Αριθμοί Friedman

 

📖Ένας αριθμός Friedman είναι ένας θετικός ακέραιος που μπορεί να προκύψει χρησιμοποιώντας τα δικά του ψηφία, μαζί με ένα τουλάχιστον από τα σύμβολα +, -, ·, /, ^, (, ). 

• Τα ψηφία του χρησιμοποιούνται ακριβώς μία φορά το καθένα.
• Επιτρέπεται να συγκολληθούν δύο ή περισσότερα ψηφία.

Οι αριθμοί Friedman στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, ξεκινώντας από τον μικρότερο, είναι:

\(25=5^2\)

\(121=11^2\)

\(125=5^{1+2}\)

\(126=6 \cdot 21\)

\(127=2^7-1\)

\(128=2^{8-1}\)

\(153=3 \cdot 51\)

\(216=6^{2+1}\)

\(289=(8+9)^2\)

\(343=(3+4)^3\)

\(347=7^3+4\)

\(625=5^{6-2}\)

\(688=8 \cdot 86\)

\(736=7+3^6\)

\(1022=2^{10}-2\)

\(1024=(4-2)^{10}\)

\(1206=6 \cdot 201\)

\(1255=5 \cdot 251\)

\(1260=6 \cdot 210 = 21 \cdot 60\)

\(1258=(1+2^8) \cdot 5\)

\(1296=6^{(9-1)/2}\)

\(1395=15 \cdot 93\)

\(1435=35 \cdot 41\)

\(1503=3 \cdot 501\)

\(1530=3 \cdot 510\)

\(1792=7 \cdot 2^{9-1}\)

\(1827=21 \cdot 87\)

\(2048=\frac{8^4}{2}+0=\frac{8^4}{2+0}\)

\(2187=(2+1^8)^7\)

\(2349=29 \cdot 3^4\)

 ...

📖Ένας πρώτος αριθμός Friedman είναι ένας αριθμός Friedman που επιπλέον είναι πρώτος.

Οι πρώτοι αριθμοί Friedman στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης είναι:

127, 347, 2503, 12101, 12107, 12109, 15629, 15641, 15661, 15667, 15679, 16381, 16447, 16759, 16879, 19739, 21943, 27653, 28547, 28559, 29527, 29531, 32771, 32783, 35933, 36457, 39313, 39343, 43691, 45361, 46619, 46633, 46643, 46649, 46663, 46691, 48751, 48757, 49277, 58921, 59051, 59053, 59263, 59273, 64513, 74353, 74897, 78163, 83357, ... 

 

📖Ένας αριθμός Friedman λέγεται ωραίος, όταν η μαθηματική έκφραση που τον συνθέτει, μπορεί να γραφεί έτσι, ώστε να περιέχει τα ψηφία με την ίδια σειρά που περιέχονται στον αριθμό.

Για παράδειγμα:

\(127=2^7-1=-1+2^7\)

\(343=(3+4)^3\)

Αν, μάλιστα, τυχαίνει να είναι και πρώτος, τότε λέγεται ωραίος πρώτος αριθμός Friedman. To 127 είναι ένας ωραίος πρώτος αριθμός Friedman.

Από την άλλη, το 121 και το 343 είναι παλινδρομικοί αριθμοί Friedman, αφού διαβάζονται το ίδιο είτε ευθέως είτε ανάποδα.

 

🧛🏻‍♂️Μια ειδική περίπτωση των αριθμών Friedman είναι οι βαμπιρικοί αριθμοί, όπως ο 1260 και ο 1395, τους οποίους είχαμε γνωρίσει σε παλιότερη ανάρτηση.

🖥️Μερικοί αριθμοί Friedman στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης είναι: 11001, 11011, 111111, 1001111, 1010001, ...

(Αυτοί που σημειώνονται έντονα είναι ωραίοι αριθμοί Friedman, αλλά και παλινδρομικοί).

🌐Για περισσότερα, σας παραπέμπω:

Numbers Aplenty, Friedman Numbers 

Online Encyclopedia of Integer Sequences, Erich Friedman