Γρίφος: το χαμένο ευρώ...

 

Τρεις φίλοι μπαίνουν σε μια κάβα και αγοράζουν ένα μπουκάλι κρασί που κοστίζει 300€, δίνοντας 100€ ο καθένας. Φεύγοντας, τους προλαβαίνει ο υπάλληλος και τους λέει πως έκανε λάθος. Το μπουκάλι στοιχίζει 295 και όχι 300€, γι' αυτό τους επιστρέφει 5€ ρέστα. Αυτοί, αφού δεν μπορούν να μοιράσουν τα 5€ στα τρία, παίρνουν ο καθένας από 1€ και δίνουν 2€ φιλοδώρημα στον υπάλληλο για την καλή του πράξη. Στο τέλος όμως σκέφτονται: «Έδωσε ο καθένας μας 100€ και πήρε πίσω 1€, άρα 99€. Τρεις φορές το 99 μας κάνει 297 και 2€ για το φιλοδώρημα, έχουμε 299€. Τι έγινε ρε παιδιά το 1€;» 

Σημείωση: Ο σημερινός γρίφος είναι διασκευή παλιού γρίφου από την εποχή της... δραχμής. Προσπεράστε το γεγονός ότι οι τρεις φίλοι ξόδεψαν αυτό το ποσό σε μια δύσκολη οικονομικά εποχή και βοηθήστε τους να βρουν το χαμένο ευρώ!

"Ποιος σκότωσε τον κύριο Χ;"

 

Παρίσι, 1900

Σε ένα από τα σπουδαιότερα επιστημονικά συνέδρια, ο φημισμένος Καθηγητής Χ δολοφονείται. Οι κορυφαίοι φιλόσοφοι και μαθηματικοί όλων των εποχών θεωρούνται ύποπτοι. Ποιος, τελικά, σκότωσε τον Καθηγητή Χ;

Ένα έγκλημα...

Ένα ταξίδι στον χρόνο...

Ένα απρόσμενο φινάλε...

Ίσως να γνωρίζετε ήδη το graphic novel του Θοδωρή Ανδριόπουλου, με εικονογράφηση του Θανάση Γκιόκα, αφού το βιβλίο κυκλοφορεί στην παγκόσμια αγορά. Στο graphic novel "Ποιος σκότωσε τον κύριο Χ;" η δολοφονία του Καθηγητή Χ γίνεται η αφετηρία ενός συναρπαστικού ταξιδιού στον κόσμο της φιλοσοφίας και της επιστήμης. Η ιστορία βασίζεται σε πραγματικά περιστατικά και οι ήρωές της είναι αληθινά πρόσωπα, που συντέλεσαν με μοναδικό τρόπο στην πρόοδο της επιστήμης.  

Από τον πρόλογο του βιβλίου...

Υπάρχει σε όλα λύση; Ταξίδι στον Κόσμο των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών

 

  H Placebo Events παρουσιάζει για πρώτη φορά στην Θεσσαλονίκη, στο περίπτερο 1 της ΔΕΘ, την εμβληματική έκθεση του Ιδρύματος Μείζονος Ελληνισμού την οποία απόλαυσαν εκατοντάδες χιλιάδες επισκέπτες στα δέκα χρόνια λειτουργίας της στο Κέντρο Πολιτισμού «Ελληνικός Κόσμος» (2003-2013). Η πιο πετυχημένη έκθεση που διοργανώθηκε ποτέ στην Αθήνα και εντυπωσίασε κοινό και ακαδημαϊκούς, είναι έτοιμη να υποδεχθεί μαθητές κι εκπαιδευτικούς, καθώς κι επισκέπτες κάθε ηλικίας.

  Πρόκειται για μια εντυπωσιακή έκθεση που αφορά την ιστορία των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών, η οποία επιχειρεί να προβάλει μία από τις πιο ενδιαφέρουσες πτυχές του αρχαίου ελληνικού πολιτισμού και να καταδείξει, μέσω του παιδαγωγικού, διαδραστικού και ψυχαγωγικού της χαρακτήρα, πώς τα μαθηματικά μπορούν να είναι ενδιαφέροντα, ευχάριστα και κατανοητά.

• Ελάτε να γράψουμε αριθμούς με βάση τα ιερογλυφικά σύμβολα των αρχαίων Αιγυπτίων και τη σφηνοειδή γραφή των Βαβυλώνιων.
• Μπορείτε, αλήθεια, να μοιράσετε ακριβώς 6 καρβέλια ψωμί σε 10 άνδρες; Γνωρίστε τον τρόπο με τον οποίο οι αρχαίοι Αιγύπτιοι το κατάφεραν, όπως παρουσιάζεται στον πάπυρο Rhind, το εκτενέστερο και ένα από τα πιο γνωστά κείμενα αιγυπτιακών μαθηματικών.
• Θα αναζητήσουμε γύρω μας σχήματα, όπως έκανε ο Θαλής και οι Ίωνες φιλόσοφοι, και θα τα σχηματίσουμε στην άμμο με ραβδί
• Πώς υπολόγισε ο Θαλής, αυτό το «ανήσυχο πνεύμα» της αρχαιότητας, το ύψος της πυραμίδας του Χέοπα, μόνο με ένα σχοινί...και με την παρατηρητικότητά του φυσικά;
• Θα γνωρίσουμε τον Πυθαγόρα, τον άνθρωπο που έβλεπε παντού αριθμούς και θα πειραματιστούμε με τη μουσική κλίμακα στο μονόχορδο του.
• Υπάρχει τελικά σε όλα λύση, με κανόνα και διαβήτη; Ελάτε να γνωρίσουμε τα τρία άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας.
• Ποιος είπε «Δώσε μου κάπου να σταθώ και θα κουνήσω τη γη»;
• Πως το λουτρό ενός πανεπιστήμονα μαθηματικού της αρχαιότητας έγινε αφορμή για ένα θεμελιώδη νόμο της υδροστατικής και για την πασίγνωστη λέξη «Εύρηκα»;
• Πώς ο Ερατοσθένης κατάφερε -με ελάχιστα μέσα- να υπολογίσει με μεγάλη ακρίβεια το μήκος της περιφέρειας της Γης;
• Ποια ερωτήματα μπορούν να μας γεννηθούν αν κοιτάξουμε τον ουρανό από τη Γη;
• Θα πειραματιστούμε με τον άβακα, το εργαλείο με το οποίο έκαναν υπολογισμούς και πράξεις οι αρχαίοι.
• Έχετε αναρωτηθεί από που αντλούμε τις γνώσεις μας για τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά; (χειρόγραφα)

     Η έκθεση καλύπτει ολόκληρη την περίοδο των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών από τον 6ο αιώνα π.Χ. έως και τον 4ο αιώνα μ.Χ. και αναφέρεται στα πιο σημαντικά «επεισόδια» και πρόσωπα της ιστορίας των ελληνικών μαθηματικών. Σύντομη αναφορά γίνεται, επίσης, στα προελληνικά μαθηματικά των Αιγυπτίων και των Βαβυλωνίων, όπως και στην πορεία των κειμένων των Ελλήνων μαθηματικών μετά το τέλος του αρχαίου κόσμου. Βασικές εφαρμογές των μαθηματικών σε άλλες επιστήμες κατά την περίοδο εκείνη, με ιδιαίτερη έμφαση στην αστρονομία, τη μαθηματική γεωγραφία και τη μουσική, αρχιτεκτονική, πολεοδομία, ναυτική τεχνολογία συμπληρώνουν την εικόνα των ελληνικών μαθηματικών.

  Οι οκτώ ενότητες της έκθεσης, οργανωμένες σε αυτόνομους σταθμούς, συνδυάζουν παραδοσιακά μέσα και νεότερες τεχνολογίες. Εκτός από τα κείμενα, τους χάρτες και τις κατασκευές, παρουσιάζονται διαδραστικές και ψηφιακές εφαρμογές, που προσφέρουν μια συναρπαστική περιήγηση στον κόσμο των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών και επιτρέπουν την συμμετοχή και την εξερεύνηση με τρόπο απλό, διασκεδαστικό και εύληπτο. Τα  παιδιά μαθαίνουν παίζοντας και οι ενήλικοι μαγεύονται από τη γοητεία της επιστήμης. Η έκθεση, όπως και τα ίδια τα μαθηματικά, είναι αναμφίβολα για όλους.

Η έκθεση έχει συγκροτηθεί με τη φροντίδα των επιστημόνων και μουσειολόγων του ΙΜΕ και με την ευγενική συμβολή της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. Η επιστημονική επιμέλεια της έκθεσης φέρει την υπογραφή του Γιάννη Χριστιανίδη.

Για πρώτη φορά, αναπόσπαστο κομμάτι της έκθεσης θα είναι και ένας εικονικός κινηματογράφος τελευταίας τεχνολογίας με γυαλιά virtual reality!

 

Η έκθεση τελεί υπό την Αιγίδα του Υπουργείου Παιδείας.

 

📍Διεθνής Έκθεση Θεσσαλονίκης/ Περίπτερο 1
📆Έναρξη: Σάββατο 5 Νοεμβρίου
📚Κρατήσεις σχολείων από Δευτέρα 7 Νοεμβρίου
📞Τηλέφωνο:  694 4353 761
💲Τιμές εισιτηρίων:

• Γενική είσοδος  10€
• Μαθητικό  7€

🌐Περισσότερες πληροφορίες: www.renegademedia.gr/μαθηματικά/

Καλή σχολική χρονιά!

(Πηγή εικόνας)

Η ιστορία του... μέτρου: "Το μέτρο του κόσμου" και η "Επιχείρηση Μεσημβρία"

 

Όλος ο κόσμος γνωρίζει το μέτρο, είναι σίγουρα ένα από τα πιο οικεία μας πράγματα. Για παράδειγμα, πόσες φορές χρησιμοποιήσατε μια μονάδα του μετρικού συστήματος χθες; Όλος ο κόσμος γνωρίζει το μέτρο, αλλά... πώς δημιουργήθηκε; Ποια απίστευτα γεγονότα προηγήθηκαν ώσπου να... μετρηθεί και να καθοριστεί το ακριβές μήκος του;

Η "Επιχείρηση Μεσημβρία" (La Meridienne) είναι ένα ιστορικό μυθιστόρημα που εκτυλίσσεται στην καρδιά της Γαλλικής Επανάστασης, από το 1792 ως το 1799, με ήρωες δύο αστρονόμους εκείνης της εποχής, τον Πιερ Μεσέν και τον Ζαν-Μπατίστ Ντελάμπρ. 

Εκείνη την εποχή, τα μήκη μετρούνταν με βάση την οργιά, τη λεύγα και τον πόδα του Περού, που ήταν ίσος με ένα δάκτυλο, μια γραμμή και οκτώ στιγμές του βασιλικού πόδα. Αυτός ο βασιλικός πόδας ήταν του βασιλιά Φιλέταιρου, της Μακεδονίας και της Πολωνίας. Ήταν ακόμα ο βασιλικός πόδας των πόλεων της Πάδοβας, του Πέζαρο και του Ουρμπίνο. Ήταν λίγο μικρότερος απ' τον αρχαίο πόδα της Φρανς-Κοντέ, του Μεν και του Περς και τον πόδα του Μπορντό για τις χωρομετρήσεις. Τέσσερις από αυτούς τους πόδες πλησίαζαν τον πήχη του Λαβάλ. Πέντε από αυτούς αποτελούσαν τον εξάποδα των Ρωμαίων, που ήταν η ράβδος της Τουλούζης και η βέργα του Νορέ. Υπήρχε ακόμα η βέργα του Ροκούρ κι επίσης το κορδόνι του Μαρσνουάρ, στο Ντινουά. Τι σύγχυση! Δυο μέτρα και δυο σταθμά, αδιαμφισβήτητο σύμβολο ανισότητας. Κάτι που ερχόταν σε αντίφαση με το κεντρικό σύνθημα της Γαλλικής Επανάστασης "Ελευθερία-Ισότητα-Αδελφοσύνη"... 

Τότε που όλοι είχαν παθιαστεί με την ενότητα και μισούσαν την αυθαιρεσία, αποφασίστηκε η καθιέρωση μιας κοινής και αναλλοίωτης μονάδας μέτρησης μήκους από την Επιτροπή Μέτρων και Σταθμών. Το μέτρο σημαίνει ποσότητα -αυτός είναι κι ό λόγος ύπαρξής του- αλλά για να το κάνουν να σημαίνει και ποιότητα, το θέλησαν παγκόσμιο, αιώνιο, αναλλοίωτο. Το απομονωμένο, αυτό που δεν στηρίζεται κάπου, το αυθαίρετο, υποστήριζαν, δεν φτιάχτηκε για να υιοθετείται για πάντα. Για να καθοδηγήσουν την επιλογή της νέας μονάδας μέτρησης, είχαν αποφασίσει να αποδεχτούν μόνο κάτι που θα σχετιζόταν άμεσα με αναλλοίωτα αντικείμενα, κάτι που, στο πέρασμα των αιώνων, να μην είχε επηρεαστεί από ανθρώπους ή γεγονότα. Ένα τέτοιο σύστημα, που δεν ανήκε αποκλειστικά σε κανένα έθνος, μπορούσαν να ευελπιστούν ότι θα το υιοθετούσαν όλοι. Ποιος, εκτός από τη Φύση, διαθέτει αυτές τις ιδιότητες; Και μέσα στη Φύση, ποιος μπορεί να καυχηθεί ότι εγγυάται τη σταθερότητα, την παγκοσμιότητα, την αιωνιότητα, περισσότερο απ' την ίδια τη Γη;

Όλα ήταν έτοιμα: η εποχή, οι άνθρωποι, οι θεσμοί και τα τεχνικά μέσα. Είχε φτάσει η μεγαλειώδης στιγμή του ορισμού. Ανακοινώθηκε ότι η νέα μονάδα μέτρησης θα ήταν ένα κομμάτι της υδρογείου: το 1/40.000.000 ενός μεσημβρινού της Γης! Οι μεσημβρινοί είναι οι περιφέρειες των μέγιστων κύκλων που περιέχουν τους πόλους της Γης (και είναι κάθετοι στον Ισημερινό). Από κάθε σημείο της επιφάνειας της Γης διέρχεται ένας και μόνο ένας μεσημβρινός. Καθώς έχουν όλοι το ίδιο μήκος, αποφάσισαν να ασχοληθούν με τον μεσημβρινό που διέρχεται από το Παρίσι. Η μέτρηση της "επαληθευθείσης Μεσημβρίας" ήταν η μεγαλύτερη γεωδαιτική μέτρηση που έγινε ποτέ. Οι αστρονόμοι Μεσέν και Ντελάμπρ έπρεπε να μετρήσουν ακριβώς το τόξο του μεσημβρινού που ενώνει τη Δουνκέρκη με τη Βαρκελώνη, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του τριγωνισμού. Εδώ βρίσκει εφαρμογή και η τριγωνομετρία, με την ιδιότητα ότι "αν ξέρουμε δύο γωνίες και μία πλευρά ενός τριγώνου, τότε ξέρουμε όλες τις πλευρές του τριγώνου".

Οι δύο αστρονόμοι διασχίζουν δυσπρόσιτες και αφιλόξενες περιοχές, σκαρφαλώνουν σε καμπαναριά, πύργους, βουνά. Κρύβονται από τους Χωροφύλακες, τα μπλόκα, τους μαυριτανούς πειρατές. Πόλεμοι, συλλήψεις, καταδιώξεις, ατυχήματα, καθαιρέσεις... Οι άδειες ελεύθερης κυκλοφορίας τους προκαλούν υποψίες, τους νομίζουν κατάσκοπους, βασιλόφρονες εμιγκρέδες, τσαρλατάνους, μάγους... 

Τελικά τα λόγια του Κοντορσέ επαληθεύτηκαν: "...για όλες τις εποχές, για όλους τους λαούς... η μέτρηση είναι οικουμενική!"

Η ιστορία δεν τελειώνει με τη μέτρηση του μήκους του τόξου του μεσημβρινού... Ποια ήταν τελικά η τύχη του μέτρου; 

Μια πιο αναλυτική εξιστόρηση όλης αυτής της διανοητικής και ανθρώπινης περιπέτειας γίνεται στο αφηγηματικό δοκίμιο "Το μέτρο του κόσμου" (La metre du monde), όπου αναλύονται οι παράλληλες πορείες της πολιτικής και της μετρολογικής ισότητας. 

Βγαίνοντας από το Παρίσι, προς τα δυτικά, μόλις περάσουμε τον Σηκουάνα, συναντάμε το πάρκο του Σεν-Κλου. Στην παρυφή του πάρκου ορθώνεται ένα ωραίο περίπτερο, το περίπτερο Μπρετέιγ. Το γαλλικό κράτος, που έχει την ιδιοκτησία του περιπτέρου, το παραχώρησε στη Διεθνή Επιτροπή Μέτρων και Σταθμών. Εκεί φυλάσσονται από το 1889 τα διεθνή πρότυπα μέτρα. Το νέο μέτρο και το νέο χιλιόγραμμο είναι κατασκευασμένα από ιριδιούχο πλατίνα και βρίσκονται εκεί, κλειδωμένα με τρία κλειδιά, 9 μέτρα κάτω από τη γη. 

Η ανάγκη για μεγαλύτερη ακρίβεια και η πρόοδος της τεχνολογίας μας φέρνει στο 1960, όταν η 11η Γενική Συνδιάσκεψη Μέτρων και Σταθμών υιοθετεί έναν νέο ορισμό του μέτρου: 1.650.763,73 μήκη κύματος της πορτοκαλόχρου ακτινοβολίας μέσα στο κενό, του ατόμου του Κρυπτού-86. Ο ορισμός αυτός είναι πενήντα φορές πιο ακριβής από το πρότυπο του 1889. 

Φτάνοντας στο 1983, η 17η  Γενική Συνδιάσκεψη Μέτρων και Σταθμών υιοθετεί έναν ακόμη ορισμό του μέτρου, τριάντα φορές ακριβέστερο σε σχέση με το πρότυπο του 1960. Σύμφωνα με τον νέο ορισμό, το μέτρο είναι η απόσταση που διανύει το φως μέσα στο κενό, σε διάρκεια 1/299.792.458 του δευτερολέπτου.

Σε δύο αιώνες, περάσαμε από το "μέτρο του Διαφωτισμού" στο "μέτρο του φωτός"...

Και τα δύο βιβλία είναι του Γάλλου μαθηματικού, συγγραφέα και σεναριογράφου Ντενί Γκετζ. 

*Σημείωση*

Επειδή ίσως δυσκολευτείτε να βρείτε το βιβλίο "Επιχείρηση Μεσημβρία" από τις εκδόσεις Τραυλός, που απεικονίζεται παραπάνω, αφού πρωτοκυκλοφόρησε το 2002, μπορείτε να διαβάσετε μια άλλη, πιο πρόσφατη μετάφραση (2021), από τις εκδόσεις Κέδρος, με τον τίτλο "Η μέτρηση του μεσημβρινού". 

Μαθηματικοί γρίφοι για... δυνατούς λύτες!

Για σήμερα το «eis to apeiron» προτείνει δύο πρωτότυπους γρίφους αυξημένης δυσκολίας, που έστειλε ο συνάδελφος Μιχάλης Ζαρτούλας.

1. Να βρείτε το πλήθος των σύνθετων αριθμών που δεν διαιρούνται με το 2 ή το 3 ή το 5, αν γνωρίζετε ότι είναι μικρότεροι του 10.000.
Σημείωση: Μέχρι το 10.000 υπάρχουν 1.229 πρώτοι αριθμοί.

 

2. Ο Κώστας, ο Γιώργος, ο Γιάννης και ο Νίκος είναι τέσσερις κρατούμενοι για ανάκριση. Ο καθένας τους λέει αλήθεια στο 1/3 των περιπτώσεων. Επίσης, γνωρίζουμε ότι: Ο Νίκος είπε ότι ο Γιάννης είπε ότι ο Γιώργος είπε ότι ο Κώστας είπε ψέματα. Πόσες φορές πιο πιθανό είναι ο Κώστας να είπε αλήθεια από το να είπε ψέματα;

 

Θα περιμένουμε τις απαντήσεις στα σχόλια!

Η δεύτερη γυναίκα στην ιστορία που παίρνει Μετάλλιο Fields

Η 37χρονη Ουκρανή μαθηματικός Μαρίνα Βιαζόφσκα του Ομοσπονδιακού Ινστιτούτου Τεχνολογίας της Λωζάνης (EPFL) είναι μία από τους τέσσερις μαθηματικούς που ανακοινώθηκε από τη Διεθνή Μαθηματική Ένωση ότι τιμώνται με το Μετάλλιο Fields για το 2022. Πρόκειται για μία από τις σημαντικότερες διεθνείς διακρίσεις στο πεδίο των Μαθηματικών, την οποία μερικοί θεωρούν αντίστοιχη του Νόμπελ για επιστήμονες έως 40 ετών (το άλλο μεγάλο βραβείο Μαθηματικών είναι το Abel).

Η Βιαζόφσκα είναι η δεύτερη γυναίκα από τα 64 άτομα που μέχρι σήμερα έχουν πάρει το Μετάλλιο Fields , το οποίο άρχισε να δίνεται ανά τετραετία από το 1936. Η μοναδική έως τώρα γυναίκα μαθηματικός με το εν λόγω μετάλλιο ήταν η ιρανικής καταγωγής καθηγήτρια του Πανεπιστημίου Στάνφορντ, Μαριάμ Μιρζαχανί, η οποία βραβεύτηκε το 2014, αλλά το 2017 έφυγε από τη ζωή.

Οι άλλοι τρεις φετινοί νικητές είναι ο 35χρονος Τζέιμς Μέιναρντ του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης, ο 36χρονος Ούγκο Ντουμινίλ-Κοπέν του Πανεπιστημίου της Γενεύης και ο 39χρονος Τζουν Χου του Πανεπιστημίου Πρίνστον.

Η Βιαζόφσκα το 2016 παρουσίασε τον πιο αποτελεσματικό τρόπο να χωράνε όσο γίνεται περισσότερες σφαίρες σε χώρους με οκτώ διαστάσεις, λύνοντας το πρόβλημα στοίβαξης σφαιρών (sphere-packing) στην 8^η διάσταση και έπειτα, σε συνεργασία με άλλους, στην 24^η. Προηγουμένως, το πρόβλημα είχε αποδειχθεί πως λύνεται μόνο για τρεις ή λιγότερες διαστάσεις και η απόδειξη για τις τρεις διαστάσεις (η εικασία του Κέπλερ) περιελάμβανε μακροσκελείς υπολογισμούς από ηλεκτρονικό υπολογιστή. Εν αντιθέσει, η απόδειξη της Βιαζόβσκα για 8 και 24 διαστάσεις είναι «εντυπωσιακά απλή». Από την άλλη, ο Μέιναρντ προώθησε την κατανόηση των κενών ανάμεσα στους πρώτους αριθμούς, ο Κοπέν τη θεωρία των μεταβατικών φάσεων (π.χ. της μετατροπής του νερού σε πάγο) στον τομέα της στατιστικής φυσικής, ενώ ο Χου τιμήθηκε, μεταξύ άλλων, για την καινοτόμο χρήση της γεωμετρίας στο πεδίο της συνδυαστικής.

Η απονομή του βραβείου είχε προγραμματιστεί, αρχικά, να γίνει στο πλαίσιο του Διεθνούς Συνεδρίου Μαθηματικών στην Αγία Πετρούπολη της Ρωσίας, αλλά λόγω της ρωσικής εισβολής στην Ουκρανία, η τελετή και η απονομή των μεταλλίων από χρυσό 14 καρατίων μεταφέρθηκε στο Ελσίνκι της Φινλανδίας. Διευκρινίστηκε, πάντως, ότι η επιλογή των τεσσάρων βραβευθέντων είχε γίνει πριν ξεκινήσει ο πόλεμος, αλλά ανακοινώθηκε τώρα.

Γρίφος: Τον θησαυρό ή την τίγρη;

 

Ένας βασιλιάς οδηγεί έναν κρατούμενο μπροστά από δύο πόρτες. Η πόρτα Νο1 γράφει: "ΜΕΣΑ Σ' ΑΥΤΟ ΤΟ ΔΩΜΑΤΙΟ ΥΠΑΡΧΕΙ ΕΝΑΣ ΘΗΣΑΥΡΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΔΙΠΛΑΝΟ ΔΩΜΑΤΙΟ ΜΙΑ ΤΙΓΡΗ". Η πόρτα Νο2 γράφει: "ΣΤΟ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΔΩΜΑΤΙΑ ΥΠΑΡΧΕΙ ΕΝΑΣ ΘΗΣΑΥΡΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΑΛΛΟ ΜΙΑ ΤΙΓΡΗ". Ο βασιλιάς λέει στον κρατούμενο ότι η μία από τις δύο επιγραφές γράφει την αλήθεια, ενώ η άλλη ψέματα. Αν ο κρατούμενος ανοίξει την πόρτα με το θησαυρό, θα ελευθερωθεί και θα φύγει με το θησαυρό δικό του, ενώ αν ανοίξει την πόρτα με την τίγρη, θα φαγωθεί. 

Ποια πόρτα πρέπει να ανοίξει ο κρατούμενος αν θέλει να ζήσει;

Μια νέα εξίσωση που περιγράφει κάθε... αβγό!

Πώς ένα από τα πιο συνηθισμένα αντικείμενα της φύσης οδήγησε σε ένα απρόσμενα δύσκολο πρόβλημα γεωμετρίας

Όταν παίρνουμε ένα αβγό από το ψυγείο, μάλλον σκεφτόμαστε το γεύμα μας και όχι τα Μαθηματικά… Εκτός ίσως από κάποιους επιστήμονες! Γιατί το σχήμα του αβγού αποτελεί ένα ενδιαφέρον μαθηματικό πρόβλημα εδώ και δεκαετίες: Πώς μπορούμε να περιγράψουμε με έναν μαθηματικό τύπο το περίγραμμα ενός αβγού; Και ακόμη:

Μπορούμε να βρούμε έναν ενιαίο τύπο που να περιγράφει τα αβγά όλων των πτηνών;

Το 2021 οι Narushin, Romanov και Griffin πρότειναν μια νέα μαθηματική λύση στο πρόβλημα, σε εργασία τους με τίτλο “Egg and math: introducing a universal formula for egg shape”, που δημοσιεύθηκε στο Annals of the New York Academy of Sciences.

Για να φτάσουμε, όμως, στην καθολική εξίσωση, πρέπει πρώτα να ακολουθήσουμε μια μικρή μαθηματική διαδρομή…

Τέσσερα διαφορετικά είδη αβγών

Παρόλο που στο μυαλό μας το «σχήμα αβγού» είναι συνήθως ένα συγκεκριμένο ωοειδές σχήμα, στη φύση υπάρχει μεγάλη ποικιλία. Οι ερευνητές, ακολουθώντας την ταξινόμηση του Nishiyama, διακρίνουν τέσσερις βασικές μορφές:

• κυκλική, που αντιστοιχεί σε σχεδόν σφαιρικό αβγό
• ελλειπτική, που αντιστοιχεί σε ελλειψοειδές
• ωοειδής
• απιοειδής ή αχλαδόμορφη

Τα τρία πρώτα σχήματα μπορούν να περιγραφούν σχετικά φυσικά με γνωστές γεωμετρικές καμπύλες. Το πρόβλημα αρχίζει με το τέταρτο.

Ένα απιοειδές αβγό είναι πολύ πιο φαρδύ προς τη μία πλευρά και καταλήγει σε έντονα «μυτερό» άκρο. Δεν είναι απλώς μια έλλειψη που έχει «τραβηχτεί» λίγο προς τη μία πλευρά. Και ακριβώς αυτά τα αβγά ήταν ο λόγος που οι παλαιότερες μαθηματικές περιγραφές δεν μπορούσαν να θεωρηθούν πραγματικά καθολικές.

Από τον κύκλο στο αβγό

Για να καταλάβουμε την ιδέα των ερευνητών, ας ξεκινήσουμε από κάτι πολύ πιο απλό.

Ο κύκλος περιγράφεται από την εξίσωση:

\(x^2+y^2=r^2\)

Αν θέλουμε να κάνουμε τον κύκλο «μακρύτερο» προς μία κατεύθυνση, μπορούμε να αντικαταστήσουμε την κοινή ακτίνα με δύο διαφορετικούς ημιάξονες. Παίρνουμε έτσι την εξίσωση της έλλειψης:

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

Έχουμε λοιπόν την πρώτη μετάβαση: κύκλος → έλλειψη

Αλλά ξέρουμε ότι το αβγό δεν είναι απλώς μια έλλειψη. Η μία πλευρά του είναι συνήθως πιο «στρογγυλεμένη» και η άλλη πιο «μυτερή». Χρειαζόμαστε λοιπόν έναν τρόπο να μετακινήσουμε την κατακόρυφη διεύθυνση του σχήματος, ώστε να δημιουργήσουμε ασυμμετρία. Εδώ εμφανίζεται το μοντέλο του Γερμανού μηχανικού Hügelschäffer.

Η εξίσωση του Hügelschäffer

Οι Narushin και οι συνεργάτες του χρησιμοποιούν ως αφετηρία το μοντέλο του Hügelschäffer, το οποίο μπορεί να περιγράψει τα κυκλικά, ελλειπτικά και ωοειδή αβγά, όπως το συνηθισμένο αβγό της κότας.

Η εξίσωση γράφεται:

όπου:

• L είναι το μήκος του αβγού
• B είναι το μέγιστο πλάτος
• x είναι η οριζόντια θέση
• y είναι η απόσταση από τον οριζόντιο άξονα μέχρι το περίγραμμα
• w είναι μια παράμετρος που περιγράφει τη μετατόπιση του κατακόρυφου άξονα που περνά από το σημείο μέγιστου πλάτους σε σχέση με το μέσο του αβγού.

Το \(\plusminus\) υπάρχει επειδή για κάθε θέση x έχουμε δύο σημεία του περιγράμματος: ένα πάνω από τον άξονα των x και ένα κάτω από αυτόν.

Και εδώ συμβαίνει κάτι πολύ όμορφο: Αν \(L=B\), το σχήμα γίνεται κύκλος. Αν \(w=0\), το σχήμα γίνεται έλλειψη.

Με κατάλληλες τιμές του w, μπορούμε να πάρουμε διάφορα ωοειδή σχήματα. Έτσι έχουμε μια δεύτερη σειρά μεταβάσεων: κύκλος → έλλειψη →  ωοειδές

Το αβγό που δεν χωρά στην εξίσωση

Ας προσπαθήσουμε να κάνουμε το w όλο και μικρότερο. Το ωοειδές σχήμα γίνεται ολοένα και πιο μυτερό. Θα μπορούσαμε να σκεφτούμε ότι, αν συνεχίσουμε αρκετά, θα φτάσουμε και στα απιοειδή (αχλαδόμορφα) αβγά. Αλλά δεν συμβαίνει αυτό!

Το μοντέλο του Hügelschäffer έχει έναν περιορισμό: η παράμετρος w δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Οι ερευνητές δείχνουν ότι, αν προσπαθήσουμε να ξεπεράσουμε αυτό το όριο, η καμπύλη που προκύπτει παύει να μοιάζει με πραγματικό αβγό. Έτσι, τα απιοειδή αβγά παραμένουν έξω από το μοντέλο.

Και εδώ βρίσκεται το πραγματικό μαθηματικό πρόβλημα της εργασίας…

Πώς περιγράφουμε το σχήμα του απιοειδούς αβγού;

Οι ερευνητές δεν εγκαταλείπουν το μοντέλο του Hügelschäffer. Αντίθετα, προσπαθούν να κατασκευάσουν ένα δεύτερο μοντέλο, ειδικά για τα απιοειδή αβγά. Μετά από μαθηματικούς υπολογισμούς καταλήγουν στην εξίσωση:

Αυτή η εξίσωση μπορεί να δώσει το χαρακτηριστικό πιο «κωνικό», αχλαδόμορφο περίγραμμα.

Έχουμε λοιπόν πλέον δύο καμπύλες: την καμπύλη του Hügelschäffer, που περιγράφει το κλασικό ωοειδές σχήμα και την καινούργια καμπύλη, που περιγράφει το απιοειδές.

Αλλά τώρα εμφανίζεται ένα ακόμη πιο ενδιαφέρον ερώτημα: Και τι γίνεται με τα αβγά που βρίσκονται ανάμεσα;

Φανταστείτε ότι σχεδιάζουμε τις δύο καμπύλες στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Θα υπάρχει μια περιοχή ανάμεσα στις δύο. Τι γίνεται, λοιπόν, με ένα πραγματικό αβγό που βρίσκεται κάπου ανάμεσα στο κανονικό ωοειδές και στο καθαρά απιοειδές σχήμα;

Οι ερευνητές ορίζουν τότε τη διαφορά: \(y=y_H-y_c\), όπου \( y_H \) είναι η τιμή από το μοντέλο του Hügelschäffer και \( y_c\) η αντίστοιχη τιμή από το απιοειδές μοντέλο. Αυτή η διαφορά αποτελεί ουσιαστικά ένα μέτρο του πόσο «μυτερό» είναι το αβγό. Όταν η διαφορά είναι μηδέν, έχουμε το κλασικό ωοειδές. Όταν παίρνει τη μέγιστη δυνατή τιμή, προσεγγίζουμε το κλασικό απιοειδές σχήμα.

Και τώρα οι ερευνητές κάνουν το αποφασιστικό βήμα: κατασκευάζουν μια συνάρτηση που συμπληρώνει όλη την περιοχή ανάμεσα στα δύο μοντέλα. Αυτό τους οδηγεί στην τελική καθολική εξίσωση.

Η «καθολική εξίσωση» του αβγού

Η τελική σχέση που ανακάλυψαν οι ερευνητές είναι η εξής:

 

Πρόκειται δηλαδή για ένα παραμετρικό μοντέλο που περιλαμβάνει το τμήμα του μοντέλου του Hügelschäffer και χρησιμοποιεί τέσσερα γεωμετρικά χαρακτηριστικά:

• L: το συνολικό μήκος του αβγού,
• B: το μέγιστο πλάτος,
• w: η μετατόπιση του άξονα του μέγιστου πλάτους,
• \(D_{L/4}\): η διάμετρος του αβγού σε σημείο που βρίσκεται σε απόσταση \(\frac{L}{4}\) από το μυτερό άκρο.

Μετρώντας λοιπόν αυτά τα χαρακτηριστικά σε ένα πραγματικό αβγό, μπορούμε να προσδιορίσουμε το αντίστοιχο μαθηματικό μοντέλο και να ανακατασκευάσουμε το περίγραμμά του.

Αυτό είναι ίσως το πιο εντυπωσιακό σημείο της όλης ιστορίας. Έχουμε ένα πραγματικό αντικείμενο, με ένα περίπλοκο και ακανόνιστο περίγραμμα. Τοποθετούμε νοητά ένα σύστημα συντεταγμένων πάνω του. Μετράμε τα L, B, w και \(D_{L/4}\) και στη συνέχεια τα Μαθηματικά κάνουν την υπόλοιπη δουλειά!

Η παραπάνω συνάρτηση μάς δίνει, για κάθε x, την αντίστοιχη τιμή του y. Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία για όλες τις θέσεις, παίρνουμε μια καμπύλη. Η καμπύλη αυτή είναι το μαθηματικό περίγραμμα του αβγού. Το σημαντικό είναι ότι η ίδια γενική εξίσωση μπορεί θεωρητικά να κινηθεί σε ολόκληρο το φάσμα: σφαιρικό, ελλειπτικό, ωοειδές, απιοειδές.

Οι συγγραφείς δοκίμασαν το μοντέλο και σε απιοειδή αβγά διαφορετικών σχημάτων, όπως είναι αυτά του βασιλικού πιγκουίνου ή πολλών παρυδάτιων πτηνών, πετυχαίνοντας άλλη μία συνάντηση των Μαθηματικών με τη Βιολογία. Οι συγγραφείς βέβαια δεν ισχυρίζονται ότι η εξίσωση αναπαριστά κάθε σημείο του περιγράμματος κάθε πραγματικού αβγού με απόλυτη ακρίβεια. Αναγνωρίζουν ότι τα φυσικά αντικείμενα είναι πολύ πιο ποικίλα από τα ιδανικά μαθηματικά σχήματα.

Φυσικά, ο στόχος της μαθηματικής μοντελοποίησης δεν είναι πάντα να αντιγράψει κάθε μικροσκοπική ατέλεια της πραγματικότητας. Συχνά είναι να βρει ένα απλό και χρήσιμο μαθηματικό αντικείμενο που συλλαμβάνει τη βασική δομή ενός πραγματικού φαινομένου μέσα από την τεράστια ποικιλία της φύσης. Οι συγγραφείς της έρευνας θεωρούν ότι ένα τέτοιο μαθηματικό πλαίσιο μπορεί να αποτελέσει βάση για περαιτέρω έρευνα στη Βιολογία, στη Μηχανική και στα Μαθηματικά...

 

Πηγή

Narushin, V. G., Romanov, M. N. & Griffin, D. K. (2021). Egg and math: introducing a universal formula for egg shape. Annals of the New York Academy of Sciences, 1505, 169–177. DOI: 10.1111/nyas.14680.

Καλή επιτυχία στους μαθητές μας!

 

Η διδασκαλία των Μαθηματικών δεν αφορά απλώς μερικούς υπολογισμούς, αλλά κάτι πολύ βαθύτερο: τη μαθηματική σκέψη και τη μαθηματική λογική, η οποία μας βοηθά στην εξαγωγή ασφαλών συμπερασμάτων. Αυτό είναι που θέλω οι μαθητές μου να κρατήσουν από τα μαθήματά μας, όποια πορεία κι αν ακολουθήσουν στις σπουδές τους και στη μετέπειτα ζωή τους! Ακόμη κι αν το εκπαιδευτικό σύστημα είναι αυτό που είναι! Όπως είχε πει ο Laurent Schwartz, "αυτό που είναι σημαντικό, είναι η εμβάθυνση στις έννοιες και η αντίληψη των δεσμών μεταξύ τους. Εκεί βρίσκεται η μαθηματική ευφυΐα. Το γεγονός της γρήγορης ή αργής προόδου είναι δευτερεύον".

Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά που δίνουν εξετάσεις!