Ένας απογραφέας ρώτησε μια μητέρα για τα παιδιά της.
-Έχω τρεις κόρες. Οι ηλικίες τους είναι φυσικοί αριθμοί και το γινόμενό τους είναι 36, είπε η μητέρα.
-Αυτό δεν μου αρκεί, απάντησε ο απογραφέας.
-Θα μπορούσα να σου πω και το άθροισμα των ηλικιών τους, όμως ούτε τότε θα μπορούσες να τις βρεις.
-Θα ήθελα μια ακόμη πληροφορία.
-Εντάξει. Η μεγαλύτερη κόρη μου έχει πράσινα μάτια, συμπλήρωσε η μητέρα.
-Τώρα ξέρω τις ηλικίες τους!
Ποιες είναι οι ηλικίες των τριών κοριτσιών;
Φωτεινή, καλημέρα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ ειδοποιός διαφορά που βοήθησε τον απογραφέα να βρει τις ηλικίες των κοριτσιών ήταν η σημαντική πληροφορία που έδωσε η μητέρα των κοριτσιών, ότι η μεγαλύτερη κόρη της έχει πράσινα μάτια, ώστε να επιλέξει τη σωστή απάντηση από τις δύο που υπάρχουν.
Η σωστή απάντηση είναι 9-2-2. Αν γράψουμε όλους τους συνδυασμούς των ηλικιών που δίνουν γινόμενο 36, θα δούμε ότι μόνο δύο συνδυασμοί έχουν το ίδιο άθροισμα 13 (α) 9-2-2 και (β) 6-6-1. Επειδή όμως η μεγαλύτερη κόρη έχει πράσινα μάτια, σωστή απάντηση είναι οι ηλικίες 9-2-2.
Αναλυτικά:
Για να λύσουμε το πρόβλημα πρώτα πρέπει να γράψουμε όλα τα γινόμενα των ακεραίων αριθμών που δίνουν τον αριθμό 36. Δίπλα σε κάθε γινόμενο γράφουμε το άθροισμα των τριών αριθμών:
(α) 1, 1, 36 ===1*1*36=36 === 1+1+36=38
(β) (1, 2, 18 === 1*2*18=36 === 1+2+18=21
(γ) 1, 3, 12 === 1*3*12=36 === 1+3+12=16
(δ) 1, 4, 9 === 1*4*9=36 === 1+4+9=14
(ε) 1, 6, 6 === 1*6*6=36 === 1+6+6=13
(στ) 2, 2, 9 === 2*2*9 === 2+2+9=13
(ζ) 2, 3, 6 === 2*3*6=36 === 2+3+6=11
(η) 3, 3, 4 === 3*3*4=36 === 3+3+4=10
Το άθροισμα των ηλικιών τους πρέπει να είναι ο αριθμός 13. Αυτό, γιατί το 13 είναι το μόνο άθροισμα των δύο διαφορετικών γινομένων που έχουν τον ίδιο αριθμό. Με την διευκρίνιση ότι η μεγαλύτερή της κόρη έχει πράσινα μάτια, ο απογραφέας κατάλαβε πως οι ηλικίες τους είναι 2, 2 και 9 χρονών, γιατί η εναλλακτική περίπτωση των 1,6 και 6 χρονών, προϋποθέτει πως οι δύο κόρες της είναι δίδυμες.
Υπάρχει και η εξής παραλλαγή, μια από τις πολλές, που δίνει το άθροισμα των ηλικιών:
ΑπάντησηΔιαγραφήΟι Ηλικίες
Μετά από πολλά χρόνια συναντάω ένα φίλο από τα παλιά που με ρώτησε αν δημιούργησα οικογένεια. Του είπα ότι έχω τρεις κόρες, από τις οποίες οι δύο είναι δίδυμες και ότι αν θέλει να μάθει τις ηλικίες τους θα τις βρει με την βοήθεια των εξής στοιχείων :
α) Το γινόμενο των ηλικιών τους ισούται με 36.
β) Το άθροισμα των ηλικιών είναι ο αριθμός 13 της απέναντι πολυκατοικίας που βλέπεις. Και…
γ) Η μεγαλύτερη μου κόρη έχει ξανθά μαλλιά και γαλάζια μάτια.
Και άλλος του απαντά:
- "Ωραία, τις βρήκα!!"
Ποιες είναι οι ηλικίες των τριών κοριτσιών;
Λύση:
Έστω α οι δύο δίδυμες και β η μεγαλύτερη. Εφ’ όσον οι δύο από τις τρεις κόρες του είναι δίδυμες, θα έχουν την ίδια ηλικία.
Άρα έχουμε:
2α*β = 36 (1)
2α+β = 13 (2)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
2α+β =13 ===> β=13-2α (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
2α*β = 36 ===> 2α*(13-2α) =36 ===> 26α - 4α^2 =36 ===> 4α^2 – 26α + 36 = 0 (4)
Βάσει του τύπου της δευτεροβαθμίου εξισώσεως α= (-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α έχουμε:
α= -β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α ===> α=26±sqrt[(-26)^2-4*4*36]/2*4 ===> α=26±sqrt[676-576]/8 ===> α=26±sqrt[100]/8 ===>
α=(26±10)/8 (5)
α1=(26+10)/8 ===> α1=36/8 ===> α1=4,50 (6) ρίζα μη αποδεκτή.
α2=(26-10)/8 ===> α2=16/8 ===> α2=2 (7) ρίζα αποδεκτή.
Αντικαθιστούμε τη τιμή του "α2" στη (3) κι’ έχουμε:
β=13-2α ===> β=13–2*2 ===> β=13–4 ===> β=9 (8)
Επαλήθευση:
2α*β=36 ===> 2*2*9=36
2α+β=13 ===> 2*2+9=4+9=13 ο.ε.δ.
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΦωτεινή, Φρονώ ότι είναι πιο σωστή η εκφώνηση:
ΑπάντησηΔιαγραφήΈνας απογραφέας ρώτησε μια μητέρα για τα παιδιά της.
- Πόσα παιδιά έχετε;
. . .