τα τέσσερα κανονικά αστεροειδή πολύεδρα. Τα πρώτα πολύεδρα που κατασκεύασε ο άνθρωπος ήταν σφαιρικά πολύεδρα σκαλισμένα σε πέτρα.

Paolo Uccello (1397 - 1475) - "Γεωμετρική Σφαίρα"

Martino da Udine (1470 - 1548) - Σπουδή στη Γεωμετρία και στην προοπτική

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Μεταχειρίσου τη φύση μέσω του κυλίνδρου, της σφαίρας και του κώνου, όλα τοποθετημένα με προοπτική, ώστε κάθε πλευρά ενός αντικειμένου ή ενός επιπέδου να κατευθύνεται προς ένα κεντρικό σημείο. Αν μάθουμε να βασίζουμε τη ζωγραφική μας πάνω σ' αυτά τα απλά σχήματα, θα μπορέσουμε να πετύχουμε τα πάντα".
Paul Cezanne (1839 - 1906)

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

Πηγές:

• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Adventures of an art teacher by Katie Morris
• Allen Donnelly
• Fine Art America: James Pikerton
• Pixels: Russell Kightley
• Wolfram Math World: Sphere
• wikipedia.org

Γρίφος: Ο βαρόνος Μινχάουζεν και το κυνήγι της πάπιας

Επί πολλά χρόνια, ο βαρόνος Μινχάουζεν πήγαινε καθημερινά στη λίμνη για να κυνηγήσει πάπιες. Την 1η Αυγούστου του 1896, είπε στον μάγειρά του: "Σήμερα πέτυχα περισσότερες πάπιες απ' ό,τι προχθές, αλλά λιγότερες από όσες την ίδια ημέρα την προηγούμενη εβδομάδα". Επί πόσες μέρες μπορεί να ισχυρίζεται ο βαρόνος αυτό το πράγμα; 

(Σημειώστε ότι εδώ ο βαρόνος Μινχάουζεν δε λέει ψέματα!!!)

Ο Αρκάς και η τιμή του... π

Πώς οι τυχαίοι περίπατοι χάρισαν σε δύο μαθηματικούς το "Βραβείο Άμπελ" για το 2020

Δύο πρωτοπόροι μαθηματικοί, ο Hilel Furstenberg και ο Gregory Margulis, μοιράζονται το φετινό Βραβείο Άμπελ. Το βραβείο αυτό, που φέρει το όνομα του σπουδαίου Νορβηγού μαθηματικού Niels Henrik Abel (1802-1829), καθιερώθηκε το 2003 και απονέμεται κάθε χρόνο από τη Νορβηγική Ακαδημία Επιστημών και Γραμμάτων.

Ο Hilel Furstenberg  (γεν. 1935) διατέλεσε καθηγητής του Εβραϊκού Πανεπιστημίου της Ιερουσαλήμ ως το 2003 και ο Gregory Margulis (γεν. 1946) είναι καθηγητής στο Πανεπιστήμιο Yale των Η.Π.Α.

Ο Hilel Furstenberg αριστερά και ο Gregory Margulis δεξιά.

Οι δύο μαθηματικοί, χωρίς ποτέ να συνεργαστούν επίσημα -εργάστηκαν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον- άρχισαν από το 1963 να εφαρμόζουν με καινοτόμους τρόπους, μεθόδους από τη Θεωρία Πιθανοτήτων και τα Δυναμικά Συστήματα στη Θεωρία Ομάδων, τη Θεωρία Αριθμών και τη Συνδυαστική. Συγκεκριμένα, ένας κεντρικός κλάδος της Θεωρίας Πιθανοτήτων είναι η μελέτη των τυχαίων περιπάτων, όπως η διαδρομή που παίρνει ένας τουρίστας που εξερευνά μια άγνωστη πόλη, στρίβοντας ένα νόμισμα προκειμένου να αποφασίσει αν θα στρίψει αριστερά ή δεξιά σε κάθε σταυροδρόμι.  Οι Furstenberg και Margulis επινόησαν παρόμοιες τεχνικές τυχαίων περιπάτων, για να εξερευνήσουν τη δομή των γραμμικών ομάδων, όπως είναι για παράδειγμα οι ομάδες πινάκων, δηλαδή σύνολα πινάκων κλειστών κάτω από κάποια πράξη. Παίρνοντας γινόμενα από τυχαία επιλεγμένους πίνακες, κανείς προσπαθεί να περιγράψει πώς το αποτέλεσμα μεγαλώνει και τι φανερώνει η αύξηση αυτή για τη δομή της ομάδας.

Οι Furstenberg και Margulis εισήγαγαν δυναμικές ιδέες, έλυσαν τρομερά προβλήματα και ανακάλυψαν εκπληκτικές συνδέσεις μεταξύ της Θεωρίας Ομάδων, της Θεωρίας Πιθανοτήτων, της Θεωρίας Αριθμών, της Θεωρίας Γραφημάτων και της Συνδυαστικής. Η δουλειά τους δημιούργησε μια σχολή σκέψης, που είχε βαθύ αντίκτυπο σε πολλές περιοχές των Μαθηματικών, αλλά και των εφαρμογών τους.

Οι Hilel Furstenberg και Gregory Margulis, μαζί με το βραβείο θα μοιραστούν και 7,5 εκατομμύρια νορβηγικές κορώνες (περίπου 600.000€). Εξαιτίας της πανδημίας του κορονοϊού, η τελετή απονομής του βραβείου που θα γινόταν στο Όσλο τον Ιούνιο ματαιώνεται και η Νορβηγική Ακαδημία Επιστημών και Γραμμάτων θα βραβεύσει τους δύο μαθηματικούς του χρόνου, στην τελετή απονομής των βραβείων του 2021 .

Πηγές:
Abelprize.no
New Scientist

Η ζωή σου στα ψηφία του... π!

14/3 ή σύμφωνα με το δυτικό τρόπο γραφής: 3/14

Παγκόσμια ημέρα του αριθμού π=3,14... σήμερα. Το π είναι ο λόγος της περιφέρειας του κύκλου προς τη διάμετρό του και είναι άρρητος αριθμός, δηλαδή δεν μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα με αριθμητή και παρονομαστή ακέραιους αριθμούς. Όπως και σε κάθε άρρητο αριθμό, τα δεκαδικά ψηφία του π είναι άπειρα και κατανεμημένα χωρίς φανερό τρόπο, δεν είναι δηλαδή περιοδικός αριθμός. Το γεγονός αυτό έχει πολλές ενδιαφέρουσες φιλοσοφικές... συνέπειες. Στο παρακάτω ευφυές βίντεο που δημοσίευσε ο Nathan Shields, βλέπουμε πώς κάθε αριθμός που θεωρείται σημαντικός στη ζωή σου, μπορεί να εντοπιστεί στα ψηφία του π! Τυχαίο;

Αμφιβάλλεις ακόμη; Βρες όποιον αριθμό θέλεις μέσα στα ψηφία του π, πατώντας εδώ...

Τα μαθηματικά και ο... κορωνοϊός!

Στο παρακάτω βίντεο που δημοσιεύτηκε στο YouTube από το κανάλι 3Blue1Brown, εξηγείται με πολύ κατανοητό τρόπο η εξάπλωση του νέου κορωνοϊού COVID-19 μέσω της εκθετικής συνάρτησης, της γραμμικής παλινδρόμησης και της λογιστικής (σιγμοειδούς) καμπύλης και αναλύεται πώς οι παράγοντες που επηρεάζουν την εξάπλωσή του τελικά μειώνονται.

Κλείνοντας, ο αφηγητής, έπειτα από τους μαθηματικούς υπολογισμούς συμπεραίνει: "Εάν οι άνθρωποι είναι ανήσυχοι όσο χρειάζεται, τότε θα είναι και λιγότεροι οι λόγοι ανησυχίας".

Γρίφος: Ο χειρουργός που έκανε... οικονομία!

Όταν ένας χειρουργός κάνει εγχείρηση, πρέπει να προστατεύει τον ασθενή του, καθώς και τον εαυτό του, από μολύνσεις. Τα αποστειρωμένα γάντια έχουν ακριβώς τους δύο αυτούς στόχους.

Πρόβλημα:

Μπορεί ένας χειρουργός με μόνο 2 ζεύγη χειρουργικών γαντιών να εγχειρήσει 3 διαφορετικούς ασθενείς με πλήρη ασφάλεια;

(Πηγή: Paul Halmos (2012). Προβλήματα για μαθηματικούς, μικρούς & μεγάλους. Εκδόσεις: Ευρύαλος Απόλλων, Τρίκαλα)

Παρεμβαίνοντας δημιουργικά στη Δυσαριθμησία

Πηγή εικόνας

Η σημερινή ανάρτηση απευθύνεται κυρίως σε εκπαιδευτικούς αλλά και γονείς παιδιών που έχουν διαγνωσθεί με δυσαριθμησία. Στο άρθρο που παρατίθεται, διερευνώνται εναλλακτικές μέθοδοι διδασκαλίας των Μαθηματικών σε μαθητές με δυσαριθμησία. Η μάθηση μέσα από το παιχνίδι και διάφορες δημιουργικές δραστηριότητες αποτελεί τον βασικό άξονα των μεθόδων που παρουσιάζονται.

https://docs.google.com/document/d/e/2PACX-1vRZD1RjHRGCANzeroCwY21OHTd6T2Goixwq9SoqJlS52PaKT9mvvPY_Kz57PemQ7FIg-J3fUDXk0A8q/pub

Η μαθηματική εφαρμογή RESOLF (ή πώς να εθίσεις έναν μαθηματικό!)

Την ανακάλυψα στο LinkedIn πριν από ένα μήνα και με ενθουσίασε τόσο, που αμέσως την εγκατέστησα στο κινητό μου. Ο λόγος για τη RESOLF, μια μαθηματική εφαρμογή με κουίζ-ασκήσεις που ανέπτυξαν οι Ολλανδοί διαδικτυακοί φίλοι μου, Rolf Doets και Jeroen Carolus. Σκέφτηκα να τη μοιραστώ μαζί σας, επειδή πιστεύω πως όσοι αγαπούν να εξασκούν το μυαλό τους θα τη βρουν ενδιαφέρουσα...

Διαθέτει κουίζ-ασκήσεις σε διαφορετικά επίπεδα, χρησιμοποιώντας από φυσικούς και θετικούς ρητούς αριθμούς, μέχρι λογάριθμους και μιγαδικούς αριθμούς, και από αλγεβρικές παραστάσεις, μέχρι διανύσματα και συναρτήσεις. Αυτό την κάνει κατάλληλη για όλες τις ηλικίες. Πάρτε μια γεύση από τα κουίζ που θα κληθεί κανείς να επιλύσει:

Για τους μαθητές, που σήμερα ασχολούνται όσο ποτέ άλλοτε με κινητά, tablet και iPad, τέτοιου είδους εκπαιδευτικές εφαρμογές είναι ιδανικές και συστήνω τη RESOLF ανεπιφύλακτα! Είναι διαθέσιμη δωρεάν σε PlayStore και AppStore.

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Κώνος

ΚΩΝΟΣ


Τα βιβλία γράφουν...

Ορθός κώνος ή κώνος εκ περιστροφής ή απλώς κώνος λέγεται το στερεό σχήμα που παράγεται από την περιστροφή ενός ορθογωνίου τριγώνου γύρω από μία κάθετη πλευρά του.

Christofer Andrukiewicz (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Lady in a Cone Hat"

Terry Romero Paul (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Melted Coffee Ice Cream" (2018)

Terry Romero Paul (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Cones and More Cones" (2014)

Wayne Thiebaud (γεν. 1920) - "Clown Cones" (2000)

Gerhard Richter (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Kegel (Cone)" (1985)

Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Cone"

ΚΟΛΟΥΡΟΣ ΚΩΝΟΣ

Τα βιβλία γράφουν...

Κόλουρος κώνος λέγεται το στερεό σχήμα που παράγεται από την περιστροφή ενός ορθογωνίου τραπεζίου γύρω από την κάθετη προς τις βάσεις πλευρά του.

Scott Budgell (a.k.a. Jazzberry Blue) (Σύγχρονος graphic artist) - "Conical Frustum"

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

Τα βιβλία γράφουν...

Κωνική τομή ονομάζεται μια καμπύλη που προκύπτει από την τομή κώνου και επιπέδου, ή ακριβέστερα, από την τομή ενός επιπέδου με δύο ίσες ορθές άπειρες κωνικές επιφάνειες που έχουν κοινό άξονα και συνδέονται στην κορυφή τους. Η θέση του επιπέδου ως προς τον κώνο καθορίζει τη μορφή της κωνικής τομής:

• Αν το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου, η κωνική τομή είναι ένας κύκλος.
• Αν το επίπεδο δεν είναι κάθετο στον άξονα του κώνου και τέμνει όλες τις γενέτειρες αυτού, η κλειστή καμπύλη που δημιουργείται είναι μια έλλειψη.
• Αν το επίπεδο είναι παράλληλο προς μια γενέτειρα του κώνου, η κωνική τομή είναι παραβολή.
• Αν το επίπεδο δεν είναι κάθετο στον άξονα του κώνου και ούτε παράλληλο προς μια γενέτειρα αυτού, τότε η κωνική τομή είναι υπερβολή.
• Τέλος, αν το επίπεδο διέρχεται από την κορυφή του κώνου, η τομή λέγεται εκφυλισμένη κωνική τομή και στην περίπτωση αυτή έχουμε ένα σημείο ή ένα ζεύγος ευθειών που διέρχονται από την κορυφή του κώνου.

Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Conic Sections"

Πηγές:

• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004.
• Apollo Magazine: Geomeytry, Pastries and Paint - An Interview with Wayne Thiebaud
• Art Wanted: Christofer Andrukiewicz
• Jazzberry Blue
• Philipps: Gerhard Richter
• Pixels: Russell Kightley
• Terry Romero Paul
• Wolfram Math World: Cone
• Wolfram Math World: Conical Frustum
• wikipedia.org